毕业设计（论文）椭球布料盘催化剂密相装填成套装置设计

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1、椭球布料盘催化剂密相装填成套装置设计 摘要：国内外颗粒物料的装填，尤其是催化剂颗粒的装填工作，在其相关的领域越来越受到重视。本课题设计了一种利用颗粒物料在旋转的椭球型布料盘中通过离心力作用将颗粒物料从布料盘的开口中均匀的抛洒出去，从而达到物料均匀、密相装填效果的一种装置。设计按照JB/4735-1997钢制焊接常压容器进行设计、制造、检验和验收。装置的材料选用：工作压力为常压，工作温度为常温。装填的物料为，物料密度为。设计说明书中进行了设备材料的选择，运转功率的计算，布料盘的强度校核和开口槽对数螺旋线的说明与应用，主轴的计算，齿轮和轴承的选取和校核，电机的选取及耳式支座的选取，绘制了设计装置的

2、总装配图及相关零件图。本设计装置主要应用于化工、石油化工和生物制药等行业的颗粒物料密相装填。关键词： 密相装填； 布料盘； 设计；the design of complete sets of equipment of catalyst dense loading in ellipsoid Throwing particle machineAbstract：Domestic and foreign particle materials loading，especially the catalysts backmix handloading work，in the relevant field g

3、et more and more attention. In order to achieve the desired effect with uniform material and dense loading,the subject designed a device which s- heds evenly granular matertals from the opening of Throwing particle machine by centrifugal force within rotational ellipsoid Throwing particle machine. D

4、esign according to JB/4735-19- 97 Steel welded atmospheric pressure vesselsdesign、manufacture、inspection and ac- ceptance . Device of material selection is ;working pressure is ordinary pressure, working temperature is Normal temperature. loading materials is ,material density is .Design specificati

5、ons have equipment material selection, calculating the power of operation , strength check of Throwing particle machine. Instructions and application of logarithmic spiral, axis calculation, selection and check of Gear and bearing, motor selection and the selection of ear type support. Mapped the ge

6、neral assembly drawings and related parts drawing. This design device is mainly used in chemical industry, petrochemical industry and biopharmaceutical industries.Key words：dense loading ; Throwing particle machine ; design目 录摘要目录术语表1 绪论11.1 概述11.2 颗粒密相装填的研究的意义，国内外研究现状和发展趋势11.2.1 课题研究意义 11.2.2 国内外的现

7、状 11.3 颗粒密相装填的研究目标和关键问题51.3.1 研究目标 51.3.2 解决关键问题 51.4 颗粒密相填装作用和行业应用52 设计参数的选取和设计思路62.1 设计参数62.2 设计思路62.3 设计内容与具体步骤63 结构的设计和分析73.1 总体结构设计73.2 材料的选取73.3 布料盘计算或校核93.3.1 布料盘的选取和强度计算93.3.2 布料盘上对数螺旋线开口槽103.3.2.1 对数螺旋线的来源103.3.2.2 对数螺旋线方程103.3.2.3 对数螺旋线应用123.3.2.4 总结133.3.3 布料盘开口槽宽度的设计143.4 电动机的选择153.5 轴强度

8、的计算、选材和校核163.5.1 选择轴材料173.5.2 轴尺寸计算183.6 齿轮的选取和校核203.7 轴承的选取和校核213.7.1 轴承的选取213.7.2轴承进行校核223.8 筒体与下料漏斗的计算233.8.1 筒体的计算233.8.2 下料漏斗的计算243.9 料仓的支座253.10 轴承支座和流量调节插板的设计273.10.1 轴承支座273.10.2 流量调节插板283.11 螺栓，螺母的选取293.12 键的选取294 制造安装及技术要求304.1 零部件的加工要求及检验304.1.1 轴的加工要求及在各种转速下的平直度公差304.1.2 布料盘的加工要求和动、静平衡的精

9、度304.1.3 布料盘筒体的制造要求和检验304.2 装置的试运转304.3 加工与成形304.4 设备安装315 结论32参考文献34致谢35术 语 表T公称转矩是轴承系数J转动惯量齿间分配系数DN公称直径应力校正系数使用系数齿形系数G重力安全系数V容积接触疲劳寿命系数M弯矩动载荷系数使用系数a常数F力h小时L长度r向径E弹性模量p压强I惯性矩布料盘厚度m质量极角g重力加速度额定工作时间线应变摩擦系数t吨角速度r转速扭转强度密度，曲率半径松散物料内摩擦角的最小值物料与料仓壳体间摩擦产生的应力组合轴向应力周向应力组合应力焊接接头系数IX常州大学本科生毕业设计（论文）1 绪论1.1 概述催化剂

10、等颗粒物料装填的好坏对工业中许多行业的生产有很重要的作用，因此密相装填在其先关的领域也越来越受到重视。而现在国内外没有一种很好的密相装填装置，现有的装置或多或少的存在这样或那样的问题，不能很好的满足生产的需要。所以设计一个高效、安全可靠、自动化程度高的催化剂装填装置来实现催化剂密相装填是很有必要的。通过对这种装置的设计，我们希望能实现催化剂密相装填的机械化，这样既可以得到很好的装填效果，也可以节省人力、大大提高装填的工作效率和装填质量。我设计的装置是利用颗粒物料在旋转的椭球型布料中通过离心力作用将颗粒物料从布料盘的开口中均匀的抛洒出去，从而达到物料均匀、密相装填效果的一种装置。1.2 颗粒密相

11、装填的研究的意义，国内外研究现状和发展趋势1.2.1 课题研究意义国内外颗粒物料的装填，尤其是催化剂颗粒的装填工作，在其相关的领域越来越受到重视。催化剂床层是否架桥，床层高度是否一致将会影响到床层的堆密度和压力降的均一性，从而影响到催化剂的效率和装置的安全性。目前国内外普遍采用的催化剂装填技术是一种密相装填技术，可以最大限度发挥反应器内催化剂性能。所以设计一个高效、安全可靠、自动化程度高的催化剂装填装置来实现催化剂密相装填是很有必要的。通过对这种装置的设计，我们希望能实现催化剂密相装填的机械化，这样既可以得到很好的装填效果，也可以节省人力、大大提高装填的工作效率和装填质量。同时在做设计的过程中

12、，我可以对大学四年所学知识加以巩固和应用，这是一个很好的学习机会。通过设计我可以学到怎样将课本的知识应用到解决实际问题上，提高自己的创新能力和实践能力。1.2.2 国内外的现状目前国内外普遍采用的催化剂装填技术是一种密相装填技术，可以最大限度发挥反应器内催化剂性能，其主要优点有：延长催化剂使用寿命；提高反应器的实际处理能力；改善流动液气两相的分布情况；抑制局部压差上升和热点形成；提高产品回收率；节能等。 国内外催化剂装填最早是采用人工装填，存在着速度慢，易架桥，压力降不均匀，返工多、效率低等问题。随着化工设备产能的不断扩大，催化剂用量逐渐加大，其装填方式也逐步发展为半机械化，机械化装填【1】。

13、密相装填法是上世纪70年代发展起来的技术，可使催化剂床层的装填密度提高10%25%【2】，它是通过布料器将物料沿反应器径向喷洒，使催化剂颗粒以毛羽状均匀地落下【3】，实现密相装填的目的，如图1所示。采用密相装填方法，可以将条状催化剂在反应器内沿半径方向呈放射性规整地排列，从而减少催化剂颗粒间的孔隙，提高催化剂装填密度。此外，由于密相装填过程催化剂颗粒在反应器横截面上规整排列，因此其沿反应器纵向、径向的装填密度也非常均匀。 图1 催化剂密相装填示意图首先介绍最早的人工装填：人工装填开始前先要将反应器内件环隙等处用宽胶带严密封闭。测定催化剂床层高度，从基准线起在催化剂内筒壁上每隔250mm 做标高

14、记号，作为每次装填、振动测量的基准。将筛分过的催化剂计量后装入锥形吊桶，由起重机吊至塔顶。控制吊桶锥部挡板，通过帆布放料袋将催化剂放至距催化剂装填表面0.5m 处，并顺圆周方向移动，使催化剂均匀地四周分布。每次装填后将催化剂表面扒平，放下振动模板，按规定顺序在对称位置上使用两根振动棒同时振动【4】。振动时振动棒不仅要穿透本次装填层，而且还须进入前一次装填层的一半（共约400mm）。每孔振动保持510s。振动结束竖起振动模板，测量、记录振动后的催化剂高度，并重复上述装填过程。随着装填在塔内催化剂位置逐渐升高，帆布放料袋、引风机管、振动器、绳梯需逐步剪短或提升，保持适当高度。每一床层催化剂装填完毕

15、后，用空气将散落在塔内件环隙四周的催化剂吹除清理干净，确认合格后，方可拆开密封宽胶带【5】。上述人工装填过程看起来简单，但在实际操作中是十分困能的，这个过程的完成需要耗费大量的人力和物力，并且很难保证催化剂的装填质量。随着人们对催化剂装填的重视和科技的进步，就出现了一些前期的催化剂装填装置，这些装置的出现给催化剂的装填工作带来了不少的方便。我们再来介绍一下其他的催化剂装填装置；装填装置由电机或气动旋转驱动装置、其输出的旋转轴垂直于水平线、播料盘和安装支架构成，在轴上设有一至二个水平旋转的播料盘【6】（当安装两个播料盘时，上下播料盘是不同直径的盘，上播料盘直径大于下播料盘，上播料盘中央部位是挖空

16、的连接筋或径向架，从上播料盘落料至下播料盘工作，相对而言，上播料盘播料比较散开，在打直径范围内播料，而下播料盘在小直径范围内播料。），旋转驱动装置和播料盘均通过安装支架固定在装料漏斗底部。播料盘的形状是椭圆形或卵形，长短之比1:0.350.99【7】。在播料盘的表面设有播料齿，播料齿的每条齿的齿线均沿着椭圆形或卵形过中心点的径向，播料齿的齿的总数是4到24条较好，在椭圆形或卵形的平面均匀或不均匀地分布。两个齿间均存在径向凹槽，当播料盘放置时，物料更均匀的从此凹槽洒出。当其工作时，上下两个不同直径的播料盘可以同轴驱动或通过套轴驱动结构，驱动采用电机或气动可以对旋转驱动速度进行调节，通过转速的调节

17、控制颗粒播出的半径，如图2 所示。 图2 江苏天鹏密相装填装置布料器物料自上而下进入气动物料分配器之后，由于重力作用顺着中间的通道进入下面的播料盘中，在盘中物料进入凹槽中，依靠旋转的离心力作用，物料颗粒沿径向以一定的速度被抛出，物料脱离播料盘后就以一定的抛物线轨迹散落到容器内，当物料下落到容器内物料表面时，由于有一定的下落速度，从而能够充分填补物料间的空隙，从而实现密相装填，提高装填密度【8】。这种装填装置安装在立式容器顶部，颗粒能够均匀的分布在容器内部，即每填密度，能够提供装填密度10%以上；切颗粒不会因剧烈撞击而碎裂。现有的颗粒物料装填设备一般都包括一物料分布盘，该布料盘或为锥形、或为平面

18、圆板、或为翅板件或颗粒喷头。其目的都是将颗粒物料在圆形容器内尽可能的抛洒均匀，但他们实际抛洒出来的效果是若干个同心圆环，物料表面像同心的水波浪一样【9】，这种装填情况下，处在高起圆环部分的催化剂装填的就比较紧密，而处在下凹部分的催化剂装填就比较疏松，不能很好的实现物料的密相装填【10】。在生产过程中，参与反应的气体和液体很容易从催化剂疏松的地方通过，而在装填紧密的地方较难通过，这样就会严重影响反应器内物料的分布，且一些催化剂也很难充分发挥催化作用【11】，给生产带来很大的损失。1986年公开的美国专利2168330介绍了一种把颗粒物料均匀填装成圆柱型床层的方法和设备，如图3所示。该方法是将催化

19、剂布料器设置于一待一待填装的床层上部的适当高度处，然后将催化剂从配有送料管的料斗供入布料器，送料管所处的位置使大致呈圆柱状的催化剂落入单个转动体或圆盘件。接着，催化剂颗粒靠单个圆盘分布在催化床的整个范围内，通过形成多个与容器或催化床同心的圆环来实现大致均匀的高密度化。图3 美国2168330号专利示意图1998年公开的日本10-43576号专利介绍了一种催化剂填装方法与装置，如图4所示。图4 日本1043576专利示意图在现有的研究基础上，我们提出了一种颗粒物料装填装置，安装在容器的顶部，依靠开设若干条形孔的椭圆形布料盘的转动向容器内播撒物料，并使得物料在容器内分布均匀，同时要能够有效提高物料

20、的装填密度，并降低颗粒在装填过程中的破碎率【12】。这个装置的工作流程为:颗粒物料通过加料漏斗进入料筒内，依靠重力向下运动至布料盘，由驱动装置带动布料盘以一定速度转动，将物料抛洒出去。物料被抛出后，以一定的抛物线轨迹运动，落到容器或料仓内部，并在容器或料仓底部均匀地按照一定的方向分布【13】。通过对国内外催化剂装填装置研究状况的分析可知，最早采用的人工装填存在着速度慢，易架桥，压力降不均匀，返工多效率低等问题【14】，这种落后的装填方法势必要被淘汰。随着化工设备产能的不断扩大，催化剂用量逐渐加大，其装填方式也逐步发展为半机械化；在随之产生的半机械化催化剂装填装填中，它们虽然大大提高了催化剂装填

21、的速度，但在催化剂装填精度上还有一些欠缺【15】，出现了物料表面不平整、装填密度不均一等缺陷；并且它们不能很好的实现装填的全机械化。随着科技和时代的进步，催化剂装填装置也要向机械化发展。今后催化剂装填装置的发展方向是要向结构小巧、操作方便，使用范围广，装填效率和精度高，能实现密相装填，自动化程度很高等方向发展。1.3 颗粒密相装填的研究目标和关键问题1.3.1 研究目标1. 了解颗粒物料填装分布装置在化工、石油化工等各行各业的应用2. 了解颗粒物料填装分布装置的工作原理及完成对装置的设计3. 掌握颗粒物料填装分布装置的设计方法，压力容器设计过程中的标准、规范如压力容器安全技术监察规程、JB/T

22、 4735-1997钢制压力容器焊接规程及颗粒物料填装分布装置的设计、制造等的规定1.3.2 解决关键问题 按照颗粒物料填装分布装置的工作原理，进行装置结构设计，并进行强度校核。对颗粒物料的运动情况进行分析，分析颗粒的运动轨迹及影响颗粒运动的因素有哪些。对装置控制部分进行进一步的完善，提高控制的精确度。进行工艺计算、编制制造工艺。1.4 颗粒密相填装作用和行业应用颗粒物料装填行业的发展越来越受到人们的关注，目前国内外普遍采用的催化剂装填技术是一种密相装填技术，这种装填方式可以最大限度发挥反应器内催化剂性能。延长催化剂使用寿命；提高反应器的实际处理能力；改善流动液气两相的分布情况；抑制局部压差上

23、升和热点形成；提高产品回收率；节能等。所以这种密相装填方法在颗粒物料装填行业里得到很大的应用，被广泛的应用于石油化工、生物制药等很多领域。2 设计参数的选取和设计思路2.1 设计参数设计压力：常压设计温度：常温 装填对象：催化剂颗粒（）催化剂平均粒径：1.5 mm装填能力：10 t/h装置型式：转盘布料、密相装填2.2 设计思路布料盘 布料盘上的开口槽 轴 轴承 齿轮 电机 其他附件 总体结构2.3 设计内容与具体步骤初定布料盘的尺寸,根据要求选取材料，再根据设计要求确定轴的转速。根据颗粒在布料盘转动时的运动轨迹，确定开口槽的形状。通过转速与扭转强度公式定功率，从而计算主轴的尺寸，再根据要求选

24、取轴的料,并进行强度校核。根据主轴选取合适的轴承，并对轴承进行相应的强度校核。根据主轴选取合适的锥形传到齿轮，并对齿轮进行相应的强度校核。根据最大功率和扭矩选取电机型号。确定料仓的参数：厚度，高度，材料。选用标准化的零部件，支承设备的支座，通过查机械零部件手册来选取标准件，这样有利于提高设备的制造质量，降低设备的制造成本。绘制总图和零部件图，编制技术要求和相关技术文件。3 结构的设计和分析3.1 总体结构设计 工业生产中的固体物料有块状、颗粒状或粉末状等不同形状，一般统称为粉粒体物料。本课题做的是关于颗粒物料密相装填的装置。 本课题根据需要设计成上部为直立安装的圆筒形容器，下部为倒锥形筒体形态

25、。进料口位于设备的顶部，为敞口进料，卸料口安装在设备底部。 本装置设计的总体结构为上部的桶体部分是直径300mm高为398mm，厚度为3mm的圆桶。桶体下面是上口直径为300mm、下口直径为100mm、高位97mm的圆锥形下料装置。装置中布料盘的尺寸为长径a=150mm、短颈b=75mm的标准椭圆封头，封头的厚度为3mm，在布料盘上对称的开了四条对数螺旋线的开口槽，当装置工作时，物料就从这些开口槽中抛出，均匀的分布在布料盘的工作区域内。 装置由步进电机作为装置运行的原动力，电机驱动锥形齿轮，齿轮带动轴转动，轴与布料盘连接，从而使得布料盘运转，进而实现物料的密相装填。为满足实际生产过程中的需要，

26、我们设计装置工作时的最大转速为400r/min，这样就能使得装置在实际生产的适用范围很大，能很好的满足实际生产的需要。3.2 材料的选取根据装置使用条件和设计要求选用装置的材质，装置在工作过程中受到力不大也不要承受转矩和承受弯矩，多处于应力较小条件下工作，但装置在工作过程中会受到物料的腐蚀作用很严重，因此装置的材料要求除了应具有较好的强度和韧性，还要具有较好的耐腐蚀性。常压容器的常用材料见压力容器设计手册第一章材料。其中不锈钢使用广泛。它具有优良的综合性能。钢中碳含量的不同除影响力学性能外，会对钢的耐腐蚀性能特别是产生晶间腐蚀的倾向产生重大影响。当含碳量超过0.03%时，不锈钢焊接后，在焊缝附

27、近有可能产生晶间腐蚀。因而在有晶间腐蚀条件下1Cr18Ni9一般不适用于用作焊接结构材料，而0Cr18Ni9可用于薄截面尺寸的焊接件。要较好的解决防止出现晶间腐蚀问题，便是采用超低碳级的00Cr19Ni10钢，这种钢由于碳含量低，抗拉强度与屈服强度均有所下降。这几种不锈钢的耐腐蚀性能是：在冷磷酸、硝酸及其它无机酸、多种盐及碱的溶液、有机酸、海水、蒸汽以及一系列石油产品中耐腐蚀性能好。但对硫酸、盐酸。氢氟酸、氯、碘、浓度大于50%-60%的热磷酸以及草酸、工业铬酸、熔融苟性钾及碳酸钠等化学稳定性差。含碳量低的比含碳量高的钢耐腐蚀性相对较高。0Cr18Ni9抗高温氧化性能好，可承受870摄氏度以下

28、反复加热。0Cr18Ni9是在化工、原子能，食品设备中应用最广泛的不锈钢、耐热钢。除制作承压容器外，还可做设备衬里、容器法兰衬里、紧固螺栓和金属密封垫。此外，也可制作-196摄氏度的深冷设备。超低碳的00Cr18Ni9在耐晶间腐蚀方面比0Cr18Ni9有更大的优越性。合金钢对应力集中的敏感性高，所以采用合金钢的结构形状应尽量减少应力集中源，并要求表面粗糙度值低。对于形状复杂的轴，如汽车、拖拉机的轴类零件可用铸造的方法、常用的铸材有球墨铸铁、稀土-镁球墨铸铁等，由于其强度较高、冲击韧度较好，具有减摩、吸振和对应力集中敏感性小、廉价等优点，在机械行业应用日趋增多。在高温和腐蚀条件下工作的装置，应用

29、耐热钢和不锈刚，我们这里选用性能较好的0Cr18Ni9 不锈钢。0Cr18Ni9的材料性能如下表3-1所示表3-1 0Cr18Ni9材料性能材料型号伸长率硬度抗拉强度屈服点0Cr18Ni940%187520205-210(1) 材料要求原材料的实际质量是否符合标准是保证设备制造质量的基础，故必须严格验收才能投产。选择材料应该考虑使用条件，焊接性能，制造工艺以及经济合理性，符合相应的标准。(2) 材料验收材料的验收与管理材料应该具备质量证明书，其内容必须齐全、清晰、并有材料生产单位质量检验章。在材料的明显部位有清晰、牢固的标记，至少包括材料制造标准代号、材料牌号及规格、炉号、国家安全监察机构认可

30、标志、材料生产单位名称及检验印鉴标志。钢材的矫形矫形除要矫正由于钢材在运输、吊装或在存放过程中的不当所产生的较大变形外，有些制造精度要求较高的设备，对保存较好的供货钢材也需要矫形，因为供货时的平面度的要求有时不能满足实际制造的要求。如果不对原材料的变形给予必要的矫正，将会影响到划线、坡口加工、切割、装配等一系列工序的精度，从而降低设备质量。矫形的方法有机械矫正和火焰矫正。钢材的净化净化处理主要是对钢板、管子和型钢在划线、切割、焊接加工之前和钢材经过切割、坡口加工、成形、焊接之后清除表面的绣、氧化皮、油污和熔渣等。钢材表面的清洁度对设备制造质量有影响，有时甚至有决定性影响。实验证明，除锈质量的好

31、坏直接影响着钢材的腐蚀速度，在现代专业化的生产中使用喷砂法、抛丸法和化学清洗法。(3) 划线划线是在原材料或经初加工的坯料上划出下料线、加工线、各种位置线和检查线等，并打上（或写上）必要的标志、符号。划线工序通常包括对零件的展开计算、放样和打标记。划线作业是将设备零件的空间图形，在钢材上展成平面图形的一整套工艺过程。划线将直接决定零件成型后的尺寸和几何形状精度，并影响到以后的组队焊接工序；对节约原材料也有重要意义。(4) 下料用于制造换热器受压元件的材料存在切割前(或加工)应进行标记移植。对于由防腐要求的不锈钢和复合钢板，不得在防腐面采用硬印作为材料的确认标记。材料的切割方法有：机械切割法、氧

32、气切割法和等离子切割法三种。机械切割法是用斜口剪板机切割，效率低，不能切割高硬度的材料；氧气切割法可以切割较厚碳素钢板，但不能切割不锈钢和其他高熔点的金属或非金属；等离子切割法不仅可切割高熔点的金属或非金属且效率高、切口光滑又平整、热影响区小，材料性能无显著变化，工件变形小，成本低，故多采用此方法。复合钢板用机械切割法时，基层放下面，复层放上面，以避免损伤复层。用氧气切割法和等离子切割法时，复层放现下面，基层放上，切割从基层进行。切割时应当预热或缓冷，以避免发生裂纹和切割面硬化，切割之后应用磁粉或渗透进行检测，不得存在裂纹、划痕之类妨碍下道工序的缺陷，若有则应用砂轮磨掉。(5) 边缘加工边缘加

33、工的作用是组对前切除毛坯的多余金属，并根据焊接需要加工适当形状的坡口。边缘加工对零件的精度有重要作用，可以为组对焊接提供良好的条件，并且开各种形式的焊接坡口是解决焊缝熔透的极有力的措施。边缘加工的方法主要是切削加工、气割和气刨，不能使用这些方法时也可用风铲。3.3 布料盘计算或校核3.3.1 布料盘的选取和强度计算装置中，布料盘采用0Cr18Ni9不锈钢为材料，其具体材料性能如下表3-2所示：表3-2 0Cr18Ni9材料性能材料型号伸长率硬度抗拉强度屈服点0Cr18Ni940%187520205-210在装置的运动过程中，布料盘内物料的重力相对于所受到的离心力来讲，重力要小很多，那么在这里我

34、们主要校核一下布料盘因旋转离心力所产生的变形量就可以。我们要求变形量在1mm之内。布料盘内物料受到的离心力计算式为 (3-1)通过式子可以看出当半径越大所受到的离心也就越大。用微分的方法在布料盘的最顶部取一个厚度为dx的薄皮用来计算。所以可以计算布料盘内物料的离心力 (3-2) (3-3) (3-4)计算布料盘自身旋转时的离心力作用 (3-5)可知布料盘因离心力所产生的拉伸压强为：由公式来计算变形量，这里E=190Gpa ， 所以可得 (3-6) (3-7)所以经过校核后可知，布料盘厚度满足强度的要求。3.3.2 布料盘上对数螺旋线开口槽布料盘上的开口卸料槽的线性是采用对数螺旋线型，下面对对数

35、螺旋线进行介绍：3.3.2.1 对数螺旋线的来源在自然界中对数螺旋线非常普遍， 向日葵花盘上瘦果的对数螺旋线的弧形排列，这样就可以使果实排得最紧、数量最多、产生后代的效率也最高。 当我们观察着园蛛，我们会发现它的网并不是杂乱无章的，那些辐排得很均匀，每对相邻的辐所交成的角都是相等的；蜘蛛在织网时，首先要在两地之间架“天索”，把丝固定在一定的地方，并在固定的丝上来回走几趟，使丝加粗。然后在“天索”上设置对角线，再在对角线的中央织一个白点，这是将来网的中心。以后往返于中心和圆周之间织许多呈辐射状的半径线。接着自圆心向外作第一螺旋线，再自外向里织粘性强的第二螺旋线。织好第二螺旋线后，将第一螺旋线及其

36、部分射线吃掉，并继续自外向里作螺旋线 。 愈近中心，每圈间的距离也愈密，直到不可辨认的地步。这正符合数学上的对数螺线的情况。蜘蛛的确不愧是“数学家”、“织网家”。 3.3.2.2 对数螺旋线方程 对数螺旋线又称等角螺旋线。若一条曲线在每个点P的切向量都与某定点O至此点P所成的向量夹成一定角，且定角不是直角，则此曲线称为一条等角螺线，O点称为它的极点。在坐标平面上，若极坐标方程式表示一等角螺线（，其极点是原点O，定角为,则因在点（）的切向量为所以，可得 (3-8)即由此可得下述结果： (3-9)，（上式两端积分） (3-10) (3-11)换言之，此等角螺线的极坐标方程式为 (3-12)在前面所

37、提的四只乌龟追逐问题中，若中心 O是极点而点 A 的极坐标为 ，则甲、乙、丙、丁四只乌龟所跑的路径分别在下述四等角螺线上： 前面所提的，就是等角螺线的极坐标方程式。由于在导出此方程式的过程中曾经引用了自然对数，所以，等角螺线也称为对数螺线(logarithmicsprial)。四、模型的性质 1、相似性质 根据等角螺线的方程式，可以看出：对每个值，都有一个对应的r值；而且不同的值所对应的r值也不同（因为）。 这种现象表示：从等角螺线上某个点出发，随着值的无限制增大与无限制减小，此曲线会环绕它的极点形成无数多圈，一面是愈绕愈远，一面是愈绕愈聚集在极点附近若， 则 当时,曲线聚集在极点附近。若，则

38、当时曲线愈绕越远。图5是等角螺线的一部分（）。图5 等角螺线的一部分 图6 辐角按等差数列排布若辐角，构成一个等差数列，则由指数的性质，对应的向径，就构成等比数列。若令表示极坐标的点，则上述结果表示，构成一个等比数列。又因，所以可知与相似，如图6。由此可知：，构成一个等比数列若上述等差数列，的公差是2，等乃是过极点的一射线与等角螺线的交点。可见：过极点作任意射线，则此射线与等角螺线的交点必以等比数列的形式排列在射线上。 对于一般的几何图形，若我们选定某个点做为伸缩中心将图形放大或缩小，则可得到一个相似的图形，在等角螺线的情形中，若伸缩中心是它的极点，则不论放大或缩小多少倍，所得的不只是相似图形

39、而已，它是与原等角螺线全等的一个等角螺线。为什么呢？若以极点为伸缩中心将等角螺线伸缩 m倍，则所得的图形是等角螺线。因为，所以可找到一个实数使得。于是伸缩后的图形为，这个图形其实就是等角螺线 绕极点顺时针旋转角所得，它自然与原等角螺线全等。根据前段的说明，我们可以了解：等角螺线上的一段弧经伸缩若干倍后，必与该等角螺线上的另一弧全等。事实上，若等角螺线经伸缩成，则在等角螺线，辐角 满足的弧 ，经伸缩后必与该等角螺线上辐角 满足的弧全等。等角螺线的这项特性，使得自然界中许多物体都呈现等角螺线的形状。对数螺旋线是常见形状中一种非常特殊的几何形状，从严格的数学观点看一 个螺旋在平面上是一个曲线,其极半

40、径为其极角的递增或递减函数.它具有特殊的 性质,如以恒定角度与半径相交,这个角度与其连续方根相符。这意味着它尽管是 增量曲线,但增量遵守着不变法则.可以把它看作是一个翻转的在两端无限延伸的 圆锥的投影,这个数学描述非常重要。对数螺旋线在科学领域是很著名的。对数螺线是一根无止尽的螺线，它永远向着极绕，越绕越靠近极，但又永远不能到达极。即使用最精密的仪器，我们也看不到一根完全的对数螺线。这种图形只存在科学家的假想中，可令人惊讶的是小小的蜘蛛也知道这线，它就是依照这种曲线的法则来绕它网上的螺线的，而且做得很精确。 这对数螺旋线还有一个特点。如果你用一根有弹性的线绕成一个对数螺线的图 形，再把这根线放

41、开来，然后拉紧放开的那部分，那么线的运动的一端就会划成 一个和原来的对数螺线完全相似的螺线，只是变换了一下位置。这个定理是一位名叫杰克斯勃诺利的数学教授发现的，他死后，后人把这条定理刻在他的墓碑上，算是他一生中最为光荣的事迹之一。 3.3.2.3 对数螺旋线应用 大家可别小看了对数螺线:在工业生产中，把抽水机的涡轮叶片的曲面作成对数；螺线的形状，抽水就均匀； 在农业生产中，把轧刀的刀口弯曲成对数螺线的形状，它就会按特定的角度来切割草料，又快又好。 建筑师们参照车前草叶片排列的这一原理，设计出现代化螺旋式的高楼，可以使高楼的每个房间都很明亮，达到较佳的采光效果。 螺旋线被广泛应用于各个方面，如机械上的螺杆、螺帽、螺钉和日常用品的螺丝扣等。枪膛中的膛线也是螺旋线，就连一些楼梯也是螺旋状的。被称为“世界七大奇观”之一的意大利比萨斜塔的楼梯，便是 294 阶的螺旋线。美国加州设计师还向车前草借鉴了采光原理，设计了一幢 13 层的螺旋状排列的大楼，结果证明，每个房间都能得到充足的阳光。下面我们详细阐述一下对数螺旋线在叶片结构设计上的应用。 3.3.2.4 总结 通过对对数螺旋线的研究，我们知道，对数螺线在自然界,尤其是生物界非常 常见,向日葵、车前草、菊的种子、蜘蛛、鹦鹉螺、蜗牛、海螺、星体运行轨迹、 象鼻、动物的角和毛等自