高中物理竞赛辅导温度和气体分子运动论物理光学

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1、 温度和气体分子运动论 1。1 温度111、平衡态、状态参量温度是表示物体冷热程度的物理量。凡是跟温度有关的现象均称为热现象。热现象是自然界中的一种普遍现象。高中物理竞赛热学教程 第一讲 温度和气体分子运动论热学是研究热现象规律的科学。热学研究的对象都是由大量分子组成的宏观物体，称为热力学系统或简称系统。在不受外界影响的条件下，系统的宏观性质不再随时间变化的状态称为平衡态，否则就称为非平衡态。可见系统平衡态的改变依赖于外界影响(作功、传热)。系统处于平衡态，所有宏观物理都具有确定的值，我们就可以选择其中几个物理量来描述平衡态，这几个量称为状态参量。P、V、T就是气体的状态参量。气体的体积V是指

2、盛放气体的容器的容积，国际单位制中，体积的单位是m。1m=103L=10cm气体的压强P是气体作用在容器的单位面积器壁上的平均压力，单位是p。1atm=76cmHg=1.01310p1mmHg=133.3p112、 温标温度的数值表示法称为温标。建立温标的三要素是：1、选择某种物质的一个随温度改变发生单调显著变化的属性来标志温度，制作温度计。例如液体温度计T(V)、电阻温度计T(R)、气体温度计T(P)、T(V)等等。这种选用某种测温物质的某一测温属性建立的温标称为经验温标。2、规定固定点，即选定某一易于复现的特定平衡态指定其温度值。1954年以前，规定冰点为0，汽点为100，其间等分100份

3、，从而构成旧摄氏温标。1954年以后，国际上选定水的三相点为基本固定点，温度值规定为273.16K。这样0与冰点，100与汽点不再严格相等，百分温标的概念已被废弃。3、规定测温属性随温度变化的函数关系。如果某种温标(例如气体温度计)选定为线性关系，由于不同物质的同一属性或者同一物质的不同属性随温度变化的函数关系不会相同，因而其它的温标就会出现非线性的函数关系。113、理想气体温标定容气体温度计是利用其测温泡内气体压强的大小来标志温度的高低的。T(P)=P是比例系数，对水的三相点有T=P=273.16KP是273.16K时定容测温泡内气体的压强。于是T(P)=273.16K (1)同样，对于定压

4、气体温度计有T(V)=273.16K (2)是273.16K时定压测温泡内气体的体积。用不同温度计测量同一物体的温度，除固定点外，其值并不相等。对于气体温度计也有。但是当测温泡内气体的压强趋于零时，所有气体温度计，无论用什么气体，无论是定容式的还是定压式的，所测温度值的差别消失而趋于一个共同的极限值，这个极限值就是理想气体温标的值，单位为K，定义式为T=T(V)=T(P)=273.16K=273.16K (3)114、热力学温标理想气体温标虽与气体个性无关，但它依赖于气体共性即理想气体的性质。利用气体温度计通过实验与外推相结合的方法可以实现理想气体温标。但其测温范围有限(1K1000)，T1K

5、，气体早都已液化，理想气体温标也就失去意义。国际上规定热力学温标为基本温标，它完全不依赖于任何测温物质的性质，能在整个测温范围内采用，具有“绝对”的意义，有时称它为绝对温度。在理想气体温标适用的范围内，热力学温标与理想气体温标是一致的，因而可以不去区分它们，统一用T(K)表示。国际上还规定摄氏温标由热力学温标导出。其关系式是：t=T-273.15 (4)这样，新摄氏温标也与测温物质性质无关，能在整个测温范围内使用。目前已达到的最低温度为510K，但是绝对零度是不可能达到的。例1、定义温标t与测温参量X之间的关系式为t=ln(kX),k为常数试求：(1)设X为定容稀薄气体的压强，并假定水的三相点

6、，试确定t与热力学温标之间的关系。(2)在温标t中，冰点和汽点各为多少度；(3)在温标t中，是否存在零度？解：(1)设在水三相点时，X之值是，则有27316=In(kX)将K值代入温标t定义式，有 (2)热力学温标可采用理想气体温标定义式，X是定容气体温度计测温泡中稀薄气体压强。故有 (3)因测温物质是定容稀薄气体，故满足X0的要求，因而(2)式可写成 (4)这是温标与温标T之间关系式。(2)在热力学温标中，冰点，汽点。在温标中其值分别为(3)在温标中是否存在零度？令=0，有低于1K任何气体都早已液化了，这种温标中=0的温度是没有物理意义的。1-2 气体实验定律121、玻意耳定律一定质量的气体

7、，当温度保持不变时，它的压强和体积的乘积是一个常数，式中常数C由气体的种类、质量和温度决定。PV贮气筒b图 1-2-1抽气与打气问题的讨论。简单抽气机的构造由图1-2-1示意，它由一个活塞和两个阀门组成。当活塞向上提升时，a阀门打开，贮气筒与抽气机相通，气体膨胀减压，此时b阀门被关闭。当活塞向下压缩时，b阀门打开，a阀门关闭，抽气机内的气体被压出抽气机，完成一次抽气。贮气筒被抽气的过程，贮气筒内气体质量不断在减小，气体压强也不断减小。设第一次抽气后贮气筒内气压，第n次抽气后贮气筒内气压，则有：整理得 PV贮气筒b图1-2-2简单压气机与抽气机的结构相似，但作用相反。图1-2-2示意，当活塞上提

8、时，a阀门打开，b阀门关闭，外界空气进入压气机中，活塞下压时，压气机内空气被压入贮气筒，而此时阀门a是关闭的，这就完成了一次压气过程。每次压气机压入贮气筒的气体是，故122、盖吕萨克定律一定质量的气体，当压强保持不变时，温度每升高1，其体积的增加量等于0时体积的。若用表示0时气体的体积，V表示t的体积，则。若采用热力学温标，则273+t为摄氏温度t。所对应的热力学温度T，273为0所对应的热力学温度。于是，盖吕萨克定律可写成。若温度为T时，体积为；温度为时，体积为，则有或。故盖吕萨克定律也可表达为：一定质量的气体，当压强保持不变时，它的体积与热力学温标成正比。123、查理定律一定质量的气体，当

9、体积保持不变时，它的压强与热力学温度成正比式中常数C由气体的种类、质量和体积决定。汞柱移动问题的讨论：一根两端封闭、粗细均匀的石英管，竖直放置。内有一段水银柱，将管隔成上下两部分。下方为空气，上方为一种可分解的双原子分子气体。该双原子分子气体的性质为：当时，其分子开始分解为单原子分子(仍为气体)。用表示时的双原子分子数，表示时分解了的双原子分子数，其分解规律为当T很小时，有如下关系：。已知初始温度为，此时下方的气柱长度为，上方气柱长度为，水银柱产生的压强为下方气压的倍。试讨论当温度由开始缓慢上升时，水银柱将上升还是下降。假设水银柱不动。当温度为时，下方气体压强为，温度升至，气体压强。水银柱压强

10、为，故当T=时，上方气体压强为，当温度升至，有个双原子气体分子分解为个单原子气体分子，故气体分子数由增至个。令此时压强为，管横截面积为S，则有：解得 ，因T很小，故项起主导作用，而项的影响较之第一项要小得多，故从分析如下：当时，0时，水银柱上升，当时，0水银柱下降。当=时，0水银柱下降。以上三个实验定律只能反映实验范围内的客观事实，它们都具有一定的近似性和局限性。对于一般的气体，只有当压强不太大，温度不太低时，用三个定律求出的结果与实验数据才符合得很好。如果压强很大或温度很低时，用这三个定律求出的结果与实验结果就会有很大的偏差。124、理想气体它是能够准确遵守气体实验定律的一个气体的理论模型。

11、对查理得律，设P和分别表示和时气体压强，则有，对盖吕萨拉定律，设和分别表示和时气体的体积，则有，PoLo图1-2-3n0对理想气体，有 例1、一个质量m=200.0kg、长=2.00m的薄底大金属桶倒扣在宽旷的水池底部(图1-2-3)桶内的横截面积(桶的容积为)，桶本身(桶壁与桶底)的体积，桶内封有高度的空气，池深，大气压强水柱高，水的密度，重力加速度g取。若用图中所示吊绳将桶上提，使桶底能到达水面处，则绳拉力所需做的功有一最小值，试求从开始到绳拉力刚完成此功的过程中，桶和水(包括池水和桶内水)的机械能改变了多少(结果要保留三位有效数字)。不计水阻力，设水温很低，不计其饱和蒸气压的影响，并设水

12、温上下均匀且保持不变。解：在上提过程中，桶内空气压强减小，体积将增大，从而对桶和桶内空气(空气质量不计)这一整体的浮力将增大。本题若存在桶所受浮力等于重力的位置，则此位置是桶的不稳定平衡点，再稍上提，浮力将大于重力，桶就会上浮。从这时起，绳不必再拉桶，桶会在浮力作用下，上浮到桶底到达水面并冒出。因此绳对桶的拉力所需做的最小功的过程，就是缓慢地将桶由池底提高到浮力等于重力的位置所历的过程。HL图1-2-4下面先看这一位置是否存在。如果存在的话，如图1-2-4所示，设在此位置时桶内空气的高度为，因浮力等于重力，应有 (1)代入已知数据可得 (2)设此时桶的下边缘距池底的高度H，由玻马定律可知 (3

13、)由(2)、(3)式得到H=12.24m (4)因为H，即整个桶仍浸在水中，可知存在上述浮力等于重力的位置。现在要求将桶由池底缓慢地提高到H处桶及水的机械能的增量E。E包括三部分：(1)桶势能的增量；(2)在H高时桶本身排开的水可看作下降去填充在池底时桶本身所占空间而引起水势能的增量；(3)在H高度时桶内空气所排开的水，可看作一部分下降去填充在池底时空气所占的空间，由于空气膨胀的那部分上升到水池表面，由此引起水势的增量。则；。1-3 理想气体状态方程131、理想气体状态方程反映气体在平衡态下状态参量之间规律性联系的关系式称为气态方程。我们知道，理想气体状态方程可在气体实验定律的基础上得到，一定

14、质量的理想气体的两平衡参量之间的关系式为 （5）在标准状态，1mol任何气体的体积m3mol-1。因此vmol气体在标准状态下的体积为，由(5)式可以得出：由此得到理想气体状态方程或称克拉珀龙方程：式中R称为摩尔气体恒量，它表示1mol气体在标准状况的的值，其值为 推论：1、1mol的任何物质含有的粒子数，这称为阿伏伽德罗常数。设质量为m、摩尔质量为M的气体，其分子数为N，则此气体的摩尔数为 (6)同时引用玻耳兹曼常数k的物理意义：1个分子在标况下的。将(6)式代入(5)式，可以得到 (7)或者 (8)2、气体密度：由(5)式可以得到 (9)例如空气的平均摩尔质量，在标准状态下空气密度为由(5

15、)式可知，对于理想气体，可应用气态方程的另一形式，为 (10)3、气体的分合关系：无论是同种还是异种理想气体，将质量为m，状态为PVT的理想气体被分成若干部分()时，则有 (11)132、混合理想气体状态方程1、道尔顿分压定律指出：混合气体的压强等于各组分的分压强之和。这条实验定律也只适用于理想气体。即 (12)其中每一部分的气态方程为 (13)混合理想体气状态方程与单一成分的理想气体状态方程形式相同，但M为平均摩尔质量。 (14)由于混合气体的摩尔数应是各组分的摩尔数之和。因此混合气体的平均摩尔质量M有 (15)由(1-20)式和(1-19)式可得混合气体的分压强： (16)133、混合气体

16、的状态方程如果有n种理想气体，分开时的状态分别为(、)，(、)，(、)，将它们混合起来后的状态为P、V、T，那么，有如果是两部分气体混合后再分成的部分，则有例1、一根一端封闭的玻璃管长96cm，内有一段20cm的水银柱。当温度为27C且开口端向上时，被封闭的气柱长60cm。试问温度至少为多少度，水银柱才可从管中全部溢出。解：设气体温度为T时，管内的水银柱高度为x，x20cm，大气压强。 (1)得到 (2)其中P以cmHg为单位，长度以cm为单位。要求x有实数解的条件400+4(7696-)0可见，时，管内气体可以形成平衡状态。反之，T因而x时，管内气体压强总是(76+x)cmHg，(1)式不再

17、成立，平衡态无法建立而导致非平衡状态，水银柱将全部溢出。例2、设在恒温0下，测得三甲胺的密度随压强变化的数据如下表所示，试根据这些数据要求三甲胺的摩尔质量。0.20.40.60.80.53361.07901.63632.2054解：为了准确测定气体的摩尔质量，必须把实际气体的压强外推到零(P0)时应用理想气体状态方程，即由(1-15)式有 (1)为了求出P0时()的极限值，可将上述数据作如下变换：0.20.40.60.82.66802.69752.72722.7568现以为纵坐标，P为横作标，作出-P图形(图1-3-1)，将图中曲线外推到P0得到2.752.702.652.600.80.60.

18、40.20P(atm)图1-3-1将上述结果代入(1)式可得即三甲胺的分子量为59.14。1.4 气体分子运动论1. 4.1、 分子运动论的基本点1、宏观物体由大量分子组成。分子直径的数量级一般为，分子质量为。在标准状态下，气体分子的数密度为2、物体内的分子永不停息地作无规则运动。这是根据布朗运动和扩散现象得出的结论。实验表明扩散的快慢和布朗运动的激烈程度与温度的高低有明显的关系。由此常把大量子的无规则运动称为热运动，热运动是物质运动的一种基本形式，热现象是它的宏观表现。气体分子热运动的平均速率与温度的关系为 常温下， 。3、分子之间存在的相互作用力。分子之间同时存在引力和斥力，它们都随距离的

19、增大而减小。其合力具体表现为相吸引还是相排斥，取决于分子间的距离。当时，合力为零，分子间的距离的位置称为平衡位置；当r时，分子力表现引力；当r时，分子力表现为斥力；当r时，分子力可忽略不计。分子力是保守力，存在着由分子和分子间相对位置所决定的势能称为分子力势能。分子力和热运动是决定物体宏观性质的基本因素。分子力作用倾向于使分子聚集一起，在空间形成某种有序排列；热运动却力图造成混乱存在向外扩散的趋势。142、理想气体的微观模型先来作个估算：在标准状态下，1mol气体体积，分子数，若分子直径，则分子间的平均间距，相邻分子间的平均间距与分子直径相比。由此可知，气体分子间的距离比较大，在处理某些问题时

20、，可以把气体分子视为没有大小的质点；同时可以认为气体分子除了相互碰撞或者跟器壁碰撞之外，分子力也忽略不计，分子在空间自由移动，也没有分子势能。因此理想气体是指分子间没有相互作用和分子可以看作质点的气体。这一微观模型与气体愈稀薄愈接近于理想气体的宏观概念是一致的。143、理想气体的压强宏观上测量的气体施给容器壁的压强，是大量气体分子对器壁不断碰撞的结果。在通常情况下，气体每秒碰撞的器壁的分子数可达。在数值上，气体的压强等于单位时间内大量分子施给单位面积器壁的平均冲量。其表达式为 式中n是分子数密度，是分子的平均平动动能，n和增大，意味着单位时间内碰撞单位面积器壁的分子数增多，分子碰撞器壁一次给予

21、器壁的平均冲量增大，因而气体的压强增加。144、温度的微观意义将式代入式后，可以得到气体分子的平均平动动能为 这被称为气体温度公式，温度升高，分子热运动的平均平动动能增大，分子热运动加剧。因此，气体的温度是气体分子平均平动能的标志，是分子热运动剧烈程度的量度。图1-4-1例1、质量为的圆筒水平地放置在真空中。质量、厚度可忽略的活塞将圆筒分为体积相同的两部分(图1-4-1)，圆筒的封闭部分充有n摩尔的单原子理想气体，气体的摩尔质量为M，温度为，突然放开活塞，气体逸出。试问圆筒的最后速度是多少？设摩擦力、圆筒和活塞的热交换以及气体重心的运动均忽略不计。(，氦的摩尔质量为，)解：过程的第一阶段是绝热

22、膨胀，膨胀到两倍体积后(图1-4-2)温度将是T。根据绝热方程，有因此： 圆筒和活塞的总动能等于气体内能的损失，即根据动量守恒定律，解上述方程，得过程第一阶段结束时的圆筒速度：。m1m2图1-4-2由此得出结论，在过程第一阶段的最后瞬间，圆筒以速度向右运动，此时活塞正好从圆筒冲出。我们把坐标系设置在圆筒上。所给的是一个在真空中开口的圆筒，筒内贮有质量为、温度为T的气体。显然，气体将向左上方流动，并推动圆筒向右以速度运动。气体分子的动能由下式给出：式中是分子的平均速度注：指均方根速率，它由下述关系给定：平衡状态下各有1/6的分子在坐标轴方向来回运动。在计算气体逸出时，假定有1/6的分子向圆筒的底

23、部运动。这自然只是一级近似。因此，的质量以速度向圆筒底部运动，并与筒底弹性碰撞，之后圆筒以速度、气体以速度运动。对于弹性碰撞，动量守恒定律和机械守恒定律成立。由动量守恒有由机械能守恒有 解以上方程组，得到气体逸出后的圆筒速度为气体分子的1/6以速度反弹回来，的绝对值要小于。气体必然有较低的温度，其一部分内能使圆筒的动能增加。速度相加后得圆筒速度为。代入所给的数据：;.得圆筒的最后速度为1.5 理想气体的内能151、物体的内能(1)自由度：即确定一个物体的位置所需要的独立坐标系数，如自由运动的质点，需要用三个独立坐标来描述其运动，故它有三个自由度。分子可以有不同的组成。如一个分子仅由一个原子组成

24、，称为单原子(例：He等)，显然它在空间运动时具有三个平动自由度。如一个分子由两个原子组成，称为双原子(例：等)，双原子分子内的两个原子由一个键所连接，确定两个原子共同质心的位置，需三个自由度，确定连键的位置，需两个自由度，即双原子分子共有五个自由度。而对三原子分子(例：等)，除了具有三个平动自由度、两个转动自由度外，还有一个振动自由度，即共计有六个自由度。(2)物体中所有分子热运动的动能和分子势能的总和称为物体的内能。由于分子热运动的平均动能跟温度有关，分子势能跟体积有关。因此物体的内能是温度和体积的函数。理想气体的分子之间没有相互作用，不存在分子势能。因此理想气体的内能是气体所有分子热运动

25、动能的总和，它只跟气体的分子数和温度有关，与体积无关。152、理想气体的内能通常，分子的无规则运动表现为分子的平动和转动等形式。对于单原子分子(如He等)的理想气体来说，分子只有平动动能，其内能应是分子数与分子平均平动动能的乘积，即。对于双原子分子(如、)的理想气体来说，在常温下，分子运动除平动外还可以有转动，分子的平均动能为，其内能，因此，理想气体的内能可以表达为 注意：，；对于原单原子分子气体，对于双原子分子气体。一定质量的理想气体的内能改变量： 此式适用于一定质量理想气体的各种过程。不论过程如何，一定质量理想气体的内能变不变就看它的温度变不变。式中，表示1mol的理想气体温度升高或降低1

26、K所增加或减少的内能。是可以变成 153、物体的势能由于分子间存在相互作用而具有的能量叫做分子势能。当分子间距离(为分子力为零的位置)时，分子力是引力 图1-5-1，随着分子间距离r的增大，分子势能减小，故处，分子势能最小。而在时，由于分子间的作用力可略，故分子势能变为零，如以无穷远处为势能的零点，定性的分子势能曲线可用图1-5-1表示154、重力场中粒子按高度的分布在重力场中，气体分子受到两种相互对立的作用。无规则的热运动将使气体分子均匀分布于它们所能到达的空间，而重力则要使气体分子聚拢在地面上，当这两种作用达到平衡时，气体分子在空间非均匀分布，分子数随高度减小。根据玻尔兹曼分布律，可以确定

27、气体分子在重力场中按高度分布的规律：是h=0处单位体积内的分子数，n是高度为h处单位体积内的分子数，n随高度h的增加按指数减小，分子的质量m越大，重力的作用越显著，n的减小就越迅速，气体的温度越高，分子的无规则运动越剧烈，n的减小越缓慢。式中表示h=0处的压强，M为气体的摩尔质量，上式称为气压公式因此测定大气压强随高度而减小的量值，即可确定上升的高度。该式不但适用于地面的大气，还适用于浮悬在液体中的胶体微粒按高度的分布。图1-5-2例1、横截面积为S和S(1)，长度相同的两圆柱形“对接”的容器内盛有理想气体，每个圆筒中间位置有一个用硬杆想连的活塞，如图1-5-2所示。这时舱内气体压强为，舱内气

28、体压强为，活塞处于平衡，整个系统吸收热量Q，温度上升，使各舱温度相同。试求舱内压强的变化。1mol气体内能为CT(C是气体摩尔热容量)，圆筒和活塞的热容量很小，摩擦不计。解：设、分别为第i个舱内气体的体积、压强的摩尔数。容器内气体总摩尔数，因为各舱温度皆为T，利用克拉珀龙方程得 取得中打斜线的活塞与硬杆为研究对象，由平衡条件得 而由题意 及 、得 系统吸收热量后，假设活塞不移动，显然、舱气体都作等容升温变化，因题中明确三舱升高的温度相同，因而由可知三舱气体的压强都增加相同的倍数，即方程仍然满足，这说明升温过程中活塞确实不移动，即方程也仍然成立。因 结合式易得舱内气体压强的变化。说明利用式和式可

29、得 显然只有当1时才有意义。因为压强必须为正值。物 理 光 学2.1 光的波动性2.1.1光的电磁理论19世纪60年代，美国物理学家麦克斯韦发展了电磁理论，指出光是一种电磁波，使波动说发展到了相当完美的地步。2.1.2光的干涉1、干涉现象是波动的特性凡有强弱按一定分布的干涉花样出现的现象，都可作为该现象具有波动本性的最可靠最有力的实验证据。2、光的相干迭加两列波的迭加问题可以归结为讨论空间任一点电磁振动的力迭加，所以，合振动平均强度为其中、为振幅，、为振动初相位。3、光的干涉阳光图2-1-1(1)双缝干涉在暗室里，托马斯杨利用壁上的小孔得到一束阳光。在这束光里，在垂直光束方向里放置了两条靠得很

30、近的狭缝的黑屏，在屏在那边再放一块白屏，如图2-1-1所示，于是得到了与缝平行的彩色条纹；如果在双缝前放一块滤光片，就得到明暗相同的条纹。A、B为双缝，相距为d，M为白屏与双缝相距为l，DO为AB的中垂线。屏上距离O为x的一点P到双缝的距离高中物理竞赛光学原子物理学教程 第二讲物理光学L2MNSd图2-1-2由于d、x均远小于l，因此PB+PA=2l，所以P点到A、B的光程差为：SL图2-1-3若A、B是同位相光源，当为波长的整数倍时，两列波波峰与波峰或波谷与波谷相遇，P为加强点（亮点）；当为半波长的奇数倍时，两列波波峰与波谷相遇，P为减弱点（暗点）。因此，白屏上干涉明条纹对应位置为暗条纹对应

31、位置为。其中k=0的明条纹为中央明条纹，称为零级明条纹；k=1，2时，分别为中央明条纹两侧的第1条、第2条明（或暗）条纹，称为一级、二级明（或暗）条纹。WLL0W幕幕图2-1-4相邻两明（或暗）条纹间的距离。该式表明，双缝干涉所得到干涉条纹间的距离是均匀的，在d、l一定的条件下，所用的光波波长越长，其干涉条纹间距离越宽。可用来测定光波的波长。(2)类双缝干涉双缝干涉实验说明，把一个光源变成“两相干光源”即可实现光的干涉。类似装置还有菲涅耳双面镜：如图2-1-2所示，夹角很小的两个平面镜构成一个双面镜（图中已经被夸大了）。点光源S经双面镜生成的像和就是两个相干光源。埃洛镜如图2-1-3所示，一个

32、与平面镜L距离d很小（数量级0.1mm）的点光源S，它的一部分光线掠入射到平面镜，其反射光线与未经反射的光线叠加在屏上产生干涉条纹。因此S和就是相干光源。但应当注意，光线从光疏介质射入光密介质，反射光与入射光相位差，即发生“并波损失”，因此计算光程差时，反身光应有的附加光程差。双棱镜图2-1-4如图2-1-4所示，波长的平行激光束垂直入射到双棱镜上，双棱镜的顶角，宽度w=4.0cm，折射率n=1.5问：当幕与双棱镜的距离分别为多大时，在幕上观察到的干涉条纹的总数最少和最多？最多时能看到几条干涉条纹？S1S2dD图2-1-5平行光垂直入射，经双棱镜上、下两半折射后，成为两束倾角均为的相干平行光。

33、当幕与双棱镜的距离等于或大于时，两束光在幕上的重叠区域为零，干涉条纹数为零，最少，当幕与双棱镜的距离为L时，两束光在幕上的重叠区域最大，为，干涉条纹数最多。利用折射定律求出倾角，再利用干涉条纹间距的公式及几何关系，即可求解式中是双棱镜顶角，是入射的平行光束经双棱镜上、下两半折射后，射出的两束平行光的倾角。如图2-1-5所示，相当于杨氏光涉，D,，而 条纹间距可见干涉条纹的间距与幕的位置无关。当幕与双棱镜的距离大于等于时，重叠区域为零，条纹总数为零当屏与双棱镜相距为L时，重叠区域最大，条纹总数最多相应的两束光的重叠区域为其中的干涉条纹总数条。对切双透镜d（a）（b）（a）图2-1-6如图2-1-

34、6所示，过光心将透镜对切，拉开一小段距离，中间加挡光板（图a）；或错开一段距离（图b）；或两片切口各磨去一些再胶合（图c）。置于透镜原主轴上的各点光源或平行于主光轴的平行光线，经过对切透镜折射后，在叠加区也可以发生干涉。 (3)薄膜干涉当透明薄膜的厚度与光波波长可以相比时，入射薄膜表面的光线薄满前后两个表面反射的光线发生干涉。等倾干涉条纹ABcD图2-1-7如图2-1-7所示，光线a入射到厚度为h，折射率为的薄膜的上表面，其反射光线是，折射光线是b；光线b在下表面发生反射和折射，反射线图是，折射线是；光线再经过上、下表面的反射和折射，依次得到、等光线。其中之一两束光叠加，、两束光叠加都能产生干

35、涉现象。a、 b光线的光程差=如果i=0，则上式化简为。由于光线在界面上发生反射时可能出现“半波损失”，因此可能还必须有“附加光程差”，是否需要增加此项，应当根据界面两侧的介质的折射率来决定。当时，反射线、都是从光密介质到光疏介质，没有“半波损失”，对于、，不需增加；但反射线是从光疏介质到光密介质，有“半波损失”，因此对于、，需要增加。当时，反射线、都有“半波损失”，对于、仍然不需要增加；而反射线没有“半波损失”，对于、仍然必须增加。同理，当或时，对于、需要增加；对于、不需要增加。在发生薄膜干涉时，如果总光程等于波长的整数倍时，增强干涉；如果总光程差等于半波长的奇数倍时，削弱干涉。入射角越小，

36、光程差越小，干涉级也越低。在等倾环纹中，半径越大的圆环对应的也越大，所以中心处的干涉级最高，越向外的圆环纹干涉级越低。此外，从中央外各相邻明或相邻暗环间的距离也不相同。中央的环纹间的距离较大，环纹较稀疏，越向外，环纹间的距离越小，环纹越密集。AB图2-1-8等厚干涉条纹当一束平行光入射到厚度不均匀的透明介质薄膜上，在薄膜表面上也可以产生干涉现象。由于薄膜上下表面的不平行，从上表面反射的光线和从下面表反射并透出上表面的光线也不平行，如图2-1-8所示，两光线和的光程差的精确计算比较困难，但在膜很薄的情况下，A点和B点距离很近，因而可认为AC近似等于BC，并在这一区域的薄膜的厚度可看作相等设为h，

37、其光程差近似为QMNC图2-1-9当i保持不变时，光程差仅与膜的厚度有关，凡厚度相同的地方，光程差相同，从而对应同一条干涉条纹，将此类干涉条纹称为等厚干涉条纹。当i很小时，光程差公式可简化为。劈尖膜QMNC图2-1-9如图2-1-9所示，两块平面玻璃片，一端互相叠合，另一端夹一薄纸片（为了便于说明问题和易于作图，图中纸片的厚度特别予以放大），这时，在两玻璃片之间形成的空气薄膜称为空气劈尖。两玻璃片的交线称为棱边，在平行于棱边的线上，劈尖的厚道度是相等的。当平行单色光垂直（）入射于这样的两玻璃片时，在空气劈尖（）的上下两表面所引起的反射光线将形成相干光。如图1-2-9所示，劈尖在C点处的厚度为h

38、，在劈尖上下表面反射的两光线之间的光程差是。由于从空气劈尖的上表面（即玻璃与空气分界面）和从空气劈尖的下表面（即空气与玻璃分界面）反射的情况不同，所以在式中仍有附加的半波长光程差。由此明纹暗纹干涉条纹为平行于劈尖棱边的直线条纹。每一明、暗条纹都与一定的k做相当，也就是与劈尖的一定厚度h相当。任何两个相邻的明纹或暗纹之间的距离由下式决定：式中为劈尖的夹角。显然，干涉条纹是等间距的，而且愈小，干涉条纹愈疏；愈大，干涉条纹愈密。如果劈尖的夹角相当大，干涉条纹就将密得无法分开。因此，干涉条纹只能在很尖的劈尖上看到。牛顿环ABOCR图2-1-10在一块光平的玻璃片B上，放曲率半径R很大的平凸透镜A，在A

39、、B之间形成一劈尖形空气薄层。当平行光束垂直地射向平凸透镜时，可以观察到在透镜表面出现一组干涉条纹，这些干涉条纹是以接触点O为中心的同心圆环，称为牛顿环。牛顿环是由透镜下表面反射的光和平面玻璃上表面反射的光发生干涉而形成的，这也是一种等厚条纹。明暗条纹处所对应的空气层厚度h应该满足： 从图2-1-10中的直角三角形得因Rh，所以2Rh，得上式说明h与r的平方成正比，所以离开中心愈远，光程差增加愈快，所看到的牛顿环也变得愈来愈密。由以上两式，可求得在反射光中的明环和暗环的半径分别为：随着级数k的增大。干涉条纹变密。对于第k级和第k+m级的暗环由此得透镜的且率半径牛顿环中心处相应的空气层厚度h=0

40、，而实验观察到是一暗斑，这是因为光疏介质到光密介质界面反射时有相位突变的缘故。例1 在杨氏双缝干涉的实验装置中，缝上盖厚度为h、折射率为n的透明介质，问原来的零级明条纹移向何处？若观察到零级明条纹移到原来第k明条纹处，求该透明介质的厚度h，设入射光的波长为。S1S2SABMNOL图2-1-11解：设从、到屏上P点的距离分别为、，则到P点的光程差为当时，的应零级条纹的位置应满足原来两光路中没有介质时，零级条纹的位置满足，与有介质时相比，可见零级明条纹应该向着盖介质的小孔一侧偏移。ASPOM1M2图2-1-12原来没有透明介质时，第k级明条纹满足当有介质时，零级明条纹移到原来的第k级明条纹位置，则

41、必同时满足和从而显然，k应为负整数。例2 菲涅耳双面镜。如图2-1-12所示，平面镜和之间的夹角很小，两镜面的交线O与纸面垂直，S为光阑上的细缝（也垂直于图面），用强烈的单色光源来照明，使S成为线状的单色光源，S与O相距为r。A为一挡光板，防止光源所发的光没有经过反射而直接照射光屏P(1)若图中，为在P上观察干涉条纹，光屏P与平面镜的夹角最好为多少？(2)设P与的夹角取(1)中所得的最佳值时，光屏与O相距为L，此时在P上观察到间距均匀的干涉条纹，求条纹间距x。(3)如果以激光器作为光源，(2)的结果又如何？LM2M1OdS1S2SPA图2-1-13解：(1)如图2-1-13，S通过、两平面镜分

42、别成像和，在光屏P上看来，和则相当于两个相干光源，故在光屏P上会出现干涉现象。为在P上观察干涉条纹，光屏P的最好取向是使和与它等距离，即P与的连线平行。图2-1-13图中和S关于平面镜对称，和S关于平面镜对称，所以，O为顶角为2腰长为r的等腰三角形，故光屏P的最佳取向是P的法线（通过O点）与平面镜的夹角等于，或光屏P与平面镜的夹角为90(2)由图可看出，和之间的距离为，和到光屏P的距离为ABSdCDbM图2-1-14图2114，由此，屏上的干涉条纹间距为(3)如果以徼光器作为光源，由于激光近于平行，即相当S位于无穷远处。上式简化为若用两相干光束的夹角表示，上式可写成例3 如图2-1-14所示的

43、洛埃镜镜长l=7.5cm，点光源S到镜面的距离d=0.15mm，到镜面左端的距离b=4.5cm，光屏M垂直于平面镜且与点光源S相距L=1.2m。如果光源发出长的单色光，求：(1)在光屏上什么范围内有干涉的条纹？(2)相邻的明条纹之间距离多大？(3)在该范围内第一条暗条纹位于何处？分析：洛埃镜是一个类似双缝干涉的装置，分析它的干涉现象，主要是找出点光源S和它在平面镜中的像，这两个就是相干光源，然后就可利用杨氏双缝干涉的结论来求解，但注意在计算光程差时，应考虑光线从光疏媒质入射到光密媒质时，反射光与入射光相位差180。，即发生“半波损失”。解：(1)如图2-1-14所示，S点光源发出的光一部分直接

44、射到光屏上，另一部分经平面镜反射后再射到光屏，这部分的光线好像从像点发出，因为到达光屏这两部分都是由S点光源发出的，所以是相干光源。这两部分光束在光屏中的相交范围AB就是干涉条纹的范围由图中的几何关系可以得到： 由、两式解得由图中可知由、两式可知在距离光屏与平面镜延长线交点C相距1.353.85cm之间出现干涉条纹。(2)相邻干涉条纹的距离为P AM图2-1-15(3)由于从平面镜反射的光线出现半波损失，暗条纹所在位置S和的光程差应当满足即 又因为条纹必须出现在干涉区，从解可知，第一条暗纹还应当满足 由、式解得即在距离C点1.44cm处出现第一条暗条纹。图2-1-16点评：这是一个光的干涉问题

45、，它利用平面镜成点光源的像S，形成有两个相干点光源S和，在光屏上出现干涉条纹。但需要注意光线由光疏媒质入射到光密媒质时会发生半波损失现象ABCD图2-1-17例4 一圆锥透镜如图图2-1-15所示，S，为锥面，M为底面；通过锥顶A垂直于底面的直线为光轴。平行光垂直入射于底面，现在把一垂直于光轴的平面屏P从透镜顶点A向右方移动，不计光的干涉与衍射。1、用示意图画出在屏上看到的图像，当屏远一时图像怎样变化？2、设圆锥底面半径为R，锥面母线与底面的夹角为（3。5。），透镜材料的折射率为n。令屏离锥顶A的距离为x，求出为描述图像变化需给出的屏的几个特殊位置。解:1入射光线进入透镜底面时，方向不变，只要

46、在镜面上发生折射，如图1-3-6所示，由图可见，过锥面的折射角满足折射定律而光线的偏向角，即折射线与轴的夹角=-。（a） （b） （c） （d） 图2-1-18行光线的偏向角。图2-1-16画出在图面上的入射光线经透镜后的折射光束的范围。通这也是所有入射的平过锥面S处和处的折射分别相互平行，构成两个平面光束，交角为。把图图2-1-17绕光轴旋转180。就得到经过透镜后的全部出射光线的空间分布。下面分析在屏上看到的图像及屏向远处移动时图像的变化。(1)当屏在A处时，照到屏上的光束不重叠，屏上是一个明亮程度均匀的圆盘，半径略小于R。(2)屏在A、B之间时，照到屏上的光束有部分重叠，在光束重叠处屏上

47、亮度较不重叠处大，特别是在屏与光轴的交点，即屏上图像中央处，会聚了透镜底面上一个极细的圆环上的全部入射光的折射线，因此这一点最亮。在这点周围是一个以这点为中心的弱光圆盘，再外面是更弱的光圆环，如图2-1-18（a）。(3)在屏从A到B远移过程中，屏上图像中央的亮点越远越亮（这是因为会聚在这里的入射光细圆环半径增大，面积增大）；外围光圆盘越远越大，再外的弱光圆环则外径减小，宽度减小，直到屏在B点时弱光环消失。(4)屏在B点时，在中央亮点之外有一亮度均匀的光圆盘，如图2-1-18（b）。(5)屏继续远移时，图像又一般地如图图2-1-18（a）形状，只是屏越远中央亮点越亮，亮点周围光圆盘越小，再外弱

48、光环越宽、越大。(6)当屏移到C点时，图像中亮点达到最大亮度。外围是一个由弱光圆环扩大而成的光圆盘。如图2-1-18（c）。(7)屏移过C点后到达光束缚不重叠的区域，这时屏上图像为中央一个暗圆盘，外围一个弱光圆环，不再有中央亮点。如图2-1-18（d）。(8)屏继续远移，图像形状仍如图2-1-18（d）只是越远暗盘半径越大，外围弱光环也扩大，但环的宽度不变。2在较小时，也小，有，故。略去透镜厚度，则B，C处距A的距离分别为a屏D(a)(b) （c） 图2-1-19因此在第1问解答中，(1)，(2)，(3)，(4)所述的变化过程对应于(5)，(6)所述的图像变化过程对应于(7)，(8)所述的图像

49、变化过程对应于例5 将焦距f=20cm的凸透镜从正中切去宽度为a的小部分，如图2-1-19（a），再将剩下两半粘接在一起，构成一个“粘合透镜”，见图2-1-19（b）。图中D=2cm,在粘合透镜一侧的中心轴线上距镜20cm处，置一波长的单色点光源S，另一侧，垂直于中心轴线放置屏幕，见图2-1-19（c）。屏幕上出现干涉条纹，条纹间距x=0.2mm，试问1切去部分的宽度a是多少？OOF图2-1-202为获得最多的干涉条纹，屏幕应离透镜多远？解:1、首先讨论粘合透镜的上半个透镜的成像。在图2-1-20中OO是粘合透镜的中心轴线，在OO上方用实线画出了上半个透镜，在OO下方未画下半个透镜，而是补足了

50、未切割前整个透镜的其余部分，用虚线表示。整个透镜的光轴为半个透镜产成像规律应与完整的透像相同。现在物点（即光源）S在粘合透镜的中心轴线上，即在图中透镜的光轴上方处，离透镜光心的水平距离正好是透镜的焦距。根据几何光学，光源S发出的光线，经透镜光心的水平距离正好是透镜的焦距。根据几何光学，光源S发出的光线，经透镜折射后成为一束平行光束，其传播方向稍偏向下方，与光轴（对OO也是一样）成角为。当透镜完整时光束的宽度为：透镜直径透镜直径。对于上半个透就，光事宽度为。 OPdS图2-1-21同理，S所发的光，经下半个透镜折射后，形成稍偏向上方的平行光束，与轴成角，宽度也是。于是，在透镜右侧，成为夹角为的两

51、束平行光束的干涉问题（见图2-1-21），图中的两平行光束的重叠区（用阴影表示）即为干涉区。为作图清楚起见，图2-1-21，特别是图12-1-21中的角，均远较实际角度为大。谷ABCDE谷峰峰图2-1-22图2-1-22表示的是两束平行光的干涉情况，其中是和图2-1-21中的相对应的。图2-1-22中实线和虚线分别表示某一时刻的波峰平面和波谷平面。在垂直于中心轴线屏幕上，A、B、C表示相长干涉的亮纹位置，D、E表示相消干涉的暗纹位置，相邻波峰平面之间的垂直距离是波长。故干涉条纹间距x满足在很小的情况下，上式成为。所以透镜切去的宽度=果然是一个很小的角度。2、由以上的求解过程可知，干涉条纹间距与

52、屏幕离透镜L的距离无关，这正是两束平行光干涉的特点。但屏幕必须位于两束光的相干叠加区才行。图2-1-22中以阴影菱形部分表示这一相干叠加区。因为由(1)式知条纹是等距的，显然当屏幕位于PQ处可获得最多的干涉条纹，而PQ平面到MFNOL1L2图2-1-23透镜L的距离MNPFBL1L2O0.1mm0.1mm图2-1-24例6如图2-1-23所示，薄透镜的焦距f=10cm，其光心为O，主轴为MN，现将特镜对半切开，剖面通过主轴并与纸面垂直。O2O1L1L2F1F2PN图2-1-251将切开的二半透镜各沿垂直剖面的方向拉开，使剖面与MN的距离均为0.1mm，移开后的空隙用不透光的物质填充组成干涉装置

53、，如图2-1-24所示，其中P点为单色点光源，PO=20cm，B为垂直于MN的屏，OB=40cm。(1)用作图法画出干涉光路图。(2)算出屏B上呈现的干涉条纹的间距。(3)如屏B向右移动，干涉条纹的间距将怎样变化？O2O1L1L2F1F2PM图2-1-26N2将切开的二半透镜沿主轴MN方向移开一小段距离，构成干涉装置，如图2-1-25所示，P为单色光源，位于半透镜的焦点外。(1)用作图法画出干涉光路图。MNDPBF2F1图2127(2)用斜学标出相干光束交叠区。(3)在交叠区内放一观察屏，该屏与MN垂直，画出所呈现的干涉条纹的形状。3在本题第2问的情况下，使点光源P沿主轴移到半透镜的焦点处，如

54、图2-1-26所示，试回答第2问中各问。解:1(1)如图2-1-27，从点光源P引和两条光线，过光心后沿原方向传播。引PO轴助光线，该光线与的主轴平行，若经折射后必通过焦点，沿方向传播，与相交于点，为P经上半透镜成像得到的实像点。同理，是P经下半透镜所成的实像点，连接和，所得P点发出的光束经两半透镜折射后的光束的范围。和是二相干的实的点光源，像线所标的范围为相干光束交叠区。(2)在交叠区放一竖直的接收屏，屏上呈现出与纸面垂直的明暗相间的条纹，其条纹间距为(3)屏B向右移动时，D增大，条纹间距增大。MNPF1F2O1O2S1S2图2-1-28(a)(b)2(1)如图2-1-28 (a)，从点光源

55、P引和三条光线，过光心和沿直线方向传播，过引平行于的辅助光线经不发生折射沿原方向传播，与过的焦面交于点，连接直线与主轴交于点，该点为P经上半透镜成像所得的实像点；同理可得P经下半透镜所成的实像点，此二实像点沿主轴方向移开。(2)图2-1-28 (a)中斜线标出的范围为二相干光束交叠区。(3)在观察屏B上的干涉条纹为以主轴为中心的一簇明暗相间的同心半圆环，位于主轴下方，如图2-1-28（b）所示。3(1)如图2-1-29(a)，点光源P移至光线经过透镜后方向仍不变，而光线经上半透镜折射后变成与主轴平行的光线，光线经下半透镜折射后与交于点，为P经下半透镜所成的实像点。(2)图2-1-29 (a)中斜线所