数的整除知识点总结

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1、一.数的分类第一种分法：树状图韦恩图整数第二种分法正整数一些关于数的结论：1.0是最小的自然数，-1是最大的负整数，1是最小的正整数2 .没有最大的整数，没有最小的负整数，没有最大的正整数3 .正整数、负整数、整数的个数都是无限的 二.整除1 .整除定义（概念）：整数a除以整数b,如果除得的商是整数而余数为零，我们就说a能被b整除；或者说b能整除a注意点：一定要看清楚谁被谁整除或谁整除谁，这里的a相当于被除数，b相当于除数2 .整除的条件：1.除数、被除数都是整数2.被除数除以除数，商是整数而且余数为零注意点：区分整除与除尽：整除是特殊的除尽（如正方形是特殊的长方形一样），即a能被b整除，则a

2、 一定能被b除尽，反之则不一定（即 a能被b除尽，则a不一定能被b 整除）。如4+2=2, 4既能被2除尽，也能被2整除；4+5=0.8, 4能被5除尽，去口不能说4能被5整除三.因数与倍数1.因数与倍数的定义：整数 a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数（约 数）。注意点：1.因数和倍数是相互依存的，不能简单的说某个数是因数，某个数是倍数。如：6+ 3=2,不能说6是倍数，3是因数；要说6是3的倍数，3是6的因数。2.因数与倍数是建立在整除的基础上的，所以如4+0.2=20, 一般是不说 4是0.2的倍数，0.2是4的因数。2 .因数与倍数的特点：一个整数的因数中最小的因数是1

3、,最大的因数是它本身。一个数的倍数中最小的倍数是这个数本身，没有最大的倍数。 因数的个数是有限的，都能一一列举出来，倍数的个数是无限的。3 .求一个数因数的方法： 利用积与因数的关系一对一对找，找出哪两个数的乘积等于这个数，那么这两个数就是这个数的因数。如16=1 X 16=2 X 8=4 X 4,那么16的因数就有1、2、4、8、16,计算时一定不要忘了 1和这个数本 身都是它的因数，注意按照一定的顺序以防遗漏。4 .求一个数倍数的方法：这个数本身分别乘以1、2、3、4、5（即正整数）得到的积就是这个数的倍数。若用 n表示所有的正整数，则 2的倍数可表示为 2n, 5的倍数可表示为 5n四

4、.能被2、5、3整除的数的特点1 .能被2整除的数（即2的倍数）个位上的数字是 0、2、4、6、8,反之，个位上的数字是0、2、4、6、8的数也能被2整除2 .能被5整除的数（即5的倍数）个位上的数字是 0、5,反之，个位上的数字是 0、5的数 都能被5整除3 .能被3整除的数（即3的倍数）各个位数上的数字之和是3的倍数，反之，各个位数上的数字之和是3的倍数的数都能被 3整除4 .能被2、5同时整除的数的个位数字都是0,个位数字为 0的数也能被10整除，能被10整除的数一定能被 2或5其中的一个或两个同时整除。五 .奇数、偶数1 .奇数与偶数的定义：能被 2整除的整数叫做偶数，不能被2整除的整

5、数叫做奇数。（按照能否被2整除来划分奇数与偶数）2 .奇数个位数上的数的特点：1、3、5、7、9偶数个位数上的数的特点：0、2、4、6、83 .在连续的正整数中（除 1外），与奇数相邻的两个数是偶数，与偶数相邻的两个数是奇数4 .相邻的奇数或偶数数字相差 2,奇数可用2n-1或2n+1表示，偶数可用2n表示。5 .奇数与偶数加法和乘法的运算特点奇数+奇数=偶数偶数+偶数=偶数奇数+偶数=奇数奇数X奇数=奇数偶数x偶数=偶数奇数X偶数=偶数利用此结论可检验一些运算是否正确，同时也要注意结论的逆向运用，如偶数（奇数）可拆成哪些奇数或偶数的和、积六 .素数、合数1 .素数与合数定义：一个正整数如果只

6、有1和它本身两个因数，这样的数叫做素数（质数）如果除了 1和它本身以外还有别的因数，这样的数叫做合数。注意点：1.素数与合数的分类方法是根据它们因数的个数来分的，素数只有2个因数（1和本身），合数至少有三个因数；任何一个数（除 1外）都有1和它本身两个因数。2 . 1既不是素数也不是合数。3 .最小的素数是 2,最小的合数是 42 .素数与奇数的联系和区别奇数不一定都是素数。，（1既不是素数也不是合数，9、15等是奇数但是合数）所有素数都是奇数。X （2是素数，但2是偶数）3 .合数与偶数的联系与区别合数不一定都是偶数。V （9、15等都是合数，但它们是奇数）偶数都是合数。X （2是偶数但2是

7、素数）注意:判断题对的要说明原因，错的要举出反例。七.素因数与分解素因数1.素因数与分解素因数的定义：每个合数都可以写成几个素数相乘的形式，其中每个素数都 是这个合数的因数，叫做这个合数的素因数。把一个合数用素因数相乘的形式表示出来， 叫做分解素因数。注意：1.求一个数的素因数时，先把这个数分解素因数，有几个素因数就写几个。如24=2X2X2X3,则素因数是 2、2、2、3,而不是2、32.因数与素因数的区别：因数可以是素数或合数，素因数一定是素数。一个数的素因 数一定是这个数的因数，因数的个数一定比素因数的个数多。2.分解素因数的方法树枝分解法：过程中注意不要漏写乘号，分解要彳底，直到没有合

8、数出现，也不能出现1.要分解的合数写在等号左边，把它的素因数用相乘的形式写在等号右边，再把这几个素因数按从小到大的顺序排列。短除法：1.先用一个能整除这个合数的素数去除（通常从最小的开始，偶数肯定先用2除，奇数一般从3开始一个个带入验算）2 .得出的商如果是合数， 再按照上面的方法继续除下去，直到得出的商是素数为止。3 .然后把各个除数和最后的商按从小到大的顺序写成连乘的形式。3 .由一个数分解素因数求这个数的因数12=2X2X3,素因数是2、2、3,除1外由单个的素因数组成因数有 2、3,由两个素因数 组成的因数有2X 2=4,2 X 3=6 ,由三个素因数组成的因数有 2X2X3=12,所

9、以12的因数有1、2、3、4、6、12.4 .由一个数分解素因数求这个数因数 的个数（1）所有素因数都相同时，因数白个数是它素因数的个数+1,如8=2X 2X2,素因数是2、2、2,则8的因数的个数是它素因数的个数+1,即4个（2）素因数不完全相同时，因数的个数是每个素因数个数+1后相乘的积，如12=2 X 2X 3,素因数2的个数是2,素因数3的个数是1,则12的因数的个数是（2+1） x （1+1） =6八.公因数与最大公因数1 .公因数与最大公因数定义：几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数，其 中最大的一个叫做这几个数的最大公因数.2 .互素定义：如果两个整数只有公因数 1,那么称这两

10、个数互素。如 8和9注意：互素是两个数之间，素数是指一个数，互素的两个数的最大公因数就是1.两个互素的数未必都是素数。，（8和9互素，但8和9都是合数）两个不同的素数一定互素.，（若缺少“不同的”，则错，因为3和3都是素数但不互素）3 .求两个数最大公因数的方法：（1） 一般方法：写出两个数所有的因数，再找出它们共同的最大的因数（2）分解素因数的方法：把这两个数分解素因数，再找出相同的素因数，把它们所有的公有 的素因数相乘，所得的积就是它们的最大公因数。（3）短除法：先用这两个数公有的素因数去除（一般从最小的素因数开始），得出的商如果是合数，再按照上面的方法继续除下去， 直到两个数互素为止，

11、这两个数的最大公因数就是 左侧的除数的乘积.（类比用短除法分解素因数的方法 ）4 .两个整数中，如果某个数是另一个数的因数，那么这个数就是这两个数的最大公因数。如果这两个数互素，那么它们的最大公因数就是1.九.公倍数和最小公倍数1 .公倍数与最小公倍数定义 ：几个整数公有的倍数叫做它们的公倍数，其中最小的一个叫做它们的最小公倍数.2 .求两个数最小公倍数的方法 ：（1）一般方法：从小到大分别依次写出几个这两个数的倍数，再找出它们共同的最小的倍数（2）分解素因数的方法：把这两个数分解素因数，再找出相同的素因数，再取各自剩余的素因数,将这些数连乘所得的积，就是这两个数的最小公倍数.（3）短除法：先

12、用这两个数公有的素因数去除（一般从最小的素因数开始），得出的商如果是合数，再按照上面的方法继续除下去， 直到两个数互素为止， 这两个数的最小公倍数就是左 侧的除数与底部商的乘积.注意点：1.用短除法求两个数的最大公因数和最小公倍数时，过程都相同，只是最后写结论时注意需要乘哪些数.2 .求两个数的最大公因数和最小公倍数，先判断这两个数是否存在因数（倍数）关系或互素关系，存在因数（倍数）关系时，最大公因数就是较小的那个数，最小公倍数就是较大的那个数；两数互素时，最大公因数就是1,最小公倍数就是它们的乘积.3 .两个整数的公倍数一定能被这两个数整除.十.求三个整数的最大公因数和最小公倍数（拓展）（1）求三个整数的最大公因数 ：同样也是三种方法，只需找出三个数共同的因数，最大的因数就是最大公因数.（注意与三个数的最小公倍数区分 ）（2）求三个整数的最小公倍数：一般方法：写出三个数的倍数，再找出最小公倍数.分解素因数法：分别分解素因数，先找出三个数共同的素因数，再找出每两个数公有的素因数再取各自剩余的素因数，把这些素因数连乘所得的积就是这三个数的最小公 倍数.短除法：先用三个数公有的素因数去除直到三个数没有公有的素因数，再用其中两个数公有的素因数去除，直到除得的三个商两两互素为止（即三对互素数）