棋盘中的数学问题二

《棋盘中的数学问题二》由会员分享，可在线阅读，更多相关《棋盘中的数学问题二（8页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、 第五讲 棋盘中的数学问题（二）一、知识要点1学习二人对弈游戏中的基本思考方法：逆推法2掌握数学游戏中失败点和胜利点之间的关系，并能准用语言准确描述“必胜策略”3. 棋盘中的计数问题 4. 用构造法解决存在性问题，掌握构造的一般技巧和基本规律；学习染色问题的基本思想，可以借助这一思想解决一些和棋盘表格相关的构造论证类题目；掌握染色问题的技巧：双色染色，多色染色。以及间隔染色，行列染色，区域染色二、典型例题例1. 如图是一个4阶的幻方。一次操作是指对一行（或者一列）的四个方格中的每一个数加上或者减去相同的自然数，那么是否可以经过有限步的操作使得图1中的4阶幻方变为图2中的形式。能则给出一种操作，

2、不能则说明理由。否，黑白的差永远为01357101103105107201203205207301303305307000001011010010030000000 图1图2例2将2011个小格排成一行，左起第一个格中放一枚棋子，甲、乙两人交替走这枚棋子（甲先走），每步可移动1格、2格或3格，但只能向右移动，1）如果规定先走到最后一格者为胜，那么_有必胜的策略，该如何走； 2）如果规定先走到最后一格者为负，那么_有必胜的策略，该如何走思考：将2010个小格排成一行，左起第一个格中放一枚棋子，甲、乙两人交替走这枚棋子（甲先走），每步可移动1格、2格或3格，但只能向右移动，1）如果规定先走到最后一

3、格者为胜，那么_有必胜的策略，该如何走； 2）如果规定先走到最后一格者为负，那么_有必胜的策略，该如何走例3仔细阅读，制定策略回答下列问题：1）在一个33的方格棋盘的左上角方格中放有一枚棋子。甲先乙后，轮流走这枚棋子，每人每次只能向下、向右或右下走1格，谁走到右下角方格谁获胜，_（填“甲”或“乙”）能必胜，请详细叙述他必胜的策略： 2）在一个55的方格棋盘的左上角方格中放有一枚棋子。甲先乙后，轮流走这枚棋子，每人每次只能向下、向右或右下走1格，谁走到右下角方格谁获胜，_（填“甲”或“乙”）能必胜，请详细叙述他必胜的策略：3）如果是1010的方格，那么 有必胜策略，请详细叙述他必胜的策略: 例4

4、仔细阅读，制定策略回答下列问题： 1）、一个44的方形棋盘上每格都有一个按钮与一盏不亮的灯，按一个按钮就能使得与其同行和同列的灯状态改变一次例如原来亮的变为不亮；原来不亮的变亮是否存在一个按按钮的方法，使得所有的灯全部变亮？能则给出一种方法，不能则说明理由；2）、一个20102010的方形棋盘上每格都有一个按钮与一盏不亮的灯，按一个按钮就能使得与其同行和同列的灯状态改变一次例如原来亮的变为不亮；原来不亮的变亮是否存在一个按按钮的方法，使得所有的灯全部变亮？能则给出一种方法，不能则说明理由； 3）、如果是一个20102011的方格，那么是否存在使得所有灯全部变亮的方法；如果有至少按多少次；如果没

5、有，请说明理由； 例5某影院有31排,每排101个座位.某天放映了两场电影,每个座位上都坐了一个观众.如果要求每个观众在看第二场电影时必须跟他(前、后、左、右)相邻的某一观众交换座位,这样能办到吗?为什么? .例6.能否用1个田字和15个T字纸片,拼成一个88的正方形棋盘? 例7. 仔细阅读，制定策略回答下列问题：1）中国象棋的马走“日”字,车走横线或竖线,下图是半张中国象棋盘,试回答下面的问题: 一只马从起点出发,跳了n步又回到起点.证明:n一定是偶数.ABAB2）中国象棋的马走“日”字,车走横线或竖线,右上图是半张中国象棋盘,试回答下面的问题: 一只马能否跳遍这半张棋盘,每一点都不重复,最

6、后一步跳回起点?例8如图，一个44方格表内填有116这16个自然数，现在从填有1的方格出发，每一步可以走到相邻的方格中（有一条公共边的方格），并且每个方格至多经过一次，最后走到填有2的方格，那么所走到的全部方格中，填的数之和最大可能是多少？例9. 甲、乙两人轮流在国际象棋的棋盘上摆放棋子“象”，使得互相之间不会被吃（不考虑象的颜色）。谁不能再放就算输，那么采取什么样的策略可以获胜？（注：国际象棋中，象可以吃掉与它在同一条斜线上的其他棋子）例10.（思考题）在平面上有一个48的方格棋盘，棋子每步跳至23矩形的另一角(如图的八个方向之一)，那么能否从棋盘上某一点出发，让棋子按一定的方法不重复不遗漏

7、地走遍棋盘上所有空格？例11如图，一个转盘被分为内外两部分，用五条半径平均分割开这个转盘，其中内部的小圆盘固定不动，外部的圆环可以随意转动（要求转动后必须使得分割线重新组成半径）。请把数字0到9填入这10个区域中，使得不管外环如何转动，总有大圆的一个扇形内的两部分所填数字之和为9。例12.在1010的方格表中最少要放多少个22的小方格才能保证不能再往表格中放入22的小方格，使它不与已放的小方格相交？例13. 空间6个点,任三点不共线,对以它们为顶点的线段随意涂以红色或蓝色,请证明必存在一个同色三角形；例14. 纸上画有的长条表格，甲、乙两人轮流给表格染色，每次可以选择连续的两格或者三格染色，直

8、到有一个人无法进行染色，则这个人为失败者。先染色的人是否有必胜策略？三、练习题1、能否将1至12排成一圈，使得相邻的两个数之差为5或者7。能则给出一个例子，否则给出证明；2、请在右图中的每个空格内填入一个整数，使得对于第一行的每个数，它在第二行中出现的次数刚好等于该列第三行中所填的数，而它在第三行中出现的次数又恰好等于该列第二行中所填的数。*3、如图所示，在66的警戒方格内，每个哨所可以监视横、竖、斜方向的全部单位方格，现在已经建了两个哨所。请你挑选一个方格，再建立一个哨所，使得所有的方格都被监视到。4、(1) 将1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字排列在圆周上，使得任意相邻两数的差（

9、大减小）不小于3且不大于5(2) 如果改为1至10这10个自然数呢？(3) 如果改为1至11这11个自然数呢？5、两人作移火柴棍的游戏，游戏的规则如下：两人从一堆火柴棍中可轮流移走17根，直到移尽为止。挨到谁移最后一根就算谁输。如果开始时有101根火柴，则先移的人第一次应该移动（）根火柴棍，才能保证在游戏中获胜。6、能否将1，2，3，9，10排成一行，使得任意相邻三个数之和都不大于16?能否使得任意相邻三个数之和都不大于15？7、有3堆石子，每次可以从这三堆中同时拿走相同数目的石子(各次这个数目可以改变)，也可以由一堆中取一半石子放入另外任一堆石子中。请问： 1) 如果开始时，3堆石子的数目分

10、别是34、55、82，按上述操作，能否把3 堆石子都拿光? 2) 如果开始时，3堆石子的数目分别是80、60、50，按上述操作，能否把3堆石子都拿光? 如果可以，请设计一种取石子的方案； 如果不可以，请说明理由。8、将49个人站成77的队列，是否存在一种换位方案，使得这49个人全都站到与自己原来所在位子相邻的位子上去。能则给出一种方案，否则给出证明。9、能不能用14的长方形纸片拼成一个66的正方形棋盘？10、平面上有5个顶点，将这5个顶点两两间用线段连接，得到10条线段，并把这些线段用红色和黄色任意的染色，请给出一种染色方法，使得不存在同色边三角形。11、在平面上有一个1010的方格棋盘，在棋

11、盘的正中间摆好36枚棋子，它们被摆成一个66的正方形。按下面的规则进行游戏:每一枚棋子都可沿水平方向或竖直方向越过一枚相邻的棋子，放进紧挨着这枚棋子的空格中，并把越过的这格棋子取出来。那么是否存在一种走法，使棋盘上最后恰好剩下一枚棋子？四、练习题参考答案1、能否将1至12排成一圈，使得相邻的两个数之差为5或者7。能则给出一个例子，否则给出证明；解: 能。例如排成1，6，11，4，9，2，7，12，5，10，3，8。2、请在右图中的每个空格内填入一个整数，使得对于第一行的每个数，它在第二行中出现的次数刚好等于该列第三行中所填的数，而它在第三行中出现的次数又恰好等于该列第二行中所填的数。解：设第二

12、行依次填入.那么 .由此易求出答案为：第二行为3，1，1，1，0，0；第三行为2，3，0，1，0，0.*3、如图所示，在66的警戒方格内，每个哨所可以监视横、竖、斜方向的全部单位方格，现在已经建了两个哨所。请你挑选一个方格，再建立一个哨所，使得所有的方格都被监视到。4、(1) 将1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字排列在圆周上，使得任意相邻两数的差（大减小）不小于3且不大于5(2) 如果改为1至10这10个自然数呢？(3) 如果改为1至11这11个自然数呢？解： 1) 能。例如1，5，9，4，8，3，7，2，62）不能3）不能5、两人作移火柴棍的游戏，游戏的规则如下：两人从一堆火柴棍中

13、可轮流移走17根，直到移尽为止。挨到谁移最后一根就算谁输。如果开始时有101根火柴，则先移的人第一次应该移动（）根火柴棍，才能保证在游戏中获胜。解：4根 两人移动的和6、能否将1，2，3，9，10排成一行，使得任意相邻三个数之和都不大于16?能否使得任意相邻三个数之和都不大于15？解：前一种能。例如10，1，5，8，2，6，7，3，4，9。 后一种不能，实际上，至少有一端的数小于或等于9，从而除掉这一端，剩下的9个数之和至少是559=46，这9个数分成三段，每段3个数，必有一段3个数的和大于15。7、有3堆石子，每次可以从这三堆中同时拿走相同数目的石子(各次这个数目可以改变)，也可以由一堆中取

14、一半石子放入另外任一堆石子中。请问： 1) 如果开始时，3堆石子的数目分别是34、55、82，按上述操作，能否把3 堆石子都拿光? 2) 如果开始时，3堆石子的数目分别是80、60、50，按上述操作，能否把3堆石子都拿光? 如果可以，请设计一种取石子的方案； 如果不可以，请说明理由。解：1)能. 例如(34,55,82)-(0,21,48)-(24,21,24)-(4,1,4)-(2,3,4)-(0,1,2)-(1,1,1)0-(0,0,0).2) 不能. 实际上，3堆石子总和被3除的余数保持不变.若开始数目为80,60,50，那么无论怎样操作，3堆石子总和被3除的余数为1，不可能全变为0.8

15、、将49个人站成77的队列，是否存在一种换位方案，使得这49个人全都站到与自己原来所在位子相邻的位子上去。能则给出一种方案，否则给出证明。证明：交替染色。9、能不能用14的长方形纸片拼成一个66的正方形棋盘？解: 如图染色即可证明. 每个14的长方形纸片将盖住3个黑的1个白的，或者3个白的1个黑的. 设前一类有x个，后一类有y个. 那么x+y=9且3x+y=10. 无非负整数解.注：因为棋盘太小，也可以不用染色法，而直接枚举所有可能的拼法来证明原结论.从一角开始讨论将使得讨论的情况大为减少。10、平面上有5个顶点，将这5个顶点两两间用线段连接，得到10条线段，并把这些线段用红色和黄色任意的染色

16、，请给出一种染色方法，使得不存在同色边三角形。解：构造一个答案如图，实线和虚线代表两种不同的颜色。要点：每个点连出的四条线段一定是两红两黄。11、在平面上有一个1010的方格棋盘，在棋盘的正中间摆好36枚棋子，它们被摆成一个66的正方形。按下面的规则进行游戏:每一枚棋子都可沿水平方向或竖直方向越过一枚相邻的棋子，放进紧挨着这枚棋子的空格中，并把越过的这格棋子取出来。那么是否存在一种走法，使棋盘上最后恰好剩下一枚棋子？解：按如图的方式，将整个棋盘的每一格都分别染上灰、白、黑三种颜色，这种染色方式将棋盘分成了三个部分。按照游戏规则，每走一步，有两种颜色方格中的棋子数分别减少了1个，而第三种颜色的棋子数增加了一个。这表明每走一步，每个部分的棋子的奇偶性要发生改变。因为一开始时，36枚棋子摆成一个66的正方形，显然三个部分的棋子数是相同的，从而每走一步，三部分中的棋子数的奇偶性是相同的。如果走了若干步以后，棋盘上恰好剩下一枚棋子,则两部分上的棋子数为偶数（0），而另一部分上的棋子数为奇数（1）。这种结果是不可能出现的。