定积分的换元法课件

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1、定积分的换元法定积分的换元法定积分的换元法 上一节我们建立了积分学两类基本问题上一节我们建立了积分学两类基本问题之间的联系之间的联系微积分基本公式，利用这微积分基本公式，利用这个公式计算定积分的关键是求出不定积分个公式计算定积分的关键是求出不定积分，而换元法和分部积分法是求不定积分的，而换元法和分部积分法是求不定积分的两种基本方法，如果能把这两种方法直接两种基本方法，如果能把这两种方法直接应用到定积分的计算，相信定能使得定积应用到定积分的计算，相信定能使得定积分的计算简化，下面我们就来建立定积分分的计算简化，下面我们就来建立定积分的换元积分公式和分部积分公式。的换元积分公式和分部积分公式。定积

2、分的换元法先来看一个例子先来看一个例子例例1 40122dxxx换元求不定积分换元求不定积分 令令12 xt则则) 1(212 txdttttdxxx 221211222Ctt 23613Cxx 2123) 12 (23) 12 (61故故 40322122dxxx定积分的换元法为去掉根号为去掉根号 令令12 xt则则212 txtdtdx 当当 x 从从0连续地增加到连续地增加到4时，时，t 相相应地从应地从1连续地增加到连续地增加到3) 0121( xdxdt于是于是 31240322)3(21122dttdxxx尝试一下直接换元求定积分尝试一下直接换元求定积分定积分的换元法将上例一般化就

3、得到定积分的换元积分公式将上例一般化就得到定积分的换元积分公式 由此可见，定积分也可以象不定积分一由此可见，定积分也可以象不定积分一样进行换元，所不同的是不定积分换元时要样进行换元，所不同的是不定积分换元时要回代原积分变量，而对定积分则只需将其上回代原积分变量，而对定积分则只需将其上、下限换成新变量的上、下限即可计算出定、下限换成新变量的上、下限即可计算出定积分，而不必回代原积分变量积分，而不必回代原积分变量定积分的换元法一、换元公式一、换元公式 假假设设（1 1）)(xf在在, ba上上连连续续；（2 2）函函数数)(tx 在在, 上上是是单单值值的的且且有有连连续续导导数数；（3 3）当当

4、t在在区区间间, 上上变变化化时时，)(tx 的的值值在在,ba上上变变化化，且且a )( 、b )( ， 则则 有有dtttfdxxfba )()()(. .定积分的换元法证证设设)(xF是是)(xf的的一一个个原原函函数数，),()()(aFbFdxxfba ),()(tFt dtdxdxdFt )()()(txf ),()(ttf )(t 是是)()(ttf 的的 一一 个个 原原 函函 数数 .),()()()( dtttf定积分的换元法a )( 、b )( ,)()( )()( FF ),()(aFbF )()()(aFbFdxxfba )()( .)()(dtttf 注注意意 当当

5、 时时，换换元元公公式式仍仍成成立立.定积分的换元法应用换元公式时应注意应用换元公式时应注意:（1）用用)(tx 把把变变量量x换换成成新新变变量量t时时，积积分分限限也也相相应应的的改改变变.（2）求求出出)()(ttf 的的一一个个原原函函数数)(t 后后，不不必必象象计计算算不不定定积积分分那那样样再再要要把把)(t 变变换换成成原原变变量量x的的函函数数，而而只只要要把把新新变变量量t的的上上、下下限限分分别别代代入入)(t 然然后后相相减减就就行行了了.定积分的换元法计算计算 adxxa022解解1 由定积分的几何意义由定积分的几何意义 adxxa022等于圆周的第一象限部分的面积等

6、于圆周的第一象限部分的面积42a 解解2Caxaxaxdxxa arcsin2222222 故故 adxxa02242a ax 22xay o例例2定积分的换元法令令 adxxa022 2022cos tdta 202)2cos1(2 dtta42a 解解4令令taxcos 仍可得到上述结果仍可得到上述结果taxsin tadxcos 00 tx2 tax解解3定积分的换元法.sincos205 xdxx解解 令令,cosxt ,sin xdxdt 2 x, 0 t0 x, 1 t 205sincosxdxx 015dtt1066t .61 例例3 3 计算计算定积分的换元法定积分的换元积分公

7、式也可以反过来使用定积分的换元积分公式也可以反过来使用为方便计为方便计将换元公式的左、右两边对调将换元公式的左、右两边对调同时把同时把 x 换成换成 t ， t 换成换成 x dxxxf)()( badttf)(这说明可用这说明可用 )(xt 引入新变量引入新变量但须注意如明确引入新变量，则必须换限但须注意如明确引入新变量，则必须换限如没有明确引入新变量，而只是把如没有明确引入新变量，而只是把整体视为新变量，则不必换限整体视为新变量，则不必换限)(xt 注注定积分的换元法例例4 4 计算计算.sinsin053 dxxx解解xxxf53sinsin)( 23sincosxx 053sinsin

8、dxxx 023sincosdxxx 2023sincosdxxx 223sincosdxxx 2023sinsinxdx 223sinsinxdx 2025sin52 x 225sin52x.54 定积分的换元法例例5 5 计算计算.)ln1(ln43 eexxxdx解解原式原式 43)ln1(ln)(lneexxxd 43)ln1(ln)(lneexxxd 432)ln(1ln2eexxd 43)lnarcsin(2eex .6 定积分的换元法例例6 6 计算计算 aadxxax022)0(.1解一解一 令令,sintax ,costdtadx ax ,2 t0 x, 0 t原式原式 20

9、22)sin1(sincosdttatata 20cossincosdtttt 20cossinsincos121dttttt 20cossinln21221 tt.4 定积分的换元法解二解二接解一接解一对对 20cossincos dtttt令令 20cossincos dttttI 20cossincos dttttJ则则 202 dtJI002)cosln(sincossinsincos20 ttdtttttJI4 JI定积分的换元法例例 7 7 当当)(xf在在,aa 上连续，则有上连续，则有 dxxfxfdxxfaaa 0)()()( 且有且有 )(xf为偶函数，则为偶函数，则 aa

10、adxxfdxxf0)(2)(； )(xf为奇函数，则为奇函数，则 aadxxf0)(. 证证,)()()(00 aaaadxxfdxxfdxxf在在 0)(adxxf中中令令tx ,定积分的换元法 0)(adxxf 0)(adttf,)(0 adttf)(xf为偶函数，则为偶函数，则),()(tftf aaaadxxfdxxfdxxf00)()()(;)(20 adttf)(xf为奇函数，则为奇函数，则),()(tftf aaaadxxfdxxfdxxf00)()()(. 0 即：即： 奇函数在对称区间上的积分等于奇函数在对称区间上的积分等于0 偶函数在对称区间上的积分等于对称的偶函数在对称

11、区间上的积分等于对称的 部分区间上积分的两倍部分区间上积分的两倍 由定积分的几何意义，这个结论也是比较明显的由定积分的几何意义，这个结论也是比较明显的定积分的换元法例例8 8 计算计算.11cos21122 dxxxxx解解原式原式 1122112dxxx 11211cosdxxxx偶函数偶函数奇函数奇函数 1022114dxxx 10222)1(1)11(4dxxxx 102)11 (4dxx 102144dxx.4 四分之一单位圆的面积四分之一单位圆的面积定积分的换元法例例 9 9 若若)(xf在在 1 , 0上上连连续续，证证明明 （1） 2200)(cos)(sindxxfdxxf;

12、（2） 00)(sin2)(sindxxfdxxxf. 由由此此计计算算 02cos1sindxxxx. 定积分的换元法（1）设）设tx 2,dtdx 0 x,2 t2 x, 0 t 20)(sindxxf 022sindttf 20)(cosdttf;)(cos20 dxxf（2）设）设tx ,dtdx 0 x, t x, 0 t 0)(sin dxxxf 0)sin()(dttft证证定积分的换元法,)(sin)(0 dttft 0)(sindxxxf 0)(sin dttf 0)(sin dtttf 0)(sindxxf,)(sin0 dxxxf.)(sin2)(sin00 dxxfdx

13、xxf定积分的换元法另证另证 将上式改写为将上式改写为 00)(sin)2(dxxfx2 xt令 220)(cos)(sin)2( dtttfdxxfx则则 02cos1sindxxxx 02cos1sin2dxxx 02)(coscos112xdx 0)arctan(cos2x.42 奇函数奇函数0 定积分的换元法例例10 设设 f(x) 是以是以L为周期的连续函数，证明为周期的连续函数，证明 Laaadxxf无无关关的的值值与与)(证明证明 LaaaLLaLdxxfdxxfdxxfdxxf00)()()()( aLaLdtLtfLtxdxxf0)()()(令令 adttf0)( adxxf

14、0)( Laaadxxfdxxf0)()(与与 a 的值无关的值无关定积分的换元法例例11 设设 f(x) 连续，常数连续，常数 a 0 证明证明 aaxdxxaxfxdxxaxf121222)()(证明证明比较等式两边的被积函数知，比较等式两边的被积函数知，2xu 令令uduuaufxdxxaxfaa2)()(2121222 uduuaufa)(21212 )()(212212uduuaufuduuaufaaa 定积分的换元法dttaattatfuatuduuaufaaa)()()()(22212222 令令tdttatfa)(12 xdxxaxfxdxxaxfaa)()(1221222 定

15、积分的换元法例例12 设设 f ( x ) 连续连续 10)()(dtxtfx )()(lim0常常数数且且AAxxfx 处处的的连连续续性性在在并并讨讨论论求求0)()( xxx 解解连续知连续知及及由由)()(lim0 xfAxxfx 0)()()0(limlim00 xxxfxffxx0)0( 10)()(dtxtfx 时时0 xuxt 令令 xduufx0)(1定积分的换元法0)0()()0(lim0 xxx 200)(limxduufxx 法则法则型型L0022)(lim0Axxfx 时时0 x20)()()(xduufxxfxx 2000)()()(limlimxduufxxfxx

16、xx )()(200limxduufxxfxx 定积分的换元法2000)()(limlimxduufxxfxxx 22AAA )0()(lim0 xx处处连连续续在在即即0)( xx 定积分的换元法定积分的换元法定积分的换元法dxxfba )(dtttf )()(几个特殊积分、定积分的几个等式几个特殊积分、定积分的几个等式 二、小结二、小结定积分的换元法思考题思考题指指出出求求 2221xxdx的的解解法法中中的的错错误误，并并写写出出正正确确的的解解法法.解解 令令,sectx ,4332: t,sectantdttdx 2221xxdxtdtttttansectansec14332 dt

17、4332.12 定积分的换元法 思考题解答思考题解答计算中第二步是错误的计算中第二步是错误的.txsec ,43,32 t, 0tan t.tantan12ttx 正确解法是正确解法是 2221xxdxtxsec tdtttttansectansec14332 dt 4332.12 定积分的换元法练练 习习 题题一、一、 填空题：填空题：1 1、 3)3sin(dxx_；2 2、 03)sin1(d_；3 3、 2022dxx_ _；4 4、 2121221)(arcsindxxx_；5、 55242312sindxxxxx_ .定积分的换元法二、二、 计算下列定积分：计算下列定积分：1 1、

18、 203cossin d； 2 2、 31221xxdx；3 3、 14311xdx； 4 4、 223coscosdxxx；5 5、 02cos1dxx； 6 6、 224cos4 dx；7 7、 112322)11(dxxxxx；8 8、 203,maxdxxx；9 9、 20dxxx （为为参参数数 ）. .定积分的换元法三、三、 设设 时，时，当当时，时，当当0,110,11)(xexxxfx求求 20)1(dxxf. .四、设四、设 baxf,)(在在上连续，上连续， 证明证明 babadxxbafdxxf)()(. .五、五、 证明：证明： 1010)1()1(dxxxdxxxmn

19、nm. .定积分的换元法六、证明：六、证明： aaadxxfxfdxxf0)()()(, , 并求并求 44sin1xdx. .七、设七、设 1,0)(在在xf上连续，上连续， 证明证明 2020)cos(41)cos(dxxfdxxf.定积分的换元法练习题答案练习题答案一、一、1 1、0 0； 2 2、34 ； 3 3、2 ； 4 4、323 ； 5 5、0 0. .二、二、1 1、41； 2 2、3322 ； 3 3、2ln21 ； 4 4、34； 5 5、22； 6 6、 23； 7 7、4 ； 8 8、8 ； 9 9、417； 10 10、时时当当0 , , 238 ； 当当20 时时, , 32383 ； 当当2 时时, , 238 . .三、三、 )1ln(11 e. .六、六、 2 2. .