不等式总结老师版

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1、方法篇第1讲 不等关系与不等式1.比较原理：两实数之间有且只有以下三个大小关系之一：ab;a0) 当B0时, 表示直线上方区域; 表示直线的下方区域.当B0，y0，且3x+4y=12，求lgx+lgy的最大值及此时x、y的值 【解题思路】这是条件最值问题，但目标式与已知条件的联系较隐蔽，不易发现. 应将lgx+lgy转化成lgxy考虑解析x0，y0，3x+4y=12， ， lgx+lgy=lgxylg3 由 解得 当x=2，y=时，lgx+lgy取得最大值lg3 题型3.灵活运用基本不等式求取值范围例3. 若正数a，b满足ab=a+b+3，则ab的取值范围是_ 【解题思路】可通过多种途经将等式

2、化为可利用重要不等式的不等关系求解解法一 由a、bR+，由重要不等式得a+b2，则ab=a+b+32+3，即3， ab9 解法二 a、b为正数， ab=a+b+30，两边立方得 a3b334aba2b234，ab0，ab9 解法三 原条件式变为ab-3=a+b， a、b均为正数，故式两边都为正数，两边平方得a2b2-6ab+9=a2+b2+2ab， a2+b22ab， a2b2-6ab+94ab，即a2b2-10ab+90，(ab-1)(ab-9)0，由式可知ab3， ab9 解法四 把a、bR+看作一元二次方程的两个根，此方程为x2+(3-ab)x+ab=0，则=(3-ab)2-4ab0，即

3、 (ab)2-10ab+90， (ab-9)(ab-1)0，ab-1=a+b+20成立， ab9 解法五 由已知得a(b-1)=b+3，显然a1， ，即ab9 考点2 利用基本不等式证明题型：用综合法证明简单的不等式例1. 已知,求证:.【解题思路】因为是轮换对称不等式，可考虑由局部证整体.解析 ,相加整理得. 当且仅当时等号成立.考点3 基本不等式在实际中的应用题型1.处理恒成立的有关问题例1. (2008中山)若,且恒成立,则的最小值是_【解题思路】分离系数得令求最大值即可解析: 事实上求函数的最大值,即的最大值,运用基本不等式不难得到.题型2.处理函数应用题.例2.(2008梅县）某厂生

4、产某种产品的年固定成本为250万元,每生产千件,需另投入成本为.当年产量不足80千件时,(万元);当年产量不小于80千件时,(万元).每件商品售价为0.05万元.通过市场分析,该厂生产的商品能全部售完.(1)写出年利润(万元)关于年产量(千件)的函数解析式;(2)年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大?【解题思路】凑出基本不等式的形式.解析: (1)当时,当时,(2)当时,此时,当时,取得最大值(万元);当时,此时,当时,即时,取得最大值1000万元.所以,当产量为100千件时,该厂在这一商品中所获利润最大,最大利润为1000万元.题型3.处理数列应用题例3. 某乡为提高当地群

5、众的生活水平,由政府投资兴建了甲、乙两个企业,2007年该乡从甲企业获得利润320万元,从乙企业获得利润720万元.以后每年上交的利润是：甲企业以1.5倍的速度递增,而乙企业则为上一年利润的.根据测算,该乡从两个企业获得的利润达到2000万元可以解决温饱问题,达到8100万元可以达到小康水平.（1）若以2007年为第一年,则该乡从上述两个企业获得利润最少的一年是那一年,该年还需要筹集多少万元才能解决温饱问题？（2）试估算2015年底该乡能否达到小康水平？为什么？【解题思路】经审题抽象出数列模型解析（）若以2007年为第一年,则第n年该乡从这两家企业获得的利润为 = 当且仅当,即n=2时,等号成

6、立，所以第二年（2008年）上交利润最少，利润为960万元.由2000960=1040（万元）知：还需另筹资金1040万元可解决温饱问题.（）2015年为第9年,该年可从两个企业获得利润 所以该乡到2015年底可以达到小康水平. 训练篇1.满足线性约束条件的目标函数的最大值是 答（C ）（A）1. （B）. （C）2. （D）3.解析：当直线过点B(1,1)时，z最大值为22、若实数，满足不等式组且的最大值为9，则实数（A） （B） （C）1 （D）2解析：将最大值转化为y轴上的截距，将m等价为斜率的倒数，数形结合可知答案选C，本题主要考察了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形

7、结合的思想，属中档题3、不等式的解集为 【答案】C（A） （B） （C） （D）【解析】利用数轴穿根法解得-2x1或x3，故选C4、若变量x,y满足约束条件 则z=2x+y的最大值为（A）1 (B)2 (C)3 (D)4【解析】C：本题考查了线性规划的知识。 作出可行域，作出目标函数线，可得直线与 与的交点为最优解点，即为（1，1），当时5、不等式0的解集为 【解析】A（A） （B） （C） （D）本题考查了不等式的解法 ， ，故选A6、不等式 高考资源*网的解集是（ ） 【答案】 A A. B. C. D. 【解析】考查绝对值不等式的化简.绝对值大于本身，值为负数.，解得A。或者选择x=1和

8、x=-1,两个检验进行排除。7、设x,y满足约束条件则目标函数z=x+y的最大值是（A）3 （B） 4 （C） 6 （D）8【解析】不等式表示的区域是一个三角形，3个顶点是，目标函数在取最大值6。【规律总结】线性规划问题首先作出可行域，若为封闭区域（即几条直线围成的区域）则区域端点的值是目标函数取得最大或最小值，求出直线交点坐标代入目标函数即可求出最大值.8、设变量满足约束条件则的最大值为（A）0 （B）2（C）4 （D）6解析：不等式组表示的平面区域如图所示，当直线过点B时，在y轴上截距最小，z最大由B（2,2）知49、已知x0，y0,x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是A. 3 B.

9、 4 C. D. 解析：考察均值不等式，整理得 即，又，10、已知x0，y0,x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是A. 3 B. 4 C. D. 解析：考察均值不等式，整理得 即，又，11、（10）设则（A）（B） (C) (D) 【解析1】 a=2=, b=In2=,而,所以ab,c=,而,所以ca,综上cab.12、设，则的最小值是（A）1 （B）2 （C）3 （D）4解析：w_w w. k#s5_u.c o*m224当且仅当ab1,a(ab)1时等号成立如取a,b满足条件.13、不等式的解集是 。解析：考查分式不等式的解法等价于（x-2）(x+4)0,所以-4x214、若，则下列不

10、等式对一切满足条件的恒成立的是， (写出所有正确命题的编号)； ； ； ； 【解析】令，排除；由，命题正确；，命题正确；，命题正确。15、若正实数X，Y 满足2X+Y+6=XY ， 则XY 的最小值是 。答案：18（2010山东文数）（14）已知，且满足，则xy的最大值为 . 答案：316、不等式的解集是 . 【命题意图】本小题主要考查不等式及其解法【解析】: ，数轴标根得：17、不等式的解集是 .18、设实数x,y满足38，49，则的最大值是 。解 考查不等式的基本性质，等价转化思想。，的最大值是27。19.（本小题满分12分） 某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐。已知一个单位的午餐含12个

11、单位的碳水化合物6个单位蛋白质和6个单位的维生素C；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C. 如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预定多少个单位的午餐和晚餐？解：设该儿童分别预订个单位的午餐和晚餐，共花费元，则。 可行域为12 x+8 y 646 x+6 y 426 x+10 y 54x0， xN y0， yN 即3 x+2 y 16 x+ y 73 x+5 y 27x0， xN y0， yN 作出可行域如图所示： 经试验发现，当x=4,y=3 时，花费最少，为=2.54+43=22元