八年级数学阅读理解题专项练习材料资料
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1、八年级阅读理解题专项练习1.阅读下面材料:小明遇到这样一个问题:如图1,ABO和CDO均为等腰直角三角形, AOB=COD =90若BOC的面积为1, 试求以AD、BC、OC+OD的长度为三边长的三角形的面积 ADCOBEBOCDA 图1 图2小明是这样思考的:要解决这个问题,首先应想办法移动这些分散的线段,构造一个三角形,再计算其面积即可他利用图形变换解决了这个问题,其解题思路是延长CO到E, 使得OE=CO, 连接BE, 可证OBEOAD, 从而得到的BCE即是以AD、BC、OC+OD的长度为三边长的三角形(如图2)IHGFABCDE请你回答:图2中BCE的面积等于 请你尝试用平移、旋转、
2、翻折的方法,解决下列问题:如图3,已知ABC, 分别以AB、AC、BC为边向外作正方形ABDE、AGFC、BCHI, 连接EG、FH、ID(1)在图3中利用图形变换画出并指明以EG、FH、ID的长 度为三边长的一个三角形(保留画图痕迹);(2)若ABC的面积为1,则以EG、FH、ID的长度为三边长的三角形的面积等于 图3 解:BCE的面积等于 2 1分 (1)如图(答案不唯一)2分以EG、FH、ID的长度为三边长的一个三角形是EGM . 3分(2) 以EG、FH、ID的长度为三边长的三角形的面积等于 3 5分2.定义:到凸四边形一组对边距离相等,到另一组对边距离也相等的点叫凸四边形的准内点如图
3、1,则点就是四边形的准内点(1)如图2,与的角平分线相交于点求证:点是四边形的准内点第12题图(2)分别画出图3平行四边形和图4梯形的准内点(作图工具不限,不写作法,但要有必要的说明)3如图所示,圆圈内分别标有1,2,12,这12个数字,电子跳蚤每跳一步,可以从一个圆圈逆时针跳到相邻的圆圈,若电子跳蚤所在圆圈的数字为,则电子跳蚤连续跳()步作为一次跳跃,例如:电子跳蚤从标有数字1的圆圈需跳步到标有数字2的圆圈内,完成一次跳跃,第二次则要连续跳步到达标有数字6的圆圈,依此规律,若电子跳蚤从开始,那么第3次能跳到的圆圈内所标的数字为 ;第2012次电子跳蚤能跳到的圆圈内所标的数字为 4.ABC是等
4、边三角形,P为平面内的一个动点,BP=BA,若PBC180,且PBC平分线上的一点D满足DB=DA,(1)当BP与BA重合时(如图1),BPD= ;(2)当BP在ABC的内部时(如图2),求BPD的度数;(3)当BP在ABC的外部时,请你直接写出BPD的度数,并画出相应的图形 5请阅读下列材料:已知:如图(1)在RtABC中,BAC=90,AB = AC,点D、E分别为线段BC上两动点,若DAE=45.探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系.小明的思路是:把AEC绕点A顺时针旋转90,得到ABE,连结ED,使问题得到解决.请你参考小明的思路探究并解决下列问题:(1)猜想BD、DE、EC
5、三条线段之间存在的数量关系式,并对你的猜想给予证明; 图(1)(2)当动点E在线段BC上,动点D运动在线段CB延长线上时,如图(2),其它条件 不变,(1)中探究的结论是否发生改变?请说明你的猜想并给予证明. 图(2)6.(石景山二)25(1)如图1,四边形中,请你 猜想线段、之和与线段的数量关系,并证明你的结论; (2)如图2,四边形中,若点为四边形 内一点,且,请你猜想线段、之和与线段的图2 数量关系,并证明你的结论图7.问题:如图1,P为正方形ABCD内一点,且PAPBPC=123,求APB的度数小娜同学的想法是:不妨设PA=1, PB=2,PC=3,设法把PA、PB、PC相对集中,于是
6、他将BCP绕点B顺时针旋转90得到BAE(如图2),然后连结PE,问题得以解决请你回答:图2中APB的度数为 请你参考小娜同学的思路,解决下列问题: 如图3,P是等边三角形ABC内一点,已知APB=115,BPC=125(1)在图3中画出并指明以PA、PB、PC的长度为三边长的一个三角形(保留画图痕迹);(2)求出以PA、PB、PC的长度为三边长的三角形的各内角的度数分别等于 图1 图2 图38.阅读下面材料:小伟遇到这样一个问题:如图1,在ABC(其中BAC是一个可以变化的角)中,AB=2,AC=4,以BC为边在BC的下方作等边PBC,求AP的最大值。小伟是这样思考的:利用变换和等边三角形将
7、边的位置重新组合他的方法是以点B为旋转中心将ABP逆时针旋转60得到ABC,连接,当点A落在上时,此题可解(如图2)请你回答:AP的最大值是 参考小伟同学思考问题的方法,解决下列问题:如图3,等腰RtABC边AB=4,P为ABC内部一点, 则AP+BP+CP的最小值是 .(结果可以不化简)9.如图,在ABC中,,M是AB的中点,动点P从点A出发,沿AC方向匀速运动到终点C,动点Q从点C出发,沿CB方向匀速运动到终点B。已知P,Q两点同时出发,并同时到达终点,连结MP,MQ,PQ。在整个运动过程中,MPQ的面积大小变化情况是( )A. 一直增大 B.一直减小C. 先减小后增大 D.先增大后减少1
8、0. (2012山东省青岛市,23,10)(10分)问题提出:以n边形的n个顶点和它内部的m个点,共(m+n)个点为顶点,可把原n边形分割成多少个互不重叠的小三角形?问题探究:为了解决上面的问题,我们将采取一般问题特殊化的策略,先从简单和具体的情形入手:探究一:以ABC的三个顶点和它内部的一个点P,共4个点为顶点,可把ABC分割成多少个互不重叠的小三角形?如图,显然,此时可把ABC分割成3个互不重叠的小三角形.探究二:以ABC的三个顶点和它内部的2个点P、Q,共5个点为顶点,可把ABC分割成多少个互不重叠的小三角形?在探究一的基础上,我们可看作在图ABC的内部,再添加1个点Q,那么点Q的位置会
9、有两种情况:一种情况,点Q在图分割成的某个小三角形内部,不妨假设点Q在PAC内部,如图;另一种情况,点Q在图分割成的小三角形的某条公共边上,不妨假设点Q在PA上,如图;显然,不管哪种情况,都可把ABC分割成5个互不重叠的小三角形.探究三:以ABC的三个顶点和它内部的3个点P、Q、R,共6个点为顶点可把ABC分割成 个互不重叠的小三角形,并在图画出一种分割示意图.探究四:以ABC的三个顶点和它内部的m个点,共(m+3)个顶点可把ABC分割成 个互不重叠的小三角形。探究拓展:以四边形的4个顶点和它内部的m个点,共(m+4)个顶点,可把四边形分割成 个互不重叠的小三角形。问题解决:以n边形的n个顶点
10、和它内部的m个点,共(m+n)个顶点,可把ABC分割成 个互不重叠的小三角形。实际应用:以八边形的8个顶点和它内部的2012个点,共2020个点,可把八边形分割成多少个互不重叠的小三角形?(要求列式计算)23. 【解析】观察图形发现:内部每多一个点,则多2个三角形,从而得到一般规律为n+2(m-1)或2m+n-2.根据根据规律逐一解答.【答案】探究三:7分割示意图.(答案不唯一).探究四:3+2(m-1)或2m+1 探究拓展:4+2(m-1)或2m+2问题解决:n+2(m-1)或2m+n-2实际应用:把n=8,m=2012代入上述代数式,得2m+n-2=22012+8-2=4024+8-2=4
11、030.【点评】本题考查规律型中的图形变化问题,解题关键是结合图形,探寻其规律,发现规律才能顺利解题,体现特殊到一般的数学思想11.在由mn(mn1)个小正方形组成的矩形网格中,研究它的一条对角线所穿过的小正方形个数f,(1)当m、n互质(m、n除1外无其他公因数)时,观察下列图形并完成下表:123213432354247357 猜想:当m、n互质时,在mn的矩形网格中,一条对角线所穿过的小正方形的个数f与m、n的关系式是_(不需要证明);解:(2)当m、n不互质时,请画图验证你猜想的关系式是否依然成立,17:解析:(1)通过题中所给网格图形,先计算出25,34,对角线所穿过的小正方形个数f,
12、再对照表中数值归纳f与m、n的关系式.(2)根据题意,画出当m、n不互质时,结论不成立的反例即可.解:(1)如表:12321343235424763576f=m+n-1(2)当m、n不互质时,上述结论不成立,如图2424点评:本题是操作探究题,根据操作规则得出数据,并归纳总结其中规律,对于错误结论的证明,只要举出反例即可.12操作与探究: (1)对数轴上的点进行如下操作:先把点表示的数乘以,再把所得数对应的点向右平移1个单位,得到点的对应点. 点在数轴上,对线段上的每个点进行上述操作后得到线段,其中点的对应点分别为如图1,若点表示的数是,则点表示的数是 ;若点表示的数是2,则点表示的数是 ;已
13、知线段上的点经过上述操作后得到的对应点与点重合,则点表示的数是 ; (2)如图2,在平面直角坐标系中,对正方形及其内部的每个点进行如下操作:把每个点的横、纵坐标都乘以同一种实数,将得到的点先向右平移个单位,再向上平移个单位(),得到正方形及其内部的点,其中点的对应点分别为。已知正方形内部的一个点经过上述操作后得到的对应点与点重合,求点的坐标。【解析】(1)3+1=0;设B点表示的数为a,a+1=2,a=3;设点E表示的数为a, a+1=a,解得a=(2)由点A到A,可得方程组;由B到B,可得方程组,解得,设F点的坐标为(x,y),点F与点F重合得到方程组,解得,即F(1,4)【答案】(1)0,
14、3,(2)F(1,4)【点评】本题考查了根据给出的条件列出方程或方程组,并解方程组的知识。 13.如图,长方形纸片ABCD中,AB=8cm,AD=6cm,按下列步骤进行裁剪和拼图: 第一步:如图,在线段AD上任意取一点E,沿EB,EC剪下一个三角形纸片EBC(余下部分不再使用); 第二步:如图,沿三角形EBC的中位线GH将纸片剪成两部分,并在线段GH上任意取一点M,线段BC上任意取一点N,沿MN将梯形纸片GBCH剪成两部分; 第三步:如图,将MN左侧纸片绕G点按顺时针方向旋转180,使线段GB与GE重合,将MN右侧纸片绕H点按逆时针方向旋转180,使线段HC与HE重合,拼成一个与三角形纸片EB
15、C面积相等的四边形纸片 (注:裁剪和拼图过程均无缝且不重叠) 则拼成的这个四边形纸片的周长的最小值为_cm,最大值为_cm解析:通过操作,我们可以看到最后所得的四边形纸片是一个平行四边形,其上下两条边的长度等于原来矩形的边AD=6,左右两边的长等于线段MN的长,当MN垂直于BC时,其长度最短,等于原来矩形的边AB的一半,等于4,于是这个平行四边形的周长的最小值为2(6+4)=20;当点E与点A重合,点M与点G重合,点N与点C重合时,线段MN最长,等于,此时,这个四边形的周长最大,其值为2(6+)=12+。答案:20;12+.点评:本题需要较好的空间想象能力和探究能力,解题时可以边操作边探究。将
16、最终的四边形的一周的线段分成长度不变的和可以变化的,然后研究变化的边相关的边的变化范围,这是一种转化思想。14.邻边不相等的平行四边形纸片,剪去一个菱形,余下一个四边形,称为第一次操作,在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形,余下一个四边形,称为第二次操作,依次类推,若第n次余下的四边形是菱形,则称原平行四边形为n阶准菱形,如图1,ABCD中,若AB=1,BC=2,则ABCD为1阶准菱形.(1)判断现推理:邻边长分别为2和3的平行四边形是_阶准菱形;小明为了得剪去一个菱形,进行如下操作:如图2,把ABCD沿BE折叠(点E在AD上),使点落在边上的点F,得到四边形,请证明四边形是菱形.(2)操作、探
17、究、计算:已知的边长分别为1,a(a1)且是3阶准菱形,请画出ABCD及裁剪线的示意图,并在下方写出的a值已知ABCD的邻边长分别为a,b(ab),满足a=6b+r,b=5r,请写出ABCD是几阶准菱形【解析】(1)根据邻边长分别为2和3的平行四边形进过两次操作即可得出所剩四边形是菱形,即可得出答案;根据平行四边形的性质得出AEBF,进而得出AE=BF,即可得出答案;(2)如图所示:a=6b+r,b=5r,a=65r+r=31r;如图所示:故ABCD是10阶准菱形(2)利用3阶准菱形的定义,即可得出答案;根据a=6b+r,b=5r,用r表示出各边长,进而利用图形得出ABCD是几阶准菱形【答案】
18、(1) 2,由折叠知:ABE=FBE,AB=BF四边形ABCD是平行四边形AEBFAEB=FBE,AEB=ABE,四边形ABFE是平行四边形,四边形ABFE是菱形,(2)a=4,a=,a=,a=.(图同解析)【点评】此题主要考查了图形的剪拼以及菱形的判定,根据已知n阶准菱形定义正确将平行四边形分割是解题关键15.如图,直角三角形纸片ABC中,AB=3,AC=4D为斜边BC中点,第1次将纸片折叠,使点A与点D重合,折痕与AD交于点P1;设P1D的中点为D1,第2次将纸片折叠,使点A与点D1重合,折痕与AD交于P2;设P2D1的中点为D2,第3次将纸片折叠,使点A与点D2重合,折痕与AD交于点P3
19、;设Pn-1Dn-2的中点为Dn-1,第n次将纸片折叠,使点A与点Dn-1重合,折痕与AD交于点Pn(n2),则AP6的长为( )第1次折叠 第2次折叠 第3次折叠第7题图A. B. C. D. 【解析】先写出AD、AD1、AD2、AD3的长度,然后可发现规律推出ADn的表达式,继而根据APn=ADn即可得出APn的表达式,也可得出AP6的长【答案】【点评】此题考查了翻折变换的知识,解答本题关键是写出前面几个有关线段长度的表达式,从而得出一般规律,注意培养自己的归纳总结能力难度中等.16.右图中每一个小方格的面积为1,则可根据面积计算得到如下算式:= .考点:数学归纳法,规律探索题【解析】当时
20、:当时:当时:猜想:=【点评】在求解规律探索问题时,常常通过特殊到一般,通过特殊值时的结论,总结一般的结论。17.观察图形,解答问题:yx(1)按下表已填写的形式填写表中的空格:图图图三个角上三个数的积1(1)2=2(3)(4)(5)=60三个角上三个数的和1(1)2=2(3)(4)(5)=12积与和的商22=1,(2)请用你发现的规律求出图中的数y和图中的数x 【解析】模仿图中的第三格(三个角上三个数的积与三个角上三个数的和的商)图的第三格:(60)(12)=5图的第三格17010=17,模仿前面的得到图的第一格(三个角上三个数的积)(2)(5)17=170第二格(三个角上三个数的和)(2)
21、(5)17=10;(2)发现的规律是:中间的数 所以图图中: 解之得:【答案】解: 图:(60)(12)=5 1分图:(2)(5)17=170,2分(2)(5)17=10, 3分17010=17 . 4分图:5(8)(9)=3605分5(8)(9)=176分 y=360(12)=30.7分图:, 9分解得 10分【点评】本题主要考查考生对所给图形的观察、理解和模仿能力,同时也考查了有理数的加减乘除运算能力。难度中等.18.某班级为筹备运动会,准备用365元购买两种运动服,其中甲种运动服20元/套,乙种运动服35元/套,在钱都用尽的条件下,有 种购买方案【答案】2。【考点】二元一次方程(不定方程
22、)的应用。【分析】设甲种运动服买套,乙种买套钱都用尽,根据题意列出方程:2035365得,根据,必须为整数,化为。要使为整数,要被4整除。同时考虑到35365,即10,所以只能取3,7。故在钱都用尽的条件下,有2种购买方案:甲种运动服买13套,乙种买3套;甲种运动服买6套,乙种买7套。19.两个全等的梯形纸片如图(1)摆放,将梯形纸片ABCD沿上底AD方向向右平移得到图(2)已知AD4,BC8,若阴影部分的面积是四边形ABCD的面积的,则图(2)中平移距离AA . 【答案】3。【考点】平移的性质,一元一次方程的应用(几何问题)。【分析】设AAx,则根据平移的性质,得AD4x,BC8x,AD6x
23、,BC8x。设梯形的高为a,四边形ABCD的面积为,阴影部分的面积为。由阴影部分的面积是四边形ABCD的面积的,得,解得x3。20.一个正方体物体沿斜坡向下滑动,其截面如图所示正方形DEFH的边长为2米,坡角A=30,B=90,BC=6米当正方形DEFH运动到什么位置,即当AE= 米时,有DC2=AE2+BC2【答案】。【考点】一元二次方程的应用,含30度角直角三角形的性质,勾股定理。【分析】根据已知,坡角A=30,B=90,BC=6米,AC=12米。正方形DEFH的边长为2米,即DE=2米,设AE=,可得EC=12,利用勾股定理得出DC2=DE2+EC2=4+(12)2,AE2+BC2=2+
24、36,DC2=AE2+BC2,4+(12)2=2+36,解得:米。21.(2011辽宁营口14分)已知正方形ABCD,点P是对角线AC所在直线上的动点,点E在DC边所在直线上,且随着点P的运动而运动,PEPD总成立(1)如图(1),当点P在对角线AC上时,请你通过测量、观察,猜想PE与PB有怎样的关系?(直接写出结论不必证明);(2)如图(2),当点P运动到CA的延长线上时,(1)中猜想的结论是否成立?如果成立,请给出证明;如果不成立,请说明理由;(3)如图(3),当点P运动到CA的反向延长线上时,请你利用图(3)画出满足条件的图形,并判断此时PE与PB有怎样的关系?(直接写出结论不必证明)
25、(1) (2) (3)【答案】解:(1)PEPB,PEPB。(2) (1)中的结论成立。证明如下:四边形ABCD是正方形,AC为对角线,CDCB,ACDACB。又PCPC,PDCPBC(SAS)。PDPB。PEPD,PEPB。由PDCPBC,得PDCPBC。又PEPD,PDEPED。PDEPDCPECPBC180。EPB360(PECPBCDCB)90。PEPB。 (3)画出图形,结论:PEPB,PEPB。 【考点】正方形的性质,全等三角形的判定和性质,三角形内角和定理,等腰三角形的性质,多边形内角和定理,三角形外角定理。【分析】(1) 由PDCPBC(SAS)和PEPD可得PEPB。 BPE
26、BPCCPEDPCCPE(全等三角形对应角相等) DPCDPCDPE2DPCDPE 2DPC(18002PDE)(三角形内角和定理和等腰三角形底角相等) 2(DPCPDE)1800 2(1800PCD)1800(三角形内角和定理) 2(1800450)1800(正方形的性质)90。 PEPB。 (2)由PDCPBC(SAS)和PEPD可得PEPB。 由四边形内角和为3600可证。 (3)由PDCPBC(SAS)和PEPD可得PEPB。 BPECPECPB(1800450CEP)(450CBP)90。PEPB。ACPDBEGF22.已知线段AB=6,C、D是AB上两点,且AC=DB=1,P是线段
27、CD上一动点,在AB同侧分别作等边三角形APE和等边三角形PBF,G为线段EF的中点,点P由点C移动到点D时,G点移动的路径长度为_.解答:解:如图,分别延长AE、BF交于点HA=FPB=60,AHPF,B=EPA=60,BHPE,四边形EPFH为平行四边形,EF与HP互相平分G为EF的中点,G也正好为PH中点,即在P的运动过程中,G始终为PH的中点,所以G的运行轨迹为三角形HCD的中位线MNCD=611=4,MN=2,即G的移动路径长为2故答案为223.探究:如图,在ABCD的形外分别作等腰直角ABF和等腰直角ADE,FAB=EAD=90,连接AC、EF在图中找一个与FAE全等的三角形,并加
28、以证明应用:以ABCD的四条边为边,在其形外分别作正方形,如图,连结EF、GH、IJ、KL若ABCD的面积为5,则图中阴影部分四个三角形的面积和为 【答案】探究:FAECDA,证明如下:在平行四边形ABCD中,AB=CD,BAD+ADC=180。等腰直角ABF和等腰直角ADE中,AF=AB,AE=AD,FAB=EAD=90,FAE+BAD=180。FAE=ADC。FAECDA(SAS)应用:10。【考点】全等三角形的判定和性质,等腰直角三角形的性质,平行四边形的性质。【分析】首先由SAS可证明FAECDA,则阴影部分四个三角形的面积和是ABCD的面积的2倍,据此即可求解:四个三角形的面积和为2
29、5=10。24.如图,点E是矩形ABCD的对角线BD上的一点,且BE=BC,AB=3,BC=4,点P为直线EC上的一点,且PQBC于点Q,PRBD于点R。(1)如图1,当点P为线段EC中点时,易证:PR+PQ=(不需证明)。(2)如图2,当点P为线段EC上的任意一点(不与点E、点C重合)时,其它条件不变,则(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由。(3)如图3,当点P为线段EC延长线上的任意一点时,其它条件不变,则PR与PQ之间又具有怎样的数量关系?请直接写出你的猜想。【答案】解:(2) 图2中结论PRPQ仍成立。证明如下:连接BP, 过C点作CKBD于点K。四边形
30、ABCD为矩形,BCD90。又CD=AB=3,BC=4BD。SBCDBCCDBDCK,345CK。CK=。SBCEBECK,SBEPPRBE,SBCP PQBC,且 SBCE SBEPSBCP,BECKPRBEPQBC 。又BEBC,CKPRPQ。CKPRPQ。又CK,PRPQ 。 (3) 图3中的结论是PRPQ=【考点】矩形的性质,三角形的面积,勾股定理,等量代换。【分析】(2)连接BP,过C点作CKBD于点K。根据矩形的性质及勾股定理求出BD的长,根据三角形面积相等可求出CK的长,最后通过等量代换即可证明。(3)图3中的结论是PRPQ= 。如图,同(2)有CK=。SBCEBECK,SBEP
31、PRBE,SBCP PQBC,且 SBCE SBEPSBCP,BECKPRBEPQBC 。又BEBC,CKPRPQ。CKPRPQ。又CK,PRPQ 。15.(2011黑龙江省绥化、齐齐哈尔、黑河、大兴安岭、鸡西8分)在正方形ABCD的边AB上任取一点E,作EFAB交BD于点F,取FD的中点G,连接EG、CG,如图(1),易证EG=CG且EGCG(1)将BEF绕点B逆时针旋转90,如图(2),则线段EG和CG有怎样的数量关系和位置关系?请直接写出你的猜想(2)将BEF绕点B逆时针旋转180,如图(3),则线段EG和CG又有怎样的数量关系和位置关系?请写出你的猜想,并加以证明【答案】解:(1) E
32、G=CG,EGCG。(2)EG=CG,EGCG。证明如下:延长FE交DC延长线于M,连MGAEM=90,EBC=90,BCM=90,四边形BEMC是矩形。BE=CM,EMC=90。又BE=EF,EF=CM。EMC=90,FG=DG,MG= FD=FG。BC=EM,BC=CD,EM=CD。EF=CM,FM=DM。F=45。又FG=DG,CMG= EMC=45,F=GMC。又FG=MG,GFEGMC(SAS)。EG=CG,FGE=MGC。FMC=90,MF=MD,FG=DG,MGFD。FGE+EGM=90。MGC+EGM=90。即EGC=90。EGCG。 【考点】正方形的性质,旋转的性质,全等三角
33、形的判定和性质,等腰直角三角形的判定和性质。【分析】从图(1)中寻找证明结论的思路:延长FE交DC延长线于M,连MG构造出GFEGMC易得结论;在图(2)、(3)中借鉴此解法证明。25.如图(1) ,将一个正六边形各边延长,构成一个正六角星形AFBDCE,它的面积为1,取ABC和DEF各边中点,连接成正六角星形A1F1B1D1C1E1,如图(2)中阴影部分;取A1B1C1和1D1E1F1各边中点,连接成正六角星形A2F2B2D2C2E 2F 2,如图(3) 中阴影部分;如此下去,则正六角星形AnFnBnDnCnE nF n的面积为 .【答案】26.等腰三角形底边上任一点到两腰的距离之和等于一腰
34、上的高求证;等腰三角形底边上任一点到两腰的距离之和等于一腰上的高。 这是一道常见的几何证明问题,难度不大,但很经典,证明方法也很多。已知:等腰三角形ABC中,ABAC,BC上任意点D,DEAB,DFAC,BHAC 求证: DEDFBH 证法一:连接AD则ABC的面积AB*DE/2AC*DF/2(DEDF)*AC/2 而ABC的面积BH*AC/2 所以:DEDFBH 即:等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于腰上的高 证法二:作DGBH,垂足为G因为DGBH,DFAC,BHAC所以四边形DGHF是矩形所以GHDF因为ABAC所以EBDC因为GD/AC所以GDBC所以EBDGDB又因为BDB
35、D所以BDEDBG(ASA)所以DEBG所以DEDFBGGHBH证法三:提示:过B作直线DF的垂线,垂足为M运用全等三角形同样可证另外运用三角函数也能进行证明如果D在BC或CB的延长线上,有下列结论:|DEDF|BH问题:这个问题的另外一个表达形式:将此结论推广到等边三角形:等边三角形中任意一点到三边的距离的和等于等边三角形的一条高。证明的方法与上面的方法类似。这是两条很有用的性质。如果点在三角形外部,结论形式有所不同,道理是一样的如图,已知等边三角形ABC和点P,设点P到三角形ABC三边ABACBC(或其延长线)的距离分别为h1、h2、h3,三角形ABC的高为h。解答提示:如图,过P作BC的
36、平行线交AB、AC的延长线于G、H,作HQAG先证明PDPEHQ(见:)而HQAN,FPMN所以PDPEPFANPFAMMNPFAM即h1h2h3h另外一个变式问题:已知:如图,在ABC中,C90,点D、P分别在边AC、AB上,且BD=AD,PEBD,PFAD,垂足分别为点E、F。 (1)当A30时,求证:PE+PFBC (2)当A30(AABC)时,试问以上结论是否依然正确?如果正确,请加以证明:如果不正确,请说明理由。腰长5厘米 底边长6厘米 p是底边任意一点 pd垂直于ab pe垂直于ac 垂足为d e pd+pe=解:作底边BC上的高AM,设腰上的高h,连接PA因为ABAC5,BC6所
37、以BMCM3所以根据勾股定理得AM4因为SABCBC*AM/2AB*h/212所以h24/5因为SABCSABPSACPAB*PD/2AC*PE/2所以5*PD/25*PE/212所以PDPE24/5如图,点P是矩形ABCD的边AD上的一个动点,矩形的两天边长AB/BC分别为8和15,求点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和。 解:设AC、BD交于O,作AEBD,PMAC,PNBD,连接OP因为AB8,BCAD15所以根据勾股定理得BD17因为SABCAB*AD/2AE*BD/2所以可得AE120/17因为四边形ABCD是矩形所以OAOD因为SOADSOPASOPDOA*PM/2OD*PN/2(PMPN)*OD/2SOADAE*OD/222
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