高等数学讲义定积分及其应用课件

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1、高等数学讲义定积分及其应用第六章第六章 定积分及其应用定积分及其应用 1. 定积分概念定积分定义的引入定积分定义的引入问题1.变速直线运动的路程。经过的路程该物体所，要计算在这段时间内连续函数，且上的是动，已知速度设某物体做变速直线运StvTTtv0)(,)(21高等数学讲义定积分及其应用)(, )(,)(设轴所围曲边梯形的面积及上连续，求曲线在区间设函数xfxbxaxxfybaxf曲边梯形的面积问题 . 2xyoiiixx1ab高等数学讲义定积分及其应用iniibaxfdxxf10)(lim)(即baniiiiiiiidxxfbaxfIxfxnixxnbabaxf)(,)()()max(0)

2、, 2 , 1( ,)(:11上的定积分，记作：在函数，那么称此极限值为趋于一个确定的极限值和式时怎样取法，只要当上点小区间个小区间，也不任在各划分成怎样上有界，如果不任对在设函数定义积分区间。，积分上、下限、表达式，被积积分变量，被积函数，其中：,)()(baabdxxfxxf高等数学讲义定积分及其应用babadttfdxxf)()(:即2为了计算和应用方便，规定aaabbadxxfdxxfdxxfba0)(,)()(时当定积分的存在定理和定积分的性质定积分的存在定理和定积分的性质当 f (x) 在a,b上定积分存在时，称 f (x) 在a,b上可积，在什么条件下函数 f (x) 在a ,

3、b上可积呢？1定积分与积分变量无关3）定积分的性质设 f (x) 在a ,b上连续，则 f (x) 在a ,b上可积。2）定积分的几何意义:1）定理（定积分存在定理）曲边梯形的面积高等数学讲义定积分及其应用为常数）（kdxxfkdxxkfbaba)()( 3bababadxxgdxxfdxxgxf)()()()( 4bccabadxxfdxxfdxxfbca)()()( 5则设babababadxxfdxxfdxxgdxxfxgxfbax)(| )(| )()( )()(, 6特别则有如果abdxabMdxxfabmbaxfmMbaba1)()()( ,)( 7注意：则上的最大值和最小值，在分

4、别为、设高等数学讲义定积分及其应用)()()(, ,)( 8baabfdxxfbabaxfba使得存在一点上至少上连续，则在在闭区间设函数（定积分中值定理）定积分中值定理的几何意义：在a,b内至少有一点，使得以a,b为底，f ()为高的矩形面积，等于以a,b为底的曲边梯形的面积。baxoy高等数学讲义定积分及其应用21. 1xdx用定义计算定积分例成立。，使得上至少存在一点在证明：保号连续在设例 )()()()( , ,)(,)(, )(. 2babadxxgfdxxgxfbaxgbaxgxf高等数学讲义定积分及其应用2. 微积分基本公式微积分基本公式由定积分的定义来计算定积分的值是很困难的，

5、是否存在更为简便的方法呢？先引入变上限函数及其求导定理的函数仍是的定积分上在上连续，那么在设xdxxfbaxxaxfbaxfxa )(),( ,)(,)(xadttfx)()(记。把积分变量改为存在，为了避免混淆常故上连续，在称为变上限函数，由于则txxaxfx)(,)()(高等数学讲义定积分及其应用)(,1sin)(. 10 xdtttxx求设例)(,11)(. 2304xdttxx求设例)(,1ln)(. 332xdtttxxx求设例。上具有导数且在连续，则变上限函数在设定理)()(,)()(,)(. 1xfxbadttfxbaxfxa)()()()()(,)()()()(xxfxxfxd

6、ttfxxx则设高等数学讲义定积分及其应用xtxtxdttedte0220022)(lim. 4 求极限例的导数。所确定的隐函数求由方程例)(01cos. 52200 xyydtttdtexyt高等数学讲义定积分及其应用 公式（*）称为牛顿-莱伯尼兹公式，又称为微积分基本公式。1,211,11)()(. 622xxxxxfdxxf其中计算例(*)()()()(,)()(,)(. 2aFbFxFdxxfbaxfxFbaxfbaba一个原函数，则上的在是上连续，在设定理高等数学讲义定积分及其应用)1sin2sin(sin1lim. 8nnnnnn 求例202sin1. 7dxx计算例极限以反过来求

7、某些数列的利用定积分的定义也可高等数学讲义定积分及其应用3. 定积分计算定积分计算法法1. 定积分换元积分法定积分换元积分法41.xxdx计算例高等数学讲义定积分及其应用dtttfdxxfbabatxttxbaxfba)()()( )(,)( ,)(,) 3( ,)()2( ,)() 1 (则变化且上的值在上变化时，在当，上单值且具有连续导数在函数上连续，在函数定理：设定积分换元法在作变量代换时，需同时改变相应的上、下限，但不必代回原变量。上式即为定积分换元法高等数学讲义定积分及其应用dxxdxxnn证明：例cossin. 4dxxfdxxfxf上连续，同理可证在若)(cos)(sin 1 ,

8、 0)(上连续且为奇函数则在若上连续且为偶函数则在若证明例aaaaadxxfaaxfdxxfdxxfaaxf)(,)()(2)(,)():. 50dxxx102. 3 计算例dxxaaa22. 2 计算例高等数学讲义定积分及其应用dxxxxx)cos4(. 652222计算例dxexx)1ln(. 722计算例aaadxxfxfdxxf0)()()(故高等数学讲义定积分及其应用llaadxxfdxxfxflxflxf0)()()()()(. 8证明：为周期的周期函数，即以若例计算例02cos1sin. 9dxxxxI00)(sin2)(sin 1 , 0)(dxxfdxxxfxf上连续，同理可

9、证在若高等数学讲义定积分及其应用2.定积分的分部积分法定积分的分部积分法由不定积分的分部积分公式，可得babababababadxxuxvxvxudxxvxuvduuvudv)()(| )()()()(|或xtdtexfdxxfI1102)()(.10其中计算例31) 1(3ln10)(.11dxxfxxxxxexfx计算设例高等数学讲义定积分及其应用为奇数为偶数证明：例nnnnnndxxdxxnn,! !)!1(,2! !)!1(cossin.12dxxee1ln.13 计算例dxxxx2121221arcsin)1 (.14 计算例高等数学讲义定积分及其应用)(max)()(1,)(.15

10、xfdxxfdxxfabbaxfbxababa：上具有连续导数，证明在设例)(2)( ) 1 , 0(:)(2) 1 ( 1 , 0)(.1621012ffdxxfefxfx，使得内至少存在一点在证明上可导，且满足在设例高等数学讲义定积分及其应用4. 定积分的近似计定积分的近似计算算badxxf的面积。在几何上表示曲边梯形定积分)(如果能近似地计算出曲边梯形的面积，那么面积的近似值就可作为定积分的近似值。 把曲边梯形分成若干小块，然后再用矩形面积近似代替小曲边梯形的面积。矩形法梯形法把曲边梯形分成若干小块，然后用小梯形面积来代替小曲边梯形的面积。高等数学讲义定积分及其应用矩形法和梯形法的基本思

11、想都是在各小段上以直线代替曲线为了提高精度，可用曲线来代替曲线。方法。物线法，又称为辛普生函数，这种方法称为抛来代替被积抛物线例如，用二次曲线cbxaxy2)(高等数学讲义定积分及其应用5. 广义积分以及广义积分敛散性的判广义积分以及广义积分敛散性的判定定babadxxfdxxf)(lim)(即：发散。称广义积分若上述极限不存在，则adxxf)(1. 无穷区间上的广义积分无穷区间上的广义积分。收敛，其值为存在，那么称广义积分如果，上连续，取在无穷区间设定义IdxxfIdxxfabaxfabab)()(lim),)(. 1yx0ab高等数学讲义定积分及其应用。其值为收敛，那么称广义积分存在，如果

12、，上连续，取在无穷区间设定义IdxxfIdxxfbabxfbbaa)()(lim,()(. 2baabdxxfdxxf)(lim)(即：发散。称广义积分若上述极限不存在，则bdxxf)(byx0a高等数学讲义定积分及其应用否则称广义积分发散。收敛，分均存在，那么称广义积、，如果任取三点上在上连续，在无穷区间设定义dxxfdxxfdxxfbcaxfbcbcaa)()(lim)(lim),(),()(. 312)1 (. 1xxdx计算广义积分例高等数学讲义定积分及其应用的敛散性考虑广义积分例dxxx212. 4)0(,. 2akdxxkak为何值时发散？收敛？广义积分为何值时问例221. 3xx

13、dx求例时当发散，时当收敛，111kkdxxak高等数学讲义定积分及其应用被积函数有无穷间断点的广义积分被积函数有无穷间断点的广义积分。收敛，其值为存在，那么称广义积分如果极限取，上连续，而在区间设定义IdxxfIdxxfxfbaxfbabaax)()(lim0)(lim,()(. 40babadxxfdxxf)(lim)(0即发散。称广义积分若上述极限不存在，则badxxf)(byx0aa+高等数学讲义定积分及其应用。收敛，其值为存在，那么称广义积分如果极限取，上连续，而在区间设定义IdxxfIdxxfxfbaxfbababx)()(lim0)(lim),)(. 50babadxxfdxxf

14、)(lim)(0即发散。称广义积分若上述极限不存在，则badxxf)(byx0ab-高等数学讲义定积分及其应用否则称广义积分发散。收敛，分均存在，那么称广义积、如果，取而点外均连续，上除在设定义babccacxdxxfIdxxfIdxxfxfcxbaxf)()(lim)(lim0,0,)(lim,)(. 62010高等数学讲义定积分及其应用的敛散性。讨论广义积分例dxx111. 8又何值时发散？收敛？为何值时，广义积分问例)0(. 50bxdxkbk011.dxxx计算例10)1 ()2)(1 (. 7xxxxdx计算例时当发散，时当收敛，11)(1kkdxaxbak高等数学讲义定积分及其应用

15、发散。则发散如果收敛，则收敛如果上非负连续且在、设函数定理aaaadxxgdxxfdxxfdxxgxgxfaxgxf)(,)()2()(,)() 1 ()()(0 ),)()(. 1广义积分敛散性的判定广义积分敛散性的判定1）无穷区间上广义积分敛散性的判别法2）被积函数有无穷间断点的广义积分的敛散性判别法发散。则发散如果收敛，则收敛如果且上非负连续且在、设函数定理babababaaxaxdxxgdxxfdxxfdxxgxgxfxgxfbaxgxf)(,)()2()(,)() 1 ()()(0)(lim,)(lim ,()()(. 2高等数学讲义定积分及其应用6. 定积分的元素法及其应定积分的元

16、素法及其应用用在定积分存在的条件下，可将定积分简化为两个步骤niiibaxfdxxf10)(lim)(由定积分的定义知：ax x+dxbxy0dxxfdsdxxxbax)( , ,) 1 (为积分元素，任取一个小区间，为为积分变量，变化区间取这种方法称为定积分的元素法badxxfsdssba)( ,)2(作定积分的元素上对在定积分的元素法定积分的元素法高等数学讲义定积分及其应用平面图形的面积平面图形的面积(1) 直角坐标系)()(,( ,)(, )(. 12121xyxybaxbxaxxyyxyy其中。所围成图形的面积及直线计算由曲线例所围图形的面积。与直线计算抛物线例42. 22xyxy(2

17、) 极坐标系所围图形的面积。及射线求曲线例,)(. 3rr高等数学讲义定积分及其应用内部分图形的面积。在圆（求双纽线（例 2). 5222222222ayxyxayx所围公共部分面积。与求椭圆例11. 422222222aybxbyax高等数学讲义定积分及其应用如果用垂直于 0 x 轴的平面去截立体所得截面面积是 x的连续函数 s(x) , xa,b，那么该立体的体积可用元素法求得：badxxsVdxxsdvdxxxbax)(,)(,得，任取小区间为为积分变量，变化区间取平行截面面积为已知的立体体积平行截面面积为已知的立体体积0 xyabxS(x)高等数学讲义定积分及其应用正方形，求其体积。垂

18、直于长轴的截面都是的椭圆为底，短半轴有一立体，以长半轴例5,10. 7ba思考：该图形绕Y轴旋转的旋转体体积转体体积。轴旋转一周所得到的旋绕轴所围图形及直线计算由曲线例xxbxaxxfy, )(. 6baxdxxfV)(2baydxxxfV)(2高等数学讲义定积分及其应用平面曲线的弧长平面曲线的弧长的一段弧的长度。到从上相应于计算曲线例baxxy2332. 9dxxfdydxds)(1)()(222的圆的周长。计算半径为例r. 81) 直角坐标系为，在该区间上的弧微分，任取小区间为为积分变量，变化区间取的一段弧的长度。到从相应于计算曲线,)(dxxxbaxbaxxfydxxfsba)(12所以

19、弧长高等数学讲义定积分及其应用2) 参数方程表示的曲线的一段弧长求由参数方程ttytx)()(dtttsdttytxdydxdsba)()()()()()(222222弧长的长度。计算星形线例taytax33sincos.10高等数学讲义定积分及其应用的全长计算心形线例)0()cos1 (.11aardrrdyxsrryrrxrr)()()()(sin)(sin,cos)(cos)(2222看成参数，得将标与极坐标关系知一段的弧长，由直角坐给出，计算设曲线由极坐标方程3) 极坐标系高等数学讲义定积分及其应用例12. 设有一横截面为等腰梯形的蓄水池，梯形上底为6米，下底为4米，高为2米，水池的长

20、为8米，蓄满了水，现要把水池中全部的水抽到距水面20米高的水塔，问需要作多少功？定积分的元素法在物理学中常可用来计算变力沿直线所作的功，水压力及引力等。5. 物理应用物理应用高等数学讲义定积分及其应用第六章 重点复习题)0(.)()(2)0(,),()(.1sin求设上连续在已知xxdttfxfxfxxxdttdtttsin0300)sin(tanlim.2 求dxxfxexfx| )(|)2(.311求设20)1(0,110,11)(.4dxxfxexxxfx求设高等数学讲义定积分及其应用xxtdttdt1121211:. 5证明dxxx2245)cos(sin. 6计算dxxxx21212

21、21arcsin) 1(. 7计算dxxee1|ln|. 8计算11. 9xxdx计算高等数学讲义定积分及其应用10.求抛物线 y=-x2+4x-3及其在点(0,-3)和点(3,0)处的切线所围成的图形面积.11.求曲线 y=ex , y 轴及曲线在 (1,e) 处的切线所围图形绕 x 轴旋转所得旋转体的体积.3:1)cos1 ()sin(.12的点的坐标上求分摆线第一拱成在摆线tayttax高等数学讲义定积分及其应用40220)(lim1)0(,0)0(,0)(.13xdttxtfffxxfxx，试求：且的某个邻域内连续在设)(,)(cos)(,)(.14204xfdxxfxxxfxf求且连续设)2(,cossincos)(, 0)0(, )(,)(.15)(00fdtttttdttgfxgxfxfx求且且存在反函数可导设高等数学讲义定积分及其应用)(2)(1 , 0)(2) 1 (,1 , 0)(.1621012ffdxxfefxfx使得证明：且上可导在设)(max)()(1,)(.17xfdxxfdxxfabbaxfbxababa上具有连续导数，证明在设dxxgdxxfdxxgxfbaxgxfxgxfbababa)()()()(,)(),(),(),(.1822222或柯西不等式）证明：许瓦兹不等式（上可积，在设