暑假平面几何讲义四点共圆教师版Word版

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1、传播优秀Word版文档 ，希望对您有帮助，可双击去除！四点共圆文武光华数学工作室 潘成华平面几何中证四点共圆的几个基本方法方法一：平面上有四点,若,则四点共圆方法二 线段交于,若,则四点共圆方法三 线段交于,若,则四点共圆方法四：若四边形,，则四点共圆方法四、已知 是内角或外角平分线，,且,则四点共圆证明 设,因为,所以，所以，内角时,外角时，所以四点共圆托勒密定理：Tolemy(托勒密定理）若四边形ABCD是圆O内接四边形,则ADBC+ABCD=ACBD证明 在AC上取点E,使EDC=ADB,因为ABD=ACD,所以ABDEDC,ADEBDC，于是(AB/CE)=(DB/DC),(AD/AE

2、)=(DB/BC),于是ADBC+ABDC=AEBD+BDCE=ACBD例1、已知 点在内，,.求证.证明(一)（文武光华数学工作室 南京 潘成华）作关于对称点,易知, ,于是,所以,得到,进而.证明（二）作外接圆交延长线于,可知,得到,所以,得到,所以.例2、已知（文武光华数学工作室 南京 潘成华）是内一点，点在上，且,.则证明 先证明,过作垂线交分别于，直线交于,取中点,易知四点共圆，四点共圆，所以(1),(是的内角)，因为，所以,于是,易知四点共圆，圆心是，,所以,进而，得到是中垂线，所以，(1)得 下面我们证明，因为,两式相除得,因为所以，证明（二）在取,使得,所以,进而得到,易知四点

3、共圆，所以例3、叶中豪老师2013年国庆讲义一几何题我的解答已知，是底边上任一点，是形内一点，满足，。求证： 。证明作外接圆交分别于，易知,所以，所以 （1）,易知,进而得到,所以（2）,易知四点共圆，所以,所以,所以,进而根据（1）、（2）得到。例4、已知是锐角三角形，是边上中线，是垂心，于点，求证四点共圆证明（一）：延长到使得,易知四边形是平行四边形，因为，,所以,得到，所以四点共圆证明（二）,所以是切线，所以,所以,得到,所以四点共圆第四题、第51届波兰数学奥林匹克，1999例5、已知 在中，,点在内部，点是中点，.求证 .证明（文武光华数学工作室 南京 潘成华）设,因为,可知，可知,（

4、1），,可知 得到（2），根据（1）、（2）得，即。证明(二)（文武光华数学工作室 潘成华给出）延长交以为圆心，为半径的圆于,直线交于, ,因此 ,于是在上，,所以,可知,即,得证例6、已知 是边中点，交外接圆于,过点作交于,在上取点,使得.求证证明(一)（文武光华数学工作室 南京 潘成华）因为,点是中点，所以是调和四边形，易知直线、过点切线共点，得到平分,因此是旁心，进而.证明（二）因为 是边中点，所以,得到,易知是等腰梯形，所以,根据托勒密定理可知,得到，,所以，所以,可知,取中点,同理可得,所以与交点设为,则为中点，所以,于是证明（三）（田开斌老师）作交于，所以,所以四点共圆，因为,所以

5、例7、 已知是角平分线交于，外心分别是,求证证明易知，,所以（1），又，于是，所以四点共圆，根据（1）得到证明（二）记三角，设直线交于，,同理,所以，所以四点共圆得到例8、已知 、交于,四边形是平行四边形，在上，交于,直线交于.求证 四点共圆证明 延长交于点,连接，易知是等腰梯形，是等腰梯形，,所以四点共圆，因此五点共圆,进而四点共圆例9、已知 分别是外心，内心，求证的充要条件是,证明 延长AI交圆O于D,根据托勒密定理，ABDC+ACBD=ADBC(1),因为OIAI，所以AI=ID,由（1）得：（AB+AC)BD=BC2DI,因为BID=IBD,于是BD=DI,所以AB+AC=2BC此题，

6、若O，I分别是ABC外心，内心，AB+AC=2BC，求证 OIAI证明方法是一样的例10、为外接圆上一点，在上的射影为.点分别是中点。证明.证明 取中点，连接,易知，所以,所以,可知,所以第十题、已知 是边中点，交外接圆于,过点作交于,在上取点,使得.求证例11、已知（文武光华数学工作室 南京 潘成华） 、外切于,弦切于,点是延长线上一点,求证充要条件是.（2014 6 8 8：49于镇江大港中学）证明（文武光华数学工作室 南京 潘成华）过作两圆公切线交于,线段交于,等价于,等价于 ,因为,得到,因此，等价于,等价于,即例12、刚才看了一下2014年第5期中等数学数学奥林匹克问题（高）383，

7、不难，我把解答写一下已知 是锐角的垂心，以为直径的圆交外接圆于,直线交于,直线交于,求证证明（文武光华数学工作室 南京 潘成华）设外接圆为,直线交于,所以共线，延长交于点,易知四点共圆，所以,所以,同理,所以是平行四边形，得到是中点，连接交于,因为,可知共线，所以是中位线，得到平行且相等，所以是中点，可知例13、（文武光华数学工作室 南京 潘成华）设周长为，求证的旁切圆与外接圆外切。（2014-6-12 8：56）证明 设的旁切圆切直线于,交外接圆于,直线 交的旁切圆于 ,所以,所以,所以点在外接圆外接圆上，因为是中点，所以点是两圆的切点，即的旁切圆与外接圆外切。例14、于，是垂心，外心，交于

8、，求证证明(一) 延长交于,延长交于,根据蝴蝶定理可知,根据鸭爪定理可知,所以,等腰.证明（二）在取使得,所以,设交于,根据等角共轭点性质，可知,又,可知四点共圆，可知例15、第47届预选，2006年如图，在梯形中，,点分别在线段上，且,分别在直线上，且,.求证 四点共圆证明（一） 因为 ，易知共点，设为,设交圆于,因此是圆切线，,所以,所以,因此四点共圆证明 （二） （文武光华数学工作室 潘成华）因为(AK/KB)=(DL/LC),AB/CD,根据位似知识可知AD、QL、BC的延长线共点，设为E,过点L作LX/AP交AD于X,作LY/PB交BC于Y,因此XY/AB,设XL、DQ交于S,LY、

9、QC交于T,根据Menelaus定理可知(XS/SL)=(XD/DE)*(EQ/LQ)=(YC/CE)*(EQ/LQ)=(YT/TL),于是ST/XY,SQT+SLT=DAB+ADC=180,所以L、S、Q、T四点共圆，易知SQL=STL=XYL=ABP=180-APB-BAP=180-ADC-BAPDAP,进而A,D,P,Q四点共圆例16、2012年西部数学奥林匹克几何题已知 外心、垂心分别是、,于,中垂线交延长线于.求证 外接圆过中点.证明（文武光华数学工作室 南京 潘成华）取、中点,根据欧拉定理可知,所以,所以,又易知,所以,因此是等腰梯形，可知四点共圆，因为四点共圆，所以在外接圆上,即

10、外接圆过中点.例17、已知两同心圆，从大圆上一点作切小圆于,直线交大圆于.求证 证明（文武光华数学工作室 南京 潘成华）设两圆圆心,延长交分别交大圆于,所以是中位线，,所以,所以,所以 ,结论等价于，等价于,因为得证例18、（2004年日本数学奥林匹克几何题）已知 如图，点分别是上两点，且过点分别作的平行线交过点作外接圆的切线分别于,延长直线交外接圆于求证（1）四点共圆，(2)是切线证明 因为,因为，所以直线交点必在上设为,所以四点共圆，同理四点共圆因此四点共圆同理四点共圆，于是四点共圆，,所以是切线例19、已知分别是圆两切线、是切点，平分,交于,切于,交延长线于.求证 证明（文武光华数学工作

11、室 南京 潘成华）连接交于,交于,设线段交于，易知分别是中点，共线，根据配位中线知识可知,所以,又,所以,进而,又,得到,即.证明（二）,所以,所以,所以,可知于是,得到,下面同证法（一）例20、回答广州陈泽桐老师几何题已知 是的旁切圆，是切点，点是延长线上一点， 交于.则的充要条件是证明（文武光华数学工作室 南京 潘成华）设交于,延长线交直线于,交直线于点,三角形三角,根据定理,所以,=所以四点共圆，可知,可知,根据定理, ,所以, ,成立的充要条件是 (1)， , 等价于,即根据（1）结论成立例21、已知：自外一点作切线及割线，自作的平行线，分别交于。求证：。证明：联结O，作于。由垂径定理

12、知。由，得都在以为直径的圆上，即四点共圆，。而，得由此，推出四点共圆。得而，故，。在中，由中位线逆定理即得。例22、已知 为上一点，为圆外一点，分别与相切于，于，分别交于。求证：。证明：设交于，联结交于。则垂直平分，即是中点。联。由，得，于是，由此，得四点共圆，于是，。因是中点，故也是中点，即。证毕例23、已知 是切线，是切点，是割线，交于,直线交于,求证(2013 11 11 21:30)证明作于,延长于,易知五点共圆，可知,所以四点共圆，于是,于是A,易知,所以,进而根据相似知识可知.例24、 是等边三角形，,连接,取中点,求证证明（田开斌给出）延长到,使得,所以,所以,于是,可知,因为，

13、所以证明（二）上海-leenco林可先生证明：作等边三角形,连接交延长线于,连接,所以是外心，,所以,得到四点共圆，于是,得到夹角，可知,所以,于是,所以,易知,得到，进而例25、已知 中，是垂心，外心，交于,交于,求证 .证明（文武光华数学工作室 南京 潘成华）取BC中点M,连接OM,AH、DE,设AH、DE交于点N,连接ON,HM,BHC=180-BAC=ADH,HAD=CBH,所以AHDBCH,于是HDNCHN,进而HND=CMH,根据Euler定理，四边形ONHM是平行四边形，得到ONH=OMH,所以OND=OMC=90,所以OE=OD.例26、已知四边形是内接四边形，且 , 交于点,

14、点分别是外心.求证 平分证明（文武光华数学工作室 南京 潘成华）BAI=HAD,所以IAH=BAD,(AB/2AI)=sinAJB=sinAJD=(AD/2AH),可知(AI/AH)=(AB/AD)(1),所以AIHABD,AIO=90+BAI=90+90-AJB=BJC, AIO=ABD=ACB,所以IAO=DBC,同理HAO=BDC,设AO、JH交于点M,即证明IM=MH,也就是AIsinIAO=AHsinHAO,等价于(AI/AH)=(sinHAO/sinIAO)=(sinCDB/sinCBD)=(CB/CD),因为(AB/AD)=(BC/CD)，根据（1）结论显然成立例27、已知 是外

15、接圆，是边中垂线所在的弦，, 交分别于.求证 明（苏州学生方法）过M作MLAC于L,MXAB于X,，根据Simson线可知：L、X、D共线，易知AL=AX,所以DL/AN,因此P在直线DL上，M、E、P、X四点共圆，M、L、F、P四点共圆，MBC=LAM=MXL=MEF=MAB=BAM=MFE=MCB,所以ME=MF,进而PF=PE证法（三）作MXAB于X,所以ABM=ANM=PDM,易知M、B、D、X四点共圆，所以ABM=XDM,于是X、P、D共线，易知M、E、P、X四点共圆，所以BME=AEM-ABM=MPX-MDP=DMP,同理CME=DMP,MB=MC,进而MEBMCF,因此ME=MF

16、,得到PE=PF例28、已知 是以为直径的半圆两切线，是切点，交于, 交于.求证 四点共圆证明（文武光华数学工作室 南京 潘成华）EDA=EBA+DAB=(1/2)(FOB+EOA)=(1/2)(180-EOF)=(1/2)EPF,PE=PF,所以P是圆（DEF)圆心，所以PE=PD,可知PDE=PED=BAE=PCE,于是P、E、D、C四点共圆例29、如图，AB是圆O的切线，ADE为圆O的割线，D介于A, E之间。M为AO的中点，圆M为ABO的外接圆，BD交圆M于F。求证：EB为M的切线，当且仅当BD=DF。证明： 上海曹珏贇先生解答设ADE交圆M于K。由AKO=90, OE=OD知：DK=

17、KEABDAEB = = = BE为圆M的切线设ADE交圆M于K。由AKO=90, OE=OD知：DK=KE据题意知：ABD=BED, EBK=BAK= ABDBEK据题意知：BEO=EBO=BAO=ABM= ABMBEO于是D, K是对应点，又由于OKE=90，故MDB=90。又由于MB=MF，故BD=DF。证明（文武光华数学工作室 南京 潘成华）设AE交M于H,BOD=2BED=2ABF=AMF,所以BODAMF,可知AFBO=BDAM(1),因为MBO=BOM=AFD,BE是切线等价于EBH=BAH,等价于BHD=BDH,所以AFD=ADF,因此BE是EB为M的切线等价于BOMDFA,等

18、价于AFBO=BMDF,因为BM=AM,根据（1）可知BD=DF例30、已知是圆内接四边形对边的中点，是的中点，自分别作的垂线，垂足记为。求证：。证明：自F分别作BC、AD的垂线，垂足记为S、T，联ST、PQ。易知RtFCSRtEAQ，RtFDTRtEBP，得(FS/EQ)(FC/EA)(FD/EB)(FT/EP)，又SFTPEQ， FTSEPQ。得FTSEPQ，于是QPSSTQ180，从而P、S、T、Q四点共圆。在直角梯形EPSF中，M是腰EF的中点，故M落在线段PS的中垂线上；同理，M也落在线段QT的中垂线上。故M就是P、S、T、Q四点所共圆的圆心。 MPMQ。例31、已知设是垂心，点分别

19、在边上，且,.求证 四点共圆证明（文武光华数学工作室 南京 潘成华）延长FD交CH延长线于S,因为BAH=DCH=90-ABC=(1/2)FDB,所以DSC=DCH=FAH,即S、A、H、F四点共圆，因为DS=DE=DC,所以点D是SEC外接圆圆心，所以SEA=(1/2)SDC=AFS,所以S、E、A、F四点共圆，因此A、H、F、S、E五点共圆，进而A、H、F、E四点共圆例32、第27届俄罗斯数学奥林匹克几何题，2001年已知是边是一点，中垂线分别交于,点是外心.求证 四点共圆证明 （文武光华数学工作室 南京 潘成华）作D关于EF对称点H,可知F是BHD外接圆圆心，E是CHD外接圆圆心，过E、

20、F分别作BC垂线EJBC于J,FKBC于K,HEC=2FEJ=2(180-EFK)=360-HFD-BFD=HEB,因此BHF=EHC可知BHC=EHF=EDF=BAC,因此H在ABC外接圆圆O上，于是OFBH,OEHC,进而180=EOF+BHC=EOF+BAC,即A、E、O、F四点共圆例33、已知 与反向相似，直线交于,与外接圆交于另一点,求证证明（文武光华数学工作室 南京 潘成华）设直线PB、PC交OPQ外接圆于H、J，过点K、I、M垂直于直线PH,且交PH分别于X、Y、Z,所以(KL/IM)=(XY/YZ)=(PA-PB/2)/(PH-PB/2)=(AB/AH),同理(KI/IM)=(DC/CJ),可知(AB/DC)=(AH/CJ)，得到因此(AO/OC)=(AB/DC)=(AH/CJ)，易知OHAOJC,进而H=J=90,所以Q=90,即OQPQ第十九题已知（文武光华数学工作室 南京 潘成华）是中点，A, ,点分别在上，.求证 是角平分线（2013 10 7 7：46）证明 (一)、作外接圆，则是切线，设,圆 交于另一点,设圆心, 易知四点共圆，共线，得到,所以,所以是角平分线证明（二）在上取点使得,所以四点共圆，因此,于是 是角平分线