2019-2020年中考数学一轮复习-第十五讲四边形

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1、2019-2020年中考数学一轮复习-第十五讲四边形知识梳理知识点1.四边形与特殊四边形的关系重点：掌握四边形与特殊四边形的关系难点：理解关系，熟练掌握图形知识（在箭头上填写适当条件）.知识点2.平行四边形的性质、判定重点：掌握平行四边形的性质、判定难点：运用平行四边形的性质、判定1.平行四边形的性质边角对角线对称性平行四边形2.平行四边形的判定：边的四边形是平行四边形角对角线例1. 如图，在ABCD中，已知对角线AC和BD相交于点O，AOB的周长为15，AB=6，那么对角线AC+BD=_解题思路：运用平行四边形的对角线互相平分，AC+BD=2(AO+BO)=18例2如图，在ABCD中， E、

2、F是对角线AC上的两点，请你再添加一个条件，使四边形DEBF是平行四边形，你添加的条件是 ,说明你的理由。解题思路：运用平行四边形的判定（对角线互相平分）AE=CF或AF=CE练习1.下面命题中，正确的是（）A. 一组对角相等的四边形是平行四边形B. 一组对角互补的四边形是平行四边形 C. 两组边分别相等的四边形是平行四边 D. 两组对角分别相等的四边形是平行四边形2.平行四边形的一边的长为10,则这个平行四边形的两条对角线的长可以是( )A. B. C. D.3.已知：如图，E、F是平行四边行ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF。求证：（1）ADFCBE；（2）EBDF。答案：1.D 2

3、.D 3. 证明：(1)AE=CFAE+EF=CF+FE即AF=CE 又ABCD是平行四边形，AD=CB，ADBCDAF=BCE 在ADF与CBE中 ADFCBE（SAS）（2）ADFCBEDFA=BECDFEB知识点3.特殊四边形的性质、判定重点：掌握特殊四边形的性质、判定难点：运用特殊四边形的性质、判定1.特殊四边形的性质边角对角线对称性面积公式矩形菱形正方形梯形直角梯形等腰梯形2.特殊四边形的判定：是矩形是菱形是正方形是等腰梯形例1如图，已知以ABC的三边为边在BC的同侧作等边ABD、BCE、ACF，请回答下列问题：（1）四边形ADEF是什么四边形？写出理由。（2）当ABC满足什么条件时

4、，四边形ADEF是菱形？（3）当ABC满足什么条件时，以A、D、E、F为顶点的四边形不存在？解题思路：解探索性问题，一般借助直观、直觉或经验先猜测结论，再结合条件加以说明，要注意抓住图形的特殊性，要得到特殊条件，就要构造特殊图形解：（1）四边形ADEF是平行四边形；ABD、BCE为等边三角形，AB = BD = AD，BC = CE = EB，ABD = CBE = 60.DBE = CBA.EBDCBA. DE = AC.又ADC为等边三角形，CF = AF = AC.DE = AF.同理可得AD = EF.四边形ADEF是平行四边形（2）若四边形ADEF为菱形，ADAF，所以ABAC所以当

5、ABC满足ABAC时，四边形ADEF是菱形；（3）由（1）得BACBDE60ADE，当ADE0时，以A、D、E、F为顶点的四边形不存时，此时，BAC60所以当BAC60时，以A、D、E、F为顶点的四边形不存在例2如图，在平行四边形中，为的中点，连接并延长交的延长线于点(1)求证：；(2)当与满足什么数量关系时，四边形是矩形，并说明理由解题思路：特殊四边形（平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形）的判定一定要熟练不能混淆，根据题目的条件选择合适的判定方法。解：(1)证明：四边形是平行四边形为的中点.(2)解:当时,四边形是矩形.理由如下: 四边形是平行四边形ABCD四边形是矩形.例3 . 如图

6、，在梯形中，求的长解题思路：解决梯形问题的常用方法（如下图所示）： “作高”：使两腰在两个直角三角形中“平移对角线”：使两条对角线在同一个三角形中“延腰”：构造具有公共角的两个三角形“等积变形”：连接梯形上底一端点和另一腰中点，并延长交下底的延长线于一ABCDFE图1解析一：如图1，分别过点作于点，于点又，四边形是矩形，在中，解析2：如图2，过点作，分别交于点1分，ABCDFE图2，在中，在中，在中，练习1.如图，四边形中，平分，交于求证：四边形是菱形；2.如图，等腰梯形ABCD中，ADBC，AD5，AB7，BC12，求B的度数3.在梯形ABCD中，ABCD，AB=2，BC=3，CD=1，E是

7、AD中点，试判断EC与EB的位置关系，并写出推理过程。答案1. 解，即，又，四边形是平行四边形 平分，又，四边形是菱形 2. 解：过点A作AEDC交BC于E，ADBC，四边形AECD为平行四边形ADEC，AECDABCD7，AD5，BC12，BEBCCE1257，AECDAB7 ABE为等边三角形故B603. 解：略证：过点C作于F，则四边形AFCD是矩形，在中，可算得则AD=，故DE=AE=在和中， 最新考题本讲内容是中考重点之一，如特殊四边形（平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形）的性质和判定，以及运用这些知识解决实际问题中考中常以选择题、填空题、解答题和证明题等形式呈现，近年的中考中

8、又出现了开放题、应用题、阅读理解题、学科间综合题、动点问题、折叠问题等，这都成了热点题型，应引起同学们高度关注考查目标一、图形的性质与判定例1（09年 南京）如图，将一张等腰梯形纸片沿中位线剪开，拼成一个新的图形，这个新的图形可以是下列图形中的A.三角形 B.平行四边形 C.矩形 D.正方形解题思路：运用梯形的中位线性质，熟悉平行四边形的特性例2（09年 南京）如图，在ABCD中，E、F为BC上的两点，且BE=CF，AF=DE.求证：（1）ABFDCE; (2)四边形ABCD是矩形.解题思路：运用全等、矩形的判定.解：（1）BE=CF, BF=BE+EF,CE=CF+EF, BF=CE. 四边

9、形ABCD是平行四边形， AB=DC. 在ABF和DCE中， AB=DC,BF=CE,AF=DE, ABFDCE. (2)解法一：ABFDCE， B=C, 四边形ABCD是平行四边形， ABCD. B+C=180 B=C=90 所以四边形ABCD是矩形. 解法二：连接AC,DB. ABFDCE, AFB=DEC, AFC=DEB. 在AFC和DEB中， AF=DE, AFC=DEB,CF=BE. AFCDEB, AC=DB. 四边形ABCD是平行四边形， 四边形ABCD是矩形. 例3（09年 广东）在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，.过点作DEAC交的延长线于点.（）求BDE的周长

10、；（）点为线段BC上的点，连接PO并延长交AD于点Q.求证：BP=DQ.解题思路：（1）四边形ABCD是菱形，AB=BC=CD=AD=5，OB=8，四边形是平行四边形，的周长是：+. （）证明：ADBC，OBP=ODQ，OPD=OQD OB=OD，BOPDOQ，BP=DQ。考查目标二、开放性问题例1.（09年 广东） 如图所示，在矩形ABCD中，AB=12，AC=20，两条对角线相交于点O.以OB、OC为邻边作第1个平行四边形，对角线相交于点；再以为邻边作第2个平行四边形，对角线相交于点；再以为邻边作第3个平行四边形依此类推.（1）求矩形ABCD的面积；（2）求第1个平行四边形、第2个平行四边

11、形和第6个平行四边形的面积。解题思路解（1）四边形ABCD是矩形，AC=20，AB12ABC，。（），四边形是平行四边形。四边形是矩形，四边形是菱形。，同理：四边形是矩形，第个平行四边形的面积是： 例2（08 江苏扬州）如图，正方形绕点逆时针旋转后得到正方形，边与交于点（1） 以图中已标有字母的点为端点连结两条线段（正方形的对角线除外），要求所连结的两条线段相交且互相垂直，并说明这两条线段互相垂直的理由；（2） 若正方形的边长为，重叠部分（四边形）的面积为，求旋转的角度解题思路：（1）连结的两条相交且互相垂直的线段是AO和DE理由如下：证明：在与中，（即平分）（等腰三角形的三线合一）注：其它的

12、结论也成立如（2）四边形的面积为，三角形的面积，考查目标三、与函数综合例如图：梯形ABCD中，ADBC，ABC=90，AD=9，BC=12，AB=6，在线段BC上任取一点P，连接DP，作射线PEDP，PE与直线AB交于点E.（1）试确定当CP=3时，点E的位置；（2）若设CP=x，BE=y，试写出y关于自变量x的函数关系式.BADCPE解题思路（1）连接DP CP=3 BP=BCCP=12 3=9 AD=9 AD=DPADDP 四边形ABPD是矩形 DPBP PEDP 点E与点B重合 （2）过点D作DFBC，垂足为F，AD=BF=9 AB=DF=6当点P在BF上：BPE +EPD+DPF=18

13、0 PEDP BPE +DPF=90DFBC PDF+DPF=90 PDF =EPBPEBDPF CP=x BE=y BP=12x PF=PCCF=x3（6分） 当点P在CF上，同理可求得：过关测试一、选择题1如果要用正三角形和正方形两种图案进行密铺，那么至少需要（ ） A三个正三角形，两个正方形 B两个正三角形，三个正方形 C两个正三角形，两个正方形 D三个正三角形，三个正方形2使用同一种规格的下列地砖，不能密铺的是（ ） A正六边形地砖 B正五边形地砖 C正方形地砖 D正三角形地砖3下面的选项中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A正六边形 B平行四边形 C正五边形 D等边三角形4

14、已知梯形的上底与下底的比为2：5，且它的中位线长为14cm，则这个梯形的上，下底的长分别为（ ） A4cm，10cm B8cm，20cm C2cm，5cm D14cm，28cm5如图4，如果平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，那么图中的全等三角形共有（ ）A1对 B2对 C3对 D4对 （4） （5）6顺闪连接矩形各边中点所得的四边形是（ ） A等腰梯形 B正方形 C菱形 D矩形7如图5，E、F、G、H分别是正方形ABCD各边的中点，要使中间阴影部分的小正方形的面积为5，则大正方形的边长应该是（ ） A2 B3 C5 D8.一个多边形的内角和等于外角和的 2 倍，则它的边数是（）A

15、、5B、6C、7D、89.四个内角都相等的四边形是（）A、矩形B、菱形C、正方形D、平行四边形10.符合下列条件的四边形不一定是菱形的是（）A、四边都相等B、两组邻边分别相等C、对角线互相垂直平分D、两条对角线分别平分一组对角11.已知：梯形ABCD中，ADBC，ABADCD，BDCD，则C（）A、30B、45C、60D、75ADFECB12.延长正方形ABCD的一边BC至E，使CEAC，连结AE交CD于F，则AFC的度数是（）A、112.5B、120C、122.5D、135二、填空题1顺次连接一个任意四边形四边的中点，得到一个_四边形2顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，所得四边形是_3平

16、行四边形的周长为28，两邻边的比为4：3，则较短的一条边的长为_4如图1，已知：在ABCD中，AB=4cm，AD=7cm，ABC的平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F，则DF=_cm （1） （2） （3）5如图2，一张矩形纸片，要折叠出一个最大的正方形，小明把矩形的一个角沿折痕AE翻折上去，使AB与AD边上的AF重合，则四边形ABEF就是一个最大的正方形，他判定方法是_6如图3，菱形ABCD的对角线的长分别为2和5，P是对角线AC上任一点（点P不与点A、C重合）且PEBC交AB于E，PFCD交AD于F，则阴影部分的面积是_三、解答题1如图ABC与CDE都是等边三角形，点E、F分别在AC、

17、BC上，且EFAB（1）求证：四边形EFCD是菱形；（2）设CD4，求D、F两点间的距离2如图，已知在菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且CE=CF （1）求证：ABEADF；（2）过点C作CGEA交AF于H，交AD于G，若BAE=25，BCD=130，求AHG的度数3已知梯形ABCD中，ADBC，AD=2，BC=4，对角线AC=5，BD=3，试求此梯形的面积4将一张矩形纸片沿直线折叠一次，折痕恰好把矩形分为面积相等的两部分 （1）这样的折痕有多少条？（2）这样的折痕具有什么特点？5如图，斜折一页书的一角，使点A落在同一页书内的A处，DE为折痕，作DF平分ADB，试猜想FDE等于多

18、少度，并说明理由6.李大伯家有一口如图所示的四边形的池塘,在它的四个角上均有一棵大柳树,李大伯开挖池塘,使池塘面积扩大一倍,又想保持柳树不动,如果要求新池塘成平行四边形的形状.请问李大伯愿望能否实现?若能,请画出你的设计;若不能,请说明理由.答 案一、选择题： 1A 2B 3A 4B 5D 6C 7C 8.B 9.A 10.B 11.C12.A二、填空题： 1平行 2菱形 36 43 5对角线平分内角的矩形是正方形等 625三、解答题1解：（1）证明：与都是等边三角形 又 四边形是菱形（2）解：连结，与相交于点由，可知 2（1）略 （2）1003解：作AEDB，交CB延长线于E，作AFBC于F，易知ADBE为平行四边形 AE=DB=3 EB=AD=2 CE=6 设EF=x 有AE2-EF2=AC2-CF2 即32-x2=52-（6-x）2 x= AF= S梯=AF（AD+BC）=24（1）无数条 （2）过矩形对称中心5猜想FDE=90，理由略毛6. 如图所示,连结对角线AC、BD,过A、B、C、D分别作BD、AC、BD、AC的平行线,且这些平行线两两相交于E、F、G、H,四边形EFGH即为符合条件的平行四边形.