运动变化中的折叠问题

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1、运动变化中的折叠问题由于动点的运动，导致动直线的位移，使图形在折叠中的重叠部分的面积也发生变化，在这一变化过程中需要对不同情况加以分类讨论。解决这类折叠中的重叠部分面积问题的试题，关键是找出折痕及全等图形，抓住运动中的不变量，然后利用全等图形和相似图形的性质及相关的知识进行分类求解，问题就会迎刃而解。下面举例说明如下：例 1、(2007 年广西南宁市中考题 )如图，在锐角 ABC 中， BC 9 ， AH BC 于点 H ，且 AH 6，点 D 为 AB 边上的任意一点， 过点 D 作 DE BC ，交 AC 于点 E 设ADE的高 AF 为 x(0x6) ，以 DE 为折线将 ADE 翻折，

2、所得的 A DE 与梯形 DBCE 重叠部分的面积记为y （点 A 关于 DE 的对称点 A 落在 AH 所在的直线上） （1）分别求出当0x 3 与 3x6 时， y 与 x 的函数关系式；（2）当 x 取何值时，y 的值最大？最大值是多少？AADFEABBHCHC解：（ 1）当 0 x 3 时，由折叠得到的 A ED 落在 ABC 内部如图（ 1），重叠部分为AEDDE BCA D E，BA E DC ADE ABCD EA FDEx3B C，9，即 DExA H62又 FA FA xy1DEAF1 3x x y3 x2 (0 x 3)222A4ADFEDFEAABP HQ CBHCA图（

3、 1）图（ 2）当 3x6 时，由折叠得到的 A ED 有一部分落在 ABC 外，如图（ 2），重叠部分为梯形 EDPQFH 6 AF 6 x,A H A F FH x (6 x) 2x 6又 DEPQ,PQA HA PQ ADEA FPQ2x6，PQDE3(x3)y1 (DEPQ) FH3x2x21 3 x 3( x 3) (6 x)y9 x21 8 x 2 7 ( 3 x6 )224（2）当 0x 3 时， y 的最大值： y13 x233227；444当 3x6时，由 y9x218x279( x4)2944可知：当 x4 时， y 的最大值： y29y1y2 ，当 x 4 时， y 有最

4、大值： y最大9 【评析】 这一道以折叠为背景的综合性压轴题，利用图形的折叠建立数学模型来求解问题。在本题的解答中侧重对相似三角形的面积比和相似比之间的关系及利用二次函数求最值等知识的考查，该试题一定程度上考查了分类讨论和数形结合等例 2、（ 2008 年山东省东营市中考题） （）在 ABC 中， A 90， AB 4， AC 3， M 是 AB 上的动点（不与 A，B 重合），过 M 点作 MN BC 交 AC 于点 N以 MN 为直径作 O，并在 O 内作内接矩形 AMPN 令 AM x（ 1）用含 x 的代数式表示 NP 的面积 S；（ 2）当 x 为何值时， O 与直线 BC 相切？（

5、3）在动点 M 的运动过程中， 记 NP 与梯形 BCNM 重合的面积为 y，试求 y 关于 x 的函数表达式，并求 x 为何值时， y 的值最大，最大值是多少？解：（ 1） MN BC， AMN= B， ANM CA AMN ABC AMAN ，即 xAN ABAC43MONPBC图 1 AN 3 x 4 S=S MNPS AMN13x x3x2 （ 0 x 4）248（2）如图 2，设直线 BC 与 O 相切于点D ，连结 AO，OD ，则1AO=OD = MN2在 Rt ABC 中， BC AB2AC2 =5A由（ 1）知 AMN ABCMNO AMMN ，即 xMN CABBC45BQ

6、D MN5 x ， OD5 x 图 248过 M 点作 MQBC 于 Q，则 MQOD5 x 在 Rt BMQ 与 Rt BCA 中， B8是公共角，BMQM55 x25 BMQ BCABM8BCAC3x ，24AB BMMA25 x x424 x 96 当 x 96时， O 与直线 BC 相切4949（ 3）随点 M 的运动，当 P 点落在直线 BC 上时 ，连结 AP ，则 O 点为 AP 的中点 MN BC， AMN =B， AOM APC AMO ABP AM AO 1 AMMB2 ABAP2AMNO故以下分两种情况讨论：BPC 当 0 x 2时， yS PMN3x2图38A 当 x

7、2 时， y最大3 223 .82MON 当 2 x 4 时，设 PM ， PN 分别交 BC 于 E， F 四边形 AMPN 是矩形， PN AM ， PNAM xBEFCP又 MN BC， 四边形 MBFN 是平行四边形图4 FN BM4 xPFx4x2x4 PF2S PEF又PEF ACBABS ABC3 x3 x 29 x2 6x 6 SPEF2yS MNPSPEF3 x22228289 x29 x 82当 2 x 4 时， y6x 62 883 当x8xy最大2时，满足，324综上所述，当 x8 时， y 值最大，最大值是23【评析】 本题以三角形与圆相结合为背景的综合性压轴题，考查

8、的知识点较多，圆的知识与相似三角形的性质的有机综合运用，环环相扣， 步步为营， 循序渐进， 区分度强。 第（ 3）小题要运用分类讨论思想来解决问题，解题中关键是抓住在点的运动过程中不变的量，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方得出等量关系，从而构建一个二次函数使问题得以解决。例 3、（ 2008 年浙江省台州市中考题）如图，在矩形ABCD 中， AB 9， AD3 3 ，点 P 是边 BC 上的动点 （点 P 不与点 B,C 重合），过点 P 作直线 PQ BD ，交 CD 边于 Q 点，再把PQC沿着动直线 PQ 对折，点 C 的对应点是 R 点，设 CP 的长度为 x， PQR与矩形A

9、BCD 重叠部的面积为y（ 1）求 CQP 的度数；（ 2）当 x 取何值时，点R 落在矩形ABCD 的 AB 边上？（ 3） 求 y 与 x 之间的函数关系式； 当 x 取何值时， 重叠部分的面积等于矩形面积的7 ？27解：（ 1）如图，四边形 ABCD 是矩形， ABCD， ADBC 又 AB9， AD33， C90 ，DQCCD9，BC3 3 tanBC3PCDB，ARBCD3CDB 30 PQBD ，CQPCDB 30 DQCPARB（图 1）（2）如图 1，由轴对称的性质可知， RPQ CPQ ，RPQCPQ， RP CP 由（ ）知CQP30，1RPQCPQ60 ，RPB60 ，R

10、P2BP CPx ，PRx ， PB33x 在 RPB 中，根据题意得：DQC2(3 3x)x ，解这个方程得：x2 3 （3） 当点 R 在矩形 ABCD 的内部或 AB 边上时，AEFPBR1 CP1 x3 x2 ，0 x 2 3 ， SCPQCQ3x（图 2）222 RPQ CPQ ，当 0x 23 时， y3 x22当 R 在矩形 ABCD 的外部时（如图 2），2 3x3 3，在 Rt PFB 中，RPB60 ，PF2BP2(3 3x) ，又RPCPx ，RFRPPF3x6 3 ，在 Rt ERF 中，EFRPFB30，ER3x 6 S ERF1 ERFR33 x218 x183 ，

11、22yS RPQ SERF ，当 2 3x3 3时， y3x218x183综上所述， y 与 x 之间的函数解析式是：y3 x2 (0 x 23)23x218 x183(23x 3 3)矩形面积9 33273，当0x 2 3 时，函数 y3x2 随自变量的增大而增2大，所以 y 的最大值是63，而矩形面积的7 的值727373 ，27277 ；而73 63 ，所以，当0 x2 3 时， y 的值不可能是矩形面积的27当 2 3x3 3 时，根据题意，得：3x218x1837 3 ，解这个方程，得 x 3 32，因为33 2 33 ，所以 x332不合题意，舍去所以 x332 综上所述， 当 x332 时， PQR 与矩形 ABCD 重叠部分的面积等于矩形面积的727【评析】 这一道以折叠为背景的综合性压轴题，综合性较强。解决折叠问题的试题，关键是找出折痕及全等图形，然后利用全等图形的性质及相关的知识，问题就会迎刃而解。本题中的第（ 1）（ 2）小题只需要根据折叠的基本性质结合相似三角形的知识即可解决。第（3）小题是开放性试题，要根据动直线的运动，构成不同的重叠部分的面积，要分类讨论来求解。无论是知识的综合应用，还是思想方法的灵活渗透，层次分明，逻辑性强，是一道考查学生数学能力的好题。