函数的微分实用教案

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1、一、微分一、微分(wi fn)的概念的概念 引例引例(yn l): 一块正方形金属薄片受温度变化一块正方形金属薄片受温度变化的影响的影响,问此薄片面积改变(gibin)了多少? 设薄片边长为 x , 面积为 A , 则面积的增量为xx 0 xx 0关于x 的线性主部高阶无穷小0 x时为故称为函数在 的微分0 x当 x 在0 x取得增量x时,0 x变到边长由其机动 目录 上页 下页 返回 结束 第1页/共27页第一页，共28页。的微分(wi fn),定义定义(dngy): 若函数若函数在点 的增量可表示为0 x( A 为不依赖于x 的常数(chngsh)则称函数)(xfy 而 称为xA记作即定理

2、定理: 函数)(xfy 在点 可微的充要条件充要条件是0 x即在点0 x可微可微,机动 目录 上页 下页 返回 结束 第2页/共27页第二页，共28页。定理定理(dngl) : 函数函数证证: “必要性必要性” 已知)(xfy 在点 可微 ,0 x则)()(00 xfxxfy故)( xoxA)(xfy 在点 的可导,0 x且)(xfy 在点 可微的充要条件充要条件是0 x)(xfy 在点 处可导,0 x且即xxfy)(d0机动 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 第3页/共27页第三页，共28页。定理定理(dngl) : 函数函数)(xfy 在点 可微的充要条件充要条件是0 x)(xfy 在

3、点 处可导,0 x且, )(0 xfA即xxfy)(d0“充分性充分性”已知)(xfy 即在点 的可导,0 x则机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 第4页/共27页第四页，共28页。说明说明(shumng):时 ,所以(suy)时yd很小时, 有近似(jn s)公式与是等价无穷小,当故当机动 目录 上页 下页 返回 结束 第5页/共27页第五页，共28页。微分的几何微分的几何(j h)意义意义xxfy)(d0 xx0 xyo)(xfy 0 xyyd当 很小时,x则有从而(cng r)导数(do sh)也叫作微商切线纵坐标的增量自变量的微分自变量的微分,记作记机动 目录 上页 下页

4、返回 结束 第6页/共27页第六页，共28页。例如例如(lr),yd02. 0d2xxyd基本初等函数的微分(wi fn)公式 (见 P115表)又如又如,机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 第7页/共27页第七页，共28页。二、二、 微分运算微分运算(yn sun)法则法则设 u(x) , v(x) 均可微 , 则(C 为常数(chngsh)分别(fnbi)可微 ,的微分为微分形式不变微分形式不变5. 复合函数的微分则复合函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 第8页/共27页第八页，共28页。例例1.求 解解:机动 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 第9页/共27页第九页，

5、共28页。例例2. 设设求 .dy解解: 利用利用(lyng)一阶微分形式不变性一阶微分形式不变性 , 有有例例3. 在下列括号中填入适当在下列括号中填入适当(shdng)的函数使等式的函数使等式成立成立:说明说明: 上述微分上述微分(wi fn)的反问题是不定积分要研究的内的反问题是不定积分要研究的内容容.C注意 目录 上页 下页 返回 结束 注意: 数学中的反问题往往出现多值性.第10页/共27页第十页，共28页。22数学中的反问题往往数学中的反问题往往(wngwng)出现多出现多值性值性 , 例如例如注意 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 第11页/共27页第十一页，共28页。三

6、、三、 微分微分(wi fn)在近似计在近似计算中的应用算中的应用当很小时(xiosh),使用使用(shyng)原原则则:得近似等式:机动 目录 上页 下页 返回 结束 第12页/共27页第十二页，共28页。特别特别(tbi)当当很小时(xiosh),常用常用(chn yn)近似公式近似公式:很小)x(x证明证明:令得机动 目录 上页 下页 返回 结束 第13页/共27页第十三页，共28页。的近似值 .解解: 设取则例例4. 求求29sin机动 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 第14页/共27页第十四页，共28页。的近似值 .解解:5245例例5. 计算计算(j sun)机动(jdng)

7、 目录 上页 下页 返回 结束 第15页/共27页第十五页，共28页。例例6. 有一批半径有一批半径(bnjng)为为1cm 的球的球 , 为了提高(t go)球面的光洁度,解解: 已知球体已知球体(qit)体积为体积为镀铜体积为 V 在时体积的增量01. 01RR因此每只球需用铜约为( g )用铜多少克 . 估计一下, 每只球需要镀上一层铜 ,厚度定为 0.01cm , 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第16页/共27页第十六页，共28页。四、四、 微分在估计微分在估计(gj)误差中误差中的应用的应用某量的精确(jngqu)值为 A ,其近似值为 a ,称为(chn wi)a 的绝对误差

8、称为a 的相对误差相对误差若称为测量 A 的绝对误差限绝对误差限称为测量 A 的相对误差限相对误差限机动 目录 上页 下页 返回 结束 第17页/共27页第十七页，共28页。误差传递公式误差传递公式(gngsh) :已知测量误差限为按公式(gngsh)计算(j sun) y 值时的误差故 y 的绝对误差限约为相对误差限约为若直接测量某量得 x ,机动 目录 上页 下页 返回 结束 第18页/共27页第十八页，共28页。例例7. 设测得圆钢设测得圆钢(yun n)截面的直径截面的直径 测量(cling)D 的 绝对误差(ju du w ch)限欲利用公式圆钢截面积 ,解解:计算 A 的绝对误差限

9、约为 A 的相对误差限约为试估计面积的误差 . 计算机动 目录 上页 下页 返回 结束 (mm)第19页/共27页第十九页，共28页。内容内容(nirng)小结小结1. 微分(wi fn)概念 微分的定义及几何(j h)意义 可导可微2. 微分运算法则微分形式不变性 :( u 是自变量或中间变量 )3. 微分的应用近似计算估计误差机动 目录 上页 下页 返回 结束 第20页/共27页第二十页，共28页。思考思考(sko)与练习与练习1. 设函数(hnsh)(xfy 的图形(txng)如下, 试在图中标出的点0 x处的及并说明其正负 .ydxx00 xxyo00yyd机动 目录 上页 下页 返回

10、 结束 第21页/共27页第二十一页，共28页。2.机动 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 第22页/共27页第二十二页，共28页。5. 设设由方程(fngchng)确定(qudng),解解: 方程两边(lingbin)求微分,得当时由上式得求6. 设 ,0a且,nab 则机动 目录 上页 下页 返回 结束 第23页/共27页第二十三页，共28页。作业作业(zuy)(zuy)P122 1 ; 3 (4) , (7) , (8) , (9) , (10) ; 4 ; 5; 8(1) ; 9(2) ; 12习题课 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 第24页/共27页第二十四页，共28页

11、。1. 已知求解：因为解：因为(yn wi)所以(suy)备用备用(biyng)题题机动 目录 上页 下页 返回 结束 第25页/共27页第二十五页，共28页。方程(fngchng)两边求微分, 得已知求.d y解解：2.习题课 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 第26页/共27页第二十六页，共28页。感谢您的观看(gunkn)！第27页/共27页第二十七页，共28页。NoImage内容(nirng)总结一、微分的概念。引例: 一块正方形金属薄片受温度变化的影响,。很小时(xiosh), 有近似公式。基本初等函数的微分公式 (见 P115表)。说明: 上述微分的反问题是不定积分要研究的内容.。数学中的反问题往往出现多值性 , 例如。解: 已知球体体积为。镀铜体积为 V 在。厚度定为 0.01cm ,。四、 微分在估计误差中的应用。某量的精确值为 A ,。其近似值为 a ,。称为测量 A 的相对误差限。若直接测量某量得 x ,第二十八页，共28页。