概率论基本概念课件

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1、随机事件及其运算随机事件及其运算第一节第一节 n随机事件随机事件n随机事件的概率随机事件的概率n随机事件的公理化定义及其性质随机事件的公理化定义及其性质n条件概率和乘法公式条件概率和乘法公式n全概率公式与全概率公式与BayesBayes公式公式n试验的独立性与独立试验概型试验的独立性与独立试验概型u确定性现象确定性现象 Certainty phenomenan 在在101325a的大气压下，将纯净水加热到的大气压下，将纯净水加热到 100时必然沸腾时必然沸腾n 垂直上抛一重物，该重物会垂直下落垂直上抛一重物，该重物会垂直下落 u随机现象随机现象 Random phenomenan掷一颗骰子，可

2、能出现掷一颗骰子，可能出现1，2，3，4，5，6点点n抛掷一枚均匀的硬币，会出现正面向上、反面向上抛掷一枚均匀的硬币，会出现正面向上、反面向上 两种不同的结果两种不同的结果什么是概率论什么是概率论概率论就是研究概率论就是研究随机随机现象的统计规律性的数学学科现象的统计规律性的数学学科随机试验随机试验 Random Experimentsu 试验在相同的条件下可重复进行试验在相同的条件下可重复进行u 每次试验的结果具有多种可能性，而且在试验之前可每次试验的结果具有多种可能性，而且在试验之前可 以确定试验的所有可能结果以确定试验的所有可能结果u 每次试验前不能准确预言试验后会出现哪一种结果每次试验

3、前不能准确预言试验后会出现哪一种结果 上抛一枚硬币上抛一枚硬币在一条生产线上，检测产品的等级情况在一条生产线上，检测产品的等级情况 向一目标射击向一目标射击实例n 在随机试验中，可能出现也可能不出现，而在大量在随机试验中，可能出现也可能不出现，而在大量重复试验中具有某种规律性的事件叫做重复试验中具有某种规律性的事件叫做随机事件随机事件(random Events )，简称，简称事件事件（Events) n 随机事件通常用大写英文字母、等表示随机事件通常用大写英文字母、等表示例如： 在抛掷一枚均匀硬币的试验中，在抛掷一枚均匀硬币的试验中，“正面向上正面向上”是是一一 个随机事件，可用个随机事件，

4、可用正面向上正面向上表示表示 掷骰子，掷骰子，“出现偶数点出现偶数点”是一个随机事件，试验是一个随机事件，试验结果为结果为2，4或或6点，都导致点，都导致“出现偶数点出现偶数点”发生。发生。 随机事件随机事件 random EventsnA= 硬币正面向上硬币正面向上，B=硬币反面向上硬币反面向上，nC=骰子出现偶点数骰子出现偶点数n 必然事件，用必然事件，用 U 表示；表示；n不可能事件，用不可能事件，用 表示。表示。n基本事件，必然出现而且只可能出现一个结果的事基本事件，必然出现而且只可能出现一个结果的事件，例如件，例如A、BnC：复合事件。：复合事件。随机事件随机事件 random Ev

5、ents 基本事件与样本空间基本事件与样本空间n样本点样本点 Sample Pointn 样本空间样本空间 Sample Spacen 例：例： 随机试验中的每一个可能出现的试验结果称为这随机试验中的每一个可能出现的试验结果称为这个试验的一个个试验的一个 样本点样本点 ，记作，记作 全体样本点组成的集合称为这个试验的全体样本点组成的集合称为这个试验的样本空间样本空间，记作记作 S 即即e,21neeeS 21硬硬币币出出现现反反面面，硬硬币币出出现现正正面面 ee,211eeS S=| 0 T E4: 在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命E2: 射手向一

6、目标射击，直到击中目标为止射手向一目标射击，直到击中目标为止E3: 从四张扑克牌从四张扑克牌J,Q,K,A任意抽取两张任意抽取两张。E1: 掷一颗匀质骰子，观察骰子出现的点数掷一颗匀质骰子，观察骰子出现的点数S=1,2,S=(J,Q),(Q,A)S=1，2，3，4，5，6n写出下列试验的样本空间写出下列试验的样本空间点数：一维离散型随机变量点数：一维离散型随机变量射击次数：一维离散型随机变量射击次数：一维离散型随机变量寿命：一维连续型随机变量寿命：一维连续型随机变量二维离散型随机变量二维离散型随机变量事件的关系与运算事件的关系与运算 给定一个随机试验，设给定一个随机试验，设 S S 为其样本空

7、间，事件为其样本空间，事件，A Ak k ( k =1 , 2 , 3 , . ) ( k =1 , 2 , 3 , . ) 都是都是 S S 的的子集子集事件事件事件之间的关系与事件的运算事件之间的关系与事件的运算集合集合集合之间的关系与集合的运算集合之间的关系与集合的运算u 事件发生必然导致事件发生事件发生必然导致事件发生 子事件子事件 (事件的包含事件的包含Contain ）ABBABAu 事件的样本点都是事件的样本点事件的样本点都是事件的样本点例如例如抛掷两颗骰子，观察出现的点数抛掷两颗骰子，观察出现的点数A=A=出现出现1 1点点 B=B=出现奇数点出现奇数点 事件是事件的事件是事件

8、的子事件子事件 记作记作ABS相等事件（相等事件（Equal）BAAB且A=BBA事件事件A与事件与事件B含有相同的样本点含有相同的样本点 例如：在投掷一颗骰子的试验中，事件例如：在投掷一颗骰子的试验中，事件“出现偶数点出现偶数点” 与事件与事件“出现出现2，4或或6点点”是相等事件。是相等事件。Su 事件事件A A与事件与事件B B至少有一个发生至少有一个发生ABAB和事件和事件 Union121nniiAAAA=121niiAAAA=u 由事件由事件A A与事件与事件B B所有样本点组成所有样本点组成u 多个事件的和多个事件的和和事件和事件ABAB发生发生A发生或发生或B发生发生 S积事件

9、积事件IntersectionBAn1iin21AAAA1iin21AAAAu 多个事件的积多个事件的积u 由事件和事件的公共样本点组成由事件和事件的公共样本点组成 积事件积事件ABAB发生发生 事件和事件同时发生事件和事件同时发生S互斥事件互斥事件 (互不相容事件互不相容事件) ExclusiveABu 事件事件A A与事件与事件B B不能同时发生不能同时发生u 事件事件A A与事件与事件B B没有公共的样本没有公共的样本点点事件事件A与事件与事件B互斥互斥 AB= SAAA ( )AAAA AA对立事件对立事件 Contraryu 事件事件A A不发生不发生u 是由所有不属于是由所有不属于

10、A的样本点组成的样本点组成u 性质性质cA记作记作 S 差事件差事件 DifferenceABu 由属于事件由属于事件A A但不属于事件但不属于事件B B的样本点组成的样本点组成,BABA差事件差事件A-BA-B发生发生 事件事件A A发生且事件发生且事件B B不发生不发生性质性质 ABAABSVenn图演示集合的关系与运算事件之间的运算律事件之间的运算律u 交换律交换律 ABBAABBAu 结合律结合律 ()()A BC AB Cu 分配律分配律 ()()()A BCABAC)CA)(BA()BC(Au 摩根律摩根律 BAABBABA完备事件组完备事件组121,nA AA（ ）互不相容122

11、nAAA （ ）12,nA AA完备事件组完备事件组 1A2A3A4AS概率论基本概念课件概率论概率论 集合论集合论样本空间（必然事件）样本空间（必然事件） S S 全集全集不可能事件不可能事件 空集空集子事件子事件 ABB 子集子集ABB和事件和事件 ABB 并集并集ABB积事件积事件 ABB 交集交集ABB 差事件差事件 A-B-B 差集差集A-B-B 对立事件对立事件 补集补集 AA某射手向目标射击三次，用某射手向目标射击三次，用 表示第表示第 次次击中目标击中目标iAi试用试用 及其运算符表示下列事件及其运算符表示下列事件：1,2,3,i iA（1 1） 三次都击中目标：三次都击中目标

12、： 123A A A（2 2） 至少有一次击中目标至少有一次击中目标： 123AAA（3 3） 恰好有两次击中目标：恰好有两次击中目标： 123123123A A AA A AA A A（4 4） 最多击中一次：最多击中一次： 121323A AA AA A（5 5）至少有一次没有击中目标：至少有一次没有击中目标： 123123AAAA A A（6 6）三次都没有击中目标：三次都没有击中目标： 123123A A AAAA例：复合事件的表示例：复合事件的表示A,B,CA,B,C为同一样本空间的随机事件，为同一样本空间的随机事件，试用试用A A，B B，C C的运算表示下列事件的运算表示下列事件

13、1 1） A A，B B，C C 都不发生都不发生2 2） A A与与B B发生，发生，C C不发生不发生3 3） A A，B B，C C 至少有一个发生至少有一个发生4 4） A A，B B，C C 中恰有二个发生中恰有二个发生5 5） A A，B B，C C 中至少有二个发生中至少有二个发生6 6） 事件事件3 3）的对立事件）的对立事件ABCABCABCABCABBCACABCABCABCABC随机事件的频率随机事件的频率FrequencymnA=“出现正面出现正面”( )nfA( )nmfA 事件A出现的次数试验总次数nu随机试验随机试验抛掷一枚均匀的硬币抛掷一枚均匀的硬币u试验总次数

14、试验总次数n 将硬币抛掷将硬币抛掷n次次u随机事件随机事件u事件事件A出现次数出现次数m出现正面出现正面m次次u随机事件的频率随机事件的频率德德.摩摩 根根 试试 验验 者者 抛抛 掷掷 次次 数数n 出现正面的次数出现正面的次数m 出现正面的频率出现正面的频率m/n 2048 1061 0.518 蒲蒲 丰丰 4040 2048 0.5069 皮尔逊皮尔逊 12000 6019 0.5016 皮尔逊皮尔逊 24000 12012 0.5005 维维 尼尼 0.4998 14994 30000 抛掷硬币的试验抛掷硬币的试验Experiment of tossing coinu历史纪录历史纪录u

15、程序模拟程序模拟抛掷硬币模拟试验抛掷硬币模拟试验 随机事件随机事件A在相同条件下重复多次时，事件在相同条件下重复多次时，事件A 发发生的频率在一个固定的数值生的频率在一个固定的数值p附近摆动，随试验次数附近摆动，随试验次数的增加更加明显的增加更加明显频率和概率频率和概率u 频率的稳定性频率的稳定性u 事件的概率事件的概率 事件事件A的频率稳定在数值的频率稳定在数值p，说明了数值，说明了数值p可以用可以用来刻划事件发生可能性大小，可以规定为事件来刻划事件发生可能性大小，可以规定为事件A的概率的概率 对任意事件，在相同的条件下重复进行对任意事件，在相同的条件下重复进行n次次试验，事件发试验，事件发

16、 生的频率生的频率 m/n，随着试验次数，随着试验次数n的的增大而稳定地在某个常数增大而稳定地在某个常数 附近摆动那么称附近摆动那么称p为事件为事件的概率的概率 ( )P Ap概率的统计定义概率的统计定义 当试验次数足够大时，可以用事件当试验次数足够大时，可以用事件A发生的频发生的频率近似的代替事件率近似的代替事件A的概率的概率 再分析一个例子，为检查某种小麦的发芽情况，再分析一个例子，为检查某种小麦的发芽情况，从一大批种子中抽取从一大批种子中抽取10批种子做发芽试验，其结果如批种子做发芽试验，其结果如表表1-2：发芽率发芽率 发芽粒数发芽粒数 种子粒数种子粒数 2 5 10 70 130 3

17、10 700 1500 2000 3000 2 4 9 60 116 282 639 1339 1806 2715 1 0.8 0.9 0.857 0.892 0.910 0.913 0.893 0.903 0.905 从表从表1-2可看出，发芽率在可看出，发芽率在0.9附近摆动，随着附近摆动，随着n的的增大，将逐渐稳定在增大，将逐渐稳定在0.9这个数值上这个数值上. 概率的统计定义概率的统计定义频率频率 稳定于概率稳定于概率 ( )nmfAn( )pP A性质性质 （1） 01p（2） ( )1, ( )0PP （3） 若若A，B互斥，则互斥，则 ()( )( )P ABP AP B（4）对

18、任何事件）对任何事件A,B （5）若事件）若事件 )()()()(ABPBPAPBAP )()(,BPAPBA 则则（6）若事件）若事件 )()()(,APBPABPBA 则则 给定一个随机试验，给定一个随机试验，是它的样本空间，对于是它的样本空间，对于任意一个事件，赋予一个实数任意一个事件，赋予一个实数( )P A，如果如果)(P满足下列三条公理满足下列三条公理，u非负性非负性：u 规范性规范性： (S)=1 u 可列可加性可列可加性：,21AA那么，称 为事件的概率( )P A概率的公理概率的公理 化定义化定义()0 两两互不相容时（1 2 ）=（1）+（2）+ 证明证明 由公理 3 知

19、( )( )( )( )PPPP 所以 ( )0P ( )0P 概率的性质概率的性质 不可能事件的概率为零不可能事件的概率为零( )0P 注意事项注意事项 但反过来，如果但反过来，如果P（A）=0，未必有，未必有A= 例如：例如： 一个质地均匀的陀螺的圆周上均匀地刻有一个质地均匀的陀螺的圆周上均匀地刻有0 , 5)上诸数字，在桌面上旋转它，求当它停下来时，圆周上诸数字，在桌面上旋转它，求当它停下来时，圆周与桌面接触处的刻度为与桌面接触处的刻度为2的概率等于的概率等于0，但该事件有可，但该事件有可能发生。能发生。 设设A1，A2， , An两两两两互不相容互不相容，则，则11()()nniiii

20、PAPA11()()niiiiPPAA证明证明 在公理3中 , 取i = （i=n+1,n+2, ）.11()()niiinPPA1()niiPAn 有限可加性有限可加性()( )( )P ABP AP BAB 若 A B，则 P (B A) = P(B) P(A)(ABAB( )()( )()P BP ABAP AP BA （）（）（）（）（）（） ABn 差事件的概率差事件的概率对任意两个随机事件、对任意两个随机事件、 ，有，有 BA()AB AB()()( )()P ABP ABABP AP BAB)()()(ABPBPABBPBAn 加法定理加法定理)()()()(ABPBPAPBAP

21、()( )( )( ) ()()()()P ABCP AP BP CP ABP BCP ACP ABCBCAn 加法定理加法定理 )(1)(APAP证明证明 由于与其对立事件互不相容，由性质2有 )()()(APAPAAP而 1)(,PAA 所以 1)()(APAP 逆事件的概率逆事件的概率AA概率论基本概念课件u 有限性有限性 每次试验中，每一种可能结果的发生的可能性相每次试验中，每一种可能结果的发生的可能性相同，即同，即古典概型的定义古典概型的定义 每次试验中，所有可能发生的结果只有有限个，每次试验中，所有可能发生的结果只有有限个，即样本空间即样本空间是个有限集是个有限集u 等可能性等可能

22、性,21neeeS nePePePn1)()()(21 设试验结果共有设试验结果共有n个基本事件个基本事件 ，而且这些事件的发生而且这些事件的发生具有相同的可能性具有相同的可能性( )AmP An事件 包含的基本事件数试验的基本事件总数古典概型的概率计算古典概型的概率计算u 确定试验的基本事件总数确定试验的基本事件总数事件由其中的事件由其中的m个基本事件组成个基本事件组成u 确定事件确定事件A包含的基本事件数包含的基本事件数neee,21 抛掷一颗匀质骰子抛掷一颗匀质骰子,观察出现的点数观察出现的点数 , 求求“出现的出现的点数是不小于点数是不小于3的偶数的偶数”的概率的概率=“出现的点数是不

23、小于出现的点数是不小于3的偶数的偶数”古典概率的计算：抛掷骰子古典概率的计算：抛掷骰子n事件事件An试验试验抛掷一颗匀质骰子抛掷一颗匀质骰子,观察出现的点数观察出现的点数n样本空间样本空间=4，6S =1，2，3，4，5，6n=6m=2n事件事件A的概率的概率21( )63mP An 设在设在100 件产品中，有件产品中，有 4 件次品，其余均为正件次品，其余均为正品品4( )0.04100P A 3100nC396BmC3963100( )CP BC古典概率的计算：正品率和次品率古典概率的计算：正品率和次品率n 100u这批产品的次品率这批产品的次品率u任取任取3件，全是正品的概率件，全是正

24、品的概率u任取任取3件，刚好两件正品的概率件，刚好两件正品的概率mA 4219643100()C CP CC21964CmC C3100nC 古典概率的计算：古典概率的计算：有放回抽样和无放回抽样有放回抽样和无放回抽样 设在设在10 件产品中，有件产品中，有2件次品，件次品，8件正品件正品A=“第一次抽取正品，第二次抽取次品第一次抽取正品，第二次抽取次品”n 第一次抽取后，产品放回去第一次抽取后，产品放回去n 第一次抽取后，产品不放回去第一次抽取后，产品不放回去10 10n 10 9n 8 2Am 8 2Am 8 2( )0.1610 10P A8 2( )0.177810 9P A古典概率的

25、计算：投球入盒古典概率的计算：投球入盒 把把3个小球随机地投入个小球随机地投入5个盒内。设球与盒个盒内。设球与盒都是可识别的。都是可识别的。n A=“指定的三个盒内各有一球指定的三个盒内各有一球n B =“存在三个盒，其中各有一球存在三个盒，其中各有一球35n 35n 353!BmC3!Am 3533!( )5CP B33!( )5P A abcde123 古典概率的计算：生日问题古典概率的计算：生日问题某班有某班有50个学生，求他们的生日各不相同的概率个学生，求他们的生日各不相同的概率（设一年（设一年365天）天）u分析分析此问题可以用投球入盒模型来模拟此问题可以用投球入盒模型来模拟50个学

26、生个学生365天天50个小球个小球365个盒子个盒子503655050!( )365CP A0.03相似地有分房问题相似地有分房问题 房子房子 盒子盒子人人 小球小球生日问题模型生日问题模型某班有某班有n个学生，个学生，设一年设一年N天天,则则他们的生日各不相他们的生日各不相同的概率为同的概率为!( )nNnCnP AN至少有两人生日相同的概率为至少有两人生日相同的概率为 !( )1nNnCnP AN N1020233040500.120.410.51 0.71 0.89 0.97( )P A139!AmC139!3( )10!10ACmP An 古典概率的计算：抽签古典概率的计算：抽签 10

27、 10个学生，以抽签的方式分配个学生，以抽签的方式分配3 3张音乐会入场券，张音乐会入场券，抽取抽取1010张外观相同的纸签，其中张外观相同的纸签，其中3 3张代表入场券张代表入场券. .求求 A=A=第五个抽签的学生抽到入场券第五个抽签的学生抽到入场券 的概率。的概率。10!n u基本事件总数基本事件总数u基本事件总数基本事件总数第五个学生抽第五个学生抽到入场券到入场券另外另外9个学生抽个学生抽取剩下取剩下9张张所以抽签后千万别和别人说结果！所以抽签后千万别和别人说结果！35AmP353( )0.485PP A 1224PPmB312245)(PPBP 0.192 古典概率的计算：数字排列古

28、典概率的计算：数字排列用用1 1，2 2，3 3，4 4，5 5这五个数字构成三位数这五个数字构成三位数n 没有相同数字的三位数的概率没有相同数字的三位数的概率 35n n 没有相同数字的三位偶数的概率没有相同数字的三位偶数的概率 35n 个位个位百位十位百位十位概率论基本概念课件生活中的数字排列o彩票 买一注7位数中彩票的概率是？o小概率事件的存在o小概率事件的意义：飞机、火车、汽车的故障率都是小概率事件，小概率事件在一次试验中一般认为不会发生，但是试验次数多就会必然发生。概率论基本概念课件匹匹 配配 问问 题题 某人写了某人写了4封信和封信和4个信封，现随机地将信装入信封中，个信封，现随机

29、地将信装入信封中，求全部装对的概率。求全部装对的概率。解解 设设“全部装对全部装对”为事件为事件A 总的基本事件数为总的基本事件数为 4！A所包含的基本事件数为所包含的基本事件数为 1 所以所以 11( )4!24P A 概率的古典定义概率的古典定义性质性质 （1） 0( )1P A（2） ( )1, ( )0PP （3） 若若A，B互斥，则互斥，则 ()( )( )P ABP AP B( )AmP An事件 包含的基本事件数试验的基本事件总数1 1、 从五双大小型号不同的鞋子中任意抽取四从五双大小型号不同的鞋子中任意抽取四只，问能凑成两双的概率是多少？只，问能凑成两双的概率是多少？总的基本事

30、件数：总的基本事件数： 有利事件数：有利事件数： 410C25C解解 设设“能凑成两双鞋能凑成两双鞋”为事件为事件A 所以，所求概率为所以，所求概率为 254101( )21CP AC2 2，掷两颗骰子，求事件，掷两颗骰子，求事件“至少有一颗出现至少有一颗出现6 6点点”，“点数之和为点数之和为8”8”的概率。的概率。解解 总的基本事件数为总的基本事件数为 2636事件事件A“至少出现一个至少出现一个6点点”所包含的基本事件数为所包含的基本事件数为 1125111C C 事件事件B“点数之和为点数之和为8”所包含的样本点为所包含的样本点为 (2,6),(3,5),(4,4),(6,2),(5,

31、3)所以所以 115( ) , ( )3636P AP B3 3， 包括甲，乙在内的包括甲，乙在内的1010个人随机地排成个人随机地排成一行，求甲与乙相邻的概率。若这一行，求甲与乙相邻的概率。若这1010个人个人随机地排成一圈，又如何呢？随机地排成一圈，又如何呢？解解 总的基本事件数为总的基本事件数为 10!排成行时，事件排成行时，事件“甲乙相邻甲乙相邻”的基本事件数为的基本事件数为 811892P C C排成圈时，事件排成圈时，事件“甲乙相邻甲乙相邻”的基本事件数为的基本事件数为 8118189282P C CP C所求概率为所求概率为 12(1), (2)59PP 袋中有袋中有20个球，其

32、中个球，其中15个白球，个白球，5 个黑球，从中任取个黑球，从中任取3个，求至少取到一个白球的概率个，求至少取到一个白球的概率 设表示至少取到一个白球，设表示至少取到一个白球，i 表示刚好取表示刚好取 到到i个白球，个白球，i0，1，2，3， 则则 u 方法方法 （用互不相容事件和的概率等于概率之和）（用互不相容事件和的概率等于概率之和）(A)(A123)(1)(2)(3)12155320CCC解解21155320CCC315320CCu 方法方法 （利用对立事件的概率关系）（利用对立事件的概率关系） 35032 0()1()1()1CPAPAPAC 甲、乙两人同时向目标射击一次，设甲击中的概

33、率甲、乙两人同时向目标射击一次，设甲击中的概率为为 0.85 ，乙击中的概率为，乙击中的概率为 0.8 两人都击中的概率为两人都击中的概率为 0.68 求目标被击中的概率求目标被击中的概率 解解 设表示甲击中目标，表示乙击中目标，设表示甲击中目标，表示乙击中目标，表示目标被击中，表示目标被击中， 则则 )()()()()(ABPBPAPBAPCP 0.85 0.8 0.68 0.97 已知已知P P（A A）=0.3,P(B)=0.6,=0.3,P(B)=0.6,试在下列两种试在下列两种情形下分别求出情形下分别求出P(A-B)P(A-B)与与P(B-A)P(B-A)(1) (1) 事件事件A,

34、BA,B互不相容互不相容(2) (2) 事件事件A,BA,B有包含关系有包含关系解解(1),ABABA BAB由于因此()( )0.3P ABP A()( )0.6P BAP B(2) (2) 由已知条件和性质由已知条件和性质3,3,推得必定有推得必定有AB()()0P ABP ()( )( )0.3P BAP BP A投掷两颗骰子投掷两颗骰子, ,试计算两颗骰子的点数之试计算两颗骰子的点数之和在和在4 4和和1010之间的概率（含之间的概率（含4 4和和1010）. .解解 设设“两颗骰子的点数之和在两颗骰子的点数之和在4和和10”为事件为事件A 总的基本事件数为总的基本事件数为 2636A

35、所包含的样本点为所包含的样本点为 1,1 , 1,2 , 2,1 , 5,6 , 6,5 , 6,6所以所以 15( )1( )166P AP A 考察甲，乙两个城市考察甲，乙两个城市6 6月逐日降雨情况。已月逐日降雨情况。已知甲城出现雨天的概率是知甲城出现雨天的概率是0.3, 0.3, 乙城出现雨天乙城出现雨天的概率是的概率是0.4, 0.4, 甲乙两城至少有一个出现雨甲乙两城至少有一个出现雨天的概率为天的概率为0.52, 0.52, 试计算甲乙两城同一天出试计算甲乙两城同一天出现雨天的概率现雨天的概率. .解解 设设A表示表示“甲城下雨甲城下雨”，B表示表示“乙城下雨乙城下雨” 则则 (

36、)0.3, ( )0.4, ()0.52P AP BP AB()( )( )()0.18P ABP AP BP AB所以所以 把把6 6个小球随机地投入个小球随机地投入6 6个盒内个盒内( (球球, ,盒盒可识别可识别),),求前三个盒当中有空盒的概率求前三个盒当中有空盒的概率. .解解 设设 表示第表示第 个盒空着个盒空着 iAi则所求概率为则所求概率为 123123121323123()()()() ()()() ()P AAAP AP AP AP A AP A AP A AP A A A6666134803534330.7459646656 概率论基本概念课件条件概率条件概率 Condi

37、tional ProbabilityABAB()B()AB()A( )nn抛掷一颗骰子抛掷一颗骰子, ,观察出现的点数观察出现的点数A=A=出现的点数是奇数出现的点数是奇数 ，B=B=出现的点数不超过出现的点数不超过33， 若已知出现的点数不超过若已知出现的点数不超过3 3，求出现的点数是，求出现的点数是奇数的概率奇数的概率 即事件即事件 B B 已发生，求事已发生，求事件件 A A 的概率（）的概率（）A A B B 都发生，但样本空间都发生，但样本空间缩小到只包含的样本点缩小到只包含的样本点2(|)3ABBP A BS 设，为同一个随机试验中的两个随机事件设，为同一个随机试验中的两个随机事

38、件 , 且（），且（）， 则称则称()()()PA BPA BPB为在事件发生的条件下，事件发生的为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率条件概率 n定义定义条件概率条件概率 Conditional ProbabilityBASample space Reduced sample space given event BAB条件概率条件概率 P(A|B)的样本空间的样本空间()P AB(|)P A B概率概率 P(A|B)与与P(AB)的区别与联系的区别与联系联系：事件联系：事件A，B都发生了都发生了 区别：区别： （1）在）在P(A|B)中，事件中，事件A，B发生有时间上的差异，发生有时间上的

39、差异，B先先A后；在后；在P（AB）中，事件）中，事件A，B同时发生。同时发生。（2）样本空间不同，在）样本空间不同，在P(A|B)中，事件中，事件B成为样本成为样本空间；在空间；在P（AB）中，样本空间仍为）中，样本空间仍为 。因而有因而有 ()()P A BP AB例例 设设 100 件产品中有件产品中有 70 件一等品，件一等品，25 件二等品，件二等品，规定一、二等品为合格品从中任取规定一、二等品为合格品从中任取1 件，求件，求 (1) 取得取得一等品的概率；一等品的概率；(2) 已知取得的是合格品，求它是一等已知取得的是合格品，求它是一等品的概率品的概率 解解设表示取得一等品，表示取

40、得合格品，则设表示取得一等品，表示取得合格品，则 （1）因为因为100 件产品中有件产品中有 70 件一等品，所以件一等品，所以 70()0.7100P A（2）方法方法1：70()0.736895P A B 方法方法2： ()()( )P ABP A BP B因为因为95 件合格品中有件合格品中有 70 件一等品，所以件一等品，所以70 1000.736895100三张卡片的游戏三张卡片的游戏假设老师的手里的三张卡片是不同的假设老师的手里的三张卡片是不同的 o现在把卡片放在包里摇晃一番，让你随意地抽出一现在把卡片放在包里摇晃一番，让你随意地抽出一张来，放在桌子上，这时候，卡片的一面就露了出张

41、来，放在桌子上，这时候，卡片的一面就露了出来，是黑点或者是圆圈。假定露出的是个圆圈，要来，是黑点或者是圆圈。假定露出的是个圆圈，要与你赌这张卡片的背面是什么？是黑点，还是圆圈。与你赌这张卡片的背面是什么？是黑点，还是圆圈。我赌的是正反面一样，都是圆圈，那你只能赌黑点我赌的是正反面一样，都是圆圈，那你只能赌黑点了。了。你觉得这个游戏公平吗你觉得这个游戏公平吗?o很明显这张卡片不可能是黑点很明显这张卡片不可能是黑点-黑点卡，因此，它黑点卡，因此，它要么是圆圈要么是圆圈-圆圈卡，要么是黑点圆圈卡，要么是黑点-圆圈卡，二圆圈卡，二者必居其一，这样一来，这张卡片的背面不是黑点，者必居其一，这样一来，这张

42、卡片的背面不是黑点，就是圆圈，所以赌什么都一样，全是公平的，你和就是圆圈，所以赌什么都一样，全是公平的，你和我赢的机会均等，都是。我赢的机会均等，都是。o让我们看看问题出在哪里？让我们看看问题出在哪里？ o我千方百计要你相信的是，同样可能发生的情况只有两种。我千方百计要你相信的是，同样可能发生的情况只有两种。然而事实是，同样可能发生的情况有三种然而事实是，同样可能发生的情况有三种o 在这里你一定要把正反面区分开来看，将正面朝上视为一在这里你一定要把正反面区分开来看，将正面朝上视为一种情况，将反面朝上看成另一种情况。三张卡片随意抽一种情况，将反面朝上看成另一种情况。三张卡片随意抽一张放在桌子上，

43、同样可能发生的情况有六种：张放在桌子上，同样可能发生的情况有六种：1.黑点黑点-黑点卡的正面；黑点卡的正面；2.黑点黑点-黑点卡的反面；黑点卡的反面；3.圆圈圆圈-黑点卡的正面；黑点卡的正面；4.圆圈圆圈-黑点卡的反面；黑点卡的反面；5.圆圈圆圈-圆圈卡的正面；圆圈卡的正面；6.圆圈圆圈-圆圈卡的反面。圆圈卡的反面。 因此，如果抽出的卡片放在桌子上，露出了圆圈，它所代因此，如果抽出的卡片放在桌子上，露出了圆圈，它所代表的情况可能是：表的情况可能是：o圆圈圆圈-黑点卡的正面；圆圈黑点卡的正面；圆圈-圆圈卡的正面；圆圈圆圈卡的正面；圆圈-圆圆圈卡的反面。圈卡的反面。o 在这三种情况中，在这三种情况

44、中，“正反面一样正反面一样”的情况占了两种，因的情况占了两种，因此，在玩了多次以后，庄家就会三回里赢两回，你的钱很此，在玩了多次以后，庄家就会三回里赢两回，你的钱很快就会流入他的腰包里，这可以算是智力诈骗吧。快就会流入他的腰包里，这可以算是智力诈骗吧。 例例 考虑恰有两个小孩的家庭考虑恰有两个小孩的家庭.若已知某一家有男孩，若已知某一家有男孩，求这家有两个男孩的概率；若已知某家第一个是男孩，求这家有两个男孩的概率；若已知某家第一个是男孩，求这家有两个男孩（相当于第二个也是男孩）的概率求这家有两个男孩（相当于第二个也是男孩）的概率.（假定生男生女为等可能）（假定生男生女为等可能） = (男男,

45、男男) , (男男 , 女女) , (女女 , 男男) , (女女 , 女女) 解解于是得于是得 43BP 41APBAP211BP 411APABP=(男男, 男男) , (男男 , 女女) 1B则则 =(男男, 男男) , (男男 , 女女) , (女女 , 男男) =(男男, 男男) ，设设 = “有男孩有男孩” ，=“第一个是男孩第一个是男孩” 1B= “有两个男孩有两个男孩” ，概率论基本概念课件故两个条件概率为()1/41(|)( )3/43P BAP A BP B111()1(|)()2P B AP A BP B乘法法则乘法法则()( ) ()( ) ()P ABP A P B

46、AP B P A B 12121312121()()()()()nnnP A AAP A P AA P AA AP AA AA()()( )P ABP A BP B()()( )P ABP B AP A()( ) ()(|)P ABCP A P B A P C ABn推广一批产品中有一批产品中有 4% 的次品，而合格品中一等品占的次品，而合格品中一等品占 45% .从这批产品中任取一件，求该产品是一等品的概从这批产品中任取一件，求该产品是一等品的概率率 设表示取到的产品是一等品，表示取设表示取到的产品是一等品，表示取出的产品是合格品，出的产品是合格品， 则则 %45)|(BAP%4)(BP于是

47、于是 %96)(1)(BPBP所以所以 ( )()P AP AB96%45%解解( ) (|)P B P A B43.2%解解 一个盒子中有只白球、只黑球，从中不放回地一个盒子中有只白球、只黑球，从中不放回地每次任取只，连取次，求每次任取只，连取次，求 (1) 第一次取得白球的概第一次取得白球的概率；率； (2) 第一、第二次都取得白球的概率；第一、第二次都取得白球的概率； (3) 第一次取第一次取得黑球而第二次取得白球的概率得黑球而第二次取得白球的概率设表示第一次取得白球设表示第一次取得白球, 表示第二次取得白球表示第二次取得白球, 则则 6()0 .61 0PA（2） ()P AB（3）

48、()()()P ABP A P B A（1） ()()P A P B A650.33109460.27109全年级全年级100名学生中，有男生（以事件名学生中，有男生（以事件A表示）表示）80人，女生人，女生20人；人； 来自北京的（以事件来自北京的（以事件B表示）表示）有有20人，其中男生人，其中男生12人，女生人，女生8人；免修英语人；免修英语的（以事件的（以事件C表示）表示）40人中，有人中，有32名男生，名男生，8名名女生。求女生。求 ( ),( ),(),(),(),P AP BP A BP B AP AB( ),(),(),()P CP C AP A BP AC8010020100

49、1220128012100321001280328040100某种动物出生之后活到某种动物出生之后活到20岁的概率为岁的概率为0.7，活，活到到25岁的概率为岁的概率为0.56，求现年为，求现年为20岁的这种动岁的这种动物活到物活到25岁的概率。岁的概率。解解 设设A表示表示“活到活到20岁岁”，B表示表示“活到活到25岁岁”则则 ( )0.7, ( )0.56P AP B所求概率为所求概率为 ()( )()0.8( )( )P ABP BP B AP AP A概率论基本概念课件解解一、全概率公式一、全概率公式 因为 AB ，且与互不相容，所以AB()()()P BP ABP AB()()()

50、()PA P B APA P B A6546109109 0.6 一个盒子中有只白球、只黑球，从中不放回一个盒子中有只白球、只黑球，从中不放回地每次任取只，连取次，求第二次取到白球地每次任取只，连取次，求第二次取到白球的概率的概率例例A=A=第一次取到白球第一次取到白球 AABAB AB( )()P BP ABAB()()P ABP AB( ) (|)( ) (|)P A P B AP A P B A全概率公式全概率公式 设设1 ，2 ，.，n 构成一个完备事件组，且构成一个完备事件组，且(i )0 ，i1，2，.，n，则对任一随机事件，则对任一随机事件，有有 1()()(|)niiiP BP

51、 A P BA全概率公式全概率公式1A2A3A11()(|)P AP B A22()(|)P AP B A33()(|)P AP B A( )P B例例 设播种用麦种中混有一等，二等，三等，四等四设播种用麦种中混有一等，二等，三等，四等四个等级的种子，分别各占个等级的种子，分别各占95.5，2，1.5，1，用一等，二等，三等，四等种子长出的穗含用一等，二等，三等，四等种子长出的穗含50颗以上颗以上麦粒的概率分别为麦粒的概率分别为0.5，0.15，0.1，0.05，求这批种子，求这批种子所结的穗含有所结的穗含有50颗以上麦粒的概率颗以上麦粒的概率 解解 设从这批种子中任选一颗是一等，二等，三等，

52、四设从这批种子中任选一颗是一等，二等，三等，四等种子的事件分别是等种子的事件分别是1，2，3，4，则它们构，则它们构成完备事件组，又设表示任选一颗种子所结的穗含成完备事件组，又设表示任选一颗种子所结的穗含有有50粒以上麦粒这一事件，则由全概率公式：粒以上麦粒这一事件，则由全概率公式： 41iii)AB(P)A(P)B(P95.50.520.151.50.110.05 0.4825 ()(|)()(|)()(|)P A P BAP A P BAP A P BA贝叶斯公式贝叶斯公式 Bayes Theoremn后验概率后验概率B()( )(|)P ABP AP B A()( )(|)P ABP A

53、P B AAB AB()(|)( )P ABP A BP B 设设A1，A2，, An构成完备事件组，且诸构成完备事件组，且诸P（Ai）0)B为样本空间的任意事件，为样本空间的任意事件，P（ B） 0 , 则有则有1()(|)(|)()(|)kkkniiiP AP BAP ABP AP BA( k =1 , 2 , , n)证明证明 ()()()kkPA BPABPB()()kkP AP B A1()()niiiP AP B A贝叶斯公式贝叶斯公式 Bayes Theorem 例例 设某工厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种产设某工厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，已知各车间的产量分别占全厂产

54、量的品，已知各车间的产量分别占全厂产量的25 %， 35%， 40%，而且各车间的次品率依次为，而且各车间的次品率依次为 5% ，4%， 2%现从待出厂的产品中检查出一个次品，试判断它现从待出厂的产品中检查出一个次品，试判断它是由甲车间生产的概率是由甲车间生产的概率解解 设设1 ，2 ，3 分别表示产品由甲、乙、丙车分别表示产品由甲、乙、丙车间生产，表示产品为次品间生产，表示产品为次品 显然，显然，1 ，2 ，3 构成完备事件组依题意，有构成完备事件组依题意，有 (1) 25% , (2)= 35% , (3) 40%,(|1) 5% , (|2)4% , (|3) 2%(1|) )AB(P)

55、A(P)AB(P)A(P)AB(P)A(P)AB(P)A(P332211110.25 0.050.25 0.050.35 0.040.4 0.020.362 概率论基本概念课件甲箱中有甲箱中有3个白球，个白球，2个黑球，乙箱中有个黑球，乙箱中有1个白个白球，球，3个黑球。现从甲箱中任取一球放入乙箱个黑球。现从甲箱中任取一球放入乙箱中，再从乙箱任意取出一球。问从乙箱中取中，再从乙箱任意取出一球。问从乙箱中取出白球的概率是多少？出白球的概率是多少？解解设设B=“从乙箱中取出白球从乙箱中取出白球”，A=“从甲箱中取出白球从甲箱中取出白球”，3( )5P A 2( )5P A 2(|)5P B A 1

56、(|)5P B A 3 22 18( )( ) (|)( ) (|)5 55 525P BP A P B AP A P B A概率论基本概念课件 爱滋病普查：使用一种血液试验来检测人体内是爱滋病普查：使用一种血液试验来检测人体内是 否携带爱滋病病毒否携带爱滋病病毒. .设这种试验的设这种试验的假阴性假阴性比例为比例为5%5% （即在携带病毒的人中，有（即在携带病毒的人中，有5%5%的试验结果为阴的试验结果为阴 性），性），假阳性假阳性比例为比例为1%1%（即在不携带病毒的人中，（即在不携带病毒的人中， 有有1%1%的试验结果为阳性）的试验结果为阳性）. .据统计人群中携带病毒据统计人群中携带病

57、毒者约占者约占11，若某人的血液检验结果呈阳性，试问该，若某人的血液检验结果呈阳性，试问该人携带爱滋病毒的概率人携带爱滋病毒的概率. .（P27P27练习练习3333）n 讨论讨论（贝叶斯公式）（贝叶斯公式） 符号引入：符号引入：“携带病毒携带病毒”为为A，“实验呈阳性实验呈阳性”为为B，则，则 ( )0.001, ()0.05, ()0.01P AP B AP B A求求 ()P A B概率论基本概念课件已知在所有男子中有已知在所有男子中有5%，在所有女子中有，在所有女子中有0.25%患有色盲症。随机抽一人发现患色盲患有色盲症。随机抽一人发现患色盲症，问其为男子的概率是多少？（设男子和症，问

58、其为男子的概率是多少？（设男子和女子的人数相等）。女子的人数相等）。解：设解：设A=“男子男子”，B =“女子女子” C=“这人有色盲这人有色盲” (|)0.05P C A (|)0.0025P C B ( )0.5P A ( )0.5P B ()( ) (|)(|)( )( ) (|)( ) (|)P ACP A P A CP A CP CP A P C AP B P C B0.05 0.55200.5 0.050.5 0.002550.25210.05 0.50.5 0.050.5 0.0025概率论基本概念课件定义定义12121212,1()() ()()() () ()()() ()(

59、),nijijijkijknnnA AAnijknP A AP A P AP A A AP A P A P AP A AAP A P AP AA AA 设为 个事件。如果对于所有可能的组合下列各式同时成立那么称是相互独立的。共有（共有（2n-n-1）个等式）个等式 2nC3nCnnC对满足相互独立的多个事件，有对满足相互独立的多个事件，有12(1),nA AA若相互独立， 则12121()() ()()()nnniiP A AAP A P AP AP A12(2),nA AA若相互独立， 则11()1()nniiiiPAP A 将试验将试验E E重复进行重复进行n n次次, ,若各次试验的结果

60、互不若各次试验的结果互不影响影响, ,则称这则称这n n次试验是相互独立的次试验是相互独立的. 设随机试验设随机试验E E只有两种可能的结果只有两种可能的结果:A:A及及 , ,且且P(A)=p,P(A)=p,在相同的条件下将在相同的条件下将E E重复进行重复进行n n次独立试次独立试验验, ,则称这一串试验为则称这一串试验为n n重贝努利试验重贝努利试验，简称贝努简称贝努利试验利试验( (Bernoulli trialsBernoulli trials).).贝努利试验贝努利试验Bernoulli trialsBernoulli trialsn 相互独立的试验相互独立的试验n 贝努利试验贝努

61、利试验A例例 一批产品的次品率为一批产品的次品率为 5%，从中每次任取一个，从中每次任取一个，检验后放回，再取一个，检验后放回，再取一个， 连取连取 4 次求次求 4 次中恰有次中恰有 2 次取到次品的概率次取到次品的概率 设设 恰好有恰好有 2 2 次取到次品次取到次品, , 取到次品，取到次品， 则则 取到正品取到正品 A( )5%pP A( )1( )195%qP AP Ap 1234()()()()5%P AP AP AP A1234()()()()95%P AP AP AP An分析分析n = 4 n = 4 的的 Bernoulli Bernoulli 试验试验i i=第第i i次

62、抽样抽到次品次抽样抽到次品 因为因为1 1，2 2，3 3，4 4 相互独立，所以相互独立，所以 12341234()() () () ()P A A A AP A P A P A P A2422295. 005. 0qp123412341234( )()P BP A A A AA A A AA A A A22424C p q2295. 005. 060135. 0123412341234 , , , A A A AA A A AA A A A123412341234 , ,A A A AA A A AA A A A四次抽样中恰好发生两次（有两次取到次品）的情况有四次抽样中恰好发生两次（有两次

63、取到次品）的情况有 624C贝努利定理贝努利定理 设在一次试验中事件发生的概率为设在一次试验中事件发生的概率为 p (0p1) ， 则在则在n次贝努里试验中次贝努里试验中恰好发生恰好发生 k k次次的概率为的概率为 knkknnqpCkP)( k 0，1，2，.，n )其中其中 pq1n定理定理例例 有一批棉花种子有一批棉花种子,其出苗率为其出苗率为0.67,现每穴种现每穴种4粒种子粒种子, (1) 求恰有粒出苗的概率求恰有粒出苗的概率(0k4)； (2) 求至少有两粒出苗的概率求至少有两粒出苗的概率 (1) 该试验为该试验为4 重贝努利试验重贝努利试验解解kkkqpCkP444)(444()

64、(2)(3)(4) 0.8918P BPPP(2) (2) 设表示至少有设表示至少有2 2粒出苗的事件粒出苗的事件, ,则则4,0.67,10.33npqp (04)k例例 设某人打靶，命中率为设某人打靶，命中率为0.7，重复射击，重复射击5次，求恰好次，求恰好命中命中3次的概率。次的概率。解解 该试验为该试验为5重贝努利试验，且重贝努利试验，且 所求概率为所求概率为 3325( )0.70.30.3087P ACn=5,p=0.7;q=0.3;k=3例例 设某电子元件的使用寿命在设某电子元件的使用寿命在1000小时以上的概小时以上的概率为率为0.2，当三个电子元件相互独立使用时，求在使，当三

65、个电子元件相互独立使用时，求在使用了用了1000小时的时候，最多只有一个损坏的概率。小时的时候，最多只有一个损坏的概率。解解 设设A表示表示“元件使用元件使用1000小时不坏小时不坏”，则，则 ( )0.2P A 设设B表示表示“三个元件中至多一个损坏三个元件中至多一个损坏”，则，则 332233( )0.20.20.80.104P BCC例例 一批种子的发芽率为一批种子的发芽率为80%，试问每穴至少播种几，试问每穴至少播种几粒种子，才能保证粒种子，才能保证99%以上的穴不空苗。以上的穴不空苗。分析：分析：“穴不空苗穴不空苗”即即“至少有一颗种子发芽至少有一颗种子发芽” 解解 假设播假设播n颗种子，则依题意可得颗种子，则依题意可得 1 (1 0.8)0.99n可解得可解得 ln0.012.8614ln0.2n 即即 0.20.01n所以，每个穴中宜种所以，每个穴中宜种3颗种子。颗种子。