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1、邢台学院2011届本科毕业论文（设计）本科毕业论文论文题目：分段函数分析性质的讨论姓 名：学 号：系（部）：数学系专 业：数学与应用数学班 级：指导教师：完成时间： 2011 年 4 月2邢台学院2011届本科毕业生论文（设计）摘要：本文主要是探讨了数学分析中分段函数在分段点处分析性质，采用不同类型的题目例举分析了分段函数的连续性、可导性、可积性及在不同问题上的具体应用，使我们能够更熟练的掌握分段函数的解题思路和技巧。关键词：分段函数； 连续性； 可导性 ； 可积性AbstractThis paper is the mathematical analysis of sub-sub-point
2、function of the nature of the subject with examples of different types of analysis of piecewise continuity, differentiability, integrability and the different issues Specific applications, so that we can grasp more skilled problem-solving ideas to separate function and skills. Key words: piecewise f
3、unction; continuity; differentiability; integrability前 言分段函数是数学分析中一类重要的函数，从函数的极限、连续到可导、可微、可积，从一元函数到多元函数的讨论，都涉及到了分段函数的问题，理解和掌握分段函数的性质对学好数学分析课程有重要的辅助作用。由于课本没有系统讨论分段函数的的分析性质，只以例题、习题的形式出现，不少学生对它的性质认识肤浅模糊，以致使学生解题常常出错。本文较为系统的讨论了分段函数的连续性、可导性、可积性，通过不同类型的题目例举讨论了这些性质在不同问题上的具体应用，使我们能够更好的理解、掌握分段函数的性质，更熟练的掌握分段函数
4、的解题思路，解题技巧。1 分段函数及其分段点处极限的存在性问题 1.1分段函数的概念所谓分段函数是指，对于自变量的不同取值范围，有着不同的对应法则，即在其定义域内不同区域的函数表达式不同。分段函数它是一个函数,而不是几个函数，分段函数的定义域是各段函数定义域的并集,值域也是各段函数值域的并集. 分段函数主要有两种形式：（1） 分界点左右的数学表达式不同的类型即在分界点左右的数学表达式不同例如： （2） 分界点左右的数学表达式相同的类型在分界点左右的数学表达式相同，但单独定义分界点处的函数值。 例如 1.2分段函数在分段点处极限存在性的判定分段函数的极限问题是讨论分段函数连续性、可导性问题的基础
5、，所以，我们首先要明确分段函数在分段点的极限存在性问题1.2.1分界点左右的数学表达式不同的类型在分段点处极限存在的充要条件：在分段点处左、右极限存在相等例1：讨论 在的极限存在性 解：因为和都是初等函数，所以他们在各自的定义域内连续，所以令，得到，所以只有时才连续，其他时候不连续。（修改本题）1.2.2 分界点左右的数学表达式相同的类型。 例2 讨论 在的极限存在性 解：= 当时，由无穷小与有界量的积为无穷小，可知=0极限存在，当时，由子列判定法可知极限不存在。2 分段函数连续性问题2.1分段函数的连续性判定2.1.1极限法（定义法）定义:则在处连续（修改本文所有黑体极限符号）即在处连续须使
6、存且极限值等于或在分段点处左、右极限存在相等且等于,即在分段点处左、右连续.例3 考察函数在点处的连续性 解：因为分段函数在分界点左右的数学表达式不同,所以在处连续的充要条件: 在处既左连续又右连续.而，所以在点处不左连续 从而它在处不连续。例4 考察函数的连续性分析：对于分段函数，除分段点外，分段函数在其定义域区间内都是连续的，故判断分段函数的连续性只需判断分段点处的连续性。解：已知函数的间断点为的点 即所以 在和上是连续的，在分段点处有 所以函数在处是连续的，从而在整个定义域内是连续的。2.1.2 导数法 : 函数在分段点的左、右导数均存在则在连续 证明： 记，只须证 因为在点右可导，即存
7、在，所以 同理，据在左可导有。所以，即在连续。例5 若在处左右可导，求的值。解：函数在分段点的左、右导数均存在则在处连续， 故2.2 分段函数间断点的类型与函数连续延拓性的、函数的有界性对于一元函数，在的空心临域内有定义，或在点有定义但不连续，则称点为函数的间断点或不连续点。根据在点处有无定义或极限是否存在又可把间断点分为可去间断点、跳跃间断点和第二类间断点。2.2.1可去间断点的连续延拓性定义：若，而在点无定义，或有定义但，则称为的可去间断点。例 6 ， 由于而在处无定义，所以是函数的可去间断点，可做连续延拓，使函数完善成为连续函数， ，则函数在处连续。2.2.2含间断点的分段函数的有界性左
8、右极限都存在但不相等的间断点称为跳跃间断点，含有跳跃间断点函数是不连续函数。可去间断点与跳跃间断点统称为第一类间断点第二类间断点的特点是至少有一侧极限不存在，所以含有第二类间断点的函授部也不会是连续函数。若有一个单侧极限为无穷大，称其为无穷远间断点。设函数在闭区间a，b上只有一个（或有限个）间断点（1）为第一类间断点，则在闭区间a，b有界（2） 为第二类无穷远间断点，则在闭区间a，b无界3 分段函数在分段点的可微（或可导）性的判断3.1 定义法：利用可导定义判断若存在，则在点可导或可微注：存在充要条件与存在且相等即在点可导或可微的充要条件，在点左、右导数均存在且相等例7 考察函数 在的导数。解
9、：由于 因此 因为，所以在处连续但不可导3.2 利用导数的极限定理叙述导数的极限定理例8：判断函数 在可导性解：=所以函数在出可导。（修改本题）3.3 必要条件法：若在点不连续则在点不可导例9 判断 在的可导性解：所以函数在处可导。3.2 求分段函数的导数或高阶导数 例10 设， ，求对于求分段函数在分段点的导数，不能用求导法则，还应该回归到定义法中进行求导或用导数的极限定理解 ，因有界，所以例11 求分段函数 的导数解：首先易得 进一步考虑在处的导数。现在则可以利用导数极限定理。由于，因此在处连续，又因，所以，依据导数极限定理推知在处可导，且 例12 求的导函数。解：当时，；当时，；当时，所
10、以，故4分段函数可积性的讨论 4.1闭区间上分段函数可积函数类 有可积函数的必要条件及可积函数类可知（1）分段点为无穷远间断点的分段函数不可积如在-1，1 上不可积（2）分段函数为连续函数可积（3）定义在闭区间上的有限个分段点的有界函数必可积（4）无穷多个分段点单调函数可积如在0，1上可积 4.2求分段函数不定积分用牛顿莱布尼茨公式求分段函数的定积分，关键在于求分段函数的一个原函数，满足 ，下面通过例子说明分段函数原函数的求法，并说明其一般性。 例13 考察函数 解：令则 因为原函数存在一定具有连续性，所以即 令则 是的一个原函数所以 4.3分段函数定积分的计算如果欲求分段函数在某连续区间上的
11、定积分，一般用定积分的可加性进行分段计算即可。另外，也可用牛顿莱布尼茨公式：，但必须在分段点连续。已知 在分段点0连续所以 5分段函数的连续性、可导性、可积性在某些问题上的具体作用在数学分析中，当我们讨论函数的极限、函数的连续性、函数的可导性、函数的可积性等相关问题，以及函数的可导性与连续性之间，连续、可积、有界等之间的关系问题时，由于这些问题的理论性较强，我们可以通过对分段函数的分析来理解相应概念实质及相关理论。下面讨论分段函数在这些问题中的作用。5 1 连续与极限存在关系问题借助于分段函数来帮助“函数极限存在却不一定连续”关系的理解 反例：对于函数 ，因，而更加充分说明了“函数极限存在却不
12、一定连续”这一结论。52、连续性与可导性之间的关系 我们知道在处连续是在处可导的必要条件，但反之不一定成立。下面我们用一些分段函数的例子来说明此问题。例14 考察函数在处的连续性与可导性。解： 1、连续性 由于 且 所以所以在处是连续的2、可导性，所以不存在，即函数在处不可导。例15 考察函数 在处的连续性与可导性。解： 因为，所以函数在处连续。但 不存在。所以在处不可导。53 多元函数的可导性与可微性例16 考察函数 在原点的可微性。解：按偏导数的定义同理可得。若函数在原点可微，则应是较的高阶无穷小量。考察极限而上述极限不存在，所以函数在原点不可微。这个例子说明，偏导数即使存在，函数也不一定
13、可微（但对于一次函数来说，函数可微与导数存在是等价的）。参 考 文 献1华东师范大学数学系.数学分析(第三版)M.北京:高等教育出版社,2001.2刘玉琏,傅沛仁.数学分析讲义(第三版)M.北京:高等教育出版社,1992.3胡平.分段函数在数学分析中的应用J.青海师范大学学报,1995 ,17 (4) :19 - 22.4张守田.分段函数在数学分析教学中的应用J.锦州师范学院学报,2003 ,24 (2) :60 - 62.5陈文灯等.高等数学复习指导(修订版)M.北京:北京理工大学出版社,1996.144.致 谢 论文从选题到定题到修改再到最终定稿，经历了复杂漫长的过程，在此感谢导师石秀文老师。他治学严谨，从选题、定题开始，一直到最后论文的反复修改、润色，石老师始终认真负责地给予了深刻而细致地指导，开拓研究思路，使得论文顺利完成。同时也感谢学院为我提供良好的做毕业设计的环境。最后再一次感谢所有在毕业设计中曾经帮助过我的良师益友和同学，以及在设计中被我引用或参考的论著的作者。 。，15
数学与应用数学专业毕业论文分段函数分析性质的讨论
