条件分布与独立性课件

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1、第二节第二节 条件分布条件分布第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布一、提出问题一、提出问题 考察二维随机变量考察二维随机变量(X,Y)时时, ,常常需要考常常需要考 虑已知其中一个随机变量取得某值的条件下虑已知其中一个随机变量取得某值的条件下求另一个随机变量取值的概率求另一个随机变量取值的概率. .随机事件有随机事件有条件概率问题条件概率问题. .怎样研究随机变量的条件分怎样研究随机变量的条件分布问题？布问题？二、预备知识二、预备知识 1. 1.事件的条件概率计算公式，拉格朗事件的条件概率计算公式，拉格朗 日中值公式，概率密度与分布函数关系；日中值公式，概率密度与分布函数关系

2、； 2. 2.事件的独立性，联合分布率与联合事件的独立性，联合分布率与联合 概率密度，边缘分布率与边缘概率密度概率密度，边缘分布率与边缘概率密度. . 考察二维随机变量考察二维随机变量(X, Y )时时, 常常需要常常需要考虑已知其中一个随机变量取得某值的条件考虑已知其中一个随机变量取得某值的条件下下, 求另一个随机变量取值的概率求另一个随机变量取值的概率, 另外另外, 我我们由事件的条件概率也很自然地引出条件概们由事件的条件概率也很自然地引出条件概率分布的概念率分布的概念. . 三、建立理论与方法应用三、建立理论与方法应用 分析定义：分析定义： 设设A, B为随机试验为随机试验E的两个的两个

3、事件事件, 且且P(A)0, 则称则称 P(B|A)= 为在事件为在事件A发生的条件下事件发生的条件下事件B发生的条件发生的条件 概率概率. ()( )P ABP A ( (一一) ) 离散型随机变量的条件分布律离散型随机变量的条件分布律 设设(X, Y )是一个二维离散型随机变量是一个二维离散型随机变量, 其其分布律为分布律为, ,1,2,ijijP Xx Yyp i j(X, Y)关于关于X和和Y的边缘分布律分别为的边缘分布律分别为,1,2,iiijjP Xxpp i,1,2,jjijiP Yyppj 我们由我们由事件的条件概率事件的条件概率给出给出随机变量的随机变量的条件概率分布条件概率

4、分布的概念的概念. 定义定义1 对于固定的对于固定的j, 若若 0jyYP, 则称则称 , 1,2, (2.1)ijijijjjP Xx YypP Xx YyipP Yy 为在为在Y = yj条件下随机变量条件下随机变量X的的条件分布律条件分布律. 对于固定的对于固定的i,若若 0ixXP, 则称则称 , , 1,2, (2.2)ijijjiiiP Xx YypP Yy XxjP Xxp 为在为在X = xi条件下随机变量条件下随机变量Y的的条件分布律条件分布律. 例例1 设某工厂每天工作时间设某工厂每天工作时间X可分为可分为6小小时、时、8小时、小时、10小时和小时和12小时小时, 工人的工

5、作效工人的工作效率率Y可以按可以按50%、70%、90%分为三类分为三类. 已知已知(X, Y)的概率分布如下：的概率分布如下： XY6810120.50.0140.0360.0580.0720.70.0360.2160.1800.0430.90.0720.1800.0790.014 如果以工作效如果以工作效率不低于率不低于70%的概的概率越大越好作为评率越大越好作为评判标准判标准,问每天工作问每天工作时间以几个小时为时间以几个小时为最好？最好？ 解解X681012pi0.1220.4320.3170.129 应分别考虑工作时间应分别考虑工作时间X等于等于6,8,10,12时时 效率效率Y的条

6、件分布的条件分布, 即即 , ,6,8,10,12,0.5,0.7,0.9.ijjiijiP Xx YyP Yy XxxyP Xx 先求先求 (X, Y)的边缘分布律的边缘分布律: 计算可得计算可得 Y0.50.70.9PY=yi|X=60.1150.2950.590PY=yi|X=80.0830.5000.417PY=yi|X=100.1830.5680.249PY=yi|X=120.5580.3330.109 从表中可以看出从表中可以看出PY0.7X=xi的值中的值中, 当当xi=8时时, 概率概率 0.7| 10.7iiPYXxPYXx =1- -0.083=0.917 最大最大, 即每

7、天工作即每天工作8小时小时, 工作效率达到最优工作效率达到最优. ( (二二) ) 连续型随机变量的条件分连续型随机变量的条件分布布 对二维连续型随机变量对二维连续型随机变量,我们也想定义我们也想定义分布函数分布函数PXx|Y=y,但是但是, 由于由于PY=y=0, 故不能像离散型随机变量那样简单地定义故不能像离散型随机变量那样简单地定义了了.自然想到自然想到:设设A为某一事件为某一事件,Y为随机变量为随机变量, 其分布函数为其分布函数为FY(y), 设设P y 0 (0), 则由条件概率公式可知则由条件概率公式可知 ,. (2.3)P A yYyP A yYyP yYy 如果当如果当0+时上

8、式极限存在时上式极限存在, 则称此极限则称此极限为事件为事件A在条件在条件Y= y下发生的下发生的条件概率条件概率, 即即 0,lim.P A yYyP A YyP yYy 设设 X为随机变量为随机变量, 取事件取事件A为为Xx, 则称则称 为随机变量为随机变量X在条件在条件Y= y下的下的条件条件分布函数分布函数, 记作记作 ().X YFx yP X xY y 设设(X,Y)为二维连续型随机变量为二维连续型随机变量,分布函分布函 数为数为F(x, y), 其概率密度为其概率密度为f (x, y)且连续且连续, 则则 00( ,)( , )()limlim.()( )XYYYF x yF x

9、 yFx yP X x y Y yF yF y 由拉格朗日中值定理由拉格朗日中值定理, 可知可知 t00( , )()lim ( ,)( )( , )d d( , )( , ) lim( )( )( )( , )d( , ) d .( )( )yX YYyxyyYYYxxYYFxFx yyyFf x txFxFx yyFFyfyf x yxf x yxfyfy 都都在在 与与之之间间d( , )().( )xX YYf x yFx yxfy Y= y下下X的的条件概率密度条件概率密度, 记为记为 则上式就是在给定条件则上式就是在给定条件Y= y下下, 随机变量随机变量X的的条件分布函数条件分布

10、函数. 而而 称为在给定条件称为在给定条件)(),(yfyxfY( , )().( )X YYf x yfx yfy 同样同样, 可得出可得出 d( , )()( )yY XXf x yFy xyfx ，得到得到X=x下下Y的条件概率密度的条件概率密度 ( , )().( )Y XXf x yfy xfx即即 综上所述综上所述, 我们得到我们得到常用的关系常用的关系:(1) |( , )()d( | )d; 2.4)( )xxXYXYYf xyF xyxfx y xf y（|( , )()d( | )d. (2.5)( )yyYXYXXf xyF yxyfy x yf x(2) |( , )(

11、 | )( , )( )( | ). (2.6)( )YX YX YYf x yfx yf x yfy fx yfy 或 |( , )( | )( , )( )( | ). (2.7)( )XYXYXXf x yfy xf x yf x fy xf x 或 (3) |( | )( | ),( | )( | ). (2.8)XYxXYYXyYXF x yfx yF y xfy x 例例2 设设G是平面上的有界区域是平面上的有界区域, 其面积其面积为为A. 若二维随机变量若二维随机变量(X, Y)具有概率密度具有概率密度 1,( , ),( , )0,x yGf x yA 其其它它则称则称(X,

12、Y)在在G上服从上服从均匀分布均匀分布. 现设二维现设二维随机变量随机变量(X, Y)在圆域在圆域x2 + y21上服从均匀上服从均匀分布分布. 求条件概率密度求条件概率密度fX|Y(x|y). 221,1,( , )0,xyf x y 其其它它且有边缘概率密度且有边缘概率密度d( )( , )Yfyf x yx 22121121, 11,0,.yydxyy 其其它它 由题设由题设, 随机变量随机变量(X, Y)具有概率密度具有概率密度 解解 221, 11,( )0,Yyyfy 其其它它. .于是，当于是，当- -1 y 1时时, 有有222211,11,( , )2()2 11( )0 ,

13、 .XYYyxyf x yfx yyyfy 其其它它即即 当当y = 0和和y = 时时, fX|Y ( x | y )的图形分别的图形分别如图如图3-5, 图图3-6所示所示. 图图3-5 例例2中中y=0时的条件概率密度时的条件概率密度 21图图3-6 例例2中中y= = 时的条件概率密度时的条件概率密度 21 (1) 二维随机变量二维随机变量(X,Y)在在G上服从均匀分上服从均匀分布布, 其概率密度为其概率密度为., 0,),(,1),(其它GyxAyxf它和一维随机变量它和一维随机变量X在在(a, b)上服从均匀分布的上服从均匀分布的概率密度概率密度其它baxabxf, 0),(,1)

14、(在本质上是一致的在本质上是一致的, 可以推广到三维或更高维可以推广到三维或更高维情形情形.讲评讲评 (2) 对于对于- -1y1时有时有222|1,11,( | )2 10,.X Yyxyfx yy 其它 而而y=- -1和和y=1时函数时函数 无意义无意义, 但不但不影响概率或分布函数影响概率或分布函数FX|Y(x|y). 因为对连续型因为对连续型随机变量随机变量X，在一点处的概率，在一点处的概率PX=a=0. 2121y(3) 常错写常错写 2|1,11,( | )2 10,.X Yxfx yy 其它而不是而不是 错的原因是错的原因是fX|Y(x|y)是表示是表示Y=y下的条件概率密度下

15、的条件概率密度, 即即FX|Y(x|y)与与Y的取值有关的取值有关.2211.yxy 例例3 设数设数X在区间在区间(0, 1)上随机地取值上随机地取值, 当观察到当观察到X=x (0 x 1)时时, 数数Y在区间在区间(x, 1)上随机地取值上随机地取值,求关于求关于Y的边缘概率密度的边缘概率密度fY (y).解解 由题意由题意, X具有概率密度具有概率密度 1,01,( )0,.Xxfx 其其它它 对于任意给定的值对于任意给定的值x(0 x 1), 在在X=x的的条件下条件下, Y的条件概率密度为的条件概率密度为 1,1,()10,.Y Xxyfy xx 其其 它它 由由(2.7)式得到式

16、得到X和和Y的联合概率密度为的联合概率密度为1,01,( , )( )()10,.XY Xxyf x yfx fy xx 其它因此，得到关于因此，得到关于Y的边缘概率密度为的边缘概率密度为 d( )( , )Yfyf x y x d01ln(1),01,10,.yxyyx 其其它它 讲评讲评 (1) f(x, y)=fX(x)fY|X(y|x)中中0 xy1, 它由它由fX(x)0的的0 x1和和fY|X(y|x)0的的xy1取交取交得到得到0 xy1|Y=y)例例4(Ex.) 设设(X,Y)的概率密度是的概率密度是其它,00,0,),(yxyeeyxfyyx解解: 1|)|(dxyxfYXP

17、(X1|Y=y)为此为此, 需求出需求出 )|(|yxfYX由于由于于是对于是对y0, )(),()|(|yfyxfyxfYYXdxyxfyfY),()(0dxyeeyyx0yxyyeye,ye y0,yeyx0 x故对故对y0, P(X1|Y=y)1dxyeyx1yxeye1P88：1、3、5 .五、习题布置五、习题布置第三节第三节 随机变量的独立性随机变量的独立性第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 随机变量的独立性是概率论与数理统计随机变量的独立性是概率论与数理统计中的一个很重要的概念中的一个很重要的概念,它是由随机事件的相它是由随机事件的相互独立性引申而来的互独立性引

18、申而来的.我们知道我们知道,两个事件两个事件A与与B是相互独立的是相互独立的,当且仅当它们满足条件当且仅当它们满足条件P(AB)=P(A)P(B). 由此由此, 可引出两个随机变量的相互独立性可引出两个随机变量的相互独立性. 设设X,Y为两个随机变量为两个随机变量,于是于是Xx,Yy为为两个随机事件两个随机事件, 则两事件则两事件Xx,Yy相互独立相互独立,相当于下式成立相当于下式成立 PXx,Yy=PXx PYy, 或写成或写成 F(x,y)=FX(x)FY(y). 定义定义1 设设X,Y是两个随机变量是两个随机变量, 其联合分其联合分布函数为布函数为F(x, y). 若若 F(x, y)=

19、 FX(x)FY(y), 则称则称随机变量随机变量X与与Y相互独立相互独立. 具体地具体地, 对离散型与连续型随机变量的对离散型与连续型随机变量的独立性独立性,可分别用分布律与概率密度描述可分别用分布律与概率密度描述. 定理定理1 (1)离散型随机变量离散型随机变量X与与Y相互独立相互独立的充要条件是对于的充要条件是对于(X, Y)的所有可能取值的所有可能取值(xi, yj),有有 PX= xi,Y= yj= PX= xiPY= yj,i j=1,2,. (3.1) (2) 连续型随机变量连续型随机变量X与与Y相互独立的充要相互独立的充要条件是条件是 f (x, y)=fX (x)fY(y)

20、(3.2) 几乎处处成立几乎处处成立. 例例1 设随机变量设随机变量(X, Y)的分布律及边缘的分布律及边缘分布律如下表：分布律如下表： X Y01p.j12pi.13261132161132131证明证明X与与Y相互独立相互独立. .PX=1, Y=1= = PX=1PY=1,PX=0, Y=1= = PX=0PY=1, 6113证证 因为因为PX=0, Y=2= = PX=0PY=2,61因此因此 X, Y是相互独立的是相互独立的.PX=1, Y=2= = PX=1PY=2, 13 例例3 设设(X,Y)是二维正态随机变量是二维正态随机变量,它的它的概率密度为概率密度为 221122222

21、211 221 2()()() ()11( , )exp22(1)21xxyyf x y 试证试证X与与Y相互独立的充要条件是相互独立的充要条件是 = 0. 证证 由第一节例由第一节例5知道知道,边缘概率密度边缘概率密度fX(x)和和fY(y)的乘积为的乘积为 2212221212()()11( )( )exp.22XYxyfx fy 反之，反之， 如果如果X和和Y相互独立相互独立, ,由于由于f (x,y),fX(x),fY(y)都是连续函数都是连续函数, , 故对于所故对于所有的有的x和和y有有 f (x,y)=fX(x)fY(y). 特别地特别地,令令x = 1,y = 2, 由上述等式

22、得到由上述等式得到,2112121221从而从而 = 0. 因此因此, 如果如果 = 0, 则对于所有的实数则对于所有的实数x和和y, 有有 f (x, y)=fX(x)fY(y), 即即X和和Y相互独立相互独立. 讲评讲评 随机变量的独立性往往由实际问题随机变量的独立性往往由实际问题确定确定. 在独立的情况下在独立的情况下, 边缘分布唯一确定联边缘分布唯一确定联合分布合分布, 这样就将多维随机变量的问题转化为这样就将多维随机变量的问题转化为一维随机变量的问题一维随机变量的问题. 所以独立性是非常值得所以独立性是非常值得重视的概念之一重视的概念之一. 定理定理2 对于二维正态随机变量对于二维正

23、态随机变量(X, Y), X与与Y相互独立的充要条件是参数相互独立的充要条件是参数 = 0. 综上所述综上所述, 得到以下的重要结论得到以下的重要结论: 例例4(Ex.) 设设(X,Y)在区域在区域A(如图如图)上服从均匀分布，问上服从均匀分布，问X和和Y是否是否独立？独立？解：解： 其其它它,010,221),()(220 xXxxdydyyxfxfA21y =2-2x 其其它它由由题题意意知知, 0),(, 11),(AyxSyxfA 其其它它,020,211),()(2110yYyydxdxyxfyf 例例4(Ex.) 设设(X,Y)在区域在区域A(如图如图)上服从均匀分布，问上服从均匀

24、分布，问X和和Y是否是否独立？独立？解：解：)21()21()21,21(43)21(,1)21(,1)21,21(YXYXffffff A21y =2-2x故故 X,Y 不相互独立不相互独立 关于多个随机变量的有关理论关于多个随机变量的有关理论, 可由二维可由二维随机变量的一些概念推广得到随机变量的一些概念推广得到. n维随机变量维随机变量(X1,X2,Xn)的的分布函数分布函数定义定义 为为 F(x1, x2, xn)=P X1x1, X2x2, , Xnxn, 其中其中x1, x2, xn为任意实数为任意实数. 若存在非负函数若存在非负函数f (x1, x2, xn), 使得对于使得对于

25、任意实数任意实数x1, x2, xn有有 F(x1, x2,xn)=二、二、n维随机变量的相关理论维随机变量的相关理论=121212( ,)d dd , (3.4)nxxxnnf x xxx xx 则称则称f (x1, x2, xn)为连续型随机变量为连续型随机变量(X1, X2, Xn)的的概率密度概率密度. 设设(X1, X2, Xn)的分布函数的分布函数F(x1, x2, xn)为已知为已知, 则则(X1, X2, Xn)的的k(1kn)维边缘维边缘分布函数就随之确定分布函数就随之确定. 例如例如(X1, X2, Xn)关于关于X1和关于和关于(X1, X2) 的的边缘分布函数边缘分布函

26、数分别为分别为 111()( ,),XFxF x 12,1212(,)(,).X XFx xF x x 又若又若f(x1, x2, xn)是是(X1, X2, Xn)的的概率密度概率密度, 则则(X1, X2, Xn)关于关于X1和关于和关于(X1, X2)的的边缘概率密度边缘概率密度分别为分别为 111223( )( , , ,)d dd , (3.5)Xnnfxf x xxx xx 12,121234( , )( , , , )d dd . (3.6)X Xnnfx xf x xx x xx 定义定义2 若对于所有的实数若对于所有的实数x1,x2, xn有有 121212( ,)( )(

27、)( ) (3.7) nnXXXnF x xxFx FxFx ， 则称随机变量则称随机变量X1, X2, Xn是是相互独立相互独立的的. 对于对于可列无穷多个可列无穷多个随机变量随机变量X1, X2, , Xn, , 若其中任何有限多个随机变量都是若其中任何有限多个随机变量都是相互独立的相互独立的, 则称随机变量序列则称随机变量序列X1, X2, , Xn, 相互独立相互独立. 以下定理在数理统计中很重要以下定理在数理统计中很重要.定义定义3 若对于所有的若对于所有的 x1, x2, xm; y1, y2, yn有有F(x1,x2, xm, y1, y2, yn)= F1(x1,x2, xm)

28、F2(y1, y2, yn) (3.8). 其中其中F1,F2,F依次为随机变量依次为随机变量(X1,X2,Xm), (Y1, Y2, Yn)和和(X1, X2, Xm, Y1, Y2, Yn)的分布函数的分布函数, 则称随机变量则称随机变量(X1, X2, Xm)和和 (Y1, Y2, Yn)是是相互独立相互独立的的. 证明证明略略. 例如例如， (X1, X2)和和(Y1, Y2, Y3)独独立，立， 则则X1 与与Y2独立，独立， X1+2X2与与3Y1- -Y2+5Y3独立独立. 设设(X1, X2, Xm)和和(Y1, Y2, Yn)相互独立相互独立, 则则 (1) Xi (i =1

29、, 2, , m)和和Yj (j =1, 2, , n)相互独立相互独立. (2) 又若又若h, g是连续函数是连续函数, 则则h (X1,X2,Xm)和和g (Y1, Y2, Yn)也相互独立也相互独立. 定理定理3 3 四、小结与思考四、小结与思考 本次课主要学习了本次课主要学习了: (1) 关于关于X和和Y的相互独立性以及随机向量的相互独立性以及随机向量(X1,X2)与与(Y1,Y2)的独立性概念的独立性概念. (2) 要掌握关于离散型随机变量与连续型要掌握关于离散型随机变量与连续型随机变量独立的充要条件随机变量独立的充要条件.思考思考 (1) 联合分布函数和边缘分布函数在联合分布函数和边缘分布函数在X与与Y独立的情况下关系如何独立的情况下关系如何? 一般情况下关系一般情况下关系如何如何? (2) 离散型随机变量与连续型随机变量相离散型随机变量与连续型随机变量相互独立的充要条件是什么？互独立的充要条件是什么？ 五、习题布置五、习题布置 P92：1、3、5 .