四边形复习提纲经典题型解析汇总

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1、四边形复习提纲经典题型解析汇总四边形复习提纲【知识要点】1、四边形的内角和等于10, n边形的内角和等于(-2)1800,任意多边形的外角和等于360,n边形的对角线条数为n(-3)/.2、平行四边形性质:（）平行四边形的对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分；(2)平行四边形是中心对称图形.判定：(1)定义判定； (2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形； (3）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；(4)对角线互相平分的四边形是平行四边形； (）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形、矩形性质：（1)具有平行四边形的所有性质； （)四个角都是直角; （3)对角线相等（推论：直角三角斜边

2、上的中线等于斜边的一半);(4)既是中心对称图形,又是轴对称图形; (5）其面积等于两条邻边的乘积.判定：(）定义判定； (2)有三个角是直角的四边形； （3）对角线相等的平行四边形.、菱形性质:(1)具有平行四边形的所有性质;(2)四条边相等；()对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角;（4）既是中心对称图形，又是轴对称图形;（5）其面积等于两条对角线长乘积的一半(适用于所有对角线互相垂直的四边形）. 判定:（1)定义判定;（2)四条边相等的四边形;(3）对角线互相垂直的平行四边形、正方形性质：具有矩形、菱形的一切性质.判定:()定义判定;（2）先判定四边形为矩形，再判定它也是菱形；

3、 （3）先判定四边形为菱形,再判定它也是矩形.6、等腰梯形性质：(1）两腰相等；(2)两条对角线相等; (3)同一底上的两个底角相等；(4)是轴对称图形判定：(1）在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形;(2)对角线相等的梯形是等腰梯形.7、平行线等分线段定理:如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等.推论：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰。推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线,必平分第三边。8、两个中位线定理三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半梯形的中位线定理:梯形的中位线平行于两底,并且等于两底和的一半（

4、推论:梯形面积等于中位线长与高的乘积）.、中心对称定义：强调必须旋转180 重合。定理:（1)关于中心对称的两个图形是全等形（2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心,并且被对称中心平分（存在逆定理)10、各种四边形之间的相互关系。【方法总结】与多边形的角度、边数、对角线数有关的问题,一般运用公式列方程解决。、分清各种四边形的联系与区别,明白定义、性质与判定方法的正确使用（可以根据条件与结论的前后顺序确定）。、对角线是研究四边形的常用辅助线,它既可以把四边形转化为三角形，又可以充分体现四边形的所有特征。4、梯形中常添加辅助线,将其转化为平行四边形或者三角形：（1)过较短底的顶点作梯

5、形的高;（2)过一个顶点作腰的平行线;(3）过一个顶点作一条对角线的平行线；（)延长两腰相交; (5)连结上底的一个顶点与另一腰的中点,并延长与下底的延长线相交.梯形常用的辅助线如下图:5、遇到有关中点的问题,常考虑构造中位线,或者使用“倍长中线法”.6、解决折叠问题,抓住“折叠前后重合的图形关于折痕所在直线对称”这一关键。7、“双重对称图形”判断妙着：一个轴对称图形，画出一条对称轴后，如果能画出与它垂直的另一条对称轴，那么这个轴对称图形同时也是中心对称图形,垂足即为对称中心；如果能画不出与它垂直的另一条对称轴,那么这个轴对称图形一定不是中心对称图形8、求特殊图形的面积，通常需要添加辅助线把它

6、转化为规范图形，转化的方法主要有“割”、“补”两种9、在众多的定理中，要严格区分有无逆定理，比如平行线等分线段定理就不存在逆定理。【典型例题剖析】【例】若一凸多边形的内角和等于它的外角和,则它的边数是_.剖析：设此凸多边形的边数为n,根据多边形的内角和公式,以及“外角和等于00”的推论,列方程,得(n - 2)180 =3600.解得 n=4.【例2】下列图案既是中心对称,又是轴对称的是( ） A. B. C. D.剖析：由“方法总结”第7条，易知选A【例3】下列命题中，真命题是( ）.有两边相等的平行四边形是菱形 B.有一个角是直角的四边形是矩形.四个角相等的菱形是正方形 D.两条对角线互相

7、垂直且相等的四边形是正方形剖析:由各类平行四边形的判定方法可知，A、B、D都不对，它们分别缺少了 “两邻边”、“平行四边形”、“对角线互相平分”等条件；C中四边形的四个角相等，均为00，必是矩形，既是矩形又是菱形的四边形当然是正方形。故选C.【例】如图，AB的周长为16m，AC、D相交于点，EA交AD于E,则CE的周长为( ） A4 B.6cmC8cm D10cm剖析:由题意知，+CD8cm。AB中,A、D互相平分，则E为C的垂直平分线，所以C=A。因此，DC的周长=D+ECCDEE+CAD+D=cm。故选C【例5】如图,在ABCD中,O是对角线C的中点,过点O作A的垂线与边AC、BD分别交于

8、E、F，求证:四边形E是菱形.剖析:解题时,注意区分判定定理与性质定理的不同使用AC中,AC，12. 又A=COF,AO=.AOCO,E=FO 四边形AC是平行四边形 . 又EFC，ACE是菱形.【例6】如图，已知四边形C是正方形，对角线、D相交于O，四边形AEFC是菱形，HAC，垂足为H.求证:FC剖析:容易证得,四边形HOBE是矩形，则EH BO B A = FC.【例7】探究规律:如图1，已知直线,A、B为直线上的两点，、P为直线上的两点。()请写出图中面积相等的各对三角形: 。（2）如果A、B、C为三个定点,点P在上移动，那么无论点移动到任何位置总有: 与AC的面积相等; 理由是: 。

9、图1 图2 图3如图2，五边形ABCDE是张大爷十年前承包的一块土地的示意图,经过多年开垦荒地,现已变成如图3所示的形状，但承包土地与开垦荒地的分界小路(图中折线CD）还保留着,张大爷想过点修一条直路,直路修好后,要保持直路左边的土地面积与承包时的一样多。请你用有关的几何知识,按张大爷的要求设计出修路方案。(不计分界小路与直路的占地面积)(1）写出设计方案，并在图3中画出相应的图形;（)说明方案设计理由。剖析：本题从一个简单几何原理入手，逐步深入探究，并用它解决实际问题,较好地体现了新时期的教学理念“创新”与“应用”两大主旋律。（)A和ABP, C和B,CPA和CPB分别面积相等。（）因为平行

10、线间的距离相等,所以无论点P在上移动到任何位置，总有AB与C同底等高,因此,它们的面积总相等. ABCDEFMN解决问题：()画法如图.连结EC， 过点D作DC, 交CM于点F， 连结EF, EF即为所求直路的位置 ()设EF交D于点H,由上面得到的结论，可知：SF=SCD, SFSEH.五边形ABCS五边形BF,五边形EDCMN=S四边形EFMN【例8】采用如图所示的方法，可以把梯形CD折叠成一个矩形NM(图中E,FN,EM为折痕）,使得点A与B、C与D分别重合于一点.请问，线段EF的位置如何确定;通过这种图形变化,你能看出哪些定理或公式(至少三个）？证明你的所有结论.提示：EF为梯形BD的

11、中位线，可以看出梯形的中位线定理、面积公式、等腰三角形的性质定理、平行线的性质定理等等。基础题型.如图在平行四边形中,求这个平行四边形各内角的度数解：四边形是平行四边形,由于故设,则即解得 因此, 平行四边形各内角度数分别是,，.已知平行四边形的周长为,，相交于,且的周长比的周长小于，如图,求平行四边形各边的长解:四边形为平行四边形 ，,的周长=的周长=且的周长比的周长小于 又平行四边形的周长为 ，3如图，已知:在平行四边形中，是对角线,于，于 求证: 证明:方法一:四边形是平行四边形 , , 方法二:连接，交于四边形是平行四边形,又，而()如图所示,在平行四边形中，,分别是，延长线上的点,且

12、,则与具有怎么样的位置关系？试说明理由解:证明：方法一:在平行四边形中,，,，又方法二连接，交于在平行四边形中, ()方法三.连接，交于，连接，由方法二知,四边形为平行四边形5.如图，已知是平行四边形对角线的交点,，那么的周长为_解：根据平行四边形对角线互相平分以及对边相等的性质可知,，的周长为 6如图平行四边形中，与交于，则该图形中的平行四边形的个数共有（ ). B C. D由题意可知图中的平行四边形分别是:，,，,，所以共有个如图,平行四边形中，平分交于，交的延长线于，,交于,交延长线于,垂足为，试证明:证明:四边形为平行四边形 , ，, ， 平分, （) ，, , 8.如图，已知:,分别

13、在的各边上，,延长到，使.求证:与互相平分.证明：连接, ， 四边形是平行四边形 ,又 ,而 四边形为平行四边形 与互相平分9如图，已知是的边的中点，是上的一点,试说明：与互相平分 证明：连接，,四边形为平行四边形,是中点，四边形为平行四边形与互相平分.如图，点,分别在平行四边形的边，上,且，,，垂足分别为,求证：与互相平分证明:连接,四边形是平行四边形,， 四边形是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）与互相平分如图,与互相平分,交点为，与互相平分，交点为，那么,四边形是平行四边形么?你是怎么判定的?解：四边形是平行四边形证明:连接,，,与互相平分四边形是平行四边形，与互相平分

14、四边形是平行四边形,四边形是平行四边形.如图，已知,是的高,是的中点.求证：证明：，是的高, ,均为直角三角形 是的中点 是斜边上的中线,是斜边上的中线 ， .如图，先将矩形纸片对折一次折痕为,展开后又将纸片折叠使点落在上，此时折痕为,求度数的大小提示：根据题意得过点作,垂足为则，(直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半,反过来也成立）.过矩形对角线的中点作分别交,于,，点为的中点,若,求证:证明：连接四边形是矩形是线段的垂直平分线 ,是中点 在矩形，,将矩形折叠,使点与点重合，折痕为,在展开,求折痕的长解：, 由勾股定理可得根据题意有,设，由勾股定理,即 解得，（提示:对角线互相垂直的四边

15、形面积等于对角线乘积的一半）已知：如图，是矩形对角线的交点,平分，,求的度数答案:提示为等腰直角三角形，为等边三角形，为等腰三角形 ,，如图,为过的直角顶点的直线，且于，于点，,为的中点，求证：证明：连接为直角三角形，为斜边的中点，,又() ,为的中点,即又，（)总结:在直角三角形中，出现中点时，常见的辅助线是斜边上的中线以及中位线.如图是菱形边的中点，于,交的延长线于,交于,求证:与互相平分证明：四边形是菱形 , (） (）， 即与互相平分方法二:连接，由，得，则且四边形为平行四边形 与互相平分.如图，在中,，是的平分线,交于点,是边上的高，交于,于求证：四边形是菱形证明：是的平分线 , 是

16、的平分线， ， 四边形是平行四边形 平行四边形是菱形菱形中，如果它的一条对角线长为,求菱形的边长 解:若对角线，如图四边形为菱形,且则为等边三角形菱形的边长为若对角线，如图四边形为菱形，且则为等边三角形又 设，,由勾股定理可得，解得,综上所述:菱形的边长为或如图,四边形是正方形,是的中点,是上的一点,且求证：证明：连接，设，则 四边形是正方形， 为中点 在中, 在中, 在中， 则，是直角三角形 （到初三的时候此题还有额外的证明方法).如图,过正方形对角线上一点，作于,作于,连接,求证：, 证明:连接，延长交于点四边形是正方形, （），,四边形为矩形(有三个角为直角的四边形为矩形) ,（) ，

17、.如图正方形中,是的中点,平分,交于求证: 证明：取线段的中点,连接 四边形为正方形 ， 为中点,为中点 平分 在与中 思考:若点是线段上一个动点，其他条件不变，则上面的结论还成立么? 请参考上面的解题思路,本题还有额外的证明方法，但是需要初三学习的知识,现在就不列举了.如图,在梯形中,，,分别是，的中点,且,求证：梯形为等腰梯形证明：过分别作,的平行线交于,，易知四边形和四边形都是平行四边形 ，,，分别是,的中点, 是线段的垂直平分线 故梯形是等腰梯形.已知等腰梯形中,，,，求它的腰长解:方法一:过点作，交于点 四边形为平行四边形, 四边形为等边三角形,方法二过点作，垂足为,过点作,垂足为四

18、边形为等腰梯形，(）四边形为矩形 ， 如图，在中，平分，,点是的中点求证： 证明:延长交于点 , 平分 (）(又是高，又是角平分线，很容易联想到“三线合一”）,点是的中点是三角形的中位线, .如图，在梯形中,，是中点 求证: 证明：取中点,连接 由梯形中位线性质可知且 与平行四边形有关的常用辅助线作法归类解析第一类：连结对角线，把平行四边形转化成两个全等三角形。例如左下图,在平行四边形中,点在对角线上,且,请你以为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等(只需证明一条线段即可)连结 证明：连结,设交于点O四边形为平行四边形 即四边形为平行四边形

19、第二类:平移对角线，把平行四边形转化为梯形。例2如右图2,在平行四边形中，对角线和相交于点,如果，,，那么的取值范围是( )A B D解：将线段沿方向平移，使得，则有四边形为平行四边形,在中， ，,，即 解得 故选第三类：过一边两端点作对边的垂线,把平行四边形转化为矩形和直角三角形问题。例已知:如左下图,四边形为平行四边形 求证: 证明:过分别作于点，的延长线于点F 则四边形为平行四边形 且, 第四类:延长一边中点与顶点连线,把平行四边形转化为三角形。例:已知:如右上图4,在正方形中,分别是、的中点,与交于点，求证:证明:延长交的延长线于点四边形为正方形 且, 又， ,则第五类：延长一边上一点与一顶点连线，把平行四边形转化为平行线型相似三角形。例5如左下图5，在平行四边形中，点为边上任一点,请你在该图基础上,适当添加辅助线找出两对相似三角形。解:延长与的延长线相交于,则有,，第六类:把对角线交点与一边中点连结,构造三角形中位线例6已知:如右上图6，在平行四边形中，,交于,求解：连结交于点,连结四边形为平行四边形 且 综上所述，平行四边形中常添加辅助线是：连对角线,平移对角线,延长一边中点与顶点连线等,这样可将平行四边形转化为三角形（或特殊三角形)、矩形（梯形）等图形，为证明解决问题创造条件。