《新课标》高三数学（人教版）第一轮复习单元讲座 第01讲 集合

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1、新课标高三数学（人教版）第一轮复习单元讲座 第一讲 集 合一课标要求：1集合的含义与表示（1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；（2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；2集合间的基本关系（1）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；（2）在具体情境中，了解全集与空集的含义；3集合的基本运算（1）理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；（2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；（3）能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用。二

2、命题走向有关集合的高考试题，考查重点是集合与集合之间的关系，近年试题加强了对集合的计算化简的考查，并向无限集发展，考查抽象思维能力，在解决这些问题时，要注意利用几何的直观性，注意运用Venn图解题方法的训练，注意利用特殊值法解题，加强集合表示方法的转换和化简的训练。考试形式多以一道选择题为主，分值5分。预测2007年高考将继续体现本章知识的工具作用，多以小题形式出现，也会渗透在解答题的表达之中，相对独立。具体题型估计为：（1）题型是1个选择题或1个填空题；（2）热点是集合的基本概念、运算和工具作用。三要点精讲1集合：某些指定的对象集在一起成为集合。（1）集合中的对象称元素，若a是集合A的元素，

3、记作；若b不是集合A的元素，记作；（2）集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性；确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立；互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素；无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关；（3）表示一个集合可用列举法、描述法或图示法；列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内；描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内。具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变

4、化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。注意：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。（4）常用数集及其记法：非负整数集（或自然数集），记作N；正整数集，记作N*或N+；整数集，记作Z；有理数集，记作Q；实数集，记作R。2集合的包含关系：（1）集合A的任何一个元素都是集合B的元素，则称A是B的子集（或B包含A），记作AB（或）；集合相等：构成两个集合的元素完全一样。若AB且BA，则称A等于B，记作A=B；若AB且AB，则称A是B的真子集，记作A B；（2）简单性质：1）AA；2）A；3）

5、若AB，BC，则AC；4）若集合A是n个元素的集合，则集合A有2n个子集（其中2n1个真子集）；3全集与补集：（1）包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集，记作U；（2）若S是一个集合，AS，则，=称S中子集A的补集；（3）简单性质：1）()=A；2）S=，=S。4交集与并集：（1）一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集。交集。（2）一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集。注意：求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常

6、从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法。5集合的简单性质：（1）（2）（3）（4）；（5）（AB）=（A）（B），（AB）=（A）（B）。四典例解析题型1：集合的概念例1设集合，若，则下列关系正确的是（ ）A B C D解：由于中只能取到所有的奇数，而中18为偶数。则。选项为D；点评：该题考察了元素与集合、集合与集合之间的关系。首先应该分清楚元素与集合之间是属于与不属于的关系，而集合之间是包含与不包含的关系。例2设集合P=m|1m0，Q=mR|mx2+4mx40对任意实数x恒成立，则下列关系中成立的是（ ）APQBQPCP=QDPQ

7、=Q解：Q=mR|mx2+4mx40对任意实数x恒成立，对m分类：m=0时，40恒成立；m0时，需=（4m）24m（4）0，解得m0。综合知m0，Q=mR|m0。答案为A。点评：该题考察了集合间的关系，同时考察了分类讨论的思想。集合中含有参数m，需要对参数进行分类讨论，不能忽略m=0的情况。题型2：集合的性质例3（2000广东，1）已知集合A=1，2，3，4，那么A的真子集的个数是（ ）A15 B16 C3 D4解：根据子集的计算应有241=15（个）。选项为A；点评：该题考察集合子集个数公式。注意求真子集时千万不要忘记空集是任何非空集合的真子集。同时，A不是A的真子集。变式题：同时满足条件：

8、若，这样的集合M有多少个，举出这些集合来。答案：这样的集合M有8个。例4已知全集，A=1,如果，则这样的实数是否存在？若存在，求出，若不存在，说明理由。解：；，即0，解得当时，为A中元素；当时，当时，这样的实数x存在，是或。另法：，0且或。点评：该题考察了集合间的关系以及集合的性质。分类讨论的过程中“当时，”不能满足集合中元素的互异性。此题的关键是理解符号是两层含义：。变式题：已知集合，,求的值。解：由可知，（1），或（2）解（1）得，解（2）得，又因为当时，与题意不符，所以，。题型3：集合的运算例5（06全国理，2）已知集合Mx|x3，Nx|log2x1，则MN（ ）A Bx|0x3 Cx|

9、1x3 Dx|2x3解：由对数函数的性质，且21，显然由易得。从而。故选项为D。点评：该题考察了不等式和集合交运算。例6（06安徽理，1）设集合，则等于（ ）A B C D解：，所以，故选B。点评：该题考察了集合的交、补运算。题型4：图解法解集合问题例7（2003上海春，5）已知集合A=x|x|2，xR，B=x|xa，且AB，则实数a图的取值范围是_ _。解：A=x|2x2，B=x|xa，又AB，利用数轴上覆盖关系：如图所示，因此有a2。点评：本题利用数轴解决了集合的概念和集合的关系问题。例8（1996全国理，1）已知全集IN*，集合Axx2n，nN*，Bxx4n，nN，则（ ）AIABBI（

10、A）BCIA（B）DI（A）（B）解：方法一：A中元素是非2的倍数的自然数，B中元素是非4的倍数的自然数，显然，只有选项正确.图方法二：因A2，4，6，8，B4，8，12，16，所以B1，2，3，5，6，7，9，所以IAB，故答案为.方法三：因BA，所以（）A（）B，（）A（B）A，故IA（A）A（B）。方法四：根据题意，我们画出Venn图来解，易知BA，如图：可以清楚看到I=A（B）是成立的。点评：本题考查对集合概念和关系的理解和掌握，注意数形结合的思想方法，用无限集考查，提高了对逻辑思维能力的要求。题型5：集合的应用例9向50名学生调查对A、B两事件的态度，有如下结果 赞成A的人数是全体的

11、五分之三，其余的不赞成，赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成；另外，对A、B都不赞成的学生数比对A、B都赞成的学生数的三分之一多1人。问对A、B都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人？解：赞成A的人数为50=30，赞成B的人数为30+3=33，如上图，记50名学生组成的集合为U，赞成事件A的学生全体为集合A；赞成事件B的学生全体为集合B。设对事件A、B都赞成的学生人数为x,则对A、B都不赞成的学生人数为+1,赞成A而不赞成B的人数为30x，赞成B而不赞成A的人数为33x。依题意(30x)+(33x)+x+(+1)=50,解得x=21。所以对A、B都赞成的同学有21人，都不赞成的有8人。点评：

12、在集合问题中，有一些常用的方法如数轴法取交并集，韦恩图法等，需要考生切实掌握。本题主要强化学生的这种能力。解答本题的闪光点是考生能由题目中的条件，想到用韦恩图直观地表示出来。本题难点在于所给的数量关系比较错综复杂，一时理不清头绪，不好找线索。画出韦恩图，形象地表示出各数量关系间的联系。例10求1到200这200个数中既不是2的倍数，又不是3的倍数，也不是5的倍数的自然数共有多少个？解：如图先画出Venn图，不难看出不符合条件 的数共有（2002）（2003）(2005)(20010)(2006)(20015)(20030)146所以，符合条件的数共有20014654（个）点评：分析200个数分

13、为两类，即满足题设条件的和不满足题设条件的两大类，而不满足条件的这一类标准明确而简单，可考虑用扣除法。题型7：集合综合题例11（1999上海，17）设集合A=x|xa|2，B=x|1，若AB，求实数a的取值范围。解：由|xa|2，得a2xa+2，所以A=x|a2xa+2。由1，得0，即2x3，所以B=x|2x0, 0，这时集合A中的元素作为点的坐标，其横、纵坐标均为正，另外，由于a1=10 如果AB，那么据(2)的结论，AB中至多有一个元素(x0,y0),而x0=0,y0=0，这样的(x0,y0)A,产生矛盾，故a1=1,d=1时AB=，所以a10时，一定有AB是不正确的。点评：该题融合了集合

14、、数列、直线方程的知识，属于知识交汇题。变式题：解答下述问题：（）设集合，,求实数m的取值范围.分析：关键是准确理解 的具体意义，首先要从数学意义上解释 的意义，然后才能提出解决问题的具体方法。解：的取值范围是UM=m|m-2.（解法三）设这是开口向上的抛物线，则二次函数性质知命题又等价于注意，在解法三中，f(x)的对称轴的位置起了关键作用，否则解答没有这么简单。（）已知两个正整数集合A=a1,a2,a3,a4,、B.分析：命题中的集合是列举法给出的，只需要根据“交、并”的意义及元素的基本性质解决，注意“正整数”这个条件的运用，（）分析：正确理解要使,由当k=0时，方程有解,不合题意；当又由由

15、，由、得b为自然数，b=2，代入、得k=1点评：这是一组关于集合的“交、并”的常规问题，解决这些问题的关键是准确理解问题条件的具体的数学内容，才能由此寻求解决的方法。题型6：课标创新题例13七名学生排成一排，甲不站在最左端和最右端的两个位置之一，乙、丙都不能站在正中间的位置，则有多少不同的排法？解：设集合A=甲站在最左端的位置，B=甲站在最右端的位置，C=乙站在正中间的位置，D=丙站在正中间的位置，则集合A、B、C、D的关系如图所示，不同的排法有种.点评：这是一道排列应用问题，如果直接分类、分步解答需要一定的基本功，容易错，若考虑运用集合思想解答，则比较容易理解。上面的例子说明了集合思想的一些

16、应用，在今后的学习中应注意总结集合应用的经验。例14A是由定义在上且满足如下条件的函数组成的集合：对任意，都有 ； 存在常数，使得对任意的，都有（1）设，证明：（2）设,如果存在,使得,那么这样的是唯一的;（3）设,任取,令证明:给定正整数k,对任意的正整数p,成立不等式。解：对任意,所以对任意的，所以0,令=，所以反证法：设存在两个使得,。则由，得，所以，矛盾，故结论成立。，所以+。点评：函数的概念是在集合理论上发展起来的，而此题又将函数的性质融合在集合的关系当中，题目比较新颖。五思维总结集合知识可以使我们更好地理解数学中广泛使用的集合语言，并用集合语言表达数学问题，运用集合观点去研究和解决

17、数学问题。1学习集合的基础能力是准确描述集合中的元素，熟练运用集合的各种符号，如、=、A、，等等； 2强化对集合与集合关系题目的训练，理解集合中代表元素的真正意义，注意利用几何直观性研究问题，注意运用Venn图解题方法的训练，加强两种集合表示方法转换和化简训练；解决集合有关问题的关键是准确理解集合所描述的具体内容（即读懂问题中的集合）以及各个集合之间的关系，常常根据“Venn图”来加深对集合的理解，一个集合能化简（或求解），一般应考虑先化简（或求解）；3确定集合的“包含关系”与求集合的“交、并、补”是学习集合的中心内容，解决问题时应根据问题所涉及的具体的数学内容来寻求方法。 区别与、与、a与a

18、、与、(1,2)与1,2； AB时，A有两种情况：A与A。若集合A中有n个元素，则集合A的所有不同的子集个数为，所有真子集的个数是1, 所有非空真子集的个数是。区分集合中元素的形式：如；。空集是指不含任何元素的集合。、和的区别；0与三者间的关系。空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。条件为，在讨论的时候不要遗忘了的情况。符号“”是表示元素与集合之间关系的，立体几何中的体现点与直线（面）的关系 ；符号“”是表示集合与集合之间关系的，立体几何中的体现面与直线(面)的关系。逻辑是研究思维形式及其规律的一门学科，是人们认识和研究问题不可缺少的工具，是为了培养学生的推理技能，发展学生的思维能力。

19、普通高中课程标准实验教科书数学 人教版 高三新数学第一轮复习教案（讲座3）函数的基本性质一课标要求1通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；2结合具体函数，了解奇偶性的含义；二命题走向从近几年来看，函数性质是高考命题的主线索，不论是何种函数，必须与函数性质相关联，因此在复习中，针对不同的函数类别及综合情况，归纳出一定的复习线索。预测2007年高考的出题思路是：通过研究函数的定义域、值域，进而研究函数的单调性、奇偶性以及最值。预测明年的对本讲的考察是：（1）考察函数性质的选择题1个或1个填空题，还可能结合导数出研究函数性质的大题；（2）以中等难度、题型新颖的试

20、题综合考察函数的性质，以组合形式、一题多角度考察函数性质预计成为新的热点。三要点精讲1奇偶性（1）定义：如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(x)=f(x)，则称f(x)为奇函数；如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(x)=f(x)，则称f(x)为偶函数。如果函数f(x)不具有上述性质，则f(x)不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f(x)既是奇函数，又是偶函数。注意： 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质； 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点

21、对称）。（2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤： 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； 确定f(x)与f(x)的关系； 作出相应结论：若f(x) = f(x) 或 f(x)f(x) = 0，则f(x)是偶函数；若f(x) =f(x) 或 f(x)f(x) = 0，则f(x)是奇函数。（3）简单性质：图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称；设，的定义域分别是，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇2单调性（1）定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于

22、定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)），那么就说f(x)在区间D上是增函数（减函数）；注意： 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； 必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1x2时，总有f(x1)f(x2)（2）如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间。（3）设复合函数y= fg(x)，其中u=g(x) , A是y= fg(x)定义域的某个区间，B是映射g : xu=g(x) 的象集：若u=g(x) 在 A

23、上是增（或减）函数，y= f(u)在B上也是增（或减）函数，则函数y= fg(x)在A上是增函数；若u=g(x)在A上是增（或减）函数，而y= f(u)在B上是减（或增）函数，则函数y= fg(x)在A上是减函数。（4）判断函数单调性的方法步骤利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤： 任取x1，x2D，且x10与a 0时， ，当a 0时，f(x)为奇函数； 既不是奇函数，也不是偶函数.点评：判断函数的奇偶性是比较基本的问题，难度不大，解决问题时应先考察函数的定义域，若函数的解析式能化简，一般应考虑先化简，但化简必须是等价变换过程（要保证定义域不变）。例2(2002天津文.1

24、6)设函数f（x）在（，+）内有定义，下列函数：y=|f（x）|；y=xf（x2）；y=f（x）；y=f（x）f（x）。必为奇函数的有_（要求填写正确答案的序号）答案：；解析：y=（x）f（x）2=xf（x2）=y；y=f（x）f（x）=y。点评：该题考察了判断抽象函数奇偶性的问题。对学生逻辑思维能力有较高的要求。题型二：奇偶性的应用例3（2002上海春，4）设f（x）是定义在R上的奇函数，若当x0时，f（x）=log3（1+x），则f（2）=_ _。答案：1；解：因为x0时，f（x）=log3（1+x），又f（x）为奇函数，所以f（x）=f（x），设x0，所以f（x）=f（x）=f（1x），

25、所以f（2）=log33=1。点评：该题考察函数奇偶性的应用。解题思路是利用函数的奇偶性得到函数在对称区域上函数的取值。例4已知定义在R上的函数y= f(x)满足f(2+x)= f(2x)，且f(x)是偶函数，当x0，2时，f(x)=2x1，求x4，0时f(x)的表达式。解：由条件可以看出，应将区间4，0分成两段考虑：若x2，0，x0，2，f(x)为偶函数，当x2，0时，f(x)= f(x)=2x1,若x4，2，4+ x0，2，f(2+x)+ f(2x)，f(x)= f(4x)，f(x)= f(x)= f4（x）= f(4+x)=2（x+4）1=2x+7；综上，点评：结合函数的数字特征，借助函

26、数的奇偶性，处理函数的解析式。题型三：判断证明函数的单调性例5（2001天津，19）设，是上的偶函数。（1）求的值；（2）证明在上为增函数。解：（1）依题意，对一切，有，即。对一切成立，则，。（2）(定义法)设，则，由，得，即，在上为增函数。（导数法），在上为增函数点评：本题用了两种方法：定义法和导数法，相比之下导数法比定义法更为简洁。例6已知f(x)是定义在R上的增函数，对xR有f(x)0，且f(5)=1，设F(x)= f(x)+，讨论F (x)的单调性，并证明你的结论。解：这是抽角函数的单调性问题，应该用单调性定义解决。在R上任取x1、x2，设x1x2，f(x2)= f(x1)， f(x)

27、是R上的增函数，且f(10)=1，当x10时0 f(x)10时f(x)1; 若x1x25，则0f(x1)f(x2)1, 0 f(x1)f(x2)1,0, F (x2)x15，则f(x2)f(x1)1 , f(x1)f(x2)1, 0, F(x2) F (x1)；综上，F (x)在（，5）为减函数，在（5，+）为增函数。点评：该题属于判断抽象函数的单调性。抽象函数问题是函数学习中一类比较特殊的问题，其基本能力是变量代换、换元等，应熟练掌握它们的这些特点。题型四：函数的单调区间例7（2001春季北京、安徽，12）设函数f（x）（ab0），求f（x）的单调区间，并证明f（x）在其单调区间上的单调性。

28、.解：在定义域内任取x1x2，f（x1）f（x2），ab0，ba0，x1x20，只有当x1x2b或bx1x2时函数才单调当x1x2b或bx1x2时f（x1）f（x2）0f（x）在（b，）上是单调减函数，在（，b）上是单调减函数点评：本小题主要考查了函数单调性的基本知识。对于含参数的函数应用函数单调性的定义求函数的单调区间。例8（1）求函数的单调区间；（2）已知若试确定的单调区间和单调性。解：（1）函数的定义域为，分解基本函数为、显然在上是单调递减的，而在上分别是单调递减和单调递增的。根据复合函数的单调性的规则：所以函数在上分别单调递增、单调递减。（2）解法一：函数的定义域为R，分解基本函数为和

29、。显然在上是单调递减的，上单调递增；而在上分别是单调递增和单调递减的。且，根据复合函数的单调性的规则：所以函数的单调增区间为；单调减区间为。解法二：， 令 ，得或，令 ，或单调增区间为；单调减区间为。点评：该题考察了复合函数的单调性。要记住“同向增、异向减”的规则。题型五：单调性的应用例9已知偶函数f(x)在(0，+)上为增函数，且f(2)=0，解不等式flog2(x2+5x+4)0。解：f(2)=0,原不等式可化为flog2(x2+5x+4)f(2)。 又f(x)为偶函数，且f(x)在(0，+)上为增函数，f(x)在(,0)上为减函数且f(2)=f(2)=0。不等式可化为log2(x2+5x

30、+4)2或log2(x2+5x+4)2由得x2+5x+44，x5或x0由得0x2+5x+4得x4或1x由得原不等式的解集为x|x5或x4或1x或x0。例10已知奇函数f(x)的定义域为R，且f(x)在0，+上是增函数，是否存在实数m，使f(cos23)+f(4m2mcos)f(0)对所有0,都成立？若存在，求出符合条件的所有实数m的范围，若不存在，说明理由。解：f(x)是R上的奇函数，且在0，+上是增函数，f(x)是R上的增函数，于是不等式可等价地转化为f(cos23)f(2mcos4m)，即cos232mcos4m,即cos2mcos+2m20。设t=cos,则问题等价地转化为函数g(t)=

31、t2mt+2m2=(t)2+2m2在0，1上的值恒为正，又转化为函数g(t)在0，1上的最小值为正。当0,即m0m1与m042m4+2，421,即m2时，g(1)=m10m1。m2综上，符合题目要求的m的值存在，其取值范围是m42。另法(仅限当m能够解出的情况)： cos2mcos+2m20对于0,恒成立，等价于m(2cos2)/(2cos) 对于0,恒成立当0,时，(2cos2)/(2cos) 42，m42。点评：上面两例子借助于函数的单调性处理了恒成立问题和不等式的求解问题。题型六：最值问题例11（2002全国理，21）设a为实数，函数f（x）=x2+|xa|+1，xR。（1）讨论f（x）

32、的奇偶性；（2）求f（x）的最小值。解：（1）当a=0时，函数f（x）=（x）2+|x|+1=f（x），此时f（x）为偶函数。当a0时，f（a）=a2+1，f（a）=a2+2|a|+1，f（a）f（a），f（a）f（a）。此时函数f（x）既不是奇函数，也不是偶函数。（2）当xa时，函数f（x）=x2x+a+1=（x）2+a+。若a，则函数f（x）在（，a）上单调递减，从而，函数f（x）在（，a）上的最小值为f（a）=a2+1。若a，则函数f（x）在（，a上的最小值为f（）=+a，且f（）f（a）。当xa时，函数f（x）=x2+xa+1=（x+）2a+。若a，则函数f（x）在a，+上的最小值为f

33、（）=a，且f（）f（a）。若a，则函数f（x）在a，+上单调递增，从而，函数f（x）在a，+上的最小值为f（a）=a2+1。综上，当a时，函数f（x）的最小值是a。当a时，函数f（x）的最小值是a2+1。当a时，函数f（x）的最小值是a+。点评：函数奇偶性的讨论问题是中学数学的基本问题，如果平时注意知识的积累，对解此题会有较大帮助.因为xR，f（0）=|a|+10，由此排除f（x）是奇函数的可能性.运用偶函数的定义分析可知，当a=0时，f（x）是偶函数，第2题主要考查学生的分类讨论思想、对称思想。例12设m是实数，记M=m|m1，f(x)=log3(x24mx+4m2+m+)。(1)证明：当

34、mM时，f(x)对所有实数都有意义；反之，若f(x)对所有实数x都有意义，则mM；(2)当mM时，求函数f(x)的最小值；(3)求证：对每个mM,函数f(x)的最小值都不小于1。 (1)证明：先将f(x)变形：f(x)=log3(x2m)2+m+,当mM时，m1,(xm)2+m+0恒成立，故f(x)的定义域为R。反之，若f(x)对所有实数x都有意义，则只须x24mx+4m2+m+0。令0，即16m24(4m2+m+)0，解得m1，故mM。(2)解析：设u=x24mx+4m2+m+，y=log3u是增函数，当u最小时，f(x)最小。而u=(x2m)2+m+，显然，当x=m时，u取最小值为m+，此

35、时f(2m)=log3(m+)为最小值。(3)证明：当mM时，m+=(m1)+ +13，当且仅当m=2时等号成立。log3(m+)log33=1。点评：该题属于函数最值的综合性问题，考生需要结合对数函数以及二次函数的性质来进行处理。题型七：周期问题例13若y=f(2x)的图像关于直线和对称，则f(x)的一个周期为（ ）A B C D解：因为y=f(2x)关于对称，所以f(a+2x)=f(a2x)。所以f(2a2x)=fa+(a2x)=fa(a2x)=f(2x)。同理，f(b+2x) =f(b2x)，所以f(2b2x)=f(2x)，所以f(2b2a+2x)=f2b(2a2x)=f(2a2x)=f

36、(2x)。所以f(2x)的一个周期为2b2a，故知f(x)的一个周期为4(ba)。选项为D。点评：考察函数的对称性以及周期性，类比三角函数中的周期变换和对称性的解题规则处理即可。若函数y=f(x)的图像关于直线x=a和x=b对称（ab），则这个函数是周期函数，其周期为2（ba）。例14已知函数是定义在上的周期函数，周期，函数是奇函数又知在上是一次函数，在上是二次函数，且在时函数取得最小值。证明：；求的解析式；求在上的解析式。解：是以为周期的周期函数，又是奇函数，。当时，由题意可设，由得，。是奇函数，又知在上是一次函数，可设，而，当时，从而当时，故时，。当时，有，。当时，。点评：该题属于普通函数

37、周期性应用的题目，周期性是函数的图像特征，要将其转化成数字特征。五思维总结1判断函数的奇偶性，必须按照函数的奇偶性定义进行，为了便于判断，常应用定义的等价形式：f(-x)= f(x)f(-x) f(x)=0；2对函数奇偶性定义的理解，不能只停留在f(-x)=f(x)和f(-x)=-f(x)这两个等式上，要明确对定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x)，f(-x)=-f(x)的实质是：函数的定义域关于原点对称这是函数具备奇偶性的必要条件。稍加推广，可得函数f(x)的图象关于直线x=a对称的充要条件是对定义域内的任意x，都有f(x+a)=f(a-x)成立函数的奇偶性是其相应图象的特殊的对称性的

38、反映；3若奇函数的定义域包含0，则f(0)=0，因此，“f(x)为奇函数”是f(0)=0的非充分非必要条件；4奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，因此根据图象的对称性可以判断函数的奇偶性。5若存在常数T，使得f(x+T)=f(x)对f(x)定义域内任意x恒成立，则称T为函数f(x)的周期，一般所说的周期是指函数的最小正周期周期函数的定义域一定是无限集。6单调性是函数学习中非常重要的内容，应用十分广泛，由于新教材增加了“导数”的内容，所以解决单调性问题的能力得到了很大的提高，因此解决具体函数的单调性问题，一般求导解决，而解决与抽象函数有关的单调性问题一般需要用单调性定义解决。注意，关于复合函数的单调性的知识一般用于简单问题的分析，严格的解答还是应该运用定义或求导解决。第 26 页 共 26 页