2015解步步高大一轮讲义34

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1、3.4定积分些础知识”自主学习知识也抽坤席敦11要点梳理1. 用化归法计算矩形面积和用逼近的思想方法求出曲边梯形的面积的具体步骤为分割、近似代替、求和、取极限.2. 定积分的定义Forpersonaluseonlyinstudyandresearch;notforcommercialuse如果函数f(x)在区间a,b上连续，用分点将区间a,b等分成n个小区间，在每个小n区间上任取一点&(i=1,2,，n),作和式笔f(&)当mg时，上述和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间a,b上的定积分，记作？2f(x)dx.3. 定积分的运算性质？akf(x)dx=k?f(x)dx(k为常

2、数).Forpersonaluseonlyinstudyandresearch;notforcommercialuse(2) ?%f1(x)f2(x)dx=?af1(x)dx?af2(x)dx.(3) ?bf(x)dx=?af(x)dx+?bf(x)dx(ac0.(V)若？af(x)dx0氓芽训设f(x)=a2若f(f(1)=1，则a=.x+a3x2dx,x0,n(2)壬nsinxdx=.2答案(1)1(2)0解析(1)由题意知f(1)=lg1=0,f(0)=0+a3-00，2、2，3.=1,a=1.nn由于函数y=sinx在区间，2】上是一个奇函数，图象关于原点成中心对称，在xn轴上方和下方

3、面积相等，故该区间上定积分的值为面积的代数和，等于0,即Ensinxdx=0.题型二利用定积分求曲边梯形的面积【例2如图所示，求由抛物线y=x解由题意，知抛物线y=x2+4x3在点A处的切线斜率是k1=y7|x=0=4，在点B处的切线斜率是k2=y7|x=3=2因此，抛物线过点A的切线方程为y=4x3,过点B+4x3及其在点A(0，3)和点B(3,0)处的切线所围成的图形的面积.3思维启迪求出两切线交点M的坐标2，3，将积分区间分为两段因此，所求的图形的面积是3232s=0(4x3)(x+4x3)dx+3(2x+6)(x+4x3)dxZ3=0x厂rc1dx+10x2,x0,2】,(x26x+9

4、)dx999=8+8=4.思维升华对于求平面图形的面积问题，应首先画出平面图形的大致图形，然后根据图形特点，选择相应的积分变量及被积函数，并确定被积区间.跟踪训隊2已知函数y=f(x)的图象是折线段ABC，其中A(0,0)、B(1,5)、C(1,0).函数y=xf(x)(0wxw1)的图象与x轴围成的图形的面积为5答案541 10x,x0,2,解析由已知可得f(x)=则y=xf(x)=10x2+10x,xS=0(10)dx+画出函数图象，如图所示，所求面积(10x2+10x)dx=寮3?0衆+5x2115.1010v12=石+(?+5)(7x1+5x4)=54.110x+10,x2,1,题型三

5、定积分在物理中的应用【例3一物体做变速直线运动，其vt曲线如图所示，则该物体1在2s6s间的运动路程为.思维启迪从题图上可以看出物体在0wtw1时做加速运动，1wtw3时做匀速运动，3wtw6时也做加速运动，但加速度不同，也就是说0wtw6时，v(t)为一个分段函数，故应分三段求积分才能求出曲边梯形的面积.答案49才m2t解析由题图可知,v(t)=21wt31t+13wtw6因此该物体在2s6s间运动的路程为611s=1v(t)dt=12tdt+?12dt+?33t+1dt223=许2+2t|1+6t2+t|6=典例：(12分)在区间0,1上给定曲线y=x2试在此区间内确定点t的值，使图中的阴

6、影部分的面积S1与S2之和最小，并求最小值.思维启迪(1)题目要求是求Si与S2之和最小，所以要先构造S=S1+S2的函数，利用函数思想求解.(2)Si、S2的面积只能通过定积分求解，所以要选准积分变量.(m).求变速直线运动的路程；求变力所思维升华定积分在物理方面的应用主要包括:做的功.跟踪训媒合设变力F(x)作用在质点M上，使M沿x轴正向从x=1运动到x=10,已知F(x)=x2+1且和x轴正向相同，求变力F(x)对质点M所做的功.解变力F(x)=x2+1使质点M沿x轴正向从x=1运动到x=10所做的功为W=?10F(x)dx=?10(x2+1)dx=(3x3+x)H=342,即变力F(x

7、)对质点M所做的功为342.思想号方法系列5函数思想、数形结合思想在定积分中的应用规范解答解S1面积等于边长为t与t方法与技巧1. 求定积分的方法利用定义求定积分(定义法)，可操作性不强.利用微积分基本定理求定积分步骤如下：求被积函数f(x)的一个原函数F(x);计算F(b)F(a).的矩形面积去掉曲线y=x2与x轴、直线x=t所围成的面积，即Si=tt2?0x2dx=|t利用定积分的几何意义求定积分.2分S2的面积等于曲线y=x2与x轴，x=t,x=1围成的面积去掉矩形面积，矩形边长分别为t2,1t,即S2=?2x2dx12(1t)=2t3t2+4分所以阴影部分的面积43212 S=S1+S

8、2=3t3t2+3(0wtW1).6分11令S(t)=4t22t=4tt2=0，得t=0或t=8分t=o时，s=3t=2时，s=4；t=1时，s=|.10分11所以当t=2时，S最小，且最小值为12分温馨提醒(1)本题既不是直接求曲边梯形面积问题，也不是直接求函数的最小值问题，而是先利用定积分求出面积的和，然后利用导数的知识求面积和的最小值，难点在于把用导数求函数最小值的问题置于先求定积分的题境中，突出考查知识的迁移能力和导数的应用意识.(2)本题易错点：一是缺乏函数的意识；二是不能正确选择被积区间2 思想方法感悟提高.求曲边多边形面积的步骤：(1) 画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大

9、致图形.(2) 借助图形确定被积函数，求出交点坐标，确定积分的上限、下限.(3) 将曲边梯形的面积表示为若干个定积分之和.(4) 计算定积分.1 失误与防范.被积函数若含有绝对值号，应先去绝对值号，再分段积分.2 若积分式子中有几个不同的参数，则必须先分清谁是被积变量.3 定积分式子中隐含的条件是积分上限大于积分下限.4 定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意：面积非负，而定积分的结果可以为负.5将要求面积的图形进行科学而准确的划分，可使面积的求解变得简捷A组专项基础训练(时间：35分钟，满分:57分)、选择题n1.0(sinxacosx)dx=2，则实数a等于(A.1B.1C.3D.3答

10、案A解析n0sinxacosxcosxasinx=a+1=2,a=-1.2.由直线nX=3,nx=3,y=0与曲线y=cosx所围成的封闭图形的面积为A.1D/.3答案解析n3nCOsxdx3sinxn3n313. (2013江西)若Si=?2x2dx,S2=?2dx,X()A.SiS2S3C.S2S3Si答案B解析利用定积分的几何意义知B正确.4. 图中阴影部分的面积是A.16B.18C.20D.22答案BS3=?2eXdx，贝US1,S2,S3的大小关系为B.S2S1S3D.S3S2S1y2y2y3解析S=?2y+4dy=2+4y|2=185.一物体在变力F(x)=5x2(力单位：N，位移

11、单位：线运动，则由x=1运动到x=2时F(x)做的功为()A.3J2*3B.3J4.3C.3JD.2;3J答案C解析？2F(x)xCOS30dx=?2(5x2)xdxm)作用下，沿与F(x)成30。方向作直13=5x3x(图中F(x)做的功为4.3J.二、填空题6.?3(x2+1)dx=答案1211解析?3(x2+1)dx=x3+x|3=33+3=12.7. 如图所示，函数y=x2+2x+1与y=1相交形成一个闭合图形的阴影部分)，则该闭合图形的面积是.4答案4y=x1故所求面积S=?07x+dx+?12x+dx=|x|+6x2|0+2x护I3=2+1+4=空+2x+1解析由，y=1得xi=0

12、,X2=2.S=?2(x2+2x+11)dx=?0(x2+2x)dxx63610. 汽车以54km/h的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以等加速度3m/s2刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多远？2284=3+x|0=3+解由题意，得V0=54km/h=15m/s.=3.8. 汽车以v=3t+2(单位：m/s)作变速直线运动时，在第1s至第2s间的1s内经过的路程是m.答案6.533 解析s=?2(3t+2)dt=尹+2t|13713=2x4+42+2=102=2(m).9. 三、解答题1求曲线y=.x,y=2x,y=所围成图形的面积.y=&,解由得交点A(1,1);y=2xy=2x,由1

13、得交点B(3,1).y=3xy=2-x-y=4O所以v(t)=voat=153t.令v(t)=0,得153t=0.解得t=5.所以开始刹车5s后，汽车停车.所以汽车由刹车到停车所行驶的路程为s=?5v(t)dt=?5(153t)dt=15t|t2|0=37.5(m).故汽车走了37.5m.111由题意，可知？0f(x)dx=?3x2dx+?e_dx=-x3|0+Inxp=1X33B组专项能力提升x2,x0,1,1.设f(x)=1-,x1,ex(其中e为自然对数的底数)，贝U?0f(x)dx的值为()4567A.3答案AB.4C.6D.7(时间：25分钟，满分：43分)解析根据定积分的运算法则，

14、+1=3.1曲线y=-与直线y=x,x=2所围成的图形的面积为x答案2ln2解析S=?2xdx?dx3 =2x2|1lnx|13=2(ln2ln1)=2ln2.tOWt20,3.作变速直线运动的质点的速度是v(t)=2020tW80,(单位m100t80tW100.(1) 该质点从t=10到t=30时所经过的路程是m;(2) 该质点从开始运动到结束运动共经过m.答案(1)350(2)1600解析(1)S1=?30v(t)dt=?28tdt+?2020dt=*218+28t38=358.(2)S2=?888v(t)dt=?28tdt+?2828dt+?888(1OOt)dt=1688.4.曲线C

15、:y=2x33x22x+1,点pg,8),求过P的切线I与C围成的图形的面积.解设切点坐标为(X8,yo),y=6X26x2,贝Uf(xo)=6x26X82,1切线方程为y=(6x26X82)(x2),贝Uyo=(6X26x82)(X8|),1即2x83x82x8+1=(6x26x82)(X82),整理得xo(4x86X8+3)=8,解得X8=8，则切线方程为y=2x+1.y=2x+1解方程组，3X=2或y=2y=2x33x22x+1x=8得y=1由y=2x33X22x+1与y=2x+1的图象可知232S=8(2x+1)(2X3x2x+1)dx3一2o(2x3+3x2)dx=2732.5. 如

16、图所示，直线y=kx分抛物线y=xx2与x轴所围图形为面积相等的两部分，求k的值.解抛物线y=xx2与x轴两交点的横坐标为xi=0,x2=1,所以，抛物线与x轴所围图形的面积S=?c)(xx2)dx=x-3x31=6.2y=xx,又由此可得,y=kx,抛物线y=xx2与y=kx两交点的横坐标为X3=0,x4=1k,所以，2=?3k(xxkx)dx=x21x30k13=6(1k)3.131又知S=6，所以(1k)=1,于是仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。Forpersonaluseonlyinstudyandresearch;notforcommercialuse.Nurfurdenp

17、ers?nlichenfurStudien,Forschung,zukommerziellenZweckenverwendetwerden.Pourletudeetlarechercheuniquementadesfinspersonnelles;pasadesfinscommerciales.TObgjDaJirogefi,KOTOpbieucnoE3yroTCHg贝刃o6yqeHUE,ucc贝egoBaHKOMMepqeckuxqe贝ax.以下无正文的切线方程为y=2x+6.y=4x3，设两切线相交于点M，由y=2x+6消去y，得x=2，即点M的横坐标为3在区间0，2上，曲线y=4x3在曲线y=x2+4x3的上方；在区间|，3上，曲线y=2x+6在曲线y=x2+4x3的上方.