高中数学第二章平面向量2.4.2平面向量数量积的坐标表示模夹角学案新人教A版必修4

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1、2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角1.掌握平面向量数量积的坐标表示及其运算.(重点)2.会运用向量坐标运算求解与向量垂直、夹角等相关问题.(难点)3.分清向量平行与垂直的坐标表示.(易混点)基础初探教材整理平面向量数量积的坐标表示、模、夹角阅读教材P106“探究”以下至P107例6以上内容，完成下列问题.1.平面向量数量积的坐标表示：设向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，a与b的夹角为.数量积abx1x2y1y2向量垂直abx1x2y1y202.向量模的公式：设a(x1，y1)，则|a|.3.两点间的距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则.4.向量的夹角公式：设两非零

2、向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，a与b 夹角为，则cos .判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)两个非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，满足x1y2x2y10，则向量a，b的夹角为0.()(2)已知a(x1，y1)，b(x2，y2)，abx1x2y1y20.()(3)若两个向量的数量积的坐标和小于零，则两个向量的夹角一定为钝角.()【解析】(1).因为当x1y2x2y10时，向量a，b的夹角也可能为180.(2).abx1x2y1y20.(3).因为两向量的夹角有可能为180.【答案】(1)(2)(3)小组合作型平面向量数量积的坐标运算(1)已知向量a(1,2)，b(2，x

3、)，且ab1，则x的值等于()A.B.C. D.(2)已知向量a(1,2)，b(3,2)，则ab_，a(ab)_.(3)已知a(2，1)，b(3,2)，若存在向量c，满足ac2，bc5，则向量c_.【精彩点拨】根据题目中已知的条件找出向量坐标满足的等量关系，利用数量积的坐标运算列出方程(组)来进行求解.【自主解答】(1)因为a(1,2)，b(2，x)，所以ab(1,2)(2，x)122x1，解得x.(2)ab(1,2)(3,2)(1)3221，a(ab)(1,2)(1,2)(3,2)(1,2)(4,0)4.(3)设c(x，y)，因为ac2，bc5，所以解得所以c.【答案】(1)D(2)14(3

4、)1.进行数量积运算时，要正确使用公式abx1x2y1y2，并能灵活运用以下几个关系：|a|2aa；(ab)(ab)|a|2|b|2；(ab)2|a|22ab|b|2.2.通过向量的坐标表示可实现向量问题的代数化，应注意与函数、方程等知识的联系.3.向量数量积的运算有两种思路：一种是向量式，另一种是坐标式，两者相互补充.再练一题1.设向量a(1，2)，向量b(3,4)，向量c(3,2)，则向量(a2b)c()A.(15,12) B.0C.3 D.11【解析】依题意可知，a2b(1，2)2(3,4)(5,6)，(a2b)c(5,6)(3,2)53623.【答案】C向量模的坐标表示(1)设平面向量

5、a(1,2)，b(2，y)，若ab，则|2ab|等于()A.4 B.5C.3 D.4(2)已知向量a(1,2)，b(3,2)，则|ab|_，|ab|_.【精彩点拨】(1)两向量a(x1，y1)，b(x2，y2)共线的坐标表示：x1y2x2y10.(2)已知a(x，y)，则|a|.【自主解答】(1)由y40知y4，b(2，4)，2ab(4,8)，|2ab|4.故选D.(2)由题意知，ab(2,4)，ab(4,0)，因此|ab|2，|ab|4.【答案】(1)D(2)24向量模的问题的解题策略：(1)字母表示下的运算，利用|a|2a2将向量模的运算转化为向量的数量积的运算.(2)坐标表示下的运算，若

6、a(x，y)，则|a|.再练一题2.已知向量a(2x3,2x)，b(3x,2x)(xR)，则|ab|的取值范围为_. 【导学号：00680057】【解析】ab(x，x2)，|ab|，|ab|，).【答案】，)探究共研型向量的夹角与垂直问题探究1设a，b都是非零向量，a(x1，y1)，b(x2，y2)，是a与b的夹角，那么cos 如何用坐标表示？【提示】cos .探究2已知向量a(1,2)，向量b(x，2)，且a(ab)，则实数x等于？【提示】由已知得ab(1x,4).a(ab)，a(ab)0.a(1,2)，1x80，x9.(1)已知向量a(2,1)，b(1，k)，且a与b的夹角为锐角，则实数k

7、的取值范围是()A.(2，) B.C.(，2) D.(2,2)(2)已知在ABC中，A(2，1)，B(3,2)，C(3，1)，AD为BC边上的高，求|与点D的坐标.【精彩点拨】(1)可利用a，b的夹角为锐角求解.(2)设出点D的坐标，利用与共线，列方程组求解点D的坐标.【自主解答】(1)当ab共线时，2k10，k，此时a，b方向相同，夹角为0，所以要使a与b的夹角为锐角，则有ab0且a，b不同向.由ab2k0得k2，且k，即实数k的取值范围是，选B.【答案】B(2)设点D的坐标为(x，y)，则(x2，y1)，(6，3)，(x3，y2).D在直线BC上，即与共线，存在实数，使，即(x3，y2)(

8、6，3)，x32(y2)，即x2y10.又ADBC，0，即(x2，y1)(6，3)0，6(x2)3(y1)0，即2xy30.由可得即D点坐标为(1,1)，(1,2)，|，综上，|，D(1,1).1.利用数量积的坐标表示求两向量夹角的步骤：(1)求向量的数量积.利用向量数量积的坐标表示求出这两个向量的数量积.(2)求模.利用|a|计算两向量的模.(3)求夹角余弦值.由公式cos 求夹角余弦值.(4)求角.由向量夹角的范围及cos 求的值.2.涉及非零向量a，b垂直问题时，一般借助ababx1x2y1y20来解决.再练一题3.已知a(1,2)，b(1，)，分别确定实数的取值范围，使得：(1)a与b

9、的夹角为直角；(2)a与b的夹角为钝角；(3)a与b的夹角为锐角.【解】设a与b的夹角为，则ab(1,2)(1，)12.(1)因为a与b的夹角为直角，所以cos 0，所以ab0，所以120，所以.(2)因为a与b的夹角为钝角，所以cos 0且cos 1，所以ab0且a与b不反向.由ab0得120，故0，且cos 1，所以ab0且a，b不同向.由ab0，得，由a与b同向得2，所以的取值范围为(2，).1.已知a(1，1)，b(2,3)，则ab()A.5 B.4 C.2 D.1【解析】ab(1，1)(2,3)12(1)31.【答案】D2.已知a(2,1)，b(x，2)，且ab，则x的值为()A.1

10、 B.0 C.1 D.2【解析】由题意，ab(2,1)(x，2)2x20，解得x1.故选A.【答案】A3.已知a(3，1)，b(1，2)，则a与b的夹角为()A. B.C. D.【解析】ab31(1)(2)5，|a|，|b|，故a与b的夹角为，则cos .又0，.【答案】B4.已知a(3，4)，则|a|_.【解析】因为a(3，4)，所以|a|5.【答案】55.已知向量a(3，1)，b(1，2)，求：(1)ab；(2)(ab)2；(3)(ab)(ab).【解】(1)因为a(3，1)，b(1，2)，所以ab31(1)(2)325.(2)ab(3，1)(1，2)(4，3)，所以(ab)2|ab|242(3)225.(3)ab(3，1)(1，2)(4，3)，ab(3，1)(1，2)(2,1)，(ab)(ab)(4，3)(2,1)835.7