2020届江西省红色七校高三第一次联考数学(理)试题(解析版)

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1、2020届江西省红色七校高三第一次联考数学(理)试题一、单选题21 .已知集合 A x|x 2x 3 0 ,集合 B x| y JXF,则 CrA UB( )A. x| 1 轰!x 3 b . x | x 3 C. x|x 1 D. x|x 1【答案】D【解析】先解一元二次不等式求出集合A,根据函数定义域的要求求出集合B ,再通过补集与并集的运算，可得到本题答案.【详解】由x2 2x 3 0得x 1或x 3,从而CrA x| 1 x 3 ,由x 1 0,得集合B x|x 1,从而 CrA UB x|x 1.故选：D【点睛】本题考查了集合的补集与并集的运算，以及一元二次不等式的求解，属于基础题.

2、2 .设复数1= y - X+ I ,贝 U Hz) - (ja. iB. - i|C. - I + iD . I + I【答案】a【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简，代入函数解析式求解.解:.1-1(1-1)-7 -R-i) = (-i) -1【点睛】 本题考查复数代数形式的乘除运算，属于基础题.3 .命题p :曲线16y2 x的焦点为4,0 ；命题q :曲线x2 4y2 1的离心率为 二；2则下列为真命题的是()A. p qB. p qC. p ( q)D. ( p) ( q)【答案】B【解析】把抛物线方程化为标准方程，可直接写出其焦点坐标；把双曲线方程化为标准方程，可知道a,b,c并

3、求出其离心率，先判断命题p与命题q的真假，再根据真值表 判断复合命题的真假，即可得到本题答案2命题p中，曲线方程可化为yX,其焦点坐标为(工,0),所以P为假命题, 166422 y .x 1为真命题；命题 q中，曲线方程可化为1,对应的p q为真命题.a 1,c J1 We ,所以q为真命题，所以；42 a 2故选：B.本题主要考查复合命题真假性的判断,主要涉及到抛物线的焦点坐标与双曲线的离心率问题，属于基础题.uuv uuv4.在 ABC 中，AB ACuuv uuvAB AC , ABuuu uuv4, AC 3 ,则BC在CA方向上的投影是()B. 3C.-4【解析】分析：根据平面向量

4、的数量积可得uuu uuruuu uurAB AC ,再结合图形求出 BC与CA方向上的投影即可详解：如图所示:uuv uuvAB AC 0,uuu uuur AB AC ,又 AB 4 , AC 3,uuuv uuuuuvACB BC cos ACB 3,BC在CA方向上的投影是:uuu/uuu/ uuv uuuvBC cos BC, CA BC cos故选：D.点睛：本题考查了平面向量的数量积以及投影的应用问题，也考查了数形结合思想的应用问题.5.若 a, b , C,满足 2a 3, b log2 5 , 3c 2,贝 ()A. c a bB.bcaC. a b cD. c b a【解析

5、】分析：先利用指数函数的单调性确定a,c的取值范围，再通过对数函数的单调性确定b的范围，进而比较三个数的大小.详解：因为2a 3 (2,22),所以1 a 2,c因为 32 （1,3）,所以0 c 1,又 b log 2 5 log 2 4 2,所以c a b.点睛：本题考查指数函数的单调性、对数函数的单调性等知识，意在考查学生的逻辑思 维能力.6 .下表是鞋子的长度与对应码数的关系长度（cm）2424.52525.52626.5码数383940414243如果人的身高y cm与脚板长x cm呈线性相关且回归直线方程为y 7x 7.6.若某人的身高为173 ,据此模型，估计其穿的鞋子的码数为（

6、）A. 40B. 41C. 42D . 43【答案】C【解析】把人的身高代入方程y 7x 7.6,可求出脚板长，再查表可得到本题的答案 .【详解】令y 173代入直线方程y 7x 7.6,解得x 25.8,所以脚板长为25.8（cm）,查表得穿的鞋子的码数应为 42.故选：C【点睛】本题主要考查线性回归方程的简单应用，属于基础题3x7 .函数f（x） 7 （其中e为自然对数的底数）在 6,6的图像大致为（）e eA .C.【答案】A【解析】利用函数的奇偶性、特殊值以及最大值进行判断排除选项，可得本题的答案.【详解】(x)3x3Q f( x) (x ) x -一xf(x)，f(x)为奇函数，故其

7、函数图象关于原点对e e e +e称，故选项D不正确；显然，当 x 0时，f(x) 0 ,故选项C不正确；当x 3时,33f (3)33 1,而选项B的最大值小于1,故选项B不正确；所以通过排除法，e e可得本题的答案为 A.故选：A【点睛】本题主要考查函数图象的识别，充分利用函数的性质去判断是解决本题的关键*8 .在正项数列 an中，a1 2 ,且点P ln an，ln an 1 n N 位于直线x y ln 2 0上.若数列an的前n项和Sn满足Sn 200,则n的最小值为()A. 2B.5C. 6D . 7【答案】D【解析】点P代入直线方程化简可得&为等比数列，写出数列的前n项和公式，解

8、不等式可得本题的答案.【详解】an 1n由题意得，ln an lnan 1 ln2 0 ,化简得 2 ,则a。 2 (n N ),所以an2(1 2 ) 2(2n 1) QSn 200,2(2n 1) 200 ,得 2n 101 ,贝U n 的1 2最小值为7.故选：D【点睛】本题主要考查等比数列的前n项和公式以及简单的不等式求解，属于基础题9.如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某三棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的外接球的表面积为()A. 4B. 6C. 8D . 12【答案】B【解析】三棱锥的外接球即为长方体的外接球，求出长方体的外接球表面积，即可得到 本题的答案.【详解】在长为

9、1,宽为1,高为2的长方体画出该三棱锥的直观图，如图中三棱锥 A-BCD.该12 12 22、6 广 小一三棱锥的外接球即为长方体的外接球，故球的半径R 1一 ,所以外接球的表面积S 4 R2 4 ()262故选：B【点睛】本题主要考查由三视图还原几何体，以及几何体外接球的表面积计算，难度适中.10 .若函数f(x) Asin( x ) (其中A 0, I I万)图象的一个对称中心为(-。)，其相邻一条对称轴方程为x ,该对称轴处所对应的函数值为1,为了得到12g(x) cos2x的图象，则只要将 f(x)的图象()A向右平移6个单位长度B向左平移而个单位长度C.向左平移 不个单位长度6D向右

10、平移行个单位长度【解析】由函数的图象的顶点坐标求出A,由周期求出，由五点法作图求出的值,可得f x的解析式，再根据函数y Asin x的图象变换规律，诱导公式，得出结论.根据已知函数 f x Asin x(其中A 0,一)的图象过点二,0 ,77， 123127_1231 2可得A 1 ,4解得： 2.再根据五点法作图可得2 3可得:可得函数解析式为：f x sin 2x .3故把f x sin 2x 一 的图象向左平移 一个单位长度， 312可得y sin 2x 一 cos2x的图象，36故选B.【点睛】本题主要考查由函数 y Asin x的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A,由

11、周期求出，由五点法作图求出的值，函数y Asin x 的图象 变换规律，诱导公式的应用，属于中档题.11 .我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的b d算法，其理论依据是：设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为 一和一a cb d(a,b, c,d N),则是x的更为精确的不足近似值或过剩近似值.我们知道e 2.71828a c27-e1014,则第一次用“调日法”后得541 ，一 ，一是e的更为精确的15过剩近似值，即27104115，若每次都取最简分数，那么第三次用“调日法”后可得e的近似分数为109A .40B.682519C.一78732【解析】利用“调

12、日法”进行计算到第三次，即可得到本题答案4, 41 ，一 ，第一次用“调日法” 后得一是e的更为精确的过剩近似值,152768“调日法”后得一是e的更为精确的过剩近似值,25后得19是e的更为精确的不足近似值，即 19 e7727即一106825 106825，41一；第二次用15第三次用“调日法”19所以答案为一7故选：C【点睛】本题考查“调日法”,主要考查学生的计算能力，属于基础题12 .若函数f x x JX alnx在区间1,上存在零点，则实数 a的取值范围为A-0，2B.1,e2C. 0,【解析】利用导数研究函数f (x)在(1,、1-、)上的单调性，当a0万时，f(x)在(1,)上

13、为增函数,1且f(x) f(1) 0,即可判断其没有零点，不符合条件；当 a万时，f(x)在(1,)上先减后增，有最小值且小于零，再结合募函数和对数函数的增长速度大小关系，即可判断当x趋于 时，f(x)趋于 ，由零点存在性定理即可判断其必有零点，符合题意，从而确定a的范围.因为函数f x x Jx alnx,所以f (x) 1_1_ a2.x x2x x 2a2x令 g(x) 2xVx 2a ,因为 g (x)2,x4、. x 12 x当 x (1,)时，4五 1 0,2Vx 0,所以 g(x) 0所以g(x)在(1,)上为增函数，则g(x) g(1) 1 2a,当1 2a 0时，g(x) 0

14、,所以f(x) 0,所以f(x)在(1,)上为增函数,则f (x)f(1) 0,所以f(x)在(1,)上没有零点.1当1 2a 0时，即a 2,因为g(x)在(1,)上为增函数，则存在唯一的X0 (1,)，使得 g(Xo) 0,且当 x (1,Xo)时，g(x) 0,当 x (Xo,)时，g(x) 0；所以当 x (1,x)时，f (x) 0, f(x)为减函数，当 x (xo,)时，f (x) 0, f(x)为增函数，当x x0时，fmin(x) f (x0),因为f(x0) f (1) 0,当x趋于 时，f(x)趋于 ，所以在x (x,)内，f(x)一定存在一个零点.，1、所以a (-,)

15、, 2故答案选D.【点睛】本题主要考查了导数在函数零点存在性问题中的应用，属于难题.对于零点存在性问题，有两种思考方向：(1)直接利用导数研究函数单调性，结合零点存在性定理，讨论函数零点的情况；(2 )先将函数零点问题等价转化为两个函数图像的交点问题，再利用导数，并结合函数图像讨论两函数交点情况，从而确定函数零点的情况二、填空题y 0,13.若x, y满足x y 1 0,则z x 2y的最大值为 x y 1 0,【答案】1【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案.【详解】y 0解：由x, y满足x y 1 0作出可行域如图

16、，x y 1 0,联立0彳c ,解得A (1, 0)y 1 0函数z = x - 2y为yz一,由图可知,2当直线y - 4过A时，直线在y轴上的截距最小,2 2z的最大值为:本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题.14. (x 2y 1)(2x y)6展开式中x4y3的系数为 L【答案】-320【解析】先求(2x y)6展开式的通项公式 丁.1,再求(* 2y 1)(2x.4 34 3含x y的项，最后求展开式中 x y的系数.【详解】一 . _6r 6 r r _易知(2x y)展开式的通项公式为 Tr 1 C6(2x) y ,所以(x 2y展开式中含x4y3的项为x

17、 Cf3(2x)3y3与(2y) Ce(2x)4y2,所以(x 2y 1)(2x y)6展开式中x4y3的系数为C63 23 2 C； 24 160 480320.故答案为：-320【点睛】y)6的展开式中1)(2x y)6 的本题主要考查二项式定理的应用，考查学生的运算求解能力15 .如图所示的程序框图，满足 |x| |y| 2的输出有序实数对x,y的概率为【解析】程序框图表示的含义是：正方形内的点出现在阴影部分的概率，求出阴影部分的面积与正方形的面积之比，即可得到本题答案程序框图表示的含义是： 正方形内的点出现在阴影部分的概率，而对应的概率等于阴影3部分面积与正万形面积之比，因为y x是奇

18、函数，所以其图象关于原点对称，并且正1方形是中心对称图形，故阴影部分面积与正方形面积之比为：一.2，1故答案为：-【点睛】本题主要考查程序框图和几何概型，画出其对应的图形是解决本题的关键216 .双曲线C:x2 y- 1的左、右焦点分别为 Fi、F2,点P在C上且 3tan F1PF2 4J3, O 为坐标原点，则 10P 1 .【答案】,5b2 SL 【解析】先根据双曲线的焦点三角形公式FiPF2,求出三角形面积，然后求yp,tan 一2把yp代入x21,求得Xp,最后根据勾股定理，可得到本题的答案设点 p（XP,yp）F1PF2,贝U tan4近,Q tantan22tan2- 4.31

19、tan2 一2tan ,又 Q a 1,b V3, c 2 , 22S F1PF2b2tan 一22.3， y -一工一八 一r,r .,如下图，过点 P作x轴垂线，垂足为 M ,则有S F1PF212|F1F2 11PM |141PMi22石，所以| PM | 73 ,即| yP |石,2 yP23，代入 x21 得，XP3|OP| |PM |2 |OM |232 、5故答案为：5【点睛】难度适中本题主要考查双曲线的焦点三角形问题，主要考查学生的计算能力,三、解答题17 .在 ABC中，A,B,C对应的边为a,b,c ,已知acosC(1)求角A的值;(2)若 b 4, c 6,求 cosB

20、 的值.厂【答案】(1) A 二；(2) cosB 37【解析】(1)通过正弦定理边角转化以及sin Bsin A C可求得角A；(2)用余弦定理求边a ,再用余弦定理求角 B.(1)由条件acosCb ,得 sin AcosC1.八 .-一 sin Csin B ,2又由sin Bsin A- A C 1.得 sin AcosC - sin 2C sin AcosC cos A sin C .因为sin C0 ,得 cosA(2)在 ABC中，Q b4, c 6, A由余弦定理得,3a2 b2 c2 2bccos A=42+62-2 4 6cos 28 故 a 2J7 所以 3a2 c2 b

21、228+36-16 2 7cos B =2ac 2 2.7 67【点睛】本题主要考查利用正余弦定理求边角，属于基础题18 .如图1 ,梯形ABCD中，AB/ CD,过A, B分别作AE CD , BF CD ,垂 足分另I为E、F . AB AE 2 , CD 5 ,已知DE 1,将梯形ABCD沿AE , BF 同侧折起，得空间几何体 ADE- BCF ,如图2.S1图工(1)若 AF BD,证明：DE 平面 ABFE;(2)在(1)的条件下，若 DE/ CF ,求二面角D AF C的余弦值.【答案】(1)见解析；(2) 3【解析】(1)先证AF 平面BDE ,得到AF DE,结合AE DE

22、,可证得DE 平面 ABFE ; uuu uuir umr(2)以EA , EF , EF分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，求出面ADF与面ACF的法向量，利用夹角公式，求出两法向量夹角的余弦值，由图可知二面角D AF C为锐角，则它的余弦值为正值，即可得到本题答案【详解】(1)由已知得四边形 ABFE是正方形，且边长为 2,在图2中，AFXBE ,由已知得 AF BD , BE BD B ,，AF 平面BDE , 又 DE 平面 BDE, AF DE,又 AE DE , AE AF A , DE 平面 ABFE .(2)在图2中，由(1)知ED ,EA,EF两两垂直,unrE

23、F分别为x轴,y轴，z轴的正方向建立空间直角D 0,0,1uiu uun以E为坐标原点，以EA , EFuuurAF 2,2,0uuurADuur2,0,1 , FC 0,0,2.设平面ADF的一个法向量为Xi，yi,乙v nv nuuv AF uuv AD。得2x12x12%Z10rn 1,1,2 ,设平面ACFur的一个法向量为mX2，y2，Z2v m 由v muuv AF uuv FC02x2得02Z22y20ur 得m1,1,0ir r , cos m,nir r m n2 .63 .-tr-r-|m|n|由图可得，二面角 D AF C为锐角，所以它的余弦值为 3本题主要考查线面垂直的

24、证明以及利用向量法求二面角19 .已知数列an有an0,Sn是它白前n项和，a13且Sn23n2anS21 ,n2(1)求证：数列 an an 1为等差数列.(2)求an的前n项和Sn.c 32【答案】(1)见解析；(2) Sn n n22【解析】(1)先化简已知得(Sn Sn 1) 3n , (Sni Sn) 3(n 1),再求出an an i=6n 3 ,再证明数列 an an i为等差数列；(2)对n分奇数和偶数两种情 况讨论得解.【详解】2- 222_(1 )当 n 2 时，Sn3n an Sn 1 ,(Sn Sn 1 )(Sn Sn 1 ) 3n an , an 0所以(Sn Sn1

25、)3n2, (Sn1 5) 3(n 1)2,两式对应相减得an an 13(2n 1),所以(an an 1)-( an 1 an) 6n 3 (6n 3) 62又 n=2 时，(3+az)12a2 9, a2 6所以a3 9 ,所以(a2 a3)-( a a?) 6 9 (6+3)6,所以数列 an an 1为等差数列.(2)当n为偶数时,Sn (a a2) a4)L(an1 an) 3(3 7 L(2n 1)n(3 2n 1)3 22当n为奇数时,Sna (a2 a3) L (an 1 an)n 1(5 2n 1) 3323 3(5 9 L (2n 1) 3 3-(n n 2) 3综上：S

26、n n2 n2本题主要考查等差数列性质的证明,考查等差数列求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力20 .随着小汽车的普及，“驾驶证”已经成为现代人“必考”的证件之一.若某人报名参加了驾驶证考试，要顺利地拿到驾驶证，他需要通过四个科目的考试，其中科目二为场地考试.在一次报名中，每个学员有 5次参加科目二考试的机会（这5次考试机会中任何一次通过考试， 就算顺利通过，即进入下一科目考试；若5次都没有通过，则需重新报名），其中前2次参加科目二考试免费，若前 2次都没有通过，则以后每次参加科目二考试都需要交 200元的补考费.某驾校对以往2000个学员第1次参加科目二考试进行了统计，得

27、到下表：考试情况男学员女学员第1次考科目二人数1200800第1次通过科目二人数960600第1次未通过科目二人数240200若以上表得到的男、女学员第1次通过科目二考试的频率分别作为此驾校男、女学员每次通过科目二考试的概率，且每人每次是否通过科目二考试相互独立.现有一对夫妻同时在此驾校报名参加了驾驶证考试，在本次报名中，若这对夫妻参加科目二考试的原则为：通过科目二考试或者用完所有机会为止（1 ）求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率；（2）若这对夫妻前2次参加科目二考试均没有通过，记这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为X元，求X的分布列与数学期望.【答案

28、】（1）包；（2）见解析.10【解析】事件 Ai表示男学员在第i次考科目二通过，事件 Bi表示女学员在第i次考科目二通过（其中i 1,2,3,4,5 ）（1）这对夫妻是否通过科目二考试相互独立，利用独立事件乘法公式即可求得；（2）补考费用之和为 X元可能取值为400 , 600 , 800 , 1000 ,1200 ,根据题意可求相应的概率，进而可求X的数学期望.【详解】事件Ai表示男学员在第i次考科目二通过，事件B表示女学员在第i次考科目二通过（其中i 1,2,3,4,5）（1）事件M表示这对夫妻考科目二都不需要交补考费P M P AB1 A1B1B2AA2B1AA2B1B2P AB1P A

29、B1B2P A1A2B1P a1a2b1b2434131431413954544554554410(2)X 的可能取值为 400 , 600 , 800 , 1000 , 1200.P X 400 P A3B3P X 600P A3B3B4A3A4B34 13 14 3275 4 4 5 5 4 100P X 800P A3A4B3B4A3B3B4A3A4B314 13 41 1 311554 100 P X 1000 P A3A4可可A3A4B3B414 115 5 4 411135 5 4 47400P X 1200 P A3A4B3B4111115 5 4 4 400则X的分布列为:X4

30、00600800100012003271171P-51001004004003271171故 EX 400 600 800 1000 1200 510.5(元).5100100400400【点睛】本题以实际问题为素材，考查离散型随机变量的概率及期望，解题时要注意独立事件概 率公式的灵活运用，属于基础题21 .本本小题满分14分)2,一 一,已知椭圆中心在原点，焦点在x轴上，离心率e ，过椭圆的右焦点且垂直于长轴2的弦长为2.O到直线l的距离为坐，(I)求椭圆的标准方程;(n)已知直线 l与椭圆相交于 A、B两点，且坐标原点AOB的大小是否为定值？若是求出该定值，不是说明理由2【答案】(I) y

31、2 1 (n)AOB的大小为定值，且AOB=90o2试题分析(I ) 设椭圆方程为2y/ 1(a b 0). b因为e2,所以c . 2 a 21J2 一二据题意，点(C,2)在椭圆上，则cy 3 1,2ab是-4于11 -2- 1,解得 b 1.2 b2分因a V2c, a2 c2 b2 1,贝1Jc 1,a分故椭圆V2.5的方程为y2 1.当直线i的斜率不存在时，由坐标原点o到直线i的距离为Y6可知3(n)施，野)或以下 333,6OA OB 0,. AOB=90o,当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为kxm, A(xi, yi), B(x2, y2),原点O到直线l的距离为3,整理得3

32、m23一 2，、2(k1)()102 x 由2ykx1,得(2k2 1)x2m24kmx 2m0.11分2(4 km)_ 2_24(2k1)(2m一 一 一 22)8(2k1)，()式代入得232k2 830,或=16m2 812又24km2-，x1x22k 12m22k2乂丫2k2(kx1 m)( kx2 m)2 m2 2 ,4 km；km ；2k2 1 2k2 12k x,x2km(x1 x2) m2 2k2 2k2 1 .2m2 2y1y22k2 12k2 13m2 2k22k2 12 0,13分AOB=90o综上分析，AOB的大小为定值，且AOB=90o.14分【考点】本小题主要椭圆标

33、准方程的求解和直线与椭圆位置关系的判断和应用点评：解决直线与圆锥曲线的位置关系题目时，如果需要设直线方程，则不要漏掉直线斜率不存在的情况；联立直线方程与圆锥曲线方程后，不要忘记验证判别式大于零.1 222 .已知函数 f(x) - x 4x 31nx.(1)求函数f x的单调区间；(2)若 fXifx2fx3, Kx2x3,试证：x3X 4.【答案】(1)单调增区间为 0,1与3,减区间为1,3 ； (2)见解析【解析】(1)求导，令f x 0,可得增区间，令 f x 0,可得减区间，要注意函数定义域为 0,;(2)构造函数F(x) f (x) f(2 x), x 0,1 ,求导后得，F x

34、0在0,1上恒成立，即F(x) f (x) f (2 x)在0,1上单调递增，利用函数的单调性可得f(x)f(2x)在0,1上恒成立，因为f x2 f x f 2x1，所以x2 2x1，即 x1x22 ；同理，构造函数G(x)f(x) f(6x), x1,3 ,可证x2 x3 6，结合，结论可证.【详解】,一、 ，3 (x 1)(x 3)(1)由题设知函数 f x的定义域为 0, 且f (x) x 4 A- x x故当 x (0,1) (3,)时，f x 0；当 x 1,3 时，f x 0；所以f x的单调增区间为 0,1与3,减区间为1,3 ；(2)由(1)知：0 x1 1 x2 3 x3,

35、先证 x x2 2.构造函数 F(x) f (x) f (2 x), x 0,1一42则 F(x) f(x) f(2 x) (X 1)(X 3) (X 1)(X 1)6x2 x x(2 x)故F x 0在0,1上恒成立，即F(x) f (x) f (2 x)在0,1上单调递增所以 F(x) F(1) 0 f (x) f (2 x)在 0,1 上恒成立，又 K 0,1 ,得 f x2f % f 2 x1，又 x2,2 x1 (1,3)且函数 f x 在 1,3上单调递减故 x22 x1，即 x1 x22再证 x2 x3 6 .构造函数 G(x) f (x) f (6 x) , x 1,3 一- 一 一 2G(x) f(x) f(6 x) (x 1)(x 3) (x 5)(x 3) 22L21x6 x x(6 x)故G x 0在1,3上恒成立，即G(x) f (x) f(6 x)在1,3上单调递增所以 G(x) G(3) 0 f (x) f (6 x)在 1,3 上恒成立,又 x21,3 ,得 f x3f x2f 6 x2 ,又x3,6 x2 (3,)且函数f x在3,上单调递增故 x36 x2,即 x2 x3 6结合得：x344本题主要考查利用导数求单调区间以及通过构造函数证明不等式，难度较大