数值计算答案石瑞民

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1、习题一1、取3.14,3.15，作为的近似值，求各自的绝对误差，相对误差和有效数字的位数。解：所以，有三位有效数字绝对误差：，相对误差：绝对误差限：，相对误差限：所以，有两位有效数字绝对误差：，相对误差：绝对误差限：，相对误差限：所以，有三位有效数字绝对误差：，相对误差：绝对误差限：，相对误差限：所以，有七位有效数字绝对误差：，相对误差：绝对误差限：，相对误差限：3、下列各数都是对准确数四舍五入后得到的近似数，试分别指出它们的绝对误差限和相对误差限，有效数字的位数。解： m=-1所以，n=3，有三位有效数字绝对误差限：，相对误差： m=0所以，n=4，有四位有效数字绝对误差限：，相对误差： m

2、=2所以，n=4，有四位有效数字绝对误差限：，相对误差： m=4所以，n=4，有四位有效数字绝对误差限：，相对误差： 4、计算的近似值，使其相对误差不超过。解：设取位有效数字，由定理1.1知，由，所以，由题意，应使，即所以，n=4，即的近似值取4位有效数字近似值6、在机器数系下中取三个数，试按和两种算法计算的值，并将结果与精确结果比较。解： 所以，比精确，且与相同；因此，在做三个以上的数相加时，需要考虑相加的两个同号数的阶数尽量接近。8、对于有效数，估计下列算式的相对误差限。，解：，m=1; 所以 同理 或 或 或所以，所以，所以，综合得：，9、试改变下列表达式，使其结果比较精确（其中表示x充

3、分接近0，表示充分大）。（1），（2），（3），（4），（5），答案：（1）；（3），（4）法一：用得出结果为： 法二：或12、试给出一种计算积分近似值的稳定性递推算法解：显然， In0,n=1,2,当n=1时，得，当n2时，由分部积分可得：，n=2,3,另外，还有：由递推关系In=1-nIn-1，可得计算积分序列的两种算法： n=2,3，下面比较两种算法的稳定性若已知的一个近似值，则实际算得的的近似值为所以，由此可以看出的误差放大n倍传到了，误差传播速度逐步放大由计算 若已知的一个近似值是，则实际计算的的近似值为所以， 由此可以看出的误差将缩小n倍传到了，误差传播速度逐步衰减。综上可看出，计

4、算积分的一种稳定性算法为习题二1、利用二分法求方程3，4内的根，精确到，即误差不超过。解：令，说明在3，4内有根，利用二分法计算步骤得出，满足精度要求所以，共用二分法迭代11次。2、证明在0,1内有一个根，使用二分法求误差不大于的根。证明：令，所以，由零点定理知，在0,1内有一根根据计算得出：，此时共迭代15次。4、将一元非线性方程写成收敛的迭代公式，并求其在附近的根，精确到。解：令令=0，得到两种迭代格式，不满足收敛定理。，满足收敛定理由方程写出收敛的迭代公式为取初值为 ，得出近似根为：5、为方程在附近的一个根，设方程改写为下列等价形式，并建立相应的迭代公式：（1），迭代公式；（2），迭代公

5、式（3），迭代公式解：（1）利用局部收敛定理判断收敛性，判断初值附近的局部收敛（2）局部收敛（3）不满足局部收敛条件但由于，所以比收敛的慢取第二种迭代格式 取初值，迭代9次得7、用牛顿法求解在初始值临近的一个正根，要求。解：令由牛顿迭代法知： 迭代结果为：012321.888891.879451.87939满足了精度要求，8、用牛顿法解方程，导出计算C的倒数而不用除法的一种简单迭代公式，用此公式求0.324的倒数，设初始值，要求计算结果有5位有效数字。解：，由牛顿迭代公式迭代结果为：012333.0843.0864183.086420满足精度要求所以，0.324的倒数为3.086411、用快速

6、弦截法求方程在附近的实根，（取=1.9，要求精度到）。解：，迭代结果：0123421.91.8810941.879411601.87939满足精度要求12、分别用下列方式求方程在附近的根，要求有三位有效数字（1）用牛顿法，取（2）用弦截法，取（3）用快速弦截法，取解：求出的解分别为： 习题三1、用高斯消元法解下列方程组（1） （2）解：（1）等价的三角形方程组为，回代求解为（2）等价的三角形方程组为，回代求解为2、将矩阵作分解。解：,3、用紧凑格式分解法解方程组解：，,.4、用列主元的三角分解法求解方程组解：,5、用追赶法解三角方程组，其中,.解：，6用改进的Cholesky分解法解方程组解：

7、，7、用改进的cholesky分解法解方程组解：，8、设,求。解：9、设,求解：，10、设，计算，及，并比较和 的大小。解：，=10，=911、给定方程（1）写出Jacobi和Gauss-Seidel迭代格式；（2）证明Jacobi迭代法收敛而Gauss-Seidel迭代法发散；（3）给定，用迭代法求出该方程的解，精确到。解：（1）Jacobi迭代公式Gauss-Seidel迭代公式（3）用Jacobi迭代得，13、已知，考察Jacobi迭代格式和Gauss-Seidel迭代格式的收敛性。14、方程组，其中，利用迭代收敛的充分必要条件确定使Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法均收

8、敛的a的取值范围。解:Jacobi迭代矩阵为当得， Gauss-Seidel迭代矩阵为：当得， 15、设方程组分别用Gauss-Seidel迭代法和w=1.25的SOR法求解此方程，准确到4位有效数字（取）解：Gauss-Seidel迭代法共迭代17次，此时近似解为SOR法w=1.25时，迭代11次，此时的近似解为16、用SOR方法解方程组（分别取松弛因子w=1.03，w=1， w=1.1）精确解，要求当时，终止迭代，并且对每一个w值确定迭代次数。解：当w=1.03时，迭代5次， 当w=1时，迭代6次，当w=1.1时，迭代6次，习题四1、设，写出的一次插值多项式，并估计插值误差。解： ，其中2

9、、给定函数表-0.10.30.71.10.9950.9950.7650.454选用合适的三次插值多项式来近似计算。解：、求，选用插值节点为，用 lagrange插值多项式为：解得、求，选用插值节点，解得：4、给定数据（）2.02.12.22.41.142141.4491381.483201.54917（1）试用线性插值计算的近似值，并估计误差。（2）试用二次Newton插值多项式计算的近似值，并估计误差。解：（1）取，（2）写出二次Newton插值差商表一阶差商二阶差商2.01.142142.11.4491380.349242.21.483200.34062-0.04315、给出函数值x012

10、34y01646880试求各阶差商，并写出Newton插值多项式和差值余项。解：y一阶差商二阶差商三阶差商四阶差商001161624630738821-3-5/240-88-109/3-25/2-7/66、给定数据表0.1250.250.3750.5000.6250.7500.796180.773340.743710.704130.656320.60228试用三次牛顿差分插值公式计算和。解：、求，取，h=0.125差分表为一阶差分二阶差分三阶差分0.1250.796180.250.77334-0.022840.3750.74371-0.02963-0.006790.50.70413-0.039

11、58-0.00995-0.00316由公式由牛顿插值公式有、求，取，h=0.125一阶差分二阶差分三阶差分0.3750.743710.50.70413-0.039580.6250.65632-0.04781-0.008230.750.60228-0.05404-0.006230.002求解得9、给出sinx在0,pi的等距节点函数表，用线性插值计算sinx的近似值，使其截断误差为，问该函数表的步长h应取多少才能满足要求？解：设插值节点为，（i=0,1h）,由F(x)=sinx，所以，即所以步长h应取为0.02才能满足要求。14、已知实验数据如下192531384419.032.349.073.

12、397.8用最小二乘法求形如的经验公式，并计算均方差。解：设拟合多项式为，则正规方程组为即：所以，经验公式为：均方误差为0.00301915、观测物体的直线运动，得出以下数据时间t(s)00.91.93.03.95.0距离S(m)010305080110求运动方程。解：设拟合多项式为，则正规方程组为即：a=-0.5834，b=11.0814，c=2.2488所以拟合多项式为。习题五1、分别用梯形公式和辛普森公式计算下列积分，并比较结果。（1）（n=8）解：用复合梯形公式 用辛普森公式 精确值：由上可看出复合辛普森公式更精确。（4）（n=4）解：用复合辛普森公式用辛普森公式 ，精确解为：所以辛普

13、森公式的精度较高。3、用复合梯形公式求积分，问将积分区间a，b分成多少等分，才能保证误差不超过？解：由复合梯形公式的余项知，取求得 6、分别用下列计算方法积分，并比较计算结果的精度（积分准确值I=1.098612）。（1）复合梯形法，N=16 （2）复合抛物线法，n=8解：(1)(2)精确值：I=2.079441，所以，复合抛物线精度更高。7、试确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式具有的代数精度。（1）解：令f(x)=1,x,得所以，令，左=0=右，左右所以，该求积公式的代数精度为m=3.（2）解：令f(x)=1,x,得或经计算可知两组参数所对应的求积公式的代数精度均为m=2.9、利用表5.7求x=0.6处的一阶导数。X0.40.50.60.70.8F(x)1.58364941.79744262.04423762.32750542.6510818解：选选用三点式得 即