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1、“数学周报杯”2011年全国初中数学竞赛（天津赛区）试题参考答案及评分标准一、选择题（共5小题，每小题7分，满分35分）（1）设，则代数式的值为( ).（A）0（B）1（C）1（D）2【答】C解：由已知得 于是 （2）已知为实数，且满足，则的最小值为( ).（A）（B）0（C）5（D）【答】D解：由 可得 于是 因此，当时，的最小值为（3）若，且满足，则的值为( ).（A）1（B）2（C）（D）【答】C解：由题设可知，于是 ，所以故，从而于是（4）设，则的整数部分等于( ).（A）4（B）5（C）6（D）7【答】A解：当，因为，所以 于是有，故的整数部分等于4 第（5）题（5）点分别在的边上，
2、相交于点，设，则与的大小关系为( ).（A） （B） （C） （D）不能确定【答】C解：如图，连接，设，则，从而有因为，所以二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）（6）两条直角边长分别是整数（其中），斜边长是的直角三角形的个数为 . 【答】31解：由勾股定理,得 因为b是整数，所以是1到4023之间的奇数，而且是完全平方数，这样的数共有31个，即因此a一定是3，5，63，故满足条件的直角三角形的个数为31（7）一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，2，3，3，4；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，3，4，5，6，8. 同时掷这两枚骰子，则其朝上的面两数之
3、和为7的概率是 .【答】解： 在36对可能出现的结果中，有6对：（1，6）， （2，5）， （2，5）， （3，4），（3，4），（4，3）的和为7，所以朝上的面两数字之和为7的概率是.（8）若的最大值为a，最小值为b，则的值为 .【答】解：由0，且0，得由于，所以当时，取到最大值1，故当或1时，取到最小值，故所以，（9）如图，双曲线（x0）与矩形OABC的边CB， BA分别交于点E，F，且AF=BF，连接EF，则OEF的面积为 .【答】解：如图，设点B的坐标为,则点的坐标为.因为点在双曲线上，所以 又点在双曲线上，且纵坐标第（9）题为，所以点的坐标为.于是第（10）题（10）如图，在RtAB
4、C中，斜边AB的长为35，正方形CDEF内接于ABC，且其边长为12，则ABC的周长为 .【答】84解：如图，设BCa，ACb，则1225 又RtAFERtACB，所以，即， 故 由得 ，解得ab49（另一个解25舍去），所以 三、解答题（共4题，每题20分，共80分）（11）已知关于的一元二次方程的两个整数根恰好比方程的两个根都大1，求的值. 解：设方程的两个根为，其中为整数，且，则方程的两根为，由题意得， 5分两式相加，得，即 ， 所以， 或 10分 解得 或又因为 所以；或者，故，或29. 20分（12）如图，点为的垂心，以为直径的和的外接圆相交于点，延长交于点，求证：点为的中点.证明：
5、如图，延长交于点，连接.因为为的直径，所以5分故为的直径.于是. 10分 又因为点为的垂心，所以 所以，四边形为平行四边形. 15分所以点为的中点. 20分（13） 如图，点为轴正半轴上一点，两点关于轴对称，过点任作直线交抛物线于，两点.（）求证：=；（）若点的坐标为（0，1），且=60，试求所有满足条件的直线的函数解析式. 解：（）如图，分别过点作轴的垂线，垂足分别为.设点的坐标为（0，），则点的坐标为（0，-）.设直线的函数解析式为,并设的坐标分别为 ,.由 得，于是 ，即 .于是， 5分又因为，所以. 因为，所以.（5）二次函数的图象与yax2的图象的关系： 故=. 10分等弧：在同圆或
6、等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。（）解法一 设，不妨设0，第二章 二次函数由（）可知=，=，=， 33.123.18加与减（一）3 P13-17所以 =，=.7、课堂上多设计一些力所能及的问题，让他们回答，并逐步提高要求。因为，所以.(2)中心角、边心距：中心角是正多边形相邻两对角线所夹的角，边心距是正多边形的边到圆心的距离.于是，即所以1、开展一帮一活动，让优秀学生带动后进生，促使他们的转化。由（）中，即，所以于是，可求得 . 将代入，得到点的坐标（，）. 15分再将点的坐标代入，求得 .3、第五单元“加与减(二)”，第六单元“加与减(三)” 在“加与减”的学习中，结合生活情境，学生将经历
7、从具体情境中抽象出加减法算式的过程，进一步体会加减法的意义;探索并掌握100以内加减法(包括不进位、不退位与进位、退位)和连加、连减、加减混合的计算方法，并能正确计算;能根据具体问题，估计运算的结果;初步学会应用加减法解决生活中简单问题，感受加减法与日常生活的密切联系。所以直线的函数解析式为.根据对称性知，1、第二单元“观察物体”。学生将通过观察身边的简单物体，初步体会从不同角度观察物体所看到的形状可能是不同的发展空间观念。所求直线的函数解析式为，或. 20分6 确定圆的条件:解法二 设直线的函数解析式为,其中.由（）可知，=，所以.故 .将代入上式，平方并整理得，即.所以 或.又由（），得，.若代入上式得 从而 .同理，若 可得 从而 .所以，直线的函数解析式为，或. 20分 （14）已知，且，证明：中一定存在两个数，使得证明：令， 5分则. 10分故一定存在2010，使得，从而 15分即 20分
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