条件概率与独立事件课件

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1、教学目的：掌握条件概率的定义及三 个重要公式.教学重点：乘法公式和全概率公式.教学难点：条件概率的求法和 ,bb bg gb gg 引例 考察有两个小孩的家庭,其样本空间为 . 假定b,g等可能 记“家中至少有一个男孩” 若已知发生，再求事件的概率： 记“家中至少有一个女孩”，则3( )4P A 2()3P A B ()( )( )P ABP AP B 定义1 设A、B为中的两事件，且P(B)0，则称P(A|B) = P(AB) / P(B) 为在 B 发生的条件下A 发生的条件概率，简称条件概率.( )0P B 容易验证，对一般的古典概型和几何概型，只要，总有 成立这启发我们引入一般的条件概

2、率的定义()()( )P ABP A BP B注: 1)1)在计算条件概率P(A|B)时，样本空间缩小为B=B. 2)2)P(A|B)()P B A3)3)计算条件概率时,常可根据问题的条件去考虑,不必拘泥于条件概率的定义.解：记 A = 第一只是好的，B = 第二只是好的，求P(B|A)？例1: 一只盒子有只坏晶体管和只好晶体管，在其中取两次，每次随机取一只，做不放回抽样发现第一只是好的，问另一只也是好的概率法一: 视只晶体管可辨抽取两次所有结果为，而在发生的条件下，即在第一只是好的条件下，原来的样本点总数减少为，其中属于的样本点数为故()2()( )3P ABP B AP A法二:在已经发

3、生的条件下，盒中剩只晶体管，其中只是好的因此第二次再取出好的概率为6/9=2/3. 即2()3P B A 法三：由于77 642( ), ()1010 990P AP AB2()3P B A 例:设某样本空间 含有个等可能的样本点，事件含有个样本点，事件含有个样本点，交事件含有个样本点则在事件发生的条件下，事件的条件概率为()5()( )7P ABP A BP B计算条件概率时，样本空间缩小为.BB 1575( ), ( ), ()252525P AP BP AB例:设某样本空间 含有个等可能的样本点，事件含有个样本点，事件含有个样本点，交事件含有个样本点则条件概率P(A|B)具有概率的三个基

4、本性质:11()()nnnnPA BP A B性质1 条件概率是概率.即若P(B)0,则(1) 非负性:对任意A ,P(A|B)0;(2) 正则性:P(|B)=1;(3) 可列可加性:若 互不相容,则12,nA AA注:概率的其它性质对条件概率同样成立. ( )0, ()1P BP A B()( )P ABP B()( )P ABP A()( )P ABP B()( )P ABP A乘法公式;全概率公式；贝叶斯公式.性质2 (1) 若 P(B)0，则 P(AB) = P(B)P(A|B)； 若 P(A)0，则 P(AB) = P(A)P(B|A). 12,nA AA(2) 设 为任意n个事件,

5、 且 ，则 121()0nP A AA12121312121()() (|) (|)(|)nnnP A AAP A P AA P AA AP AA AA例例3: 3: 一批零件共有个，其中有个不合格品，从中一个一个取出，求第三次才取到不合格品的概率是多少？ 解解: :记“第i次取出的是不合格品”，i=1,2,3.则所求概率为，由乘法公式得iA123()P A A A123121312()() () ()P A A AP A P A A P A A A9089 100.0826100 99 98例例: :（罐子模型）设罐中有b个黑球，r个红球，每次随机取出一个球，取出后将原球放回，还加进c个同色

6、球和d个异色球记“第i次取出的是黑球”， “第j次取出的是红球”若连续从罐中取出三个球，其中有两个红球，一个黑球，则由乘法公式得iBjR123121312()() () ()P B R RP B P R B P R B R22brdrdcbr brcd brcd 123121312()() ()()P R B RP R P B R P R R B22bbdrdcbr brcd brcd 123121312()() () ()P R R BP R P R R P B R R222rrcbdbr brcd brcd (1)c=-1,d=0,即不返回抽样模型。(2)c=0,d=0,即返回抽样模型。(

7、3)c0,d=0,传染病模型。(4)c=0,d0,安全模型。性质3 若事件B1, B2 , , Bn是样本空间的一个分割，则对任一事件A，有11()() (|)( )nniiiiiP AP ABP B P A B分割 ：若 互不相容，且 则称 为样本空间 的一个分割.12,nBBB1,niiB ()0.iP B12,nBBB例例：有三个形状相同的盒子，第一个盒子有个白球个黑球，第二个盒子有个白球个黑球，第三个盒子有2个白球和2个黑球。某人随机地选取一个盒子，再从该盒子中任取一球，问此球为白球的概率是多少？解:设A“此球为白球” B“此球来自第i个盒子”，i=1,2,3 则1231()()()3

8、P BP BP B123231(),(),()342P A BP A BP A B由全概率公式可得31( )()()0.639iiiP AP BP A B例例6 6：在很多游戏中都要掷骰子，比掷出点子的大小，点子大的优先，比如下棋、赛球等等。即甲先掷一个骰子，然后乙掷，谁掷出的点子大谁赢。问甲赢的概率是多少？6611165( )() ()6612iiiiiP AP B P A B16(), ()66iiiP BP A B由全概率公式可得iB解:设 “甲赢”， “乙掷出点数i”， 则A例例7 7:(敏感性问题调查)学生阅读黄色书刊和观看黄色影像会严重影响身心健康发展。但这些都是避着老师和家长进行

9、的，属于个人隐私行为。现在要设计一个调查方案，从调查数据中估计出学生中阅读黄色书刊和观看影像的比率p.解:设经过多年研究，一些心理学家和统计学家设计了一种调查方案，在这个方案中被调查者只需回答以下两个问题中的一个问题，而且只需回答“是”或“否”。问题A：你的生日是否在月日之前？问题B：你是否看过黄色书刊或影像？ 被调查者从一个罐子中随机抽一个球，看过颜色后放回。若抽到白球，则回答问题A；若抽到红球，则回答问题B。且罐中只有白球和红球。 设有n张答卷，其中有k张回答“是”。我们不知道n张答卷中有多少是回答问题B的，也不知道k张回答是的答卷中有多少是回答问题B的。但以下两个信息已知：(1)任选一人

10、其生日在月日之前的概率为0.5；(2)罐中红球的比率事先已设定为。现在的任务是从（n,k,0.5, )去求出p.由全概率公式可得P(是)=P(白球)P(是1白球)+P(红球)P(是红球)由于P(是)=已知P(红球)=已知P(白球)=已知P(是1白球)=已知故P(是红球)可得。性质4 若事件B1, B2 , , Bn是样本空间的一个分割，且P(A)0, P(Bi)0，则1( ) ( |)(| )1,2,.,() ( |)iiinjjjP B P A BP B AinP B P A BiB 公式的实际背景是：已知出现了实验结果A，要求推断出哪一种原因（ ）产生“结果”A 的可能性大. 方法步骤:首

11、先计算每一个 ,这些是在试验之前产生的,称为先验概率.它反映了各种原因发生的可能性大小.计算 它表示原因 发生条件下产生结果A的概率.由贝叶斯公式反推出结果A已经发生条件下,原因 发生的概率 因为它是在试验后确定的,称为后验概率.()iP B(|),jP A BjBiB(|).iP BA()0.0004,()0.9996()0.99,()0.001P BP BP A BP A B( ) ()()( ) ()( ) ()P B P A BP B AP B P A BP B P A B0.0004 0.990.2840.0004 0.990.9996 0.001证人所说的颜色（正确率80%）真实颜

12、色蓝色红色合计蓝色（85%）680170850红色（15%）30120150合计7102901000( )0.85, ( )0.15()0.2, ()0.8P AP BP C AP C B( )( ) ()( ) ()P CP A P C AP B P C B0.85 0.20.15 0.80.29( ) ()()()( )( )P B P C BP BCP B CP CP C0.120.410.29教学目的：利用条件概率的定义理解事件的独 立性概念.教学重点：独立性的概念及独立事件的性质.教学难点：各个事件的独立性. 引例 考察甲乙两人各自掷硬币的试验。若记 A=“甲掷硬币得正面” B“乙掷

13、硬币得正面” 则11()1( ), (), ()24( )2P ABP AP ABP A BP B 于是 ()( )P A BP A()( ) ( )P ABP A P B （1，1），（1，0），（0，1），（0，0）A（1，1），（1，0）B=(1,1),(0,1)定义1 若两个事件A，B 满足： P(AB )=P(A )P(B ) 则称事件A与B 相互独立，简称独立. 否则称A与B 不独立或相依.l 注:互不相容与独立的不同.在实际中,判断事件的独立性往往凭经验或借助直观 的方法,而不需要由定义验证.但对条件复杂的情形, 则要用定义来判断.例10（1）从一副52张的扑克牌中任取1张，记A

14、“取到黑桃”，B=“取到爱司”，则(3)考虑有两个小孩的家庭，则(2)考虑有三个小孩的家庭，记A=“家中男女孩都有”，B“家中至多一个女孩”。111( ), ( ), ()41352P AP BP AB,bbb bbg bgb gbb bgg gbg ggb ggg 643( ), ( ), ()888P AP BP AB,bb bg gb gg 232( ),( ),()444P AP BP AB例11: 甲乙两门炮同时向一敌机开炮，已知甲击中目标的概率为0.6，乙击中目标的概率为0.8，求目标被击中的概率。解:记A=“甲击中目标“，B=“乙击中目标”，C“目标被击中”性质1 若事件A与B独

15、立，则A与 ， 与B， 与 也独立.AABB注:对偶公式对独立事件并的概率的计算特别有效.由题意知：A与B独立，且CAB()()P ABP ABABAB()()()P ABP ABP AB( ) ( )( ) ( )( ) ( )P A P BP A P BP A P B()( )( )()P ABP AP BP AB()1()1()1( ) ( )P ABP ABP ABP A P B 练习: 设对某目标进行三次独立射击，各次命中目标的概率分别为0.2，0.6，0.3，试求：（1）在三次射击中恰有一次命中的概率；（2）在三次射击中至少有一次命中的概率。定义2 设A、B、C 为三个事件，若P(

16、AB )=P(A )P(B ), P(AC )=P(A )P(C ), P(BC )=P(B )P(C ), 则称A、B、C 两两独立,若还有P(ABC )=P(A )P(B )P(C ) 则称A、B、C 相互独立.性质2：若 相互独立，则 也相互独立.其中 为 的任一排列.12,nA AA12,1,iiimi minAAAAA， ， ， ，,12(,)niii1,2,n独立事件的概率计算公式: 设 独立,则有 12,nA AA1212(,)() ()()nnP A AAP A P AP A1212() 1( ) ()()nnP AAAP A P AP A 例5:系统由多个元件组成，且所有元件

17、都独立地工作。设每个元件正常工作的概率都为p0.9，试求以下系统正常工作的概率。211212()()() ()0.81P SP A AP A P Ap 解：记 “第i个系统正常工作” “第i个元件正常工作”iSiA （1）串联系统 （2）并联系统 （3）桥式系统21 2121 2( )()( )( )()P S P A A P A P A P A A 2ppp3333333()()()()()PSPAPSAPAPSA331 4 2 51 4 2 5( )( ( ) ( ) )( )( )P SAP AAAAP AA P AA 221(1)0 .9 8 0 1p22331245()()1(1)0

18、.9639P SAP A AA Ap55 2 01 25 2 0() ( 11 0)0 .9 9 4 8PAA A iA1 () n 例12：某彩票每周开奖一次，每次提供十万分之一的中奖机会，且各周开奖是相互独立的。若你每周买一张彩票，尽管你坚持十年（每年52周）之久，从未中奖的可能性是多少？()0PAB解：记 “第i次开奖不中奖”，i=1,2,520.()( ) ( )P A B P A P B例13：设在每次试验中，事件A发生的概率均为p(0p1,且p很小，称这事件为小概率事件）。试求在n次独立试验中，事件A发生的概率。解：记 “第i次试验中A发生”，i=1,2,n B=“n次试验中A发生

19、”。()( ) ( )P A B P A P B()1()PAPB()1P AB练1（2006数学一）： 设A与B互不相容，则以下正确的是：(2)P Y NoImageNoImageNoImage练2（2003年数学三）： 将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：A=掷第一次出现正面，B=掷第二次出现正面，C=正、反面各出现一次，D=正面出现两次，则事件(A) A、B、C相互独立. (B) B、C、D相互独立. (C) A、B、C两两独立. (D) B、C、D两两独立. 练3（2005年数学一）： 从数1,2,3,4中任取一个数，记为X, 再从中1-X中任取一个数，记为Y, 则练4（2007年数学一）： 某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为p，则此人第4次射击恰好第2次击中目标的概率为多少？ NoImage作业（2003年数学一）： 已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品. 从甲箱中任取3件产品放入乙箱后，求从乙箱中任取一件产品是次品的概率.