高中物理竞赛辅导2.1.4 电容器

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1、 1、4 电容器141、 电容器的电容电容器是以电场能的形式储存电能的一种装置，与以化学能储存电能的蓄电池不同。任何两个彼此绝缘又互相靠近的导体，都可以看成是一个电容器，电容器所带电荷Q与它两板间电势差U的比值，叫做电容器的电容，记作C，即电容的意义就是每单位电势差的带电量，显然C越大，电容器储电本领越强，而电容是电容器的固有属性，仅与两导体的形状、大小位置及其间电介质的种类有关，而与电容器的带电量无关。电容器的电容有固定的、可变的和半可变的三类，按极片间所用的电介质，则有空气电容器、真空电容器、纸质电容器、陶瓷电容器、涤纶电容器、云母电容器、电解电容器等。每个电容器的型号都标明两个重要数值：

2、电容量和耐压值（即电容器所承受的最大电压，亦称击穿电压）。142、几种常用电容器的电容（1）平行板电容器 若两金属板平行放置，距离d很小，两板的正对面积为S、两极板间充满相对介电常数为的电介质，即构成平行板电容器。设平行板电容器带电量为Q、则两极板间电势差故电容 （2）真空中半径为R的孤立导体球的电容由公式可知，导体球的电势为：因此孤立导体球的电容为地球半径很大，电容很大，容纳电荷的本领极强。（3）同轴圆柱形电容器高H、半径的导体圆柱外，同轴地放置高也为H、内半径为的导体筒，当H时，便构成一个同轴圆柱形电容器。如果-，则可将它近似处理为平行板电容器，由公式可得其电容为（4）同心球形电容器半径为

3、的导体球（或球壳）和由半径为的导体球壳同心放置，便构成了同心球形电容器。若同心球形电容器内、外球壳之间也充以介电常数为的电介质，内球壳带电量为Q，外球壳带 -Q电荷，则内、外球壳之间的电势差为 故电容当时，同心球形电容器便成为孤立导体（孤立导分是指在该导体周围没有其他导体或带电体，或者这些物体都接地）球形电容器，设，则其电容为若孤立导体外无电介质，则，即。图1-4-1例8、如图2-4-1所示，两个竖直放置 的同轴导体薄圆筒，内筒半径为R，两筒间距为d，筒高为L，内筒通过一个未知电容的电容器与电动势U足够大的直流电源的正极连接，外筒与该电源的负极相连。在两筒之间有相距为h的A、B两点，其连线AB

4、与竖直的筒中央轴平行。在A点有一质量为m、电量为-Q的带电粒子，它以的初速率运动，且方向垂直于由A点和筒中央轴构成的平面。为了使此带电粒子能够经过B点，试求所有可供选择的和值。分析： 带电粒子从A点射出后，受到重力和筒间电场力的作用。重力竖直向下，使带电粒子在竖直方向作自由落体运动；电场力的方向在垂直筒中央轴的平面内，沿径向指向中央轴。为了使带电粒子能通过B点，要求它在垂直中央轴的平面内以R为半径作匀速圆周运动，这就要求电场力能提供适当的向心力，即对有一定要求。为了使带电粒子经过B点，还要求它从A点沿AB到达B点的时间刚好等于带电粒子作圆周运动所需时间的整数倍，亦即对圆周运动的速度有一定的要求

5、。解： 带电粒子重力作用下，从A点自由下落至B点所需的时间为带电粒子在垂直于筒中央轴的平面内，作匀速圆周运动一圈所需的时间为 为了使带电粒子经过B点，要求由以上三式，得带电粒子作匀速圆周运动（速率，半径R）所需的向心力由电场力提供，电场力为此电场力由内外筒之间的电场提供。因，近似认为内外筒构成平行板电容器，其间是大小相同的径向电场E，设内外筒电势差为，则带电粒子所受电场力应为由以上两式，得代入，得 因为内、外筒电容器与串联，故有解得由公式可知，同轴圆柱形电容器电容代入，得 这就是全部可供选择的。143、 电容器的连接电容器的性能有两个指标；电容和耐压值。在实际应用时，当这两个指标不能满足要求时

6、，就要将电容器串联或并联使用。（1）串联几个电容器，前一个的负极和后一个的正极相连，这种连接方式称为电容器的串联。充电后各电容器的电量相同，即=；第一个电容器的正极与第n个电容器的负极之间的电U为各电容器电压之和，即，因此电容器串联可以增大耐压值。用一个电量为Q，电压为U的等效电容来代替上述n个串联的电容器，则电容为（2）并联把n个电容器的正极连在一起，负极连在一起，这种连接方式称为电容器的并联。充电后正极总电量Q等于各电容器正极电量之和，即；正极和负极之间的电压U等于各电容器的电压，即。用一个电量为Q、电压为U的等效电容器代替上述几个并联的电容器，则电容为47 功能原理和机械能守恒定律471

7、 功能原理根据质点系动能定理当质点系内有保守力作用和非保守力作用时，内力所做功又可分为而由保守力做功特点知，保守力做功等于势能增量的负值，即 于是得到用E表示势能与动能之和，称为系统机械能，结果得到 外力的功和非保守力内力所做功之和等于系统机械能的增量，这就是质点系的功能原理。可以得到（外力做正功使物体系机械能增加，而内部的非保守力作负功会使物体系的机械能减少）。 功能原理适用于分析既有外力做功，又有内部非保守力做功的物体系，请看下题：图4-7-1 劲度系数为k的轻质弹簧水平放置，左端固定，右端连接一个质量为m的木块（图4-7-1）开始时木块静止平衡于某一位置，木块与水平面之间的动摩擦因数为。

8、然后加一个水平向右的恒力作用于木块上。（1）要保证在任何情况下都能拉动木块，此恒力F不得小于多少？（2）用这个力F拉木块，当木块的速度再次为零时，弹簧可能的伸长量是多少？ 题目告知“开始时木块静止平衡于某一位置”，并未指明确切的位置，也就是说木块在该位置时所受的静摩擦力和弹簧的形变量都不清楚，因此要考虑各种情况。如果弹簧自然伸展时，木块在O点，那么当木块在O点右方时，所受的弹簧的作用力向右。因为木块初始状态是静止的，所以弹簧的拉力不能大于木块所受的最大静摩擦力。要将木块向右拉动，还需要克服一个向左的静摩擦力，所以只要F2，即可保证在任何情况下都能拉动木块。 设物体的初始位置为，在向右的恒力F作

9、用下，物体到x处的速度再次为零，在此过程中，外部有力F做功，内部有非保守力f做功，木块的动能增量为零，所以根据物体系的功能原理有可得因为木块一开始静止，所以要求 可见，当木块再次静止时，弹簧可能的伸长是 472 机械能守恒定律 若外力的与非保守内力的功之和为零时，则系统机械能守恒，这就是机械能守恒定律。 注意：该定律只适用于惯性系，它同时必须是选择同一惯性参照系。在机械能守恒系统中，由于保守内力做功，动能和势能相互转化，而总的机械能则保持不变。下面介绍一例由机械能守恒推出的重要定理：伯努利方程理想流体 不可压缩的、没有粘滞性的流体，称为理想流体。定常流动 观察一段河床比较平缓的河水的流动，你可

10、以看到河水平静地流着，过一会儿再看，河水还是那样平静地流着，各处的流速没有什么变化。河水不断地流走，可是这段河水的流动状态没有改变。河水的这种流动就是定常流动。流体质点经过空间各点的流速虽然可以不同，但如果空间每一点的流速不随时间而改变，这样的流动就叫做定常流动。自来水管中的水流，石油管道中石油的流动，都可以看做定常流动。图4-7-2 流体的流动可以用流线形象地表示。在定常流动中，流线表示流体质点的运动轨迹。图4-7-2是液体流过圆柱体时流线的分布。A、B处液体流过的横截面积大，CD处液体流过的横截面积小。液体在CD处流得急，流速大。AB处的流线疏，CD处的流线密，这样，从流线的分布可以知道流

11、速的大小。流线疏的地方，流速小；流线密的地方，流速大。伯努利方程 现在研究理想流体做定常流动时流体中压强和流速的关系。图4-7-3图4-7-3表示一个细管，其中流体由左向右流动。在管的处和处用横截面截出一段流体，即处和处之间的流体，作为研究对象。 处的横截面积为，流速为，高度为，处左边的流体对研究对象的压强为，方向垂直于向右。 处的横截面积为，流速为，高度为，处左边的流体对研究对象的压强为，方向垂直于向左。 经过很短的时间间隔，这段流体的左端由移到。右端由移到。两端移动的距离分别为和。左端流入的流体体积为，右端流出的流体体积为，理想流体是不可压缩的，流入和流出的体积相等，记为。 现在考虑左右两

12、端的力对这段流体所做的功。作用在液体左端的力，所做的功。作用在右端的力，所做的功。外力所做的总功 （1） 外力做功使这段流体的机械能发生改变。初状态的机械能是到这段流体的机械能，末状态的机械能是到这段流体的机械能。由到这一段，经过时间，虽然流体有所更换，但由于我们研究的是理想流体的定常流动，流体的密度和各点的流速没有改变，动能和重力势能都没有改变，所以这一段的机械能没有改变，这样机械能的改变就等于流出的那部分流体的机械能减去流入的那部分流体的机械能。 由于，所以流入的那部分流体的动能为 重力势能为流出流体的动能为 重力势能为机械能的改变为 （2）图4-7-4 理想流体没有粘滞性，流体在流动中机

13、械能不会转化为内能，所以这段流体两端受的力所做的总功W等于机械能的改变，即 W= （3）将（1）式和（2）式代入（3）式，得 整理后得 （4）和是在流体中任意取的，所以上式可表示为对管中流体的任意处： 常量 （5） （4）式和（5）式称为伯努利方程。 流体水平流动时，或者高度差的影响不显著时（如气体的流动），伯努利方程可表达为 常量 （6） 从（6）式可知，在流动的流体中，压强跟流速有关，流速v大的地方要强p小，流速v小的地方压强p大。图4-7-5知道压强和流速的关系，就可以解释本节开始所做的实验了。经过漏斗吹乒乓球时，乒乓球上方空气的流速大，压强小，下方空气的压强大，乒乓球受到向上的力，所以

14、会贴在漏斗上不会掉下来。向两张纸中间吹气，两张纸中间空气的流速大，压强小，外边空气的压强大，所以两张纸将互相贴近。同样的道理，两艘并排的船同向行驶时（图4-7-4）如果速度较大，两船会互相靠近，有相撞的危险。历史上就曾经发生过这类事故。在航海中。对并排同向行驶的船舶，要限制航速和两船的距离。伯努利方程的应用： 球类比赛中的旋转球和不转球的飞行轨迹不同，是因为球周围空气流动情况不同造成的。图4-7-5甲表示不转球水平向左运动时周围空气的流线。球的上方和下方流线对称，流速相同，上下不产生压强差。现在考虑球的旋转，致使球的下方空气的流速增大，上方流速减小，周围空气流线如图乙所示。球的下方流速大，压强

15、小，上方流速小，压强大。跟不转球相比，图4-1-6乙所示旋转球因为旋转而受到向下的力，飞行轨迹要向下弯曲。 例：如图4-7-6所示，用一弹簧把两物块A和B连接起来后，置于水平地面上。已知A和B的质量分别为和。问应给物块A上加多大的压力F，才可能在撤去力F后，A向上跳起后会出现B对地无压力的情况？弹簧的质量略去不计。图4-7-6设弹簧原长为，建立如图4-7-7所示的坐标，以k表示弹簧的劲度系数，则有 取图中O点处为重力势能零点，当A受力F由O点再被压缩了x时，系统的机械能为 撤去F当A上升到最高处即弹簧较其自然长度再伸长时，系统的机械能图4-7-7为 A在x处时，其受力满足 ，以式的代入上式，乃有 当F撤去A上升到处时，弹簧的弹力大小为，设此时B受到地面的支持力为N，则对于B应有 要B对地无压力，即N=0，则上式变为 因为A由x处上升至处的过程中，对此系统无外力和耗散力作功，则其机械能守恒，即 = 联立解式，可得 。 显然，要出现B对地无压力的情况，应为（。当F=（时，刚好能出现B对地无压力的情况，但B不会离开地面；当F（时，B将出现离开地面向上跳起的情况。