高等数学讲义级数课件

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1、高等数学讲义级数第十二章第十二章 级数级数1。无穷级数的概念及其基本性质。无穷级数的概念及其基本性质1。无穷级数的概念。无穷级数的概念简称级数。称为无穷级数，则和式。设一数列定义nnnnuuuuuuu21121,1项。称为级数的通项或一般nu。项部分和，简称部分和前称为级数的nuuuusnnkkn211高等数学讲义级数111limlim,2nnnnnkknnnussususn称为级数的和。记作：收敛，则称级数存在，若极限时：当定义.,lim1发散则称级数不存在若极限nnnnus0lim111nnnnnnkknnnrussursu的余和，显然称为级数时，收敛于当级数高等数学讲义级数的敛散性。讨论

2、级数例1) 1(11nnn的敛散性。讨论几何级数例)0(211aaqnn时发散，时收敛，1111qqaqnn的敛散性。讨论级数例1221arctan4nn的敛散性。讨论级数例)11ln(31nn高等数学讲义级数2。无穷级数的基本性质。无穷级数的基本性质), 2 , 1,0()1 ()1)(1 ()1)(1 (152212111niaaaaaaaaaainn其中的敛散性。讨论级数例性质1。级数的每一项乘上同一个不为零的常数后，与原级数有相同的敛散性。111111)()(2nnnnnnnnnnnnnnvuvuvuvu也收敛且均收敛，那么级数、设两个级数。性质高等数学讲义级数性质3。在级数的前面添加

3、有限项或去掉有限项，不改变级数的敛散性。性质4。收敛级数加括号后所组成的新级数仍收敛。反之不然。性质5。（级数收敛的必要条件）。收敛，则如果级数0lim1nnnnuu一定发散。则，如果10limnnnnuu如果加括号后所组成的新级数发散，则原级数一定发散。高等数学讲义级数11 ) 1 ( 6nnn性。判断下列级数的敛散例11)1()2(nnnnnnn发散。证明级数例113121117nnn高等数学讲义级数2。正项级数及其敛散性的判别法。正项级数及其敛散性的判别法1。正项级数。正项级数称为正项级数。则级数如果1), 2 , 1(0nnnana有界。部分和数列收敛的充分必要条件是。正项级数定理nn

4、nsa11称为常数项级数。为常数时，当1nnnuu高等数学讲义级数2。正项级数的比较判别法。正项级数的比较判别法则且和。设两个正项级数定理), 2 , 1(211nbabannnnnn结论不变。可以改为的条件定理), 1, 0(2kknccbabannnn也发散。发散时，当11)2(nnnnba也收敛，收敛时，当11) 1 (nnnnab高等数学讲义级数的敛散性。级数。讨论例113121112nppppnnp1121 ) 1 ( 1nn性。判断下列级数的敛散例121)2(nn时发散，时收敛，1111ppnnp高等数学讲义级数同时收敛，同时发散。、则级数如果，是两个正项级数和设。比较判别法的极限

5、形式定理1111)0(lim)( 3nnnnnnnnnnnabllabba.,011也收敛收敛，则如果时当nnnnbal也发散。发散，则如果时当11,nnnnbal高等数学讲义级数11sin ) 1 ( 3nn性。判断下列级数的敛散例11)2(nnnn的敛散性。讨论级数例)0(411lnaann也收敛。证明级数收敛设正项级数。例121,5nnnnaa高等数学讲义级数收敛。证明级数例)1ln1(.61nnnn收敛。证明级数例)1ln1(.71nnnn高等数学讲义级数3。正项级数的比值判别法。正项级数的比值判别法时，级数发散。收敛，当时，级数则当，如果是正项级数设定理11lim. 411lllaa

6、annnnn的敛散性不确定。时，级数当1l1!2)3(nnnnn132 ) 1 ( 8nnn性。判断下列级数的敛散例12332)2(nnn高等数学讲义级数的敛散性。讨论级数例)0(!91annannn的敛散性。讨论级数例)0, 0(1101baabnnn高等数学讲义级数4。正项级数的根值判别法。正项级数的根值判别法时，级数发散。收敛，当时，级数则当，如果是正项级数设定理11lim. 51lllaannnnn的敛散性不确定。时，级数当1l132 ) 1 ( 11nnn性。判断下列级数的敛散例2ln)(ln)3(nnnnn1ln32 )2( nnn高等数学讲义级数的敛散性。判断级数例1)1(212

7、1nnnn5。正项级数的积分判别法。正项级数的积分判别法有相同的敛散性。与广义积分则级数，有整数上单调减少，且对于正在，若非负函数是正项级数设定理111)()(), 1 )(. 5dxxfanfanxfannnnn的敛散性。讨论级数例)0()(ln1132qnnnq时，级数发散。收敛，当时，级数当11qq高等数学讲义级数3。任意项级数。任意项级数1。交错级数的收敛性判别法。交错级数的收敛性判别法那么称它为交错级数。其中相间的，如如果级数的各项是正负), 3 , 2 , 1(0) 1( 1321nuuuuunnn0lim)2(), 3 , 2 , 1() 1 ()0() 1()(1111nnnn

8、nnnnunuuuu满足条件：其中若交错级数莱布尼茨判别法。定理高等数学讲义级数1111) 1(nnnnnnuruu即，值小于收敛，且其余和的绝对那么级数11) 1( ) 1 ( 1nnn性。判断下列级数的敛散例111sin) 1()2(nnn)111ln() 1()3(1nnn高等数学讲义级数2。绝对收敛与条件收敛。绝对收敛与条件收敛条件收敛。收敛，则称级数发散，而级数若级数绝对收敛；收敛，则称级数定义：若级数11111nnnnnnnnnnuuuuu收敛。绝对收敛，则级数。若级数定理112nnnnuu高等数学讲义级数的敛散性。讨论级数例)0(1) 1(211pnnpn级数绝对收敛。时当级数条

9、件收敛，时当,1,10pp11sin3) 1(1?3nnnn）（敛是绝对收敛还是条件收的敛散性，如果收敛，。讨论下列级数例)ln1sin()3(2nnn11ln) 1()2(nnnn高等数学讲义级数常数项级数的敛散性判别法1nnu0nu？N发散0nnuY绝对收敛0nnu比值法、比较法、根值法Y收敛？0nuu收敛？0nnuY条件收敛0nnuN发散0nnu莱布尼兹判别法N高等数学讲义级数4。幂级数。幂级数1。函数项级数称为函数项级数。上的函数，则是定义在数集设)()()()(), 2 , 1( )(211xuxuxuxuXnxunnnn称为部分和。称为通项，其中)()()()()(21xuxuxu

10、xsxunnn高等数学讲义级数的发散点。为函数项级数发散，则称若级数1010)()(nnnnxuxxu域。收敛点的全体称为收敛级数1)(nnxu的收敛点。为函数项级数收敛，则称若级数1010)()(nnnnxuxxu的和函数。称为则即收敛于和处在收敛域内任意一点111)()(, )()()()(,nnnnnnxuxsxuxsxsxux高等数学讲义级数nnxxn)121(1) 1 ( 11。求下列级数的收敛域例)1cos1 ()2(1nxn121)3(nnnxx高等数学讲义级数2。幂级数及其收敛半径下面讨论形式最简单且重要的函数项级数-幂级数称为幂级数的系数。的级数称为幂级数，在函数项级数中，形

11、如nnnnnnaxaxaxaaxa22100nnnnnxxaxxaxxaaxxa)()()()(020201000幂级数的一般形式为高等数学讲义级数绝对收敛。时，当处收敛，那么在若幂级数（阿贝尔定理）定理00000)0() 1 (1nnnnnnxaxxxxxxa发散。时，当处发散，那么在若幂级数0110)2(nnnnnnxaxxxxxa高等数学讲义级数发散。时，当绝对收敛，时，当满足如果存在一个数00:nnnnnnxaRxxaRxR则称 R 为幂级数的收敛半径。而称 (-R,R) 为幂级数收敛区间上均收敛。表示幂级数在外均发散，表示幂级数除),(00RxR能发散。处幂级数可能收敛也可在Rx高等

12、数学讲义级数10)3(0)2(0) 1 (lim210RRRaaxannnnnn时，当时，当时，当则，如果。设幂级数定理1limRannn，则类似的有如果高等数学讲义级数11) 1() 1 ( 2nnnnx径与收敛区间。求下列级数的收敛半例022) !()!2()2(nnxnn12) 1()3(nnnnx12)11 ()4(nnnxn高等数学讲义级数nnnnxn) 1()2(3) 1 ( 31径。求下列级数的收敛半例1) 1(3)2(nnnnxn高等数学讲义级数3。幂级数的性质2102100,min)(RRRxbaRRxbxannnnnnnnnn的收敛半径，则幂级数、分别为的收敛半径、设幂级数

13、函数具有下列性质。，则和内有和函数在为，收敛区间的收敛半径为设幂级数)(),(),(0 xsRRRRRxannn高等数学讲义级数性质1（连续性）上连续。在和函数),()(RRxs性质2（可导性）上可微。在和函数),()(RRxsRxnaxaxsnnnnnn收敛半径仍为且逐项求导后的级数的且有逐项求导公式) 1 ()()(110性质3（可积性）上可积。在和函数),()(RRxsRxnadttadttsnnnnxnnx收敛半径仍为且逐项积分后的级数的且有逐项积分公式)2(1)(01000高等数学讲义级数处仍成立。在、处收敛，那么等式或分后的幂级数在如果逐项求导或逐项积)()2() 1 ()(RxR

14、xRxRx)11(110 xxxnn)11()1 (1211xxnxnn)11(11) 1(0 xxxnnn)11()1ln(1) 1(01xxnxnnn高等数学讲义级数的收敛区间及和函数。求幂级数例01212) 1(4nnnxn的和。求级数例12125nnn高等数学讲义级数5。函数展开成幂级数。函数展开成幂级数1。泰勒级数。泰勒级数n 阶泰勒公式)()(!)( )(!2)()()()(00)(200000 xRxxnxfxxxfxxxfxfxfnnn 称为拉格朗日余项。之间）介于（余项010)1(,)(! ) 1()()(xxxxnfxRnnn高等数学讲义级数nnxaxaxaaxf2210)

15、(设,!)0(, )0(, )0()(10nfafafann则点处的泰勒级数。在称为函数把级数0000)()()(!)(xxxfxxnxfnnn)(0)(!)0(0)(0)(麦克劳林级数处的泰勒级数点在称为函数把级数处具有任意阶导数在点如果函数xxfxnfxxfnnn高等数学讲义级数0)(lim)()(:)()(!)(,)(0000)(0 xRxRxfxfxxxxnxfxxxfnnnnnn满足的泰勒公式中余项的充要条件是的某个邻域内收敛于在点级数具有任意阶导数的某个邻域内在点定理：如果函数高等数学讲义级数2。函数的幂级数展开一些常用初等函数的麦克劳林展开式)(!1!211!) 1 (20 xx

16、nxxnxennnx)(! ) 12() 1(!51!31 ! ) 12() 1(sin)2(1253120 xxnxxxxnxnnnnn)(! )2() 1(!41!211 ! )2() 1(cos)3(24220 xxnxxxnxnnnnn高等数学讲义级数) 11(111)4(20 xxxxxxnnn) 11() 1(1) 1(11)5(20 xxxxxxnnnnn)11(1) 1(3121 1) 1()1ln()6(13201xxnxxxnxxnnnnn)11(!) 1() 1(1)1 ()7(1xxnnxnn高等数学讲义级数)11()1 (1211xxnxnn)11()1ln(1xxn

17、xnn下列两个常用公式要记住幂级数。展开为。将函数例)4(sin)(1xxxf高等数学讲义级数幂级数。展开为。将函数例xxxfarctan)(2幂级数。展开为。将函数例) 1(61)(32xxxxf幂级数。展开为。将函数例xxxxf)32ln()(42。的和函数求幂级数。例)(!12502xsxnnnn高等数学讲义级数的和。求级数例11231) 1(6nnn的和。求级数例02) 1(22) 1(7nnnnnn高等数学讲义级数6。傅里叶级数。傅里叶级数1。三角级数及三角函数系的正交性。三角级数及三角函数系的正交性都是常数。三角级数，其中的级数称为形如), 2 , 1(,)sincos(2:010

18、nbaanxbnxaannnnn上正交。则称此函数系在区间，上满足在区间，如果一组可积的函数系：,)(0)()(,)(,),(),(21bajidxxfxfbaxfxfxfbajin高等数学讲义级数)(0sinsin,0sincos, )(0coscos,0sin,0cos,sincos,2sin,2cos,sin,cos, 1mnmxdxnxmxdxnxmnmxdxnxnxdxnxdxnxnxxxxx上满足在区间，三角函数系：nxdxnxdx22sin,cos而上正交。因此三角函数系在区间,高等数学讲义级数2。傅里叶级数。傅里叶级数10)sincos(2)()(2nnnnxbnxaaxfxf

19、能展开成三角级数的函数如果周期为那么由三角函数系的正交性可以得到dxxfa)(10), 2 , 1(cos)(1nnxdxxfan), 2 , 1(sin)(1nnxdxxfbn高等数学讲义级数),2, 1(sin)(1), 2 , 1 , 0(cos)(1nnxdxxfbnnxdxxfann的傅里叶系数。称为函数)(xf的傅里叶级数。称为作出的三角级数的函数，由傅里叶系数是一个周期为设)()sincos(2,2)(100 xfnxbnxaabaaxfnnnnn高等数学讲义级数3。收敛定理（狄利克利充分条件）。收敛定理（狄利克利充分条件）2)0()0( )()2( )()() 1 ( 2)(x

20、fxfxfxxfxfxxf于的间断点时，级数收敛是当于的连续点时，级数收敛是当且数收敛，那么函数的傅里叶级至多只有有限个极值点，并且有有限个第一类间断点在一个周期内连续或只满足条件：为周期的函数，如果它是以定理：设的左极限与右极限。处在点分别是其中xxfxfxf)()0(, )0(高等数学讲义级数展开成傅里叶级数。将函数且。设例)()()2(0, 10, 1)(1xfxfxfxxxf展开成傅里叶级数。将函数且。设例)()()2(0,00,)(2xfxfxfxxxxf61)()()2(,)(32122nnxfxfxfxxxf由此证明展开成傅里叶级数，并将函数且。设例高等数学讲义级数正弦级数与余弦

21、级数可积，则的函数，在一个周期上是周期为设2)(xf称为正弦级数。此时级数为奇函数时，当10sin ),2, 1(sin)(2 ),2,1 ,0(0)( ) 1 (nnnnnxbnnxdxxfbnaxf称为余弦级数。此时级数为偶函数时，当100cos2 ),2, 1 ,0(cos)(2 ),2, 1(0)( )2(nnnnnxaannxdxxfanbxf高等数学讲义级数4。周期为。周期为 2l 的函数的傅里叶级数展开式的函数的傅里叶级数展开式10)sincos(2)()(2)(nnnlxnblxnaaxflxf傅里叶级数展开式为：那么函数的狄利克利条件收敛定理的条件满足为周期的函数，如果它是以定理：设),2, 1(sin)(1), 2 , 1 , 0(cos)(1,ndxlxnxflbndxlxnxflaballnllnnn为其中系数高等数学讲义级数展开成傅里叶级数。将函数且。设例)()()2(10, 101,)(4xfxfxfxxxxf高等数学讲义级数5。定义在有限区间上的函数的傅里叶级数展开式。定义在有限区间上的函数的傅里叶级数展开式(1)定义在 (-l,l) 区间上的函数的傅里叶级数展开式(2)定义在 (0,l) 区间上的函数的傅里叶级数展开式展开成余弦级数。上在。将函数例, 0sin)(5xxf