函数的积分学课件

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1、上页上页下页下页首页首页第三章第三章 一元函数的积分学一元函数的积分学内容内容原函数和不定积分的概念原函数和不定积分的概念 不定积分的基本性质不定积分的基本性质 基本积基本积分公式分公式 定积分的概念和基本性质定积分的概念和基本性质 定积分中值定理定积分中值定理 积分上限的函数及其导数积分上限的函数及其导数 牛顿一莱布尼茨公式牛顿一莱布尼茨公式 不定不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法积分和定积分的换元积分法与分部积分法 反常（广义）积反常（广义）积分分 定积分的应用定积分的应用上页上页下页下页首页首页要求要求1理解原函数与不定积分的概念，掌握不定积分的基本性质和基本积分公式，理解原函数与

2、不定积分的概念，掌握不定积分的基本性质和基本积分公式，掌握不定积分的换元积分法和分部积分法掌握不定积分的换元积分法和分部积分法2了解定积分的概念和基本性质，了解定积分中值定理，理解积分上限的函数了解定积分的概念和基本性质，了解定积分中值定理，理解积分上限的函数并会求它的导数，掌握牛顿一莱布尼茨公式以及定积分的换元积分法和分部积并会求它的导数，掌握牛顿一莱布尼茨公式以及定积分的换元积分法和分部积分法分法3会利用定积分计算平面图形的面积旋转体的体积和函数的平均值，会利用会利用定积分计算平面图形的面积旋转体的体积和函数的平均值，会利用定积分求解简单的经济应用问题定积分求解简单的经济应用问题4了解反常

3、积分的概念，会计算反常积分了解反常积分的概念，会计算反常积分上页上页下页下页首页首页3.1 不定积分内容重点内容重点：1.不定积分、原函数的定义不定积分、原函数的定义2.不定积分的计算不定积分的计算(主要是换元法和分部积分法主要是换元法和分部积分法)上页上页下页下页首页首页例例 xxcossin xsin是是xcos的的原原函函数数. )0(1ln xxxxln是是x1在在区区间间), 0(内内的的原原函函数数.如如果果在在区区间间I内内，定义：定义：可可导导函函数数)(xF的的即即Ix ，都都有有)()(xfxF 或或dxxfxdF)()( ，那那么么函函数数)(xF就就称称为为)(xf导导

4、函函数数为为)(xf，或或dxxf)(在在区区间间I内内原原函函数数. .1、原函数与不定积分的概念上页上页下页下页首页首页原函数存在定理：原函数存在定理：设设)(xf是是区区间间I内内的的连连续续函函数数，则则存存在在可可导导函函数数)(xF, ,连续函数一定有原函数连续函数一定有原函数. .注意：注意：(1) 原函数不唯一原函数不唯一;使使Ix ，都都有有)()(xfxF . .(2) 原函数之间的关系原函数之间的关系:CxfxF则则对对任任意意常常数数若若),()( CxF )(都是都是)(xf的原函数的原函数.若若 和和 都是都是 的原函数，的原函数，)(xF)(xG)(xf.)()(

5、CxGxF 则则上页上页下页下页首页首页任意常数任意常数积分号积分号被积函数被积函数不定积分的定义：不定积分的定义：在在区区间间I内内，CxFdxxf )()(被积表达式被积表达式积分变量积分变量不不定定积积分分，记记为为 dxxf)(. . , )( ,的全部原函数的过程称求已知函数习惯上xf . )( 的不定积分为求函数xf .运算求不定积分是求导的逆上页上页下页下页首页首页函函数数)(xf的的原原函函数数的的图图形形称称为为)(xf的的积积分分曲曲线线.显然，求不定积分得到一积分曲线族显然，求不定积分得到一积分曲线族.由不定积分的定义，可知由不定积分的定义，可知 ),()(xfdxxfd

6、xd ,)()(dxxfdxxfd ,)()( CxFdxxF.)()( CxFxdF结论：结论： 微分运算与求不定积分的运算是微分运算与求不定积分的运算是的的.上页上页下页下页首页首页基基本本积积分分表表 kCkxkdx()1(是常数是常数););1(1)2(1 Cxdxx;ln)3( Cxxdx说明：说明： , 0 x,ln Cxxdx )ln(, 0 xx,1)(1xxx ,)ln( Cxxdx,|ln Cxxdx简写为简写为.ln Cxxdx2、 基本积分表上页上页下页下页首页首页 dxx211)4(;arctanCx dxx211)5(;arcsinCx xdxcos)6(;sinC

7、x xdxsin)7(;cosCx xdx2cos)8( xdx2sec;tanCx xdx2sin)9( xdx2csc;cotCx 上页上页下页下页首页首页 xdxxtansec)10(;secCx xdxxcotcsc)11(;cscCx dxex)12(;Cex dxax)13(;lnCaax 上页上页下页下页首页首页 dxxgxf)()()1(;)()( dxxgdxxf（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）3、 不定积分的性质 dxxkf)()2(.)( dxxfk（k是是常常数数，)0 k上页上页下页下页首页首页设设)(uf具具有有原原函

8、函数数， dxxxf)()( )()(xuduuf 凑微分法凑微分法说明说明 使用此公式的关键在于将使用此公式的关键在于将 dxxg)(化为化为.)()( dxxxf)(xu 可可导导，则则有有换换元元公公式式4、 不定积分的计算即xxxfd)()()(d)(xxf上页上页下页下页首页首页其其中中)(x 是是)(tx 的的反反函函数数. .设设)(tx 是是单单调调的的、可可导导的的函函数数， )()()()(xtdtttfdxxf 则有换元公式则有换元公式并且并且0)( t ，又又设设)()(ttf 具具有有原原函函数数，定理定理2 2一般规律如下：当被积函数中含有一般规律如下：当被积函数中

9、含有22)1(xa 可令可令;sintax 22)2(xa 可令可令;tantax 22)3(ax 可令可令.sectax 换元法换元法 积分中为了化掉积分中为了化掉根式是否一定采根式是否一定采用三角代换并不用三角代换并不是绝对的，需根是绝对的，需根据被积函数的情据被积函数的情况来定况来定.上页上页下页下页首页首页基基本本积积分分表表;coslntan)16( Cxxdx;sinlncot)17( Cxxdx;)tanln(secsec)18( Cxxxdx;)cotln(csccsc)19( Cxxxdx;arctan11)20(22Caxadxxa 上页上页下页下页首页首页;ln211)2

10、2(22Cxaxaadxxa ;arcsin1)23(22Caxdxxa .)ln(1)24(2222Caxxdxax ;ln211)21(22Caxaxadxax 上页上页下页下页首页首页由导数公式vuvuuv )(积分得:xvuxvuuvdd分部积分公式分部积分公式xvuuvxvudd或uvvuvudd1) v 容易求得 ;xvuxvudd)2比容易计算 .:)d(的原则或及选取vvu分部积分法上页上页下页下页首页首页 若被积函数是幂函数和正若被积函数是幂函数和正(余余)弦函数弦函数或幂函数和指数函数的乘积或幂函数和指数函数的乘积, 就考虑设幂函就考虑设幂函数为数为 , 使其降幂一次使其降

11、幂一次(假定幂指数是正整数假定幂指数是正整数)u 若被积函数是幂函数和对数函数或幂若被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就考虑设对数函函数和反三角函数的乘积，就考虑设对数函数或反三角函数为数或反三角函数为 .u 若分部产生循环式 , 由此解出积分式 (注意: 两次分部选择的 u , v 函数类型不变 , 解出积分后加 C )上页上页下页下页首页首页3.2 定积分内容重点内容重点：1.定积分的定义定积分的定义3.定积分的计算定积分的计算(主要是换元法和分部积分法主要是换元法和分部积分法)4.定积分的性质及积分中值定理定积分的性质及积分中值定理5.定积分在几何（求面积及旋转体的体

12、积）上的应用定积分在几何（求面积及旋转体的体积）上的应用6.广义积分的收敛与发散，广义积分的计算广义积分的收敛与发散，广义积分的计算2.变上限积分及其导数变上限积分及其导数上页上页下页下页首页首页设设函函数数)(xf在在,ba上上有有界界，记记,max21nxxx ，如如果果不不论论对对,ba在在,ba中中任任意意插插入入若若干干个个分分点点bxxxxxann 1210把把区区间间,ba分分成成n个个小小区区间间，各各小小区区间间的的长长度度依依次次为为1 iiixxx，), 2 , 1( i，在在各各小小区区间间上上任任取取一一点点i （iix ），作乘积作乘积iixf )( ), 2 ,

13、1( i并并作作和和iinixfS )(1 ，1、定积分定义定义定义上页上页下页下页首页首页怎怎样样的的分分法法， baIdxxf)(iinixf )(lim10 被积函数被积函数被积表达式被积表达式积分变量积分变量积积分分区区间间,ba也也不不论论在在小小区区间间,1iixx 上上点点i 怎怎样样的的取取法法，只要当只要当0 时，时，和和S总趋于总趋于确确定定的的极极限限I，我我们们称称这这个个极极限限I为为函函数数)(xf在在区区间间,ba上上的的定定积积分分，记为记为积分上限积分上限积分下限积分下限积分和积分和上页上页下页下页首页首页注意：注意：（1） 积积分分值值仅仅与与被被积积函函数

14、数及及积积分分区区间间有有关关， badxxf)( badttf)( baduuf)(（2）定定义义中中区区间间的的分分法法和和i 的的取取法法是是任任意意的的.（3 3）当当函函数数)(xf在在区区间间,ba上上的的定定积积分分存存在在时时，而而与与积积分分变变量量的的字字母母无无关关.称称)(xf在在区区间间,ba上上可可积积.上页上页下页下页首页首页 当当函函数数)(xf在在区区间间,ba上上连连续续时时，定理定理1 1定理定理2 2 设设函函数数)(xf在在区区间间,ba上上有有界界，称称)(xf在在区区间间,ba上上可可积积. .且且只只有有有有限限个个间间断断点点，则则)(xf在在

15、 存在定理区间区间,ba上可积上可积. .上页上页下页下页首页首页, 0)( xf baAdxxf)(曲边梯形的面积曲边梯形的面积, 0)( xf baAdxxf)(曲边梯形的面积曲边梯形的面积的负值的负值1A2A3A4A4321)(AAAAdxxfba 定积分的几何意义上页上页下页下页首页首页几何意义：几何意义：积积取取负负号号轴轴下下方方的的面面在在轴轴上上方方的的面面积积取取正正号号；在在数数和和之之间间的的各各部部分分面面积积的的代代直直线线的的图图形形及及两两条条轴轴、函函数数它它是是介介于于xxbxaxxfx ,)( 上页上页下页下页首页首页2、定积分的性质、定积分的性质(设所列定

16、积分都存在)abbaxxfxxfd)(d)(. 10d)(aaxxfbaxd. 2xxfkxxfkbabad)(d)(. 3( k 为常数)bababaxxgxxfxxgxfd)(d)(d)()(. 4abbccabaxxfxxfxxfd)(d)(d)(. 5上页上页下页下页首页首页6. 若在 a , b 上xxfbad)(xxfbad)(, )(min, )(max,xfmxfMbaba则.0d)(xxfba,0)(xf推论推论1. 若在 a , b 上, )()(xgxf则xxfbad)(xxgbad)(推论推论2.7. 设则)(d)()(abMxxfabmba8. 积分中值定理积分中值定

17、理, ,)(baCxf若则至少存在一点, ,ba使)(d)(abfxxfba上页上页下页下页首页首页 设设函函数数)(xf在在区区间间,ba上上连连续续，并并且且设设x为为,ba上上的的一一点点， xadxxf)(考察定积分考察定积分 xadttf)(记记.)()( xadttfx积分上限函数积分上限函数 如如果果上上限限x在在区区间间,ba上上任任意意变变动动，则则对对于于每每一一个个取取定定的的x值值，定定积积分分有有一一个个对对应应值值，所所以以它它在在,ba上上定定义义了了一一个个函函数数，3、积分上限函数及其导数上页上页下页下页首页首页定定理理 如如果果)(xf在在,ba上上连连续续

18、，则则积积分分上上限限的的函函数数dttfxxa )()(在在,ba上上具具有有导导数数，且且它它的的导导数数是是)()()(xfdttfdxdxxa )(bxa 积分上限函数的导数积分上限函数的导数补充补充 如如果果)(tf连连续续，)(xa、)(xb可可导导，则则dttfxFxbxa )()()()(的的导导数数)(xF 为为 )()()()(xbxadttfdxdxF )()()()(xaxafxbxbf 上页上页下页下页首页首页定理定理 3 3（微积分基本公式）（微积分基本公式）如如果果)(xF是是连连续续函函数数)(xf在在区区间间,ba上上的的一一个个原原函函数数，则则)()()(

19、aFbFdxxfba . .4、牛顿莱布尼茨公式上页上页下页下页首页首页)()()(aFbFdxxfba 微积分基本公式表明：微积分基本公式表明： baxF)( 一个连续函数在区间一个连续函数在区间,ba上的定积分等于上的定积分等于它的任意一个原函数在区间它的任意一个原函数在区间,ba上的增量上的增量.注意注意当当ba 时，时，)()()(aFbFdxxfba 仍成立仍成立.求定积分问题转化为求原函数的问题求定积分问题转化为求原函数的问题. . 函数的计算联系起来了将定积分的计算与求原莱布尼茨公式牛顿上页上页下页下页首页首页定理定理 则则 有有dtttfdxxfba )()()(. .5、定积

20、分的换元法和分部积分法, ,)(baCxf)(tx1( ), ( ),( );tCab 设函数单值函数满足:1) ,( ),atb 在上2)定积分的换元公式定积分的换元公式上页上页下页下页首页首页应用换元公式时应注意应用换元公式时应注意:（1）（2）上页上页下页下页首页首页 设函数设函数)(xu、)(xv在区间在区间 ba,上具有连续上具有连续导数，则有导数，则有 bababavduuvudv. .定积分的分部积分公式定积分的分部积分公式推导推导 ,vuvuuv ,)(babauvdxuv , bababadxvudxvuuv . bababavduuvudv 定积分的分部积分法上页上页下页下

21、页首页首页上页上页下页下页首页首页 adxxf)( babdxxf)(lim6、广义积分无穷限的广义积分无穷限的广义积分上页上页下页下页首页首页 bdxxf)( baadxxf)(lim上页上页下页下页首页首页, ),()(Cxf若则定义xxfd)(xxfcaad)(limxxfbcbd)(lim( c 为任意取定的常数 )只要有一个极限不存在 , 就称xxfd)(发散 .无穷限的反常积分也称为第一类反常积分第一类反常积分. ,并非不定型 ,说明说明: 上述定义中若出现 它表明该反常积分发散 .上页上页下页下页首页首页,)()(的原函数是若xfxF引入记号; )(lim)(xFFx)(lim)

22、(xFFx则有类似牛 莱公式的计算表达式 :xxfad)()(xFa)()(aFFxxfbd)()(xFb)()(FbFxxfd)()(xF)()(FF上页上页下页下页首页首页 badxxf)(0lim( )baf x dx 无界函数的反常积分无界函数的反常积分上页上页下页下页首页首页上页上页下页下页首页首页 badxxf)( cadxxf)( bcdxxf)(定义中定义中C为为瑕点瑕点，以上积分称为，以上积分称为瑕积分瑕积分.上页上页下页下页首页首页注意注意: 若瑕点,)()(的原函数是设xfxF的计算表达式 : xxfbad)()()(aFbFxxfbad)()()(aFbFxxfbad)

23、()()(aFbF则也有类似牛 莱公式的若 b 为瑕点, 则若 a 为瑕点, 则若 a , b 都为瑕点, 则, ),(bac则xxfbad)()()(cFbF)()(aFcF可相消吗可相消吗?上页上页下页下页首页首页微元法微元法7.定积分的应用上页上页下页下页首页首页3）以以所所求求量量U的的元元素素dxxf)(为为被被积积表表达达式式，在在区区间间,ba上上作作定定积积分分，得得 badxxfU)(，即即为为所所求求量量U的的积积分分表表达达式式.这个方法通常叫做这个方法通常叫做微元法微元法应用方向：应用方向：平面图形的面积；体积。平面图形的面积；体积。上页上页下页下页首页首页xyo)(x

24、fy abxyo)(1xfy )(2xfy ab曲边梯形的面积曲边梯形的面积 badxxfA)(曲边梯形的面积曲边梯形的面积 平面图形的面积xxxx x 1.直角坐标系情形xxfxfAbad)()(21上页上页下页下页首页首页 旋转体旋转体就是由一个平面图形饶这平面内就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴旋转轴圆柱圆柱圆锥圆锥圆台圆台 旋转体的体积上页上页下页下页首页首页一一般般地地，如如果果旋旋转转体体是是由由连连续续曲曲线线)(xfy 、直直线线ax 、bx 及及x轴轴所所围围成成的的曲曲边边梯梯形形绕绕x轴轴旋旋转转一一

25、周周而而成成的的立立体体，体体积积为为多多少少？取取积积分分变变量量为为x，,bax 在在,ba上任取小区上任取小区间间,dxxx ，取取以以dx为为底底的的窄窄边边梯梯形形绕绕x轴轴旋旋转转而而成成的的薄薄片片的的体体积积为为体体积积元元素素，dxxfdV2)( xdxx xyo旋转体的体积为旋转体的体积为dxxfVba2)( )(xfy 上页上页下页下页首页首页 类似地，如果旋转体是由连续曲线类似地，如果旋转体是由连续曲线)(yx 、直线、直线cy 、dy 及及y轴所围轴所围成的曲边梯形绕成的曲边梯形绕y轴旋转一周而成的立体，轴旋转一周而成的立体，体积为体积为xyo)(yx cddyy2)( dcV上页上页下页下页首页首页xoab平行截面面积为已知的立体的体积xdxx 如果一个立体不是旋转体，但却知道该立如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算个立体的体积也可用定积分来计算.)(xA表表示示过过点点x且且垂垂直直于于x轴轴的的截截面面面面积积，)(xA为为x的已知连续函数的已知连续函数,)(dxxAdV .)( badxxAV立体体积立体体积