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1、正切函数的性质与图象【学习目标】1.能画出的图象，并能借助图象理解在上的性质；2.会利用正切函数的单调性比较函数值大小；3理解正切函数的对称性【要点梳理】要点一：正切函数的图象正切函数，且的图象，称“正切曲线”（1）复习单位圆中的正切线： AT=tan（2）利用正切线画函数y= tanx，x的图象步骤是：作直角坐标系，并在x=的左侧作单位圆把单位圆的右半圆分成8份，（每份）.分别在单位圆中作出正切线；把横坐标从到也分成8份把正切线的端点移到对应的位置；把上面的点连成光滑的曲线由于tan（x+）=tanx , y=tanx 是周期为的周期函数只把y=tanx , x的图象左、右移动k个单位（kz
2、）就得到y=tanx（xR且xk+）的图象.要点二：正切函数的性质1定义域：，2值域：R 由正切函数的图象可知，当且无限接近于时，无限增大，记作（趋向于正无穷大）；当，无限减小，记作（趋向于负无穷大）也可以从单位圆上的正切线来考虑因此可以取任何实数值，但没有最大值和最小值称直线为正切函数的渐进线3周期性：正切函数是周期函数，最小正周期是4奇偶性：正切函数是奇函数，即要点诠释：观察正切函数的图象还可得到：点是函数，且的对称中心，正切函数图象没有对称轴5单调性：在开区间内，函数单调递增要点诠释：正切函数在开区间内单调递增，不能说正切函数在整个定义域上是增函数要点三：正切函数型的性质1定义域：将“”
3、视为一个“整体”令解得2 值域：3单调区间：（1）把“”视为一个“整体”；（2）时，函数单调性与的相同（反）；（3）解不等式，得出范围要点诠释：若，一般先用诱导公式化为，使的系数为正值，然后求单调区间4奇偶性：当时为奇函数，否则，不具备奇偶性5周期：最小正周期为【典型例题】类型一：正切函数的定义域例1求下列函数的定义域：（1）；（2）【思路点拨】求函数的定义域应面面俱到，必须从各个角度来考虑，从各个角度来看，都必须有意义，通常需要考虑的方面有：分母不为0，真数大于0，偶次根式内的数大于或等于0等【答案】（1）（2）【解析】（1）由题意得，将正弦函数和正切函数的图象画在同一坐标系内，如下图 由图
4、可得函数定义域集合为（2）由 得 则有 所以函数定义域为【总结升华】求三角函数定义域时，常常归纳为解三角不等式组，这时可利用基本三角函数的图象或单位圆中三角函数线直观地求得解集 举一反三：【变式1】利用正切函数的图象解不等式【解析】如图，利用正切函数图象知，不等式的解集为，kZ类型二：正切函数的图象例2（1）作出函数y=tan x+2，的简图；（2）作出下列函数的图象，并判断它们的周期性y=tan |x|；y=|tan x|【解析】（1）本题主要考查正切函数图象，可以看出函数y=tan x+2的图象是将函数y=tan x的图象向上平移2个单位得到，如图所示（2）故当x0时，函数y=tan |x
5、|在y轴右侧的图象就是y=tan x的图象；当x0时，函数y=tan |x|在y轴左侧的图象为y=tan x在y轴左侧的图象关于x对称的图象，如下图所示 观察图象可知，y=tan |x|不是周期函数，类似可作出其图象，如下图所示 观察图象可知，y=|tan x|是以为周期的周期函数【总结升华】 第（1）也可以用三点二线法作图第（2）题的解题关键在于分析待画函数图象与已知函数图象间的关系如果由的图象得到及的图象，可利用图象中的对称变换法完成，即我们只需作出（x0）的图象，令其关于y轴对称便可以得到（x0）的图象；同理只要作出的图象，令图象不动下翻上便可得到的图象举一反三：【变式1】函数在区间内的
6、图象大致是（ ） 【答案】D类型三：正切函数的周期性【高清课堂：正切函数的图象与性质 394837 例1】例3判断下列函数是否是周期函数.若是周期函数，求其最小正周期.（1）；（2）；（3）；（4）.【答案】（1）是（2）是（3）不是（4）是【解析】（1）函数是周期函数，最小正周期是（2）是周期函数，最小正周期是（3）由图象知，函数不是周期函数（4）是周期函数，最小正周期是类型四：正切函数的单调性例4（2015春 河北邢台月考）设函数（1）求函数的定义域、周期和单调区间（2）求不等式的解集【思路点拨】（1）由条件利用正切函数的定义域、周期性和单调性，求得函数的定义域、周期和单调区间（2）不等式
7、即，可得，由此求得x的范围，可得结论【答案】（1）定义域为，T=2，函数的增区间为，kZ；（2）不等式的解集为，kZ【解析】（1）根据函数，可得，kZ，求得，故函数的定义域为它的周期为令，kZ，求得，故函数的增区间为，kZ（2）求不等式，即，求得，故不等式的解集为，kZ【总结升华】（1）对于形如（，为非零常数）的函数的性质的研究，应以正切函数的性质为基础，运用整体思想求解若0，一般先利用诱导公式将x的系数化为正数，再进行求解（2）比较正切函数值的大小，可利用诱导公式将其转化为同一单调区间的锐角的正切函数，再比较大小举一反三：【变式1】求函数的单调增区间.【答案】【高清课堂：正切函数的图象与性质
8、 394837 例2】【变式2】函数在区间单调递减，求实数的取值范围.【解析】函数在区间单调递减 ，且，即 ，解得：类型五：正切函数性质的综合应用例5（1）求函数的定义域、值域，并指出它的周期性、奇偶性、单调性；（2）求函数，的值域；（3）设函数，已知函数的图象与x轴相邻两交点的距离为，且图象关于点对称，求的解析式【解析】（1）由，得，所求定义域为值域为R，周期，是非奇非偶函数在区间（kZ）上是增函数（2）设tan x=t，y=tan2x+10tan x1=t2+10t1=(t5)2+24当t=1，即时，ymin=8，当，即时，函数的值域为（3）由题意可知，函数的最小正周期，即0，=2从而函数的图象关于点对称，（kZ），即（kZ），只能取故【总结升华】第（1）题是用整体的思想，将函数作整体代换，转化为对函数y=tan x的性质的研究；第（2）题中换元化归为给定区间上的二次函数值域问题是解决这类问题常用的方法，特别注意换元后立即明确新元的范围；第（3）题，（A0，0）的图象及性质可与y=tan x的图象和性质加以类比得到举一反三：（2015春 湖北恩施州期末）函数f（x）=tanx（0）的图象的相邻两个零点的距离为，则的值是（ ）A B C D1【答案】C【解析】函数f（x）=tanx（0）图象相邻两个零点的距离为，=2，f（x）=tan2x；故选：C
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