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1、动力学中的临界极值问题临界和极值问题是物理中的常见题型，结合牛顿运动定律求解的也很多，临界是一个特殊的转换状态，是物理过程发生变化的转折点。分析此类问题重在找临界条件，常见的临界条件有：1. 细线：拉直的临界条件为T=0，绷断的临界条件为 T=Tmax2. 两物体脱离的临界条件为：接触面上的弹力为零3. 接触的物体发生相对运动的临界条件为：静摩擦力达到最大静摩擦临界或极值条件的标志有些题目中有“刚好”、“恰好”、“正好”等字眼，明显表明题述的过程存在着临界点；(2) 若题目中有“取值范围”、“多长时间”、“多大距离”等词语，表明题述的过程存在着“起止点”，而这些起止点往往就对应临界状态；(3)
2、 若题目中有“最大”、“最小”、“至多”、“至少”等字眼，表明题述的过程存在着极值，这个极值点往往是临界点；(4) 若题目要求“最终加速度”、“稳定加速度”等，即是求收尾加速度或收尾速度.例 3(2013 山东22)如图5所示，一质量 m= 0.4 kg的小物块，以vo = 2 m/s的初速度，在与斜面成某一夹角的拉力F作用下，沿斜面向上做匀加速运动，经 t= 2s的时间物块由 A点运动到B点，A、B之间的距离L = 10 m .已知斜面倾角 0= 30 物块与斜面之间的动摩擦因数尸.重力加速度g取10 m/s2.图5(1) 求物块加速度的大小及到达B点时速度的大小.(2) 拉力F与斜面夹角多
3、大时，拉力F最小？拉力F的最小值是多少？解析(1)设物块加速度的大小为a，到达B点时速度的大小为 v，由运动学公式得L = vot + at2v = V0 + at联立式，代入数据得a = 3 m/s2v = 8 m/s(2)设物块所受支持力为Fn，所受摩擦力为Ff，拉力与斜面间的夹角为Fcos a mgsin 0 Ff = maFsin a+ Fn mgcos 0= 0联立式得由数学知识得cos a+ sin a= sin(60 + a由式可知对应最小 F的夹角a= 30联立式，代入数据得 F的最小值为F min = N答案 (1)3 m/s28 m/s (2)30 N规律总结动力学中的典型
4、临界条件Fn = 0.(1)接触与脱离的临界条件：两物体相接触或脱离，临界条件是：弹力(2) 相对滑动的临界条件：两物体相接触且处于相对静止时，常存在着静摩擦力，则相对滑动的临界条件是：静摩 擦力达到最大值.(3) 绳子断裂与松驰的临界条件：绳子所能承受的张力是有限度的，绳子断与不断的临界条件是绳中张力等于它所能承受的最大张力，绳子松驰的临界条件是：Ft= 0.加速度变化时，速度达到最值的临界条件：当加速度变为零时.如图突破训练36所示，水平地面上放置一个质量为m的物体，在与水平方向成0角、斜向右上方的拉力 F的作用下沿水平地面运动物体与地面间的动摩擦因数为卩，重力加速度为 g.求：图6(1)
5、若物体在拉力F的作用下能始终沿水平面向右运动且不脱离地面，拉力F的大小范围；已知m= 10 kg，尸0.5，g= 10 m/s2，若F的方向可以改变，求使物体以恒定加速度a= 5 m/s2向右做匀加速直线运动时，拉力 F的最小值.答案 F Kmg Fsin 0)联立解得： F根据牛顿第二定律得：Fcos 0- mg Fsin 0= ma解得：F =上式变形F =,其中 a sin 1，当sin( 0+ 0)= 1时F有最小值解得：Fmin =,代入相关数据解得：Fmin = 40N.B组动力学中的临界极值问题2 如图所示，一质量为 0.2kg的小球系着静止在光滑的倾角为53。的斜面上，斜面静止
6、时，球紧靠在斜面上，绳与斜面平行，当斜面以 10m/s2加速度水平向右做匀加速直线运动时，求线对小球的拉力和斜面对小球的弹力.(g=10m/s2)3. (2007江苏)如图所示，光滑水平面上放置质量分别为 m和2m的四个木块，其中两个质量为 m的木块间用一 不可伸长的轻绳相连，木块间的最大静摩擦力是卩mg现用水平拉力 F拉其中一个质量为 2m的木块，使四个木块以同一加速度运动，则轻绳对 m的最大拉力为()3 mg 3 mg 3 mg5 b.4 c.2 d. 3 mg例2.一根劲度系数为 k、质量不计的轻弹簧上端固定，下端系一质量为m的物块，有一水平的木板将物块托住，并使弹簧处于自然长度，如图所
7、示现让木板由静止开始以加速度a(a 18N时，开始相对滑动3如图3- 3- 3所示，光滑水平面上放置质量分别为m、2m的A、B两个物体，A、B间的最大静摩擦力为 卩mg现用水平拉力 F拉B，使A、B以同一加速度运动，则拉力F的最大值为()图 3-3-3A.卩 mgB. 2 卩 mgC . 3 卩 mgD . 4 卩 mg【解析】 当A、B之间恰好不发生相对滑动时力 F最大，此时，对于A物体所 受的合外力为 卩mg由牛顿第二定律知aA= g；对于A、B整体，加速度a= aA =ag，由牛顿第二定律得F= 3ma= 3卩mg【答案】 C图 3-3-44如图3-3-4所示，一轻质弹簧的一端固定于倾角
8、 0= 30。的光滑斜面的顶端，另一端系有质量 m= 0.5 kg的小 球，小球被一垂直于斜面的挡板挡住， 此时弹簧恰好为自然长度. 现使挡板以恒定加速度 a= 2 m/s2沿斜面向下运动(斜 面足够长)，已知弹簧的劲度系数 k = 50N/m，g取10 m/s2.(1) 求小球开始运动时挡板对小球的弹力的大小.(2) 求小球从开始运动到与挡板分离时弹簧的伸长量.(3) 判断小球与挡板分离后能否回到原岀发点？请简述理由.【审题指导】(1)初始时刻，弹簧处于自然长度，小球受重力和挡板的支持力.(2)球与挡板分离的临界条件为二者之间作用力恰为零.【解析】(1)设小球受挡板的作用力为F1,因为开始时弹簧对小球作用力为零， 由牛顿第二定律得：mgin 0 F = maF1= 1.5N.(2)设小球受弹簧的拉力为F2，因为小球与挡板分离时，挡板对小球的作用力为 零，由牛顿第二定律得：mgin 0 F2= maF2= 1.5N由胡克定律得：F2= kx, x= 3 cm,(3)小球与挡板分离后不能回到原出发点.因为整个过程中挡板对小球的作用力 沿斜面向上，小球位移沿斜面向下，挡板对小球做负功，小球和弹簧组成的系统的 机械能减小.
动力学中的临界极值问题
