多重积分习题课件

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1、多重积分习题PPT课件多重积分习题PPT课件定定 义义几何意义几何意义性性 质质计算法计算法应应 用用二重积分二重积分定定 义义几何意义几何意义性性 质质计算法计算法应应 用用三重积分三重积分一、主要内容一、主要内容多重积分习题PPT课件定义定义 设设),(yxf是有界闭区域是有界闭区域 D 上的有界函数，将上的有界函数，将闭区域闭区域 D 任意分成任意分成n个小闭区域个小闭区域1 ，,2 ，n ，其中，其中i 表示第表示第i个小闭区域，也表示它的面积，个小闭区域，也表示它的面积，在每个在每个i 上任取一点上任取一点),(ii ，作乘积作乘积 ),(iif i ， ), 2 , 1(ni ，并

2、作和并作和 iiniif ),(1，1 1、二重积分的定义、二重积分的定义多重积分习题PPT课件、二重积分的几何意义、二重积分的几何意义当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值负值多重积分习题PPT课件性质性质当当 为常数时，为常数时，k.),(),( DDdyxfkdyxkf 性质性质 Ddyxgyxf ),(),(.),(),( DDdyxgdyxf 、二重积分的性质、二重积分的性质多重积分习题PPT课件性质性质对区域具有可加性对区域具有可加性.),(),(),(

3、21 DDDdyxfdyxfdyxf )(21DDD 性质性质 若若 为为D的面积的面积.1 DDdd 性质性质若在若在D上，上，),(),(yxgyxf .),(),( DDdyxgdyxf 特殊地特殊地.),(),( DDdyxfdyxf 多重积分习题PPT课件设设M、m分别是分别是),(yxf在闭区域在闭区域 D 上的最上的最大值和最小值，大值和最小值， 为为 D 的面积，则的面积，则 DMdyxfm ),( （二重积分估值不等式）（二重积分估值不等式）性质性质性质性质（二重积分中值定理）（二重积分中值定理）多重积分习题PPT课件、二重积分的计算、二重积分的计算,:bxaD ).()(2

4、1xyx X型型.),(),()()(21 Dbaxxdyyxfdxdyxf X-型区域的特点型区域的特点： 穿过区域且平行于穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.（）直角坐标系下（）直角坐标系下多重积分习题PPT课件 Y型区域的特点型区域的特点：穿过区域且平行于穿过区域且平行于x轴轴的直线与区域边界相交不多于两个交点的直线与区域边界相交不多于两个交点.),(),()()(21 Ddcyydxyxfdydyxf ,:dycD ).()(21yxy Y型型多重积分习题PPT课件.)sin,cos()()(21 rdrrrfd 1)sin,co

5、s(Drdrdrrf ,:1 D).()(21 r（）极坐标系下（）极坐标系下多重积分习题PPT课件.)sin,cos()(0 rdrrrfd,:2 D).(0 r 2)sin,cos(Drdrdrrf 3)sin,cos(Drdrdrrf .)sin,cos()(020 rdrrrfd,20:3 D).(0 r多重积分习题PPT课件5 5、三重积分的定义、三重积分的定义 dvzyxf),(iiiniivf ),(lim10 .多重积分习题PPT课件6、三重积分的几何意义、三重积分的几何意义表示空间区域的体积表示空间区域的体积时时当当 Vdvzyxf,1),(7 7、三重积分的性质、三重积分的

6、性质类似于二重积分的性质类似于二重积分的性质多重积分习题PPT课件8 8、三重积分的计算、三重积分的计算.);()();,(),(:2121bxaxyyxyyxzzyxz .),(),()()(),(),(2121 baxyxyyxzyxzdzzyxfdydxdvzyxf.,),( ),(21czcDyxzyxz .),(),(21 zDccdxdyzyxfdzdvzyxf() 直角坐标直角坐标多重积分习题PPT课件 .,sin,coszzryrx () 柱面坐标柱面坐标.),sin,cos(),( dzrdrdzrrfdvzyxf ,dzrdrddv 多重积分习题PPT课件9 9、重积分的应

7、用、重积分的应用(1) 体积体积的的体体积积为为之之间间直直柱柱体体与与区区域域在在曲曲面面Dyxfz),( DdxdyyxfV.),(设设S曲面的方程为：曲面的方程为：).,(yxfz 曲面曲面S的面积为的面积为 ;122dxdyAxyDyzxz (2) 曲面面积曲面面积多重积分习题PPT课件当薄片是均匀的，重心称为形心当薄片是均匀的，重心称为形心.,1 DxdAx .1 DydAy DdA 其中其中,),(),( DDdyxdyxxx .),(),( DDdyxdyxyy 设设有有一一平平面面薄薄片片，占占有有xoy面面上上的的闭闭区区域域D，在在点点),(yx处处的的面面密密度度为为),

8、(yx ，假假定定),(yx 在在D上上连连续续，平平面面薄薄片片的的重重心心为为(3) 重心重心多重积分习题PPT课件. dvM 其中其中,1 dvxMx ,1 dvyMy .1 dvzMz 当物体是均匀的，重心称为形心当物体是均匀的，重心称为形心.,1 xdvMx.1 zdvMz,1 ydvMy.为为物物体体的的质质量量其其中中 dvM多重积分习题PPT课件薄片对于薄片对于x轴的转动惯量轴的转动惯量薄片对于薄片对于y轴的转动惯量轴的转动惯量,),(2 DxdyxyI .),(2 DydyxxI (4) 转动惯量转动惯量多重积分习题PPT课件,)(22 dvzyIx ,)(22 dvxzIy

9、 ,)(22 dvyxIz .)(222 dvzyxIo 多重积分习题PPT课件薄片对薄片对轴上单位质点的引力轴上单位质点的引力z,zyxFFFF ,)(),(23222 dayxxyxfFDx ,)(),(23222 dayxyyxfFDy .)(),(23222 dayxyxafFDz 为引力常数为引力常数f(5) 引力引力多重积分习题PPT课件D二、典型例题二、典型例题例例1 1解解围成围成由由其中其中计算计算2,1,.22 xxyxyDdyxD X-型型 xxDdyyxdxdyx1222122 2112)(dxyxxx 213)(dxxx.49 . 21,1: xxyxD多重积分习题P

10、PT课件例例2 2解解. 10, 11:.2 yxDdxyD其其中中计计算算 1D2D3D先去掉绝对值符号，如图先去掉绝对值符号，如图 dxydyxdxyDDDD 321)()(222 1211021122)()(xxdyxydxdyyxdx.1511 多重积分习题PPT课件)0( .),(22202 adyyxfdxIaxxaxa更更换换积积分分次次序序例例3 3解解 ,22,20:2axyxaxaxD,321三三部部分分及及分分成成将将积积分分区区域域DDDD2D1D3D;0,2:2221ayyaaxayD 多重积分习题PPT课件;2,22:22ayaaxayD ;0,2:223ayaxy

11、aaD .),(),(),(20222020222222 ayaaaaayayaaayadxyxfdydxyxfdydxyxfdyI故故多重积分习题PPT课件例例4 4解解）所所围围的的面面积积（取取圆圆外外部部和和圆圆是是由由心心脏脏线线其其中中计计算算ararDdyxD )cos1(.22 )cos1(2222aaDrdrrddyx 22331)cos1(31da).2922(3 a多重积分习题PPT课件例例5 5.)()(11)()(12 banxanbadyyfybndyyfyxdx证证明明 证证 bynbaxanbadxyfyxdydyyfyxdx)()()()(22 babynyx

12、ndyyf)(11)(1.)()(111 bandyyfybnDxy bbaa多重积分习题PPT课件例例6. 计算三重积分计算三重积分2222Rzyx )0(2222 RzRzyx,2zdydxdz 其中其中 是是两个两个 的公共部分的公共部分.及及提示提示: 由于被积函数缺由于被积函数缺 x , y ,原式原式 = zDydxd1zdzzRzR 2022)2( 2RRzyxo利用利用“先二后一先二后一” 计算方便计算方便 .zdzR 202 zDydxd2zdzRR 22zdzRzRR 2222)( zD1zD2548059R 球球 多重积分习题PPT课件 例例7.计算三重积分计算三重积分v

13、dzy )(22,其中其中 是由是由 xoy 平面上曲线平面上曲线xy22 5 x所围成的闭区域。所围成的闭区域。提示提示：利用柱坐标：利用柱坐标 sincosrzryxx原式原式 522rxd绕绕 x 轴旋转而成的曲面与平面轴旋转而成的曲面与平面5221 xr100 r 20 rdr 1003 20d 3250 :多重积分习题PPT课件例例8. 计算二重积分计算二重积分,)(222ydxdeyxxIyxD 其中其中(1) D为圆域为圆域;122 yx(2) D由直线由直线1,1, xyxy解解: (1) 利用对称性利用对称性oxy1DdxdyxID 20)(2122 ydxdyxD 2010

14、321rdrd4dxdyeyxDyx 22围成围成 .多重积分习题PPT课件ydxdeyxDyx 122(2) 积分域如图积分域如图o1yx11D2Dxyxy xy 将将D 分为分为,2D,1DydxdxID 2ydxdeyxDyx 222001112 xyddxx32 添加辅助线添加辅助线例例8. 计算二重积分计算二重积分(2) D由直线由直线 围成围成.1,1, xyxy,)(222ydxdeyxxIyxD 其中其中利用对称性利用对称性 , 有有多重积分习题PPT课件测测 验验 题题多重积分习题PPT课件 3 3、当、当D是是( )( )围成的区域时围成的区域时, ,二重积分二重积分 Dd

15、xdy=1.=1. (A) (A)x轴轴, ,y轴及轴及022 yx；( (B)B)31,21 yx ； (C) (C)x轴轴, ,y轴及轴及3, 4 yx；(D)(D). 1, 1 yxyx 4 4、 Dxydxdyxe的值为的值为( ).( ).其中区域为其中区域为D 01, 10 yx. . (A) (A) e1 ； (B) (B) e ； (C) (C) e1 ； (D) 1 . (D) 1 .多重积分习题PPT课件 5 5、设设 DdxdyyxI)(22, ,其其中中D由由222ayx 所所 围围成成, ,则则I= =( ( ) ). . ( (A A) )40220ardrada

16、; ;( (B B) )4022021ardrrda ; ; ( (C C) )3022032adrrda ; ;( (D D) )402202 aadrada . . 6 6、设设 是是由由三三个个坐坐标标面面与与平平面面zyx 2= =1 1 所所围围成成的的 空空间间区区域域, ,则则 xdxdydz= =( ( ) ). . ( (A A) ) 481 ； ( (B B) ) 481 ； ( (C C) ) 241 ； ( (D D) ) 241 . .多重积分习题PPT课件 7 7、设、设 是锥面是锥面, 0(222222 abyaxcz)0, 0 cb与平面与平面 czyx , 0

17、, 0所围成的空间区域在第一卦限所围成的空间区域在第一卦限的的 部分部分, ,则则 dxdydzzxy=( ).=( ). (A) (A) cba22361； (B) (B) bba22361； (C) (C) acb22361； (D) (D) abc361. . 8 8、计算、计算 zdvI, ,其其1,222 zyxz为为中中围成的围成的 立体立体, ,则正确的解法为则正确的解法为( )( )和和( ).( ).多重积分习题PPT课件 ( (A A) ) 101020zdzrdrdI；( (B B) ) 11020rzdzrdrdI； ( (C C) ) 11020rrdrdzdI； (

18、 (D D) ) zzrdrddzI02010. .多重积分习题PPT课件二、计算下列二重积分二、计算下列二重积分: : 1 1、 Ddyx )(22, ,其中其中D是闭区域是闭区域: : .0 ,sin0 xxy 2 2、 Ddxy arctan, ,其中其中D是由直线是由直线0 y及圆周及圆周 1, 42222 yxyx, ,xy 所围成的在第一象所围成的在第一象 限内的闭区域限内的闭区域 . . 3 3、 Ddyxy )963(2, ,其中其中D是闭区是闭区 域域: :222Ryx 4 4、 Ddyx 222, ,其中其中D: :322 yx. .多重积分习题PPT课件三、作出积分区域图

19、形并交换下列二次积分的次序三、作出积分区域图形并交换下列二次积分的次序: : 1 1、 yydxyxfdydxyxfdy30312010),(),(； 2 2、 21110),(xxdyyxfdx； 3 3、 00)sin,cos(rdrrrfda. .四、将三次积分四、将三次积分 yxxdzzyxfdydx),(110改换积分次序为改换积分次序为 zyx. .五、计算下列三重积分五、计算下列三重积分: : 1 1、 ,)cos(dxdydzzxy: :抛物柱面抛物柱面xy 2, zxozoy及及平平面面所围成的区域所围成的区域 . .多重积分习题PPT课件 2 2、,)(22 dvzy其中其

20、中 是由是由xoy平面上曲线平面上曲线 xy22 绕绕x轴旋转而成的曲面与平面轴旋转而成的曲面与平面5 x所围所围 成的闭区域成的闭区域 . . 3 3、,1)1ln(222222 dvzyxzyxz其中其中 是由球面是由球面 1222 zyx所围成的闭区域所围成的闭区域 . .六、求平面六、求平面1 czbyax被三坐标面所割出的有限部分被三坐标面所割出的有限部分 的面积的面积 . .七、七、 设设)(xf在在1 , 0上连续上连续, ,试证试证: : 310101)(61)()()( dxxfdxdydzzfyfxfxyx . .多重积分习题PPT课件一、一、 1 1、D D； 2 2、C

21、 C； 3 3、A A； 4 4、A A； 5 5、B B；6 6、A A； 7 7、A A； 8 8、B,DB,D； 9 9、B B； 10 10、C.C.二、二、1 1、9402 ；2 2、2643 ；3 3、2494RR ；4 4、.25 三、三、1 1、 xxdyyxfdx3220),(；2 2、 222021010),(),(yyydxyxfdydxyxfdy；3 3、 aradrrfrdr )sin,cos(0. .四、四、 zzdxzyxfdydz0110),(. .五、五、1 1、21162 ； 2 2、 3250； 3 3、0.0.测验题答案测验题答案多重积分习题PPT课件六、六、22222221accbba . .七、提示：七、提示： 0)0(,)()()()(,)()(100 FdxxftFxfxFdttfxFx且且则则