不等式易错点

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1、易错07 不等式易错导图易错详讲易错点1 分式不等式【例1】（1）（2020江苏）不等式的解集为 。（2）（2020福建省永泰县城关中学）不等式的解集为 。【答案】（1）或（2）【解析】（1）分式不等式等价于或，即或或，故解集为或.（2）可得，从而，解得，【易错总结】解分式不等式的步骤：（1）移项，把分式不等式一边化为0；（2）通分，化不等式为或形式，转化时应使得中最高次项系数为正，（3）转化，化为或，（4）得解【举一反三】1（2020利辛县阚疃金石中学）不等式的解集为_.【答案】或【解析】不等式移项通分可得：，即，所以，解得或，故答案为：或.2不等式的解集为_【答案】或【解析】原不等式移项得

2、，通分整理得，等价于，解得或.故答案为：或3（2020北京市昌平区前锋学校）不等式的解集为_【答案】【解析】原不等式等价于，即，即因此，原不等式的解集为故答案为：易错点2 穿根引线【例2】（2020吴起高级中学）不等式的解集为_.【答案】【解析】不等式等价于，解得.故答案为：.【易错总结】利用“穿针引线法”求解高次不等式的解集时，注意从数轴的右上方开始，每经过一个因式对应的数轴上点，要判断该因式是奇次还是偶次，如果是奇次，则穿过该点，如果是偶次，则选择穿而不过.【举一反三】1（2020上海普陀曹杨二中）不等式的解集为_【答案】【解析】如下图所示：根据图象可知：当或或时，所以不等式的解集为：，故

3、答案为：.2.（2020云南省保山第九中学）不等式的解集为（ ）A，或B，或C，或D，或【答案】A原不等式可转化为，结合数轴标根法可得，或即不等式的解集为，或故选：A3（2020江苏省响水中学）不等式的解集为（ ）A或B或C或D或【答案】B【解析】等价于，根据穿根法可得或.故选：B.易错点3 基本不等式取“=”【例3】已知a，b0且a+b=1，给出下列不等式：ab；.其中正确的序号是（ ）A B C D【答案】C【解析】a，bR，ab1，ab 2，当且仅当时，等号成立，故正确；令y=ab，设由可知 ，则在上单调递减，故当时，y有最小值，故正确；()2ab2abab2，故正确； ，当且仅当 时，

4、等号成立，故不正确.故选：C【易错总结】利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.【举一反三】1（2020平遥县综合职业技术学校）已知，且，则下列说法正确的是（ ）A当时，取得最小值B当时，取得最大值C当，时，取得最小值D当，时，取得最大值【答案】C【解析】，且，当且仅当即，时，等号

5、成立，所以当，时，取得最小值，最小值为.故选：C.2已知()，则的取值范围为（ ）ABCD【答案】D【解析】由题意，当即时，当且仅当即时，等号成立；当即时，当且仅当即时，等号成立；的取值范围为.故选：D.易错点4 分类讨论【例4】（2020北京八中月考）解关于的不等式(为任意实数)：【答案】答案见解析【解析】当时，原不等式化为，解得；当时，原不等式可化为，即，.当时，则原不等式的解集为当时，当，即时，有，则原不等式的解集为；当，即时，则原不等式的解集为或当，即时，则原不等式的解集为.或【易错总结】解含参数的一元二次不等式，解题时要注意分类讨论分类讨论有三个层次：第一层次是最高次项系数是否为0，

6、在最高次项系数不为零时，还应分正负，第二层次是相应的二次方程有无实根，第三层次就是比较两根的大小【举一反三】1（2020云南昆明二十三中）解关于x不等式.【答案】答案见解析【解析】不等式化为，即当时，不等式为，解得，当时，解得不等式为或，当时，若，即时，解得不等式为，若，即时，不等式无解，若，即时，解得不等式为，综上，时，不等式的解集为；时，不等式无解；时，不等式的解集为；时，不等式的解集为；时，不等式的解集为.2解不等式：.【答案】答案见解析.【解析】当时，不等式为，解集为，当时，恒有两个实根，当时，解集为或；当时，解集为，综上所述：时，解集为；时，解集为或；时，解集为.3（2020安徽省亳

7、州市第一中学）解关于的不等式：.【答案】当时，解集为，当时，解集为：，当时，不等式的解集为：,当时，不等式的解集为：,当时，不等式的解集为:.【解析】当时，原不等式可化为：,可得不等式的解集为，当时，原不等式可化为：，不等式的解集为：；当时，原不等式可化为：,当时，不等式的解集为：,当时，不等式的解集为：,当时，不等式的解集为:.易错点5 恒成立和存在问题【例5】（1）设函数，对任意的都有，则实数的取值范围是（ ）ABCD（2）（2020吉林汽车区第三中学）若“，”，则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】（1）D（2）C【解析】（1）对任意的，都有恒成立，对任意的恒成立，实数的取值范围是.故

8、选：D.（2）因为，所以，解得或.故选：C.【易错总结】一不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数，（1）若，总有成立，故；（2）若，有成立，故；（3）若，有成立，故；（4）若，有，则的值域是值域的子集 二恒成立问题的一般解答方法如下：（1）参数分离法：将原不等式化为或恒成立的问题，然后分析函数在所给区间的单调性及最值，只需满足最值成立即可；（2）分类讨论：讨论函数在所给区间的单调性及最值，只需满足或即可.【举一反三】1（2020辽源市第五中学校）若不等式对于一切恒成立，则的最小值是（ ）A0BCD【答案】C【解析】因为不等式对于一切恒成立，所以对一切恒成立，所以，又因为在

9、上单调递减，所以，所以，所以的最小值为，故选：C.2（2020浙江）已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】A【解析】时，不等式可化为；当时，不等式为，满足题意；当时，不等式化为，则，当且仅当时取等号，所以，即；当时，恒成立；综上所述，实数的取值范围是答案选A3（2020江苏省邗江中学）命题“”为假命题，则实数的取值范围为（ ）ABCD【答案】B【解析】“”为假命题，等价于“”为真命题,所以所以，则实数的取值范围为.故选：B.4（2020江苏周市高级中学）已知函数，若对于任意，恒成立，则实数的取值范围为（ ）ABCD【答案】B【解析】因为对于任意，恒成立，所以对恒成立

10、，所以，又因为的对称轴为，所以在上单调递减，所以，所以，故选：B.避错强化1（2020湖南）若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】D【解析】由题意，一元二次不等式在上恒成立，所以，解得.故选：D.2（2020云南昆明一中）不等式的解集为（ ）A(-，1)2，+)B(-，0(1，+)C(1，2D2，+)【答案】C【解析】不等式等价于且，解得，不等式的解集为，故选：3（2020江苏省响水中学）已知函数的定义域为，则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】B【解析】因为函数的定义域为，所以对任意恒成立，若，即时，则不等式可化为，解得，不满足题意；若，即时，只需，解得.故选：B.4

11、关于x的不等式的解集为，则实数a的取值范围为（ ）ABCD【答案】D【解析】当时，若，则原不等式可化为，显然恒成立；若，则原不等式可化为，不恒成立，所以舍去；当时，因为的解集为，所以只需且，解得.综上，实数a的取值范围为.故选：D.5（2020浙江温州）若关于的不等式在区间上有解，则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】C【解析】因为关于的不等式在区间上有解，所以在上有解，易知在上是减函数，所以时，所以故选：C6（2020山西）若关于x的不等式在内有解，则实数a的取值范围是（ ）ABCD【答案】C【解析】由题意，可得，设，若，则，不等式在内有解，则只需，即，解得.故选：C7（2020北京人大附

12、中高三月考）已知方程在区间上有解，则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】A【解析】方程在区间上有解，当时，方程无解；当时，则有，令，即在时为减函数，由于，所以，当时，所以，只要，方程在区间上有解故选：A8（2020湖北高三月考）若，使得不等式成立，则实数的取值范围为（ ）ABCD【答案】C【解析】因为，使得不等式成立，所以，使得不等式成立，令，因为对称轴为，所以，所以，故选：C9（2020福建厦门一中）（多选）使得成 立的充分非必要条件有（ ）ABCD或【答案】ABC【解析】由可得，如下图所示：所以，不等式的解集为或，A、B、C选项中的集合均为集合或的真子集，因此，使得成 立的充分非必要条件

13、有A、B、C选项.故选：ABC.10（2020江苏省太湖高级中学）（多选）已知命题，则命题p成立的一个充分不必要条件可以是下列选项中的（ ）A B C D【答案】ABCD【解析】因为命题，且函数开口向上， 所以当命题为真命题时，故命题的等价条件为，故命题p成立的一个充分不必要条件可以是的真子集，故ABCD均满足，故选：ABCD.11（2020湖南）（多选）下列结论正确的是（ ）A当x0时，+2B当x3时，x+的最小值是2C当x0，y0，且2x+y=1，则的最小值是9【答案】AD【解析】对于选项A，当时，当且仅当时取等号，结论成立，故A正确；对于选项B，当时，当且仅当时取等号，但，等号取不到，因

14、此的最小值不是2，故B错误；对于选项C，因为，所以，则，当且仅当，即时取等号，故C错误；对于选项D，因为，则，当且仅当，即时，等号成立，故D正确.故选：AD.12（2020福建福州）（多选）若，且，则下列说法正确的是（ ）A有最大值B有最小值C都有D，使得【答案】BC【解析】因为，所以，解得：，故A不正确；又，故B正确；，所以，故C正确；联立，得，所以是方程的两根，又此方程无解，故不存在使得，故D不正确.故选：BC13（2020江苏高一期中）（多选）下列函数中最小值为2的是（ ）ABCD【答案】BD【解析】时，A错；，当且仅当，即时等号成立，B正确；同理，但时，等号才能成立，而无解故2取不到，

15、C错；，则，当且仅当，即时等号成立，D正确故选：BD14（2020江苏常熟中学）不等式的解集为_.【答案】【解析】不等式化为，解得或故答案为：15（2020江苏省响水中学高一期中）设集合 ，若 ，则实数 的取值围为_.【答案】【解析】因为，且，所以 ，即当时，恒成立，所以.故答案为: 16关于的不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】在上为减函数，且不等式对任意恒成立，则只需，即.故答案为：.17（2020江苏镇江）已知命题“，”是假命题，则实数a的取值范围为_.【答案】【解析】命题“，”是假命题，是真命题，即使不等式有解；所以，解得：或.实数a的取值范围是.故答案为：.18

16、（2020浙江杭州高三期中）已知，且，则的最小值为_【答案】【解析】因为，则，所以，所以当且仅当，即（不在范围内，舍去）时，等号成立.故答案为：.19（2020江苏南京河西外国语学校）在实数范围内解下列不等式.（1）；（2）.【答案】（1）或；（2）.【解析】（1）不等式可化为，解得或，所以该不等式的解集为或；（2），即，所以且解得：或，故不等式的解集是.20（2020上海市崇明中学高三期中）解下列不等式：（1）；（2）.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由可得： ，解得：或，故解集为：（2）由化简为：， 即，等价于，解得，故解集为.218（2020黑龙江牡丹江一中高三开学考试（理）解下列

17、不等式.（1）；（2）.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）方程的根为：，利用数轴穿根法可得：所以不等式的解集为；（2）且，解得.22（2020湖北武汉）解关于x的不等式(ax1)(x1)0.【答案】答案不唯一，具体见解析.【解析】若a0，则原不等式为一元一次不等式，解得，故解集为(，1).当a0时，方程(ax1)(x1)0的两根为x1，x21.当a0时，所以解集为(，1)；当1a0，即1时，所以解集为；当a1时，所以解集为；当a1时，不等式化为，所以解集为.23（2020辽宁沈阳二中）解关于的不等式.【答案】答案见解析【解析】由题意可知，可化为（1）当时，不等式化为，解得，（2）当时，不等式化为，解得，（3）当时，不等式化为，解得或，（4）当时，不等式化为，解得，（5）当时，不等式化为，解得或，综上所述，时，不等式的解集为时，不等式的解集为；时，不等式的解集为；时，不等式的解集为；时，不等式的解集为.