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1、自主招生华约试题解析、选择题15(1)设复数z满足|z| /ADC,而四边形 ABCD是圆内接四边形，所以/ ADC = 180 -ZB,所以/ D为钝角。这样就排除了 BB卜面证明所分出的三角形中至少有一个锐角三角形。假设A ABC中/ B是钝角，在 AC的另一侧一定还有其他顶点，我们就找在AC的另侧的相邻(指有公共边AC) AACD,则/ D = 180 -/B是锐角，这时如果或是钝角，我们用同样的方法继续找下去，则最后可以找到一个锐角三角形。所以答案是 二、解答题Do(m 已知不是耳角一角形.口)证明！ tan J + tan 5 4 tan C = tan J tin 5 tan C1
2、1ID若Ji tanC-1 =*“+tan ,且si1124 sin2治sin2匚的倒数成等差数列.tan AA-C解：(I) tanCtan(AB) tan A tan B ,整理得tan AtanB 1tan AtanBtanCtan AtanBtanC(II)由已知 73tan AtanCtan Atan Btan C与(I)比较知 tanB J3, B=。3sin 2A sin2csin2B2sin3sin 2A sin 2Csin2Asin 2c4,3sin( A C )cos( AC)cos2(A C) cos2(AC)13 ,而 sin( AC)sinB e 2cos2(A C)
3、 cos2B代入得2cos 2( AC)3cos( A C),.2 .4cos (A C) 3cos(AC) 1 0, cos(A C)1,1,(12)已知圆柱形水杯质量为 a克，其重心在圆柱轴的中点处(杯底厚度及重量忽略不 计，且水杯直立放置)。质量为b克的水恰好装满水杯，装满水后的水杯的重心还有 圆柱轴的中点处。(I)若b = 3a,求装入半杯水的水杯的重心到水杯底面的距离与水杯高的比值；(II)水杯内装多少克水可以使装入水后的水杯的重心最低为什么解：不妨设水杯高为 1。(I)这时，水杯质量 ：水的质量 =2:3。水杯的重心位置(我们用位置指到水,一，一，1，一 ，、1杯底面的距离)为 一
4、，水的重心位置为 一，所以装入半杯水的水杯的重心位置为24720(II)当装入水后的水杯的重心最低时，重心恰好位于水面上。设装x克水。这时,1水杯质重：水的质重 =a ： X。水杯的重心位置为 一,2水的重心位置为,水面2b位置为-,于是b2bXxa2 ab一，一 ,，2x(13)已知函数f(x) ,ax b1,20令3Xi12Xnf (Xn)。(I)求数列Xn的通项公式;(II)证明 X1X2|xn 1一,一 一 1解：由 f(1) 1, f (-)1- O2e2/日东ra31,f(x)2xx 1(I)先求出Xi1 2X223X3X4Xn2n 12n用数学归纳法证明。当n显然成立假设n=k显
5、然成立，即Xk2k 1三一，则2k 1 1Xk 1f(Xk)2XkXk 12k2k得证。(II)我们证明1X1X2)|Xn 12e。事实上,1X1X2Xn 12(111 J 1-)(1 -) (1 f)。24 12我们注意到1X1X2Xn 11 2a (1 a)2,|,1 2na(1 a)2n，于是1 2n 12 11 2n 11 2n2(1 7 11 2(1 7 2(1 小 2e(14)已知双曲线b21(a0,b 0),F1,F2分别为C的左右焦点。P为C右支上一点，且使FiPF2 = ，又F1PF2的面积为373a2。3(I)求C的离心率e ;(II)设A为C的左顶点，Q为第一象限内C上的
6、任意一点，问是否存在常数入(入0), 使得 QF2 A、庆52恒成立。若存在，求出入的值；若不存在，请说明理由。解：如图，利用双曲线的定义，将原题转化为：在A P Fi F2中，F1PF2 二一，F1PF2的面积为 3s/3a2, E 为 PFi 上一点，PE = PF2, E Fi =2a, 3,cFi F2 = 2c,求一。aS FiPF2 JPFJfF22(x设 PE = PF 2= EF 2= x, F F2 = x ,2a)x 373a2 , x2 4ax 12a2 0 , x 2a。 2AE Fi F2为等腰三角形，EF1F2 入，于是2c 2旧a , e - J3。3a(II)(i5)将一枚均匀的硬币连续抛掷n次，以Pn表示未出现连续3次正面的概率。(I)求 Pi, p2, p3, p4；(II)探究数列 pn的递推公式，并给出证明；(III)讨论数列 pn的单调性及其极限，并阐述该极限的概率意义。
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