大学物理刚体的定轴转动课件

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1、大学物理刚体的定轴转动1第第5章章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动大学物理刚体的定轴转动2演示实验演示实验1、茹科夫斯基、茹科夫斯基转椅转椅（和车轮和车轮）2、陀螺仪、陀螺仪3 、 质 心 运 动、 质 心 运 动（杠杆杠杆）4、不同质量分、不同质量分布的等质量柱体布的等质量柱体滚动滚动5、车轮进动、车轮进动一、刚体的定轴转动定律一、刚体的定轴转动定律二、转动刚体的角动量守恒二、转动刚体的角动量守恒三、刚体转动的功和能三、刚体转动的功和能四、无滑动滚动四、无滑动滚动 瞬时转轴瞬时转轴（补充）（补充）五、进动五、进动目目 录录大学物理刚体的定轴转动35.1 5.1 刚体的定轴转动定律刚体的定轴转动

2、定律 zO miri zzzzJtJtLM dddd,2iiizrmJ zzJL mrJzd2 :zM外力矩沿外力矩沿z轴分量的代数和轴分量的代数和刚体沿刚体沿z轴的角动量轴的角动量:zL刚体对刚体对z轴的转动惯量轴的转动惯量:zJ大学物理刚体的定轴转动42、适用于转轴固定于、适用于转轴固定于惯性系惯性系中的情况。中的情况。3、对于转轴通过质心的情况，如果质心有加速对于转轴通过质心的情况，如果质心有加速度，上式也成立。度，上式也成立。（惯性力对质心的力矩和惯性力对质心的力矩和为零为零）1、由关于定点的质点系角动量定理，向过该点、由关于定点的质点系角动量定理，向过该点的固定转轴投影得到。的固定转

3、轴投影得到。 zzzzJtJtLM dddd大学物理刚体的定轴转动5zfrM)( 转动转动平面平面of f/fz rr外力对固定转轴力矩的计算：外力对固定转轴力矩的计算： fr0 M：沿转轴方向：沿转轴方向0 M：沿转轴反方向：沿转轴反方向转动平面内的分转动平面内的分力对转轴的力矩力对转轴的力矩大学物理刚体的定轴转动6计算转动惯量的几条规律：计算转动惯量的几条规律：1、对同一轴可叠加：、对同一轴可叠加： iiJJ2、平行轴定理：、平行轴定理：2mdJJc 3、对薄平板刚体，有、对薄平板刚体，有垂直垂直轴定理：轴定理：yxzJJJ JcJdmC质心质心 rix z yi xi mi yR221m

4、R241mR大学物理刚体的定轴转动7常用的转动惯量常用的转动惯量232mRJ 直径直径薄球壳：薄球壳：252mRJ 直径直径球体：球体：2121mLJ 过中点垂直于杆过中点垂直于杆细杆：细杆：231mLJ 过一端垂直于杆过一端垂直于杆圆柱体：圆柱体：221mRJ 对称轴对称轴大学物理刚体的定轴转动8例2：证明球体对任意直径的转动惯量为：252mRI 证明：如图所示，在坐标证明：如图所示，在坐标z处取高为处取高为dz的小圆柱作为质元，的小圆柱作为质元， dzzRdzrdmrdIdzrdm222214212212)(, 2535513312521422421422421222215215163/4

5、21)2222(2)2()(mRRRmRRRRdzzdzzRdzRdzzzRRdzzRIRRRRRRRRRR dzzRro大学物理刚体的定轴转动9例：一飞轮的转动惯量为例：一飞轮的转动惯量为J，在，在t=0时时的角速度为的角速度为 0，此后飞轮经历制动过，此后飞轮经历制动过程，阻力矩程，阻力矩M的大小与角速度的平方的大小与角速度的平方成正比，比例系数为成正比，比例系数为k，当，当 = 0/3时，时，飞轮的角加速度飞轮的角加速度 =？从开始制动到？从开始制动到 = 0/3所经历的时间所经历的时间t=?2 kM IMIkIk9)3(2020解：解：大学物理刚体的定轴转动10dtdIkM2dtdIk

6、2tdtIkd03120002kIt 与一维质点动力学方法一致与一维质点动力学方法一致大学物理刚体的定轴转动11【例例】转轴光滑，初态静止，求下摆到转轴光滑，初态静止，求下摆到 角时的角加速度，角速度，转轴受力。角时的角加速度，角速度，转轴受力。大学物理刚体的定轴转动12解：解：刚体定轴转动刚体定轴转动1、受力分析受力分析2、关于关于O轴列轴列转动定理转动定理231mlJO mgloM cos2 OOJM lg2cos3 【思考思考】为什么不关于过为什么不关于过质心质心轴列转动定理？轴列转动定理？大学物理刚体的定轴转动13,ddt 由由 求求 ：tdd ddd t,2cos3lg lg sin

7、3 00dd sin23212lg 大学物理刚体的定轴转动14 2212llan nnmamgN sin（1） 平动：平动：质心运动定理质心运动定理nN sinmgNn25 3、求转轴受力求转轴受力大学物理刚体的定轴转动15 OCCC,JM（2） 转动：转动：关于质心轴列转动定理关于质心轴列转动定理tN cosmgNt41 21212mlJ,lNMCtC 为什么？为什么？大学物理刚体的定轴转动16【例例】一长为一长为L，质量为，质量为m的均匀细棒，水平放的均匀细棒，水平放置静止不动，受垂直向上的冲力置静止不动，受垂直向上的冲力F作用，冲量作用，冲量为为F t（ t很短），很短），冲力的作用点距

8、棒的质心冲力的作用点距棒的质心l远，求冲力作用后棒的运动状态。远，求冲力作用后棒的运动状态。解解 （1）质心的运动质心的运动0)(CmvtmgF tmmgFvC 0质心以质心以vC0的初速做上抛运动。的初速做上抛运动。lFC大学物理刚体的定轴转动17（2）在上抛过程中棒的转动在上抛过程中棒的转动tJJFlCCdd 绕过质心转轴，列转动定理：绕过质心转轴，列转动定理：lFCtJC tJC 212mLtFlJtFlC 在上抛过程中，棒以恒定角在上抛过程中，棒以恒定角速度速度 绕过质心轴绕过质心轴转动。转动。【演示【演示实验】实验】 质心运动质心运动（杠杆杠杆） 大学物理刚体的定轴转动185.2 5

9、.2 转动刚体的角动量守恒转动刚体的角动量守恒1、绕定轴转动、绕定轴转动2、几个刚体、几个刚体绕同一定轴绕同一定轴转动转动【演示【演示实验】实验】茹科夫斯基转椅茹科夫斯基转椅( (和车轮和车轮) )、陀螺仪、陀螺仪3、关于过质心轴、关于过质心轴若合外力矩为零，则刚体总角动量守恒，角若合外力矩为零，则刚体总角动量守恒，角动量可在这几部分间传递。动量可在这几部分间传递。若合外力矩为零，则刚体角动量守恒。若合外力矩为零，则刚体角动量守恒。若对过质心轴合外力矩为零，则对该轴刚体若对过质心轴合外力矩为零，则对该轴刚体角动量守恒。角动量守恒。无论质心轴是否是惯性系。无论质心轴是否是惯性系。大学物理刚体的定

10、轴转动195.3 5.3 刚体转动的功和能刚体转动的功和能力矩的功力矩的功： 21 d dMW不太大刚体的重力势能不太大刚体的重力势能：CpmghE 机械能守恒定律机械能守恒定律：只有保守力做功时只有保守力做功时常数常数 pkEE2122122121 JJEEWkk 合外力矩对一个绕固定轴转动的刚体所做的合外力矩对一个绕固定轴转动的刚体所做的功，等于它的转动动能的增加功，等于它的转动动能的增加大学物理刚体的定轴转动20用机械能守恒重解：用机械能守恒重解： 转轴光滑，初态静止，求下摆到转轴光滑，初态静止，求下摆到角角时的角加速度，角速度。时的角加速度，角速度。大学物理刚体的定轴转动21lgdtd

11、lg2cos3sin3 解解：杆机械能守恒杆机械能守恒比用转动定律简单！比用转动定律简单！势能零点势能零点绕固定轴绕固定轴转动动能转动动能 223121sin20mlJJlmg 大学物理刚体的定轴转动22杆动能的另一种表达：杆动能的另一种表达：科尼西定理科尼西定理势能零点势能零点质心动能质心动能绕过质心轴绕过质心轴转动动能转动动能 22212121221sin20mlJJlmlmgcc 大学物理刚体的定轴转动235.4 5.4 刚体的无滑动滚动刚体的无滑动滚动 瞬时转轴瞬时转轴（补充）（补充）1、平面平行运动平面平行运动只考虑圆柱，球等只考虑圆柱，球等轴对称刚体轴对称刚体的滚动。的滚动。质心做

12、平面运动绕过质心垂直轴做转动质心做平面运动绕过质心垂直轴做转动2、无滑动滚动：、无滑动滚动：RCpcvca 任意时刻接触点任意时刻接触点P 瞬时静止瞬时静止 RaRvCC 无滑动滚动条件：无滑动滚动条件：【思考思考】下一时刻下一时刻P点位置？点位置？大学物理刚体的定轴转动24Cmafmg sin转动惯量小的滚得快！转动惯量小的滚得快！【演示实验】【演示实验】不同质量分布的等质量柱体滚动不同质量分布的等质量柱体滚动质心运动定理质心运动定理过质心轴转动定理过质心轴转动定理纯滚动条件纯滚动条件（运动学条件运动学条件）2sinmRJmgRC 【例例】两个质量和半径两个质量和半径都相同，但转动惯量不都相

13、同，但转动惯量不同的柱体，在斜面上作同的柱体，在斜面上作无滑动滚动，哪个滚得无滑动滚动，哪个滚得快？快？ mgfRC CJRf RaC xy大学物理刚体的定轴转动253、轴对称、轴对称刚体无滑动滚动刚体无滑动滚动中的瞬时转轴中的瞬时转轴CpABDEFv 时刻时刻t 接触点接触点P 瞬瞬时静止；时静止； 在时间在时间( (tt+ t) )内，以内，以P点为原点点为原点建立平动坐标系；建立平动坐标系； 时间时间( (t t+ t) )内，内，刚体的运动（质心平动、刚体的运动（质心平动、绕质心轴转动）可以看成：绕质心轴转动）可以看成：绕过绕过 P 点且垂直于点且垂直于固定平面的转轴的无滑动滚动。固定

14、平面的转轴的无滑动滚动。接触点接触点P ：瞬时转轴瞬时转轴瞬时转动中心瞬时转动中心大学物理刚体的定轴转动26绕绕瞬时转轴的转动定理的形式？瞬时转轴的转动定理的形式？ 虽然虽然p点瞬时静止，但有加速度，所以除了点瞬时静止，但有加速度，所以除了力矩力矩Mp外，还外，还应考虑惯性力矩。应考虑惯性力矩。 下面证明：下面证明：对于无滑动滚动的对于无滑动滚动的轴对称刚体，轴对称刚体，接触点接触点p的加速度沿过的加速度沿过p点的半径方向，因此，点的半径方向，因此，关于过关于过p点的转轴，惯性力矩等于零。点的转轴，惯性力矩等于零。 惯性力作用在质心上，方向与惯性力作用在质心上，方向与p点的加速度点的加速度方向

15、相反。方向相反。 ppJM :pJ关于过关于过p点转轴的转动惯量点转轴的转动惯量轴对称刚体，绕轴对称刚体，绕瞬时转轴的转动定理：瞬时转轴的转动定理：大学物理刚体的定轴转动27证明：证明：pCpaaa :pap点相对惯性系的加速度点相对惯性系的加速度:pa p点相对质心的加速度点相对质心的加速度RCpcvca pnptpaaa 按切、法向分解按切、法向分解：无滑动滚动：无滑动滚动：,Cptvv Cptaa pnptCpaaaa p点加速度沿半径方向点加速度沿半径方向appna pnCCaaa 过过p点转轴惯性力矩等于零点转轴惯性力矩等于零大学物理刚体的定轴转动28【例例】两个质量和半径两个质量和

16、半径都相同，但转动惯量不都相同，但转动惯量不同的柱体，在斜面上作同的柱体，在斜面上作无滑动滚动，哪个滚得无滑动滚动，哪个滚得快？快？关于瞬转轴列转动定理重解：关于瞬转轴列转动定理重解： mgfRCp pJmgR sin2mRJJCp 2sinmRJmgRC 简单多了！简单多了！大学物理刚体的定轴转动295.5 刚体定轴转动的角动量定理刚体定轴转动的角动量定理 和角动量守恒定律和角动量守恒定律讨论讨论力矩对时间的积累效应。力矩对时间的积累效应。质点系：质点系：对点：对点：，外外 tLMdd 1221dLLtMtt 外外对轴：对轴：zttzzLLtM1221d 外外刚体：刚体： zzJL 1221

17、d zzttzJJtM 外外刚体定轴转动的角动量定理刚体定轴转动的角动量定理大学物理刚体的定轴转动30.const0 zzJM ，则，则外外 正、负不变正、负不变大小不变大小不变刚体定轴转动的角动量守恒定律：刚体定轴转动的角动量守恒定律：对刚体系，对刚体系， M外外z = 0 时，时， ，.const iizJ 此时角动量可在系统内部各刚体间传递，此时角动量可在系统内部各刚体间传递，而却保持刚体系对转轴的总角动量不变。而却保持刚体系对转轴的总角动量不变。茹科夫斯基转椅茹科夫斯基转椅(KL016)陀螺仪陀螺仪（KL029）转台车轮转台车轮 (KL017)演示演示 角动量守恒：角动量守恒：大学物理

18、刚体的定轴转动31克服直升飞机机身反转的措施：克服直升飞机机身反转的措施：装置尾浆推动大装置尾浆推动大气产生克服机身气产生克服机身反转的力矩反转的力矩装置反向转动的双装置反向转动的双旋翼产生反向角动旋翼产生反向角动量而相互抵消量而相互抵消 TV 角动量守恒定律角动量守恒定律 (注注3)大学物理刚体的定轴转动32滑冰运动员的旋转滑冰运动员的旋转猫的下落（猫的下落（A）猫的下落（猫的下落（B）大学物理刚体的定轴转动33m (黏土块黏土块) yxhPOM光滑轴光滑轴均质圆盘均质圆盘（水平）（水平）R例例 如图示，如图示，求：求：碰撞后的瞬刻盘碰撞后的瞬刻盘？ 0 P 转到转到 x 轴时盘轴时盘 ?

19、，解：解： m下落：下落：221vmmgh gh2 v(1) mPhv对对（m +盘），盘），碰撞中重力对碰撞中重力对O 轴力矩可忽略，轴力矩可忽略，0cos JRm v(2) 已知：已知：h，R，M=2m， =60 系统角动量守恒：系统角动量守恒：大学物理刚体的定轴转动34222221mRmRMRJ (3) 对对（m + M +地球）系统，地球）系统，mmgOMR , 令令P、x 重合时重合时 EP = 0，则：，则：2202121sin JJmgR (5)由由(3)(4)(5)得：得：由由(1)(2)(3)得：得： cos220Rgh (4) sincos222RgRgh RgmRmgRJ

20、M222 )34(2.21RhgR )60( 只有重力作功，只有重力作功，E守恒。守恒。（m +盘）角动量盘）角动量大学物理刚体的定轴转动35旋进：旋进： 5.6 旋进旋进 （进动，（进动，precession）如玩具陀螺的运动：如玩具陀螺的运动：轴转动的现象。轴转动的现象。高速旋转的物体，其自转轴绕另一个高速旋转的物体，其自转轴绕另一个大学物理刚体的定轴转动36 p2 p1m2m1 r2m1 r1 L2 L1 L Oz点的点的 不平行于不平行于 。L 若质量对转轴分布对称，若质量对转轴分布对称，轴轴 L zzJkLL （对对轴轴）（对对点点） 下面我们就讨论这种下面我们就讨论这种质量对转轴分

21、布对称质量对转轴分布对称对转轴不对称，对转轴不对称，的刚体的旋进问题。的刚体的旋进问题。刚体自转的角动量不一定都与自转轴平行。刚体自转的角动量不一定都与自转轴平行。例如，图示的情形：例如，图示的情形：质量质量则：则：则对轴上则对轴上O大学物理刚体的定轴转动37MdLmgOLtLMdd 。 MtMLdd LM LL d从而产生旋进运动。从而产生旋进运动。L玩具陀螺的旋进：玩具陀螺的旋进：只改变方向而不改变大小，只改变方向而不改变大小，大学物理刚体的定轴转动38 sinsinJMLM JM ，时时当当90 sinLd LOLd 旋进角速度：旋进角速度：tdd tMLLddsind ， 1 演示演示

22、 车轮旋进车轮旋进（KL023)TV 旋进防止炮弹翻转旋进防止炮弹翻转（注（注2）大学物理刚体的定轴转动39 回转效应产生附加力矩：回转效应产生附加力矩： 轮船转弯时，涡轮机轴承要承受附加力。轮船转弯时，涡轮机轴承要承受附加力。左转左转dLMM dt =dL附加力附加力附加力附加力轴承轴承 附加力可能附加力可能造成轴承的损造成轴承的损坏，附加力矩坏，附加力矩也可能造成翻也可能造成翻船事故。船事故。M左转弯的力矩左转弯的力矩 三轮车拐弯时易翻车（内侧车轮上翘）。三轮车拐弯时易翻车（内侧车轮上翘）。L大学物理刚体的定轴转动40 地球转轴的旋进，岁差地球转轴的旋进，岁差 随着地球自转轴随着地球自转轴

23、的旋进，北天极方的旋进，北天极方向不断改变。向不断改变。北极星北极星3000年前年前 小熊座小熊座 现在现在 小熊座小熊座 12000年后年后 天琴座天琴座 （织女）（织女）T = 25800年年 C1C2F1F2太阳太阳赤道平面赤道平面黄道平面黄道平面7223o 地球地球北北天天极极地轴地轴L地球自转角动量地球自转角动量（F1F2 ） M地球自转轴旋进地球自转轴旋进大学物理刚体的定轴转动41地轴地轴旋进旋进旋进周期旋进周期25800年年 秋分点秋分点春分点春分点西西分点每年在黄分点每年在黄道上道上西移西移50.2 太阳年（回归年）：太阳年（回归年）：太阳由春分太阳由春分秋分秋分春分春分恒星年

24、（时间长）：恒星年（时间长）： 地球绕太阳一周的时间地球绕太阳一周的时间岁差岁差（precession）岁差岁差 = 恒星年恒星年 太阳年太阳年 = 20分分23秒秒北半球北半球南半球南半球黄道面黄道面赤道面赤道面 太阳太阳东东大学物理刚体的定轴转动42我国古代已发现了岁差：我国古代已发现了岁差：每每50年差年差1度（约度（约72 /年）年） 前汉（公元前前汉（公元前206 23）刘歆发现岁差。刘歆发现岁差。晋朝（公元晋朝（公元265 316） 虞喜最先确定了岁差：虞喜最先确定了岁差：将岁差引入历法：将岁差引入历法：391年有年有144个闰月。个闰月。祖冲之（公元祖冲之（公元429 500）编

25、编大明历大明历最先最先（精确值为（精确值为50.2 /年）年）大学物理刚体的定轴转动43当旋进发生后，总角速度当旋进发生后，总角速度 。 总总只有刚体高速自转时，才有只有刚体高速自转时，才有 ，总总 JL 这时也才有这时也才有 和以上和以上 的表示式。的表示式。 当考虑到当考虑到 对对 的贡献时，的贡献时，总总 自转轴在旋自转轴在旋进中还会出现微小的上下的周期性摆动，进中还会出现微小的上下的周期性摆动，运动叫运动叫章动章动（nutation）。）。这种这种大学物理刚体的定轴转动441. 定轴转动的运动学问题定轴转动的运动学问题解法解法：利用定轴转动的运动学描述关系：利用定轴转动的运动学描述关系

26、2. 转动惯量的计算转动惯量的计算解法：解法：（1）定义法：）定义法：2iiirmJ VrmrJdd22 习题基本类型习题基本类型,ddt ,dddd22tt r 2 ran rat r t 02021tt ) )( (2 20202 Ov定定 轴轴Pzr 大学物理刚体的定轴转动45（2）平行轴定理）平行轴定理 若有任一轴与过质心的轴平行，相距为若有任一轴与过质心的轴平行，相距为d，刚体对，刚体对其转动惯量为其转动惯量为J，则有，则有 J = JC + m d 2。3. 定轴转动的动力学问题定轴转动的动力学问题解法解法：利用定轴转动中的转动定律：利用定轴转动中的转动定律 JM 步骤步骤： （1

27、）审题，确定研究对象；）审题，确定研究对象；（2）建立坐标系；）建立坐标系； （3）对研究对象进行受力分析和受力矩分析，并按）对研究对象进行受力分析和受力矩分析，并按坐标系的正方向写出外力矩的表达式及规律方（注：坐标系的正方向写出外力矩的表达式及规律方（注：受力分析和受力矩须取隔离体），并用线角量关系将受力分析和受力矩须取隔离体），并用线角量关系将 F = ma 与与 M = J 联系起来；联系起来；（4）计算对轴的转动惯量；）计算对轴的转动惯量；（5）解方程，求未知，并对结果进行必要的讨论。）解方程，求未知，并对结果进行必要的讨论。大学物理刚体的定轴转动464. 定轴转动中的功能问题定轴转动

28、中的功能问题解法解法：利用：利用动能定理动能定理和和机械能守恒定律机械能守恒定律5. 角动量原理及角动量守恒定律角动量原理及角动量守恒定律6. 混合题型混合题型 解法解法：应用应用运动学公式、转动定律运动学公式、转动定律和和角动量守恒角动量守恒定律。定律。大学物理刚体的定轴转动47 5.1 一一 汽车发动机的转速在汽车发动机的转速在7.0s 内由内由200rev/min均匀地增均匀地增加到加到3000rev/min。 （1）求这段时间内的初角速度、末角速度及角加速度；）求这段时间内的初角速度、末角速度及角加速度； （2）求这段时间内转过的角度；）求这段时间内转过的角度； （3）发动机轴上装有一

29、半径为）发动机轴上装有一半径为 r = 0.2m 的飞轮，求它边的飞轮，求它边缘上一点在这第缘上一点在这第7.0s 末的切向加速度、法向加速度和总加末的切向加速度、法向加速度和总加速度。速度。（1）初角速度：）初角速度：解解：t0 )rad/s(9 .410 . 79 .203142 0 = 2200/60 = 20.9 (rad/s)末角速度：末角速度： = 23000/60 = 314 (rad/s)角加速度为：角加速度为：（2）转过的角度为）转过的角度为t20 )rad(1017. 10 . 723149 .203 )(186圈圈 大学物理刚体的定轴转动48ran2 )ms(1097.

30、12 . 0314242 总加速度为：总加速度为：22ntaaa )ms(1097. 1)1097. 1(37. 824242 总加速度与速度（切向）之间的夹角总加速度与速度（切向）之间的夹角)(tan1tnaa （3）切向加速度为）切向加速度为 rat )m/s(38.82 .09 .412 法向加速度为法向加速度为9589)37.81097.1(tan041 大学物理刚体的定轴转动49 由于转动惯量具有可加性，所以已由于转动惯量具有可加性，所以已挖洞的圆板的转动惯量挖洞的圆板的转动惯量J 加上挖去的圆加上挖去的圆板补回原位后对原中心的转动惯量板补回原位后对原中心的转动惯量J1就就等于整个完

31、整圆板对中心的转动惯量等于整个完整圆板对中心的转动惯量J2 即即ROR/2C 5.2 从一半径为从一半径为R的均匀薄板上挖去一个直径为的均匀薄板上挖去一个直径为 R 的圆的圆板，所形成的圆洞中心在距原薄板中心板，所形成的圆洞中心在距原薄板中心 R/2 处，所剩薄处，所剩薄板的质量为板的质量为m。求此薄板对于通过原中心而与板面垂直。求此薄板对于通过原中心而与板面垂直的轴的转动惯量。的轴的转动惯量。ROR/2C解解：设板质量密度为设板质量密度为厚度为厚度为a，则，则21)2(21Rm aRm21)2( 21)2(23Rm OCJJJ111 21)2(Rm J = J2 - - J1大学物理刚体的定

32、轴转动5022221RmJ 4123213RaJJJ maRR )2(22-由于由于则则mRa342 最后求得最后求得22413mRJ 221)2()2(23RaRJ 4323Ra 4221RaJ aRm22ROR/2C大学物理刚体的定轴转动 5.3 如图，两物体质量为如图，两物体质量为m1 、 m2 ，滑轮的质量为，滑轮的质量为m，半径为半径为 r，可视作均匀圆盘。已知，可视作均匀圆盘。已知 m2与桌面间的滑动摩与桌面间的滑动摩擦系数为擦系数为k ，求，求 m1下落的加速度和两段绳子中的张力下落的加速度和两段绳子中的张力各为多少。设绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴受的摩各为多少。设绳与滑轮间无相

33、对滑动，滑轮轴受的摩擦力忽略不计。擦力忽略不计。解解：amTgmm1111 -：amfTm222 ：（绳在轮上不打滑）（绳在轮上不打滑）（向下为正）（向下为正）（向右为正）（向右为正）线角量关系：线角量关系： 对对m1 、 m2 、滑轮分别进、滑轮分别进行受力分析，行受力分析，画出画出示力图示力图 JrTrTm 21-：（顺时针为正）（顺时针为正）aam2m1rT T1 1m1gfT T2 2T T1 1T T2 2 Ra 大学物理刚体的定轴转动方程组的解为方程组的解为：gmmmmmgmmmmakRJk2112211221)()(2 gmmmmmmagmTk1212112121)1()( gm

34、mmmmmgamTkkk2211222121)1()( 大学物理刚体的定轴转动535.4 如图，两个圆轮的半径分别为如图，两个圆轮的半径分别为R1和和R2 , 质量分别为质量分别为 M1 、M2 ，二者皆，二者皆可视作均匀圆柱体且同轴固结在一起可视作均匀圆柱体且同轴固结在一起，可绕一水平固定轴自由转动。今在，可绕一水平固定轴自由转动。今在两轮上绕有细绳，绳端分别挂上质量两轮上绕有细绳，绳端分别挂上质量为为 m1 和和 m2 的两个物体。求在重力作的两个物体。求在重力作用下，用下，m2下落时轮的角加速度。下落时轮的角加速度。解解：11111amgmTm ：22222amTgmm ：（向上为正）（

35、向上为正）（向下为正）（向下为正） 对对m1 、 m2 、整个滑轮分别进行、整个滑轮分别进行受力分析，受力分析，画出画出示力图示力图 JRTRT 1122-整整个个轮轮：（顺时针为正）（顺时针为正）m1m2R2R1M1M2oa1T T1 1m1ga2T T2 2m2gT T1 1T T2 2大学物理刚体的定轴转动54线角量关系线角量关系（绳在轮上不打滑）（绳在轮上不打滑）：2211RaRa 2222112121RMRMJ 方程组的解为方程组的解为：222221111122)2()2()(RmMRmMRmRm 大学物理刚体的定轴转动55 5.5 一根均匀米尺，在一根均匀米尺，在60cm刻度处钉到

36、墙上，且可以刻度处钉到墙上，且可以在竖直平面内自由转动。先用手使米尺保持水平，然后在竖直平面内自由转动。先用手使米尺保持水平，然后释放。求刚释放时米尺的角加速度和米尺到竖直位置时释放。求刚释放时米尺的角加速度和米尺到竖直位置时的角加速度。的角加速度。解解： 设米尺总质量为设米尺总质量为m，则直尺对悬，则直尺对悬点的转动惯量为：点的转动惯量为：22221103131lmlmJ 226.053314.05231 mmm093.0 对米尺，手刚释放时，由转动定律：对米尺，手刚释放时，由转动定律： Jmg OCJmgOC )rad/s(5.10093.01.08.92 mmO mgCl1l2大学物理刚

37、体的定轴转动56CmgO mgCl1l2在米尺转到竖直位置过程中，系统（在米尺转到竖直位置过程中，系统（尺尺+ 地球地球）机械能机械能守恒守恒：221OC Jmg JmgOC2 mmg093.01.08.92 )rad/s(58.4 大学物理刚体的定轴转动57 5.6 坐在转椅上的人手握哑铃。两臂伸直时，人、哑铃坐在转椅上的人手握哑铃。两臂伸直时，人、哑铃和椅系统对竖直轴的转动惯量为和椅系统对竖直轴的转动惯量为J1=2kg m2。在外人推。在外人推动后，此系统开始以动后，此系统开始以n1=15r/min转动，当人两臂收回时，转动，当人两臂收回时，使系统的转动惯量变为使系统的转动惯量变为J2=0

38、.80kgm2 ，它的转速，它的转速n2是多是多大？大？解解： 2 2 2211nJnJ 两臂收回过程中，系统的机械能是否守恒？两臂收回过程中，系统的机械能是否守恒？什么力做了功？做功多少？设轴上摩擦忽略不计。什么力做了功？做功多少？设轴上摩擦忽略不计。 由于两臂收回过程中，人体受的沿竖直轴的外力矩由于两臂收回过程中，人体受的沿竖直轴的外力矩为零，所以系统沿此轴的角动量守恒为零，所以系统沿此轴的角动量守恒 2112JJnn )37.5(r/min8 .0251 两臂收回时，系统的内力（臂力）做了功，所以系统的两臂收回时，系统的内力（臂力）做了功，所以系统的机械能不守恒。臂力做的总功为：机械能不

39、守恒。臂力做的总功为：大学物理刚体的定轴转动58 21 21 211222JJA )60152(2)605 .372(8 . 021 2 .70(J)3 大学物理刚体的定轴转动59 5.7 如图所示，均匀杆长如图所示，均匀杆长 L= 0.40m ，质量，质量M =1.0kg ，由其上端的光滑水平轴吊起而处于静，由其上端的光滑水平轴吊起而处于静止。今有一质量为止。今有一质量为 m = 8.0g 的子弹以速度的子弹以速度= 200m/s 水平射入杆中而不复出，射入点在轴下水平射入杆中而不复出，射入点在轴下 d = 3L/4 处。处。（1）求子弹停在杆中时杆的角速度）求子弹停在杆中时杆的角速度 。（

40、2）求杆的最大偏转角。）求杆的最大偏转角。解解：LL L4 43 3 （1）系统（）系统（杆杆+ +子弹子弹），在），在碰撞过程碰撞过程中，中，合外力矩为合外力矩为0 0，因而系统的角动量守恒。（在，因而系统的角动量守恒。（在俯视图中，选俯视图中，选为正方向为正方向）Lm43 16931432mLMLm 2)43(Lm 231ML )rad/s(89.8 大学物理刚体的定轴转动60 （2）系统（）系统（杆杆+ +子弹子弹+ +地球地球），），上摆过上摆过程程，只有重力（保守力）做功只有重力（保守力）做功，系统的，系统的机械能守恒机械能守恒（选（选杆竖直时杆竖直时势能为零势能为零）。）。 222

41、)43(3121 LmML)cos1)(4321( LmgLMg)23()16931(1cos2gmMLmM )8 .9)008.0231(89.84 .0)008.0169131(12 81940 LL L4 43 3C大学物理刚体的定轴转动615.8 一转台绕竖直固定固定轴转动，每转一周所需时一转台绕竖直固定固定轴转动，每转一周所需时间间 t = 10s，转台对轴的转动惯量为，转台对轴的转动惯量为 J = 1200kgm2。一。一质量为质量为M = 80kg 的人，开始站在转台中心，随后沿半的人，开始站在转台中心，随后沿半径向外跑去，当人离转台中心径向外跑去，当人离转台中心 r = 2m 时转台的角速度时转台的角速度多大？多大？解解： 系统（系统（人人+ + 转台转台）没有受到沿）没有受到沿轴的轴的合外力矩合外力矩作用，因而其作用，因而其角动量角动量守恒守恒，即：，即：221)( MrJJ 122 MrJJ 由此可得转台后来的角速度由此可得转台后来的角速度102280120012002 )rad/s(496.0