储油罐的变位识别与罐容表标定数学建模竞赛

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1、全 国 大 学 生数 学 建 模 竞 赛储油罐的变位识别与罐容表标定参赛学校：重庆工商大学2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的， 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理我们参赛选择的

2、题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 重庆工商大学 参赛队员 (打印并签名) ：1 王文姣 2 白 洋 3 吴 静 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 袁德美 日期： 2010 年 9 月 13日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编）：储油罐的变位识别与罐容表

3、标定摘要油品的数量管理在油品的经营过程中占有很重要的地位,其中储油罐罐容表的标定是加油站中油品管理的关键.但由于储油罐的长时间使用会导致地基变形,罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位）, 从而需要定期对罐容表进行重新标定.因此能够正确地解决好罐容表的标定问题,将会给现实生活中加油站等储油行业的操作带来方便.本文主要解决储油罐的变位识别及罐容表的标定问题.我们根据积分“无限细分,无限求和”的思想,通过建立积分模型,将储油罐划分为无数个连续的椭圆形截面.在进行储油量的计算时,由于油液面将这无数个椭圆截成了无数个弓形,故计算储油量的过程即转化为了对这无数个弓形在一定范围内求积分的问

4、题.问题一,在准确的模型假设的前提下,根据油位高度与各弓形面积的关系和弓形面积与油罐体体积的关系,分别对罐体无变位和变位的情况建立积分模型,然后利用附件的实测数据,对模型进行误差分析与拟合修正,最后给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值（结果请见表1）.问题二,在问题一的基础上,首先我们同样采用积分的思想求得罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度a和横向偏转角度b ）之间的一般关系.然后根据对问题二的模型所求得的数据与附件所给的实际检测数据进行运算可以得到理想的a、b值，我们求解得出，.进而利用，得到油位高度间隔为10cm的罐容表标定值（结果请见表2）. 另外在去掉温度对储油量

5、不会产生影响的假设条件下,我们对模型进行了进一步的改进. 为了消除温度的影响,我们考虑了油品的体积随温度变化的关系.利用经验公式.将油品体积全部转化为固定温度下的数据,然后再进行比较分析.关键词：优化处理；拟合；罐容表标定；微积分模型；最小二乘法.一、问题重述通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的油位计量管理系统，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下

6、称为变位），从而导致罐容表发生改变按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定在不考虑外界环境的影响下，现解决如下问题：1为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为的纵向变位两种情况做了实验，得出实验数据并在所得数据的基础上建立数学模型，研究罐体变位后对罐容表的影响，并算出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值2在实际情况下，罐体变位后标定罐容表的标定值与理论上是有偏差的，但也存在着一定的联系，因此问题二需要找出罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度a和横向偏转角度b ）之间的一般关系在对实际情况下罐体变位后进/出油过程中的

7、实际检测数据进行分析与运算后，我们建立一数学模型，并通过其确定变位参数，同时求得罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定二、问题分析储油罐罐体的变位识别是油位计量管理系统中的重要环节之一，而油品的数量管理是加油站等经营部门的基础工作，同时它又在其经营过程中占有重要地位目前，由于地基变形等原因，出现了一些不规范的问题故对罐体变位识别是确定一个规范的、科学的、精确的油位计量管理系统的必要前提问题一要解决的是小椭圆形罐体纵向倾斜变位后对罐容表的影响问题对于此类问题，我们通常利用高等数学中的定积分方法来求解其一般思想为“求和、取极限” 我们根据附件1所给出的小椭圆形罐体在无变位和变位时的进/出油量

8、与油位高度的实验数据最后来修正模型综上所述，先讨论小椭圆形罐体无变位时，储油量与油位高度之间的关系，建立积分模型一并且根据模型求出无变位时的罐容表然后再讨论当储油罐发生纵向倾斜后的情况，建立积分模型二模型二涉及二重积分的知识对模型二分盲区和非盲区两种情况进行讨论其中盲区包含两个部分：一、油面刚好接触油位探测装置底部，此油位探针的读数为0但实际油量不为0；二、油位探针刚好接触储油罐顶部，油位探针的读数为12，但此时储油罐并没有装满对于非盲区情况也需要进行分类讨论最后将模型数据和实测数据通过MATLAB软件进行拟合，我们可以得出两种情况下模型数据与实测数据间的关系，通过该关系进一步对原来的模型进行

9、修正最后确定变位后的罐容表，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值问题二要解决罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度和横向偏转角度）之间的一般关系，且与未知，通过对题意的理解和对图形的分析，我们决定在问题一的基础上运用积分的知识建立数学模型三首先，我们将油罐体横向分为五个部分，并依次求得各部分截面面积；其次，我们又将油罐体纵向分为三个部分，依据之前求得的截面面积，纵向依次对其进行积分运算，从而得到各部分的体积，而油量的总体积即为各部分体积之和，该和式即为罐内油量与油位高度及变位参数与的关系式根据附件2所给出的数据确定与，然后通过对模型数据与实测数据之差（即离差）的平方和求出离

10、差最小时,与的取值，进而确定罐体在变位后油位高度间隔为罐容表标定值最后，再用附件2给定的数据,利用最小二乘法对我们所建立的“罐体纵、横向变位后模型”进行检验.下面为该问题的解法流程图：不变位变位问题一盲区非盲区变位问题二横向纵向特殊一般三、模型假设1 累计进/出油量与罐内油位高度为连续型变量；2 空气对油品的氧化情况不存在，注入油料时没有气泡的存在；3 地下储油罐的外界环境适宜如气压为常压，温度在19200，考虑到数据为8月份的数据，设温度为固定温度30；4 忽略储油罐壁厚和油浮子所占用的体积和罐底污泥厚度；5 系统稳定，不存在信号、噪声等外界因素带来的随机误差，也不考虑观测误差、连续问题离散

11、化所产生的误差，附录所给的数据真实、准确、可靠；6 该储油罐为两端平头且为椭圆的柱体；7 忽略温度对储油罐储油量的影响，储油罐储油量不随温度的变化而变化；8 储油罐密封性好，没有泄露和蒸发损失的情况；9 不考虑液体静压力对罐壁的作用而对油罐容积产生的影响；10储油罐罐壁平滑，不存在变形；11当高度达到1.2时，不再向储油罐内注油， 这是从单位经济效益方面考虑的12忽略油罐内部气体压强对注油这一过程的影响四、符号说明：储油罐截面圆圆心， ； ：变位与无变位罐容表标定值的相似度；：储油罐纵向倾斜的角度，单位为度；：储油罐横向偏转角度，单位为度；：建立三维坐标轴，单位为；：建立三维坐标轴，单位为；：

12、小椭圆型油罐椭圆截面长半轴长，单位为；：小椭圆型油罐椭圆截面短半轴长，单位为；：小椭圆型油罐连续椭圆截面到储油罐罐底的距离，单位为；：以椭圆截面的中心为坐标原点，建立的横坐标，单位为； ：第种情况下油位探针测得储油器的油位的高度， ，单位为；：在第问中第种情况下油罐在点处弓形截面高度，单位为；：第问中第种情况下油罐在阶段形成弓形截面面积与的关系， ，单位为；：在第问中第种情况下储油罐在第部分内的储油量关于的函数， ，单位为；：第种情况下求得的储油量，单位为；：第种情况下给出的储油量，单位为；：第种情况下求得的储油量的绝对误差，单位为；：第种情况下误差调节函数，单位为；：替换变量，单位为m；：储

13、油罐截面圆的半径，单位为；：球冠体球心到的距离，单位为；：储油器的油位的实际高度，单位为；：包含球冠体的球体的半径，单位为；：点纵坐标，单位为；：点的纵坐标，单位为；：储油罐各分段截面的面积，单位为；,:图形上相应的点;:图中相应圆的周长.五、问题一模型的建立与求解5.1 模型一的建立5.1.1 油罐无变位时模型的建立小椭圆型油罐无变位时，油位探针所测得的油位高度与椭圆截面的弓形高度始终是相等的，即此时，小椭圆型平头油罐椭圆截面的弓形面积如图1-1-1中阴影所示： 图1-1-1该椭圆的方程为： ，对阴影部分积分得弓形面积：，由图中弓形所形成的体的体积为： 5.1.2 罐体无变位时模型的求解利用

14、牛顿莱布尼茨公式求解得： （1.1）将给定的无变位时进油量的实验采集的数据和题中已知的数据代入式(11)中，用MATLAB编程求出模型一的结果，将其与给定的数据进行比较分析（程序见附录一）可得误差结果（见附录表1-1）5.1.3 误差分析及修正从附录表1-1中可以看出，绝对误差值随着储油量的增大而增大经分析产生误差的因素有：1油品中的气泡当油品中混有气泡时，由于气泡具有体积，从而使油位探针的读数比实际的读数大，且随着油量的增大气泡的所占的体积也增大；2油品储油罐罐壁的厚度由于储油罐罐壁包括内壁和外壁，我们计算的体积包括壁的厚度所占的体积所以随着油容量的增加，壁厚所占的体积就增大，我们所测量的体

15、积与实际油量的容积差就增大3储油罐的变形储油罐的变形是指罐体壁的凹凸变形，无论是凹还是凸都会使油位探针的读数与实际值不符，当罐壁凹进去时，实际容量比油位探针的读数小；当罐壁凸出来时，实际容量比油位探针的读数大在本题中，由于误差随储油量的增大而增大，因此可以猜测为罐壁凸时的情况；4外界温度油品的性质与外界温度有必然的联系，当外界的温度越高时，油的体积就相对越大为较正误差，我们在MATLAB软件中对附录表1-1中所得出的绝对误差值与油量高度进行了拟合（程序见附录二），得出了校正误差的调节函数关系式如下：，所以得到较正后的函数为：.下图为对理论数据调节前、后的曲线与实际曲线的拟合图，图1-1-2所示

16、：图1-1-2从图中可以看出，修正后的理论数据与实测数据能很好的吻合用MATLAB编程(程序见附录三)求出无变位情况下油位高度间隔为1cm时罐容表标定值（见表一）5.2.1 罐体变位后模型的建立在上面模型的基础上小椭圆型油罐在地基变形的情况下，发生了纵向倾斜角的倾斜，我们建立三维坐标系以油罐身长的延长线作轴，以油罐左底面的纵向对称轴为轴，以垂直于平面过点作轴，如图1-1-4所示：图1-1-31考虑盲部分：由于储油罐发生纵向倾斜，导致储油罐存在有部分油料体积无法准确测得的情况这就是所谓的盲区情况进一步说：所谓的盲区是指由于液位计的选型和安装位置不同形成的无法测量的区域出现盲区的情况又分为两种：(

17、1)第一种盲区情况如图1-1-5（盲区一）所示： 此时，由不变位时模型中椭圆截面弓形面积公式易得： ，积分得阴影部分体积（即盲区一的体积）得：，(2)同理，可得如图1-1-6中阴影部分体积（盲区二）：综上所述：即当满足或者时，测量出油位的高度是有误差的，为了减小误差我们有必要将盲区考虑到模型中去2接下来研究非盲区情况：根据图1-1-4进行分析，可以将非盲区在分为三个部分，这三个部分在图中之间(1)当时，即在之间的区域内：此时的椭圆截面弓形面积公式为： ，求得储油量的公式为 ： ，(2)当时，即在之间的区域内：此时的椭圆截面弓形面积公式为： ，求得储油量的公式为：(3)当时，即在之间的区域内：总

18、之，综合盲区和非盲区情况，可以将整个储油罐的储油量分为五个阶段，得到如下结果： 5.2.2 罐体变位后模型的求解(1)盲区两种情况储油量的计算，利用MATLAB编程求解（程序见附录四），得到结果,.此模型的求解利用MATLAB编程（程序见附录五）将附件1中的变位进油量的实验采集的数据导入，将得出的结果与实际结果进行比较分析可得误差结果（见附录表1-2）MATLAB编程进行误差拟合，得到此模型的误差拟合曲线，即调节函数：对此模型同样用MATLAB编程(程序见附录三)求出变位情况下油位高度间隔为1cm的罐容表标定值如下表一表一：无变位和变位时罐容表标定值高度h/cm无变位时的标定结果(L)倾斜变位

19、时的标定结果(L)高度h/cm无变位时的标定结果(L)倾斜变位时的标定结果(L)高度h/cm无变位时的标定结果(L)倾斜变位时的标定结果(L)01.7111.854412027.8961843.298822891.5472746.86616.4085.358422070.0111886.612832930.6222788.600215.4258.112432112.1021929.996842969.4072830.084327.20511.786442154.1581973.411853007.8872871.388441.18416.610452196.1682016.835863046.

20、0462912.412557.03222.515462238.1202060.289873083.8692953.186674.52529.699472280.0012103.743883121.3402993.671793.49438.123482321.8022147.167893158.4413033.8758113.80847.937492363.5082190.591903195.1563073.7599135.36059.211502405.1092233.946913231.4663113.34310158.06171.925512446.5922277.260923267.35

21、33152.54711181.83386.170522487.9452320.524933302.7983191.42212206.609102.014532529.1562363.688943337.7823229.92613232.331119.498542570.2132406.802953372.2823268.02014258.946138.692552611.1022449.786963406.2783305.69415286.406159.546562651.8112492.671973439.7483342.96816314.668181.990572692.3272535.4

22、05983472.6663379.79217343.692205.755582732.6372578.039993505.0093416.14718373.442230.649592772.7282620.5031003536.7503451.99119403.883256.623602812.5862662.8271013567.8613487.33520434.985283.597611198.8571006.5751023598.3123522.11921466.716311.481621238.9431046.1891033628.0723556.38322499.050340.245

23、631279.2491086.1331043657.1073590.00723531.959369.840641319.7611126.4071053685.3803623.04224565.420400.234651360.4671166.9311063712.8513655.42625599.407431.358661401.3521207.7451073739.4773687.15026633.899463.192671442.4051248.8101083765.2103718.15427668.875495.686681483.6131290.1141093789.9993748.3

24、7828704.312528.850691524.9641331.6781103813.7823777.84229740.192562.575701566.4441373.4421113836.4953806.47730776.494596.929711608.0431415.4061123858.0603834.24131813.202631.823721649.7471457.5701133878.3873860.99532850.296667.247731691.5461499.8951143897.3693886.78933887.760703.181741733.4261542.37

25、91153914.8753911.50334925.577739.605751775.3761585.0231163930.7363935.05835963.730776.490761817.3851627.8071173944.7293957.222361002.204813.834771859.4411670.7011183956.5233977.816371040.983851.628781901.5311713.7251193965.5533996.680381080.053889.802791943.6451756.8301203970.2654013.904391119.39892

26、8.346801985.7711800.024401159.004967.270812852.1972704.9415.2.3 结果检验：用MATLAB编程（程序见附录六）原模型加入了调节函数前后与实际数据拟合的结果如图1-1-7所示，可以看出在加入了调节函数后，模型数据与实际数据能吻合的很好 图1-1-7 变位前后罐容表标定值的相似度，用MATLAB编程求解（程序见附录七）相似度：RR=0998901855248828说明角度小的情况下，这两个模型有很大程度的相似度，同时由于角度很小,两模型得到的结果有很高有相似度,也从实际生活中说明了本模型的正确性；六、问题二模型的建立与求解6.1 罐体纵

27、、横向变位后模型的建立问题二的实物模型是主体为圆柱体，两端为球冠体的储油罐这就比问题一中两端为平头的储油罐模型更具有实际意义模型二的储油罐的倾斜情况分为两种，罐体纵向倾斜变位和罐体横向偏转变位纵向倾斜角度为，横向偏转角度为 其中罐体横向偏转变位的截面示意图如图1-1-8和图1-1-9所示： 图1-1-8 图1-1-9图1-1-8为罐体没有发生偏转时的截面示意图，这时油位探针测量的油位高度为实际高度图1-1-9为罐体发生横向偏转，偏转角度为时的截面示意图此时油位探针所测得的高度记作，而实际高度：罐体发生纵向倾斜变位的示意图如图所示，建立三维坐标系以油罐身长的延长线作轴，以过油罐左球冠表面球心的切

28、线为轴，以垂直于平面过点作轴如图1-1-10所示：图1-1-10半径为15m的圆形截面与轴的切点分别记为点与点油面上有一动点油面与左边球冠体表面的交点记作点，油面与右边球罐体表面的交点记点在平面中点的坐标记为，点的坐标记为油面延伸出去交轴于点，油位探针交轴于点易知，截面弓形为：又因为油罐的高度为，球缺截面形成的弓形的高为，所以有：，得到：由图易得过点、切点、球心的圆球体的圆的方程和过点直线方程，联立：解之，求出点在平面上的横坐标：，同理有：，解之，求出点在平面上的横坐标：经计算得弓形的面积公式为： （3）当出现临界状态时，此时油面与右边球罐体表面的交点记点联立：解之，求出点在平面上的横坐标：6

29、.1.1该模型分为两种情况讨论：一、从横向来看，可以将储油罐划分为五个部分，下面就分别对其进行讨论如图11所示： 图1-1-11 图1-1-12利用图1-1-12，可帮助求解半径和面积（1）当时，所截图形的剖面为一个圆，设圆心为，且与在同一条直线上，求得，因此的半径，所以，的面积：.（2）当，此时油面截罐体所得图形的剖为一个弓形，记半径的截面圆心为，球缺表面到y轴的距离为，弓高为，取与为区间上的极限值，因此，在间任取一个圆，记圆心为，易知、位于同一条直线上，所以依据同样的办法可以求得的半径： ， 所以该弓形的弓高： （4）将式（4）代入公式（3）中得：，（3）当时，由于此时油罐体为一个底面半径

30、的圆柱体，此时所截得的弓形剖面的半径为15，将其代入式（3）得出区间上弓形的面积：（4）当时，此与上述过程相似，油面所截得的图形的剖面仍为一个弓形同样，记半径为15的截面圆心为，球缺表面到y轴的距离为，弓高为采用2过程的方法可以求出：，代入式（3）得到弓形的面积：（5）当时，油面所截得的图形的剖面为一个以为半径的圆，所以该圆的面积为：（6）当，此与上述过程相似，油面所截得的图形的剖面为一个以为半径的圆，所以该圆的面积为：.二、从纵向来看，可以把油罐中的储油量分为四个阶段来研究：当时，依据前面的计算结果得出该区间内油罐中的储油量为：.当时，该时段是以点为临界点，此时的储油量是在的基础上加上范围内

31、的体积，即为：当时，此时即在的基础上加上范围内的体积，即为：当时，此时即在的基础上加上范围内的体积，为：6.1.2 分析液面没有漫过左边球心的情况 由于上述模型对液面没有漫过左边球心时的情况不适应，下面对上述模型进行修正，即当液面未漫过左边球心时，进行如下处理：一、从横向上看，重新将模型横向分为三部分，如上图所示，将模型分为左球缺部分、圆柱体部分、右球缺部分二、从纵向上看，同理可以把油罐中的储油量纵向分为四个阶段来研究：当时， 储油量体积公式为：当（临界状态值）时，体积为：当（临界状态值）时，体积为当时，体积，即为：6.2 罐体纵、横向变位后模型的求解：(1) 、的求解.求得了各个阶段的体积公

32、式后，要得到储油罐的罐容表标定值，首先要得到最理想的和的值由于纵向倾斜角度和横向偏转角度未知，所以附件2中的显示油量容积数据根据的是以前的标定值，我们运用这个数据所求得的和就显得不准确而就如题目所说的，加油站都有与之配套的“油位计量管理系统”，所以附件2中实际测算的显示出油量是准确的，这时计算模型时刻的高度所对应的容积与模型时刻的高度所对应的容积之差，作为模型的出油量数据，记运用离差平方和最小的思想，得到目标函数为，用MATLAB编程（程序见附录八）从而得到和(2)罐容表标定值的求解知道纵向倾斜角度与横向偏转角度以后，得到油位间隔为10cm的罐容表标定值，如表2所示表2:发生纵、横向变位时给出

33、的标定值高度h(cm)标定值(L)高度h(cm)标定值(L)高度h(cm)标定值(L)10361.45711019240.19021046578.200201094.38712021899.00022049120.600302267.84713024615.46023051562.810403751.22714027373.88024053885.800505479.08215030158.92025056068.670607411.60916032955.43026058087.740709518.78217035748.35027059915.0008011775.81018038522.

34、55028061514.8309014161.12019041262.75029062835.17010016655.24020043953.33030063764.0506.3 模型正确性分析附件2所给出的实验数据中以容积为指标.我们用这个模型所求得一组相应的数据，将这两组数据进行对比分析(程序见附录九)，可以得出这两组数据很相似,能很好的拟合(图见附录图1).因此,说明了我们的模型是正确的.另外,我们再次从原始数据中取50组排出量数据,用Excel进行修正,得到的修正后的模型数据，将数据与实验数据进行对比分析，得到使得离差平方和最小的目标函数.在MATLAB中用lsqcurvefit进行最

35、小二乘拟合结果,程序返回的结果为 , ,误差大约为(程序见附录八).此时显示出油量为无变位时的数据，而我们对原始数据修正后得到的数据也相当于是无变位时的数据.因此,这有力的说明模型对于无变位和变位时的情况都实用.综上所述:首先,我们的模型是正确的;其次,又通过最小二乘拟合,程序返回 , ,说明我们模型广泛实用性.七、模型评价7.1 模型优点:通过对模型的分析，验证了其的可靠性，该模型计算过程清晰简单，并且可以通过MATLAB快速求解，为加油站等储油行业提供了方便可行的测定标定值的方法具有重要的实际意义和较高的应用价值.模型一研究的是无变位情况下的储油罐.我们考虑到储油量与油位高度是连续变量，将

36、模型一建立为积分模型.利用模型数据与实测数据得出模型一的调节函数.对模型一进行了准确的误差分析与修正,考虑到了变量的连续性，研究和的极限值等因素，这比一般非积分模型的计算更为精确、连贯.模型二研究的是变位情况下的储油罐.变位涉及的情况有很多种，我们考虑到了各种储油情况下储油量的计算.模型二建立的是相当完善的.模型三的研究对现实生活更具有意义.我们建立了更符合客观情况的积分模型.利用软件编程得到、的最优值.并且利用修正后的模型数据和实测数据进行拟合，再次验证了我们模型的准确性,可靠性,最后,用我们的模型得到合适的罐定表标定值.7.2.模型缺点：基本上模型数据与实测数据的差异来源于外界环境的影响，

37、如：温度对储油量的影响，还有其他很多因素对模型结果的正确性都有影响.为了模型的简洁性,我们忽略了一些次要的因素.八、模型改进与推广8.1 模型改进8.1.1问题一中对油罐变位情况的进一步讨论上述模型我们只考虑了油罐向左下方倾斜时的情况，下面我们简单说明油罐向右下方倾斜的状况.如图1-1-13所示,当储油罐向右下方倾斜时，我们看到所谓的时盲区区域比向左下方倾斜的盲区区域大，.但是从加油站的效益角度出发，这种向右下方倾斜情况我们应该尽量去避免.图1-1-138.1.2 问题一模型考虑温度后改进由误差分析的数据结果可知，温度对储油量的影响是不能够忽略的，可以说大量的油品的体积随着温度的变化是明显的.

38、为了消除温度的影响，我们还考虑了油品的体积随温度变化的关系.一般来说，由经验公式： 这样，我们就可以把油品体积全部转化为固定温度下的数据，然后再进行计算.可得到相对准确的储油量体积.8.2 模型推广本题所建立的三种模型都是应用的微积分的思想，所以，首先从微积分本身的角度来讲，其应用是非常广泛的，目前，人们借助微积分的知识在力学、天文学、物理学等领域已取得了重要的成就；其次，本题中的三个模型都是解决储油量的问题，其思想在现实生活中具有广泛的应用，例如该模型还可以应用到水电站对供水储水问题的研究，只需改变相应的参数即可完全替换从而解决问题；另外，模型三中在对参数进行确定的过程也可以应用到零件设计等

39、方面.参考文献1 周品，何正风等主编，MATLAB数值分析，北京：机械工业出版社.2009.90-91,242-245.2 龚德恩，范培华编，微积分，北京：高等教育出版社.2008.183-194,261-271.3 周义仓，赫孝良编，数学建模实验，西安:西安交通大学出版社.1999.91-107.4 同济大学应用数学系编，高等数学，北京：高等教育出版社.2008.117-145.5 王庚，数学建模融入微积分教学单元，大学数学，2006-04期.6 王世杰，曲面积分在数学建模上的应用研究，河北建筑工程学院学报， 2008-01期.7 孙宏达，用逼近法计算横截面为椭圆形（圆形）储油罐储油体积，管

40、件与设备，2009-03期8 杜英坤，储油罐实时监测与管理系统的设计与实现，信息化纵横，2009-12期9 孙金发，卧式油罐容积检定计算疑难点探讨，石油商城，第18卷15期.附录附录一：用MATLAB编程得出无变位进油的理论的结果与给定的结果分析format long esyms x yb=0.89；c=0.6；m=xlsread(f：问题A附件1：实验采集数据表.xls，无变位进油，D2：D79)/1000； %读入高度数据并统一单位；VV=(b*(m-c)/c.*sqrt(2*c*m-m.2)+b*c*asin(m-c)/c)+pi*b*c/2)*1000*2.45-262； %代入公式求

41、容量并减去罐内油量初值262L；V1=vpa(VV，8) %保留有效数字；V2=xlsread(f：问题A附件1：实验采集数据表.xls，无变位进油，C2：C79)； %读入体积数据；DV=V1-V2； %绝对误差；dv=vpa(DV，6) %对绝对误差进行合适处理；P=polyfit(m，VV，3) %将高度作为自变量，误差作为因变量，进行三次拟合；PP=polyval(P，m)； %取点；plot(m，VV，bo，m，PP，r) %作图，看看拟合的效果；VZ=poly2sym(P)； %还原到多项式中；VZ=vpa(VZ，4) %处理；附录二：对模型一用进行误差拟合；clcformat l

42、ong esyms x yb=0.89；c=0.6；m=xlsread(f：问题A附件1：实验采集数据表.xls，无变位进油，D2：D79)/1000； %读入高度数据并统一单位；VV=(b*(m-c)/c.*sqrt(2*c*m-m.2)+b*c*asin(m-c)/c)+pi*b*c/2)*1000*2.45-262； %代入公式求容量并减去罐内油量初值262L；V2=xlsread(f：问题A附件1：实验采集数据表.xls，无变位进油，C2：C79)； %读入体积数据；DV=VV-V2； %绝对误差；DV=double(DV)；P=polyfit(m，DV，3) %将高度作为自变量，误差

43、作为因变量，进行三次拟合；PP=polyval(P，m)； %取点；title(调节函数拟合结果)plot(m，DV，bo，m，PP，r) %作图，看看拟合的效果；VZ=poly2sym(P，h)； %还原到多项式中；VZ=vpa(VZ，8) %处理；附录三：无变位和变位情况下油位高度间隔为1cm时罐容表标定值clcformat long esyms x yb=0.89；c=0.6；m=0：0.01：1.2； %控制区间；V1=(b*(m-c)/c.*sqrt(2*c*m-m.2)+b*c*asin(m-c)/c)+pi*b*c/2)*1000*2.45-262-(-84.029792*m.3

44、+150.64977*m.2+58.215842*m-1.7108249)+262；%代入公式求容量并加上罐内油量初值262L；h=0：0.01：1.2；V2 =-(.8909e-54*(.1744e35-.5192e36*h.2+.5933e36*h).(3/2)-.3600*asin(1.667*h-.9522).*h.+.2057*asin(1.667*h-.9522)-.4996e-18*(.1744e35-.5192e36*h.2+.5933e36*h).(1/2)-.9932e-1.-.4562e-51*(-.1606e34-.8113e34*h.2+.1212e35*h).(3/

45、2)+.3600*asin(1.667*h-1.245).*h-.2689*.asin(1.667*h-1.245)+.3997e-17*(-.1606e34-.8113e34*h.2+.1212e35*h).(1/2)*1000*0.89/0.6*cot(4.1*pi/180)+215+.55032e-3*h.3-.69302e-3*h.2-.58276*h+104.10； %积分得到的模型的公式加上误差调节函数， 同时注意此处加上罐体倾斜变位进油是，罐内油量初值215LV1 %给出无变位时每间隔1cm时的标定；V2 %给出倾斜变位时每间隔1cm时的标定；附录四：求得盲区两种情况下的储油量p

46、=4.1*pi/180；x=0：0.00001：0.89*sqrt(1-(0.6-0.4*tan(p)2/0.62)；f=2*(0.6*sqrt(1-x.2/0.892)-(0.6-0.4*tan(p).2/2/tan(p)*1000；vm1=trapz(x，f)x1=0：0.00001：0.89*sqrt(1-(0.6-2.05*tan(p)2/0.62)；f1=2*(0.6*sqrt(1-x1.2/0.892)-(0.6-2.05*tan(p).2/2/tan(p)*1000；vm2=trapz(x1，f1)vm1 %盲区一的容量；vm2 %盲区二的容量；附录五：问题一油罐变位时的函数求解

47、c=0.6；syms m y z；p=4.1*pi/180；m=xlsread(f：问题A附件1：实验采集数据表.xls，倾斜变位进油，D2：D54)/1000；%读入高度数据并统一单位；for i=1：length(m) m=m(i)； if m=0 sprintf(%f， 9.740076199628695e+001) elseif m0 f1=2*b/c*(pi*c2/4-(c-(m-(y-0.4)*tan(p)/2*sqrt(c2-(c-(m-(y-0.4)*tan(p).2)-c2/2*asin(c-(m-(y-0.4)*tan(p)/c)； f11=int(f1，y，0，0.4+h

48、*cot(p)； vpa(f11，6)； sprintf(%f，1000*f11) elseif m=2.05*tan(p) f1=2*b/c*sqrt(b2-z2)； zlower=-b； zupper=-b+m-(y-0.4)*tan(p)； f11=1000*int(int(f1，z，zlower，zupper)，y，0，2.45) elseif m=1.2-0.4*tan(p) f1=2*b/c*sqrt(b2-z2)； zlower=b-m+(y-0.4)*tan(p)； zupper=b； f11=int(int(f1，z，zlower，zupper)，y，0.4-(1.2-h)*

49、cot(p)，2.45)+pi*b*c*(0.4-(1.2-m)*cot(p)； sprintf(%f，1000*f11) elseif m=1.2 sprintf(%f，9.740076199628695e+001) end end附录六：问题一变位时调节前后与实际曲线的对比clccfgformat long eh=xlsread(f：问题A附件1：实验采集数据表.xls，倾斜变位进油，D2：D54)/1000；L=xlsread(f：问题A附件1：实验采集数据表.xls，倾斜变位进油，c2：c54)+215；Lq=xlsread(f：tiaoqian.xls，a1：a53)；Lh=Lq-(

50、.55032e-3*h.3-.69302e-3*h.2-.58276*h+104.10)；plot(h，L，k，h，Lq，bo，h，Lh，gh)title(变位时调节前后与实际曲线的对比)；legend(实际曲线，调节前曲线，调节后曲线)xlabel(高度h(m)，ylabel(容量V（L）) 附录七：问题一求变位前后标定表的相似度求R的程序：clcformat long ev1=xlsread(f：biaoding_result，b2：b1122)；v2=xlsread(f：biaoding_result，c2：c1122)；r=dot(v1，v2)/(norm(v1)*norm(v2)附录

51、八：用最小二乘法对实际数据进行拟合求出a，b值，并找到V与h的关系clcR=1.625；r=1.5；syms a b y h%读入高度h数据；h=xlsread(f：问题A附件2：实际采集数据表.xls，实际储油罐的采集数据，e2：e303)/1000； %读入高度数据并统一单位；v=xlsread(f：问题A附件2：实际采集数据表.xls，实际储油罐的采集数据，f2：f303)/1000； %读入体积；t22=h+(3-y)*tan(a)；%求横向偏转倾斜后b角所产生的影响；h1=r+(h-r)*cos(b)； %r为半径=1.5，h与测量高度，h1为实际高度；%下面写出点p1，p2关于h1

52、，a，b的关系式；yp1=(3.25+2*(h1+3*tan(a)-1.5).*tan(a)/2./(sec(a)2-sqrt(3.25+2*(h1+3*tan(a)-1.5).*tan(a).2-(2*(h1+3*tan(a)-1.5).*sec(a).2)./(2*sec(a)yp2=(16.75+2*(h1+3*tan(a)-1.5).*tan(a)/2./sec(a)+sqrt(16.75+2*(h1+3*tan(a)-1.5).*tan(a).2-4*(h1+3*tan(a)-1.5).2-16.752+8.3752).*sec(a)./(sec(a).2/2%在y属于0到yp1上，

53、面积s1如下；s1=pi*(R2-(R-y).2)； %R为球缺的半径=1.625；%在y属于yp1到1上，面积s2如下；s2=(pi-acos(t22-1.5)/(sqrt(R2-(R-y).2)*(R2-(R-y).2)+(t22-1.5)*sqrt(1.6252-(y-1.625).2-(t22-1.5).2)%在y属于1到9上，面积s3如下；s3=(pi-acos(t22-1.5)/1.5)*1.52+(t22-1.5)*sqrt(3*t22-t22.2)；%在y属于9到yp2上，面积s4如下；s4=(pi-acos(t22-1.5)/(sqrt(R2-(8.375-y).2)*(R2

54、-(8.375-y).2)+(t22-1.5)*sqrt(1.6252-(y-8.375).2-(t22-1.5).2)%在y属于yp2到10上，面积s5如下；s5=pi*(R2-(8.375-y).2)%纵向看，将油罐分为三个部分；%当h1从0到6tan(a)时，体积V1如下；V1=int(s1，y，0，yp1)+int(s2，y，yp1，1)+int(s3，y，1，3+h1*cot(a)；%当h1从6tan(a)到7*tan(a)+1.5时，体积V2如下；V2=int(s1，y，0，yp1)+int(s2，y，yp1，1)+int(s3，y，1，3+h1*cot(a)+int(s4，y，9，yp2)；%当h1从7tan(a)+1.5到3时，体积V3如下；V3=int(s1，y，0，yp1)+int(s2，y，yp1，1)+int(s3，y，1，3+h1*cot(a)+int(s4，y，9，yp2)+int(s5，y，y