格林公式的应用课件

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1、一、格林公式二、平面上曲线积分与路径无关的条件三、二元函数的全微分求积9.7 格林公式及其应用一、格林公式v单连通与复连通区域 v区域的边界曲线的方向 当观察者沿区域D的边界曲线L行走时 如果左手在区域D内 则行走方向是L的正向 单连通区域复连通区域 设D为平面区域 如果D内任一闭曲线所围的部分都属于D 则称D为平面单连通区域 否则称为复连通区域 LDQdyPdxdxdyyPxQ)( v定理1 设闭区域D由分段光滑的曲线L围成 函数P(x y)及Q(x y)在D上具有一阶连续偏导数 则有 其中L是D的取正向的边界曲线 格林公式 应注意的问题: 对复连通区域D 格林公式右端应包括沿区域D的全部边

2、界的曲线积分 且边界的方向对区域D来说都是正向 提示: 格林公式: v用格林公式计算区域的面积 LDQdyPdxdxdyyPxQ)( 设区域D的边界曲线为L 则DLdxdyxdyydx2 或在格林公式中 令Py Qx 则有 LydxxdyA21 或LDydxxdydxdyA21 格林公式: v用格林公式计算区域的面积 例1 求椭圆xacosq ybsinq 所围成图形的面积A LDQdyPdxdxdyyPxQ)( 设区域D的边界曲线为L 则LydxxdyA21 解 设L是由椭圆曲线 则 LydxxdyA21qqq2022)cossin(21dababqabdab2021LydxxdyA21qq

3、q2022)cossin(21dabab qabdab2021 提示:因此 由格林公式有 LDQdyPdxdxdyyPxQ)( 格林公式: v用格林公式计算二重积分 例 2 计算Dydxdye2 其中 D是以 O(0 0) A(1 1) B(0 1) 为顶点的三角形闭区域 解 要使2yeyPxQ 只需 P0 2yxeQ 令 P0 2yxeQ 则2yeyPxQ 因此 由格林公式有 LDQdyPdxdxdyyPxQ)( 格林公式: v用格林公式计算二重积分 例 2 计算Dydxdye2 其中 D是以 O(0 0) A(1 1) B(0 1) 为顶点的三角形闭区域 解 BOABOAyDydyxedx

4、dye22)1 (2111022edxxedyxexOAy)1 (2111022edxxedyxexOAy)1 (2111022edxxedyxexOAy BOABOAyDydyxedxdye22 令 P0 2yxeQ 则2yeyPxQ v用格林公式求闭曲线积分 令P2xy Qx2 则 证 因此 由格林公式有 LDQdyPdxdxdyyPxQ)( 格林公式: 例3 设L是任意一条分段光滑的闭曲线 证明 Ldyxxydx022 022xxyPxQ 0022dxdydyxxydxDL0022dxdydyxxydxDL 提示: 解 yPyxxyxQ22222)( 022Lyxydxxdy 例 4 计

5、算Lyxydxxdy22 其中 L 为一条无重点、分段光滑且 不经过原点的连续闭曲线 L的方向为逆时针方向 当(0 0)D时 由格林公式得 记L所围成的闭区域为D 这里22yxyP 22yxxQ 当x2y20时 有 在D内取一圆周l: x2y2r2(r0) 例 4 计算Lyxydxxdy22 其中 L 为一条无重点、分段光滑且 不经过原点的连续闭曲线 L的方向为逆时针方向 当(0 0)D时 解 记L所围成的闭区域为D 记L及l所围成的复连通区域为D1 应用格林公式得0)(122 dxdyyPxQyxydxxdyDlL 其中l的方向取顺时针方向 于是 lLyxydxxdyyxydxxdy2222

6、qqq2022222sincosdrrrlLyxydxxdyyxydxxdy2222qqq2022222sincosdrrr2 二、平面上曲线积分与路径无关的条件v曲线积分与路径无关 设G是一个开区域 P(x y)、Q(x y)在区域G内具有一阶连续偏导数 21LLQdyPdxQdyPdx与路径无关 否则说与路径有关 如果对于G内任意指定的两个点A、B以及G内从点A到点B的任意两条曲线L1、L2 等式恒成立 就说曲线积分LQdyPdx在 G 内 二、平面上曲线积分与路径无关的条件v曲线积分与路径无关 这是因为 设L1和L2是G内任意两条从点A到点B的曲线 则L1(L2)是G内一条任意的闭曲线

7、而且有021LLQdyPdxQdyPdx 0)(21 LLQdyPdx 21LLQdyPdxQdyPdx021LLQdyPdxQdyPdx 意闭曲线 C 的曲线积分LQdyPdx等于零曲线积分LQdyPdx在 G 内与路径无关相当于沿 G 内任在 G 内恒成立xQyP闭曲线的曲线积分为零)的充分必要条件是等式数 则曲线积分LQdyPdx在 G 内与路径无关(或沿 G 内任意设函数P(x y)及Q(x y)在单连通域G内具有一阶连续偏导二、平面上曲线积分与路径无关的条件v曲线积分与路径无关 v定理2 (曲线积分与路径无关的判断方法) 定理证明 意闭曲线 C 的曲线积分LQdyPdx等于零曲线积分

8、LQdyPdx在 G 内与路径无关相当于沿 G 内任v应用定理2应注意的问题 (1)区域G是单连通区域 (2)函数P(x y)及Q(x y)在G内具有一阶连续偏导数 如果这两个条件之一不能满足 那么定理的结论不能保证成立.0 xQyPQdyPdxQdyPdxLL与路径无关讨论: 设L为一条无重点、分段光滑且不经过原点的连续闭曲线 L的方向为逆时针方向 问 是否一定成立？ 022Lyxydxxdy提示: 则 ABOALdyxxydxdyxxydxdyxxydx222222 .0 xQyPQdyPdxQdyPdxLL与路径无关 解 这里P2xy Qx2 选择从O(0 0)到A(1 0)再到B(1

9、1)的折线作为积分路线 11102dy 因为xxQyP2 所以积分 Ldyxxydx22与路径无关 例 5 计算Ldyxxydx22 其中 L 为抛 物线yx2上从O(0 0)到B(1 1)的一段弧 三、二元函数的全微分求积 表达式P(x y)dxQ(x y)dy与函数的全微分有相同的结构但它未必就是某个函数的全微分 那么在什么条件下表达式P(x y)dxQ(x y)dy是某个二元函数u(x y)的全微分呢？当这样的二元函数存在时 怎样求出这个二元函数呢？ 二元函数u(x y)的全微分为du(x y)ux(x y)dxuy(x y)dy v原函数 如果函数u(x y)满足du(x y)P(x

10、y)dxQ(x y)dy 则函数u(x y)称为P(x y)dxQ(x y)dy的原函数 设函数P(x y)及Q(x y)在单连通域G内具有一阶连续偏导数 则P(x y)dxQ(x y)dy在G内为某一函数u(x y)的全微分的充分必要条件是等式 在G内恒成立 xQyPv定理3 v求原函数的公式 ),(),(00),(),(),(yxyxdyyxQdxyxPyxu yyxxdyyxQdxyxPyxu00),(),(),(0 xxyydxyxPdyyxQyxu00),(),(),(0 解 这里 因为P、Q在右半平面内具有一阶连续偏导数 且有 yPyxxyxQ22222)( 22yxyP 22yx

11、xQ 所以在右半平面内 22yxydxxdy 是某个函数的全微分 ),()0 , 1 (22),(yxyxydxxdyyxu 取积分路线为从A(1 0)到B(x 0)再到C(x y)的折线yyxxdy0220 xyarctanyyxxdy0220 xyarctan 半平面内是某个函数的全微分 并求出一个这样的函数 例 6 验证:22yxydxxdy在右 则所求函数为 例7 验证: 在整个xOy面内 xy2dxx2ydy是某个函数的全微分 并求出一个这样的函数 这里Pxy2 Qx2y 解 因为P、Q在整个xOy面内具有一阶连续偏导数 且有yPxyxQ2 所以在整个xOy面内 xy2dxx2ydy是某个函数的全微分 ),()0 , 0(22),(yxydyxdxxyyxu202202yxydyxy 取积分路线为从O(0 0)到A(x 0)再到B(x y)的折线 则所求函数为202202yxydyxy