2020届四川省达州市高三第一次诊断性测试数学(理)试题(解析版)

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1、2020届四川省达州市高三第一次诊断性测试试题数学(理)一、单选题1 .设集合 A x 1 x 2 , B 1,0,1,2,3 ，则 AI B ()A. -1,0,1,2B. 0,1,2C. 0,1D. x 1 x 2,或 x 3【答案】B【解析】直接根据交集的概念进行运算即可【详解】因为 A x 1 x 2 , B 1,0,1,2,3 ,所以 AI B 0,1,2.故选:B【点睛】本题考查了交集的运算，属于基础题.2 .若向量a 4,2 , b 6,k ,则a/b的充要条件是()A. k 12B. k 12C. k 3D. k 3【答案】D【解析】直接根据向量共线的坐标表示即可得到【详解】因

2、为向量a4,2 , b 6,k ,所以 a/b4k 2 6 0k 3.故选:D,【点睛】本题考查了向量共线的坐标表示，充要条件，属于基础题.向量共线的坐标表示应该熟练掌握.3 .在30名运动员和6名教练员中用分层抽样的方法共抽取n人参加新闻发布会，若抽取的n人中教练员只有1人，则n ()A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】B【解析】先求得抽样比，再用总体中教练员人数乘以抽样比得样本中教练员人数列方程可解得.【详解】依题意可得抽样比为,30 6 36所以有6三1,解得n 6.36故选：B【点睛】本题考查了分层抽样，利用抽样比解决是解题关键，属于基础题.4 .己知直线a, b, l ,平面 ，

3、下列结论中正确的是（）A.若 a, b ,l a, l b,贝 Ul B.若 a ,b/a,则 b/C.若,a ，则 ad.若 / , l ，则 l【答案】D【解析】根据直线与平面垂直 ，直线与平面平行，平面与平面平行和垂直的的判定，性质逐个分析可得答案.【详解】对于A,根据直线与平面垂直的判定定理，还差直线a与直线b相交这个条件，故A不正确；对于B ,直线b也有可能在平面内，故B不正确；对于C ,直线a可能在平面内，可能与平面平行，可能与平面相交但不垂直；故C不正确；对于D ,在平面内取两条相交直线 m,n,则l m,ln,过m,n分别作平面与平面相交于m,n,则m/m,n/n ,且m,n必

4、相交，所以l m,l n,所以l ，故D正确.故选:D【点睛】本题考查了直线与平面平行，垂直，平面与平面平行，垂直的判定，性质，熟练掌握线面，面面平行与垂直的判定与性质是解题关键，属于基础题.5 .若 a 0.30.2, b 10g 0.1 2, c 0.3 0.1 ,则 a , b, c 的大小关系为（）A. cabB. b a cC. a c bD. b c a【答案】A【解析】根据对数的性质可得 b 0,根据指数函数y 0.3x的单调性可得c a 0,由此可得答案.【详解】因为 0 0.1 1,21,所以 b logo.i2 0,因为0 0.3 1,所以指数函数y 0.3x为递减函数，又

5、-0.10.2,所以 0.3 0.10.30.20,即 c a 0,综上所述，c a b.故选:A本题考查了利用对数的性质，指数函数的单调性比较大小，属于基础题6 一， 1 一一 6 .二项式 x 1 的展开式中，常数项是()A. 20B. 120C. 15D. 30【答案】A【解析】写出二项展开式的通项公式后 ，令x=0，解得r 3,再根据通项公式可求得常数 项.【详解】6因为二项式 X - 的展开式的通项公式为 Tr 1 C6x6 r (1)r c6x6 2rxx(r 0,123,4,5,6)令6 2r 0,解得r 3, 6 o 6 5 4所以二项式 x - 的展开式中的常数项为 C63

6、20.x3 2 1故选:A【点睛】本题考查了利用二项展开式的通项公式求指定项题.,利用通项公式是解题关键，属于基础7.已知直线yx 3与圆x2 y2 2x 2y 0相交于A, B两点，则AB (A. _rB. 3C. 6D. 2【答案】C【解析】由圆的方程可得圆心坐标和半径 ，根据点到直线的距离求得圆心到直线的距离，根据勾股定理可求得答案.【详解】由X2 y2 2x 2y 0得（x 1）2 （y 1）2 2 ,所以圆心为（1,1）,半径为J2，由 y x3 得 x y 3 0,由圆心到直线的距离公式得|1二*| -y，由勾股定理可得 幽 2）2 （ 2）2 _6, 2122所以|AB| 6 .

7、故选:C.【点睛】本题考查了根据圆的方程求圆心坐标和半径，点到直线的距离公式，圆中的勾股定理，利用圆中的勾股定理是解题关键 .8.斗拱是中国古典建筑最富装饰性的构件之一，并为中国所特有，图一图二是斗拱实物图，图三是斗拱构件之一的 “斗”的几何体，本图中的斗是由棱台与长方体形凹槽 （长 方体去掉一个小长方体） 组成.若棱台两底面面积分别是 400cm2, 900cm2,高为9cm, 长方体形凹槽的体积为 4300cm3,斗的密度是0.70g / cm3 .那么这个斗的质量是（） 注：台体体积公式是 V 1 S SS S h.3【答案】C【解析】根据台体的体积公式求得台体体积，再加上长方体形凹槽的

8、体积得这个斗的体积,然后乘以这个斗的密度可得这个斗的质量.【详解】1 一根据棱台的体积公式可得棱台的体积为(400 400 900 900) 9 5700 cm3 ,3所以这个斗的质量为 5700 4300 10000 cm3,所以这个斗的质量为 10000 0.70 7000 g.故选:C.【点睛】9.若实数xxy满足yx本题考查了棱台的体积公式，属于基础题.0,1, ，则2x y的最大值为()5y 1 0.A. 2B.C. 7D. 9【解析】作出可行域，根据斜率关系找到最优解，代入最优解的坐标可得答案作出可行域如图所示将目标函数化为斜截式为 y 2x z,x 5y 1 0,由图可知最优解为

9、 M,联立，得x 4,yy 1所以 M(4, 1),将 x 4, y1 代入 z 2x y,得 Zmin2 4 ( 1) 9.故选：D【点睛】本题考查了利用线性规划求最值,根据斜率找到最优解是解题关键，属于基础题.1210.已知函数f x -ax 2ax In x在区间0,2上为增函数，则实数 a的取值范围是（）A.0,1B. 0,C. 1,D.1,1【解析】将问题转化为 f（x） 0,即a一在区间（0, 2x）上恒成立，再根据 0可得答案.x2 2x【详解】12因为 f x ax 2ax In x, 2,1所以 f (x) ax 2a , x1 2因为函数f x -ax 2ax In x在区

10、间 0,上为增函数，2_1 _1所以ax 2a 0,即a2在区间(0,)上恒成立，xx 2x因为y x2 2x (x 1)2 1在(0,)上递增，21所以x2 2x 0,所以 -0,x2 2x所以a 0.故选:B.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性考查了不等式恒成立问题,考查了转化划归思想，属于中档题11 .已知A是双曲线D : x2351右支上一点，B、 C分别是双曲线 D的左、右焦一一 sin2B点。记 ABC的内角为A, B, C,当AC 8时，s（）sin AA. 1B. 、2C. .3D. 2【答案】A【解析】根据双曲线方程，AC| 8以及双曲线的定义可求出三角形ABC的三边

11、长，然后在三角形ABC中由余弦定理求出 cosB,最后利用二倍角正弦公式和正弦定理可求得答案.2由X2工1得a351,b 735，所以 cJT5 6,所以 BC 12所以AB AC 2a2 ,所以ABAC10,所以cosBAB2BC2 AC2100144 642 AB AC2 1012所以sin2B sin A2sin BcosBsin A2AC cosBBc故选:A本题考查了由双曲线方程求a,b,c,考查了双曲线的定义，考查了余弦定理，考查了正弦定理角化边，属于中档题.12.过抛物线C： y2 4x焦点的直线交该抛物线 C于点A, B,与抛物线C的准线交于点P ,如图所示，则urnPAuuB

12、的最小值是(A. 8B. 12C. 16D. 18【答案】C【解析】设直线 AB的方程为y k(x 1)与抛物线方程联立，根据韦达定理以及向量的 数量积坐标表示求得PA Pb ,再根据基本不等式可求得最小值.【详解】因为双曲线的焦点 F(1,0),所以设直线AB的方程为y k(x 1), A(xi,y) Bd*)，则P( 1, 2k),将y k(x 1)代入到y22 2224x,整理得 kx (2k4)x k 0,_ 22k 4 c 4x22 22 , x1x2kkk2k1所以yy2k(x1 1) k(x2 1) k(x1 x2) 2ky1y2、4% 4x216印2164,uuu uur所以

13、PA PB (x 1,y1 2k) (x2 1, y2 2k)区 1)(x2 1) (y1 2k)(y2 2k)2xx2 x x2 1 y1y2 2k(y y?) 4k4421 2万14 2k4k2k2k4k2 8 2.1-42 4k2 8 8 8 16,当且仅当 二 4k2,即 k1 时取得等k. kk2号.故选:C本题考查了直线与抛物线相交,韦达定理，向量的数量积的坐标表示，基本不等式等知识，属于中档题二、填空题13.己知随机变量y与x有相关关系? 2x 1,当x 3时，y的预报值为【答案】7【解析】将x 3代入到？ 2x 1,即可得到答案.【详解】在？ 2x 1 中，由 x 3得 y 2

14、 3 1 7.故答案为：7【点睛】本题考查了线性回归分析，本题属于基础题.14 .复数的实部为.2 i【答案】65【解析】利用复数的乘除法计算可得答案【详解】因为 33(2 i) 32 i (2 i)(2 i) 4 16 3.i,5 5所以复数的实部为-.2 i5故答案为：6.5【点睛】本题考查了复数的乘除法运算以及复数的概念，属于基础题15.已知函数f x 2sin x0,0 图象的相邻两条对称轴的距离2为一，且f 一2 ,则f 2128【解析】根据相邻两条对称轴的距离为再计算可得答案.【详解】一,求出周期，可得，根据f 2,可得212因为函数f x 2sin x0,0 一图象的相邻两条对称

15、轴的距离为22所以周期T 2 -，所以22T2,所以 f(x) 2sin(2 x ),2,得2sin(2 一 122,得 sin(-) 1,一,所以 -,所以 f(x) 2sin(2 x23所以 f(一) 2sin(2 )88 32(sin cos4cos-sin-) 2(11 1 11 B 工 34322222故答案为：.2 .62【点睛】本题考查了正弦函数的对称轴，周期，两角和的正弦公式，属于中档题.16 . f x是定义域为R的偶函数，对 x R,都有f x 4时，f x2x 1,0 x10g2 x 1,11,9 f 212【答案】,24,再根据偶函数性质和周期可求得答案【解析】先由已知

16、等式和偶函数推出周期为因为f x是定义域为R的偶函数，所以f x 4 f x f(x),所以周期T 4,19911所以 f( 2)f(-)f(4 2) f(-) 22 12 1,f (21) f (4 5 1) f (1) log21 1 1,9L所以 f - f 212 1 1、, 2 .故答案为:3.【点睛】本题考查了函数的奇偶性，周期性，利用周期将自变量转化为已知范围后，利用分段函数 解析式求值是解题关键，本题属于中档题.三、解答题17 .如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是正方形，PD 底面ABCD ,点E 是PC的中点.(1)求证：PA/平而EDB ;(2)若PD AD 2,

17、求二而角C ED B的余弦值.【答案】(1)详见解析；(2)1.【解析】(1)连接AC与BD相交于F ,连接EF，利用中位线证EF/PA,再根据判定定理证明PA/平而EDB;(2)以D为原点，DUU，品，DP分别为x, y, z轴的正方向建立空间直角坐标系D xyz .再根据法向量可求得结果 【详解】(1)证明：连接 AC与BD相交于F ,连接EF .Q底面ABCD是正方形,F为AC中点，又E是PC的中点,EF /PA ,Q PA 平面 EDB , EF 平面 EDB ,PA/平面 EDB .(2)解：以D为原点,uuuDA，uuirDC，y, z轴的正方向建立空间直角坐标系D xyz.Q P

18、D AD 2,D 0,0,0E 0,1,1B 2,2,0r取平面CED的一个法向量n11,0,0 .r设平面EDB的一个法向量为n2x,y,z .uuruuur由 DE 0,1,1 , DB 2,2,0 得y z 0,2x 2y 0,r不妨令z 1,解得x 1, y 1 ,即n21, 1,1 ,r rr r n1n21 1.3cos n1, n2-r r- 2 二.n1 n2| 1 i 121123二面角C ED B的余弦值为叵3【点睛】本题考查了直线与平面平行的判定定理，找线线平行是解题关键，考查了向量法求二面角，转化为两个平面的法向量求解是解题关键，属于中档题.18 .我国已进入新时代中国

19、特色社会主义时期，人民生活水平不断提高，某市随机统计了城区若干户市民十月人均生活支出比九月人均生活支出增加量(记为P元)的情况,并根据统计数据制成如下频率分布直方图.ur(1)根据频率分布直方图估算P的平均值P ；(2)视样本中的频率为概率，现从该市所有住户中随机抽取3次，每次抽取1户，每次抽取相互独立，设 为抽出3户中P值不低于65元的户数，求 的分布列和期望 E .【答案】(1) 48； (2)详见解析.【解析】(1)利用每个矩形的面积乘以该段的中点值，再相加即可得到；(2)分析可知B 3,0.1，利用二项分布的分布列和期望可得.【详解】解：(1) P 30 0.014 40 0.026

20、50 0.036 60 0.014 70 0.0110 48(2)由已知，三次随机抽取为3次独立重复试验，且每次抽取到十月人均生活支出增加不低于65元的的概率为0.1,则 B 3,0.1 , P iC； 0.1i 0.93 i i 012 ,3 .P 00.729, P 10.243, P 20.027, P 30.001.E的分布列为0123P0.7290.2430.0270.001E 3 0.1 0.3.本题考查了利用频率分布直方图求平均值考查了二项分布的分布列和期望，属于中档n2 n n N【答案】(1)详见解析；(2) sn2n 119.己知数列 an满足a1 1, nan 1 2 n

21、 1 an(1)求证：数列包1为等比数歹U： n(2)求数列 an的前n项和Sn.a一“【解析】(1)在已知等式两边同除以n n 1，然后变形为1An 1(2)得到ann 2n n后，利用分组求和，错位相减法可求得Sn解：（1）由 nan 1 2 n 1 an2n n两边同除以n n 1得an 1anan1 212 2n 1Q a1 1 2 01，an 1 0 , nan 1 i2,亘1 na数列 -n 1是以2为首项，2为公比的等比数列 n(2)由(1)有 an 1 2n, nn an n 2 n.Sn 1 21 2 22 L n 2n 1 2 3 L n1 21 2 22 L2n令 Tn

22、1 212 22 L n 2n ,2Tn 1 22 2 23 3 24 Ln 2n 1Tn2 22 23 L2 1 2n1 2n 2n 11 n 2n 1 2,n 1Tnn 1 22.Sn本题考查了利用定义证明等比数列，考查了分组求和,考查了错位相减法求和，属于中档220.已知椭圆C : x-2 -2-yy 1 a b 0 过点 A b2F2 c,0 c 0为焦点,椭圆C的离心率为2(1)求实数c的值;(2)过左焦点E的直线l与椭圆C相交于B、D两点，O为坐标原点，问椭圆 C上是否存在点P,使线段BD和线段OP相互平分？若存在，求出点 P的坐标，若不存在, 说明理由。【答案】（1） 1; （2

23、）存在p使线段BD和OP相互平分，其坐标为【解析】（1）根据椭圆过点，离心率以及c2a2 b2,列方程组可得答案；（2）假设存在点P满足题意，设出直线BD的方程，代入椭圆方程，根据韦达定理得到中点坐标，根据线段BD和线段OP相互平分，得到点P的坐标，将点P的坐标代入椭圆方程即可得到答案【详解】2解：（1） Q椭圆方程为x2 ay- 1 (a b 0)过点 A 1, ， b221121 .a2bQ F1c,0 , F2 c,00为椭圆C的焦点，椭圆C的离心率为c , c2a2 b2.解得 a 亚，b 1,a 2c 1.2(2)由(1)有椭圆C的方程为x- y2 1 , F11,0假设存在点P满足

24、题意，且BD和OP相交于点Q x0,y0则 P(2x0,2y0), xx x2y y2F、y当直线l与x轴重合时，不满足题意.设直线l的方程为xtyA X,%B X2,y2 .x ty 1联立y2 1得t2y2 2ty0,y1y22t2 t212 t2 .ty。1t22 t222 12 t228将 P(2x0,2y0)代入,y2 1有 224t221t2、2解得 tJ2，p1,5-，或 p 1,故存在P使线段BD和OP相互平分，其坐标为【点睛】本题考查了椭圆的标准方程,考查了直线与椭圆的交点问题 ，抓住OP与BD共中点是解题关键，属于中档题.21 .已知f(1)当 m2时，求函数f x在点0,

25、 f 0处的切线方程;(2)若函数f x在区间 1,0上有极小值点，且总存在实数m ,使函数X的极2m小值与2 am互为相反数，求实数a的取值范围.2【答案】(1) x y 2 0； (2)-,ee .2 2e 2【解析】(1)利用导数的几何意义可得切线的斜率，根据点斜式可得切线方程(2)根据导数求出函数的极小值和极小值点m 1，由1 m 1 0, 01.,根2m据极小值与 可口互为相反数可得 2 a2 a 1 e2memem2e,再构造函数求解：(1)所以,2meme2时,函数Zen L 过得值域即可得到答案.x在点0,f0处的切线方程为y 2(2),m时，f0, x m 1, 时，f x

26、0,ex得函数f x在区间,m 1上单调递减，在区间 m 1,单调递增,函数f x的极小值点为m 1.由已知 1 m 1 0,0 m 1.m 1f x极小 f m 1 e2m故在区间 0,1上存在m ,使得由1 0 .2 a 1 e2m mc e 2e2a 0 m 1me m2m me 2em / 2mme 1 e 2 1 me当 0 m 1 时，g m m2 0,em me2 2e e 1 函数g m在区间0,1上递增,当0 m 1时，g 01e2 2e一 a 22e 2所以，实数a的取值范围是1 e2 2e2, 2e 2本题考查了导数的几何意义,函数的极值，利用导数研究函数的单调性，利用单

27、调性解决问题是关键，属于中档题.22.在新中国成立70周年国庆阅兵庆典中，众多群众在脸上贴着一颗红心，以此表达 对祖国的热爱之情.在数学中，有多种方程都可以表示心型曲线，其中有著名的笛卡尔心型曲线.如图，在直角坐标系中，以原点。为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系。图中的曲线就是笛卡尔心型曲线，其极坐标方程为1 sin (p 1 sin ,0),M为该曲线上的任意一点3(1)当OM 时，求M点的极坐标;2(2)将射线OM绕原点O逆时针旋转一与该曲线相交于点 N2,求MN的最大值.【答案】(1)116（2） 22 1.【解析】(1)将32代入sin解得即可得到答案；(2)由题意可设.,将它们代入

28、到1 sin ,得到1, 2 ,再利用勾股定理和三角函数性质可求得答案解：(1)设点M在极坐标系中的坐标sin/曰3 ,得一2sinsin116所以点M的极坐标为3 112，6(2)由题意可设M2, 2sinsin 2cosMN221 sin 1 cos3 2 sin cos3 2,2sin 4一 5._故 了时，MN的最大值为22 1.【点睛】本题考查极径的几何意义，三角函数的性质，利用极径的几何意义是解题关键，属于基础题.23.己知函数f x x 1 2x1.(1)求不等式f x x 5的解集；(2)若 x1 x2 1,求证：f x1 x2f 2x13.【答案】(1), 1 U 3,； (

29、2)详见解析.【解析】(1)分段讨论去绝对值可解得 ；(2)根据绝对值三角不等式可证 .【详解】3x 1, x 1, (1)解：f x x 1 2x1 x 3,1x1,3x 1, x 1.当x 1时，由f x x 5,得3x 1 x 5,解得x 1.当1x1时，由fx x5,得x3x5,此时无解.当x 1时，由f x x 5,得3x 1 x 5,解得x 3.综上所述，f x x 5的解集为，1 U 3,.(2)证明：Q x1 x21 ,fxx2f2x1x1x212 x1x212x2122x21x1 x2 1 2x2 12 x1 x2 1 2x2 13 x1 x2 3.【点睛】本题考查了分类讨论去绝对值解绝对值不等式，考查了绝对值三角不等式，属于基础题.