小学教育微分方程学习教案

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1、小学教育小学教育(jioy)微分方程微分方程第一页，共52页。二阶二阶)()(dd)(dd22xfyxQxyxPxy 时，时，当当0)( xf高阶线性齐次微分方程高阶线性齐次微分方程(wi fn fn chn)时，时，当当0)( xf高阶线性非齐次微分方程高阶线性非齐次微分方程(wi fn fn chn)微分方程微分方程(wi fn (wi fn fn chn)fn chn)()()()(1)1(1)(xfyxPyxPyxPynnnn 形如形如一、线性微分方程解的结构一、线性微分方程解的结构线性线性微分方程微分方程)(xf高阶线性微分方程高阶线性微分方程n阶阶线性线性第1页/共52页第二页，共

2、52页。)()(2211xyCxyCy yxQyxPy)()(定理定理(dngl),)1()()(21的两个解的两个解是方程是方程与与如果函数如果函数xyxy的的也是也是那末那末)1()()(2211xyCxyCy ).,(21是常数是常数CC证证 2211yCyC)(2211yCyCxP )(2211yCyCxQ )()(1111yxQyxPyC )()(2222yxQyxPyC 0 ,)1()()(21的的两两个个解解是是方方程程与与如如果果函函数数xyxy0一定一定(ydng)(ydng)是通解是通解(1)解解,1.二阶齐次线性方程二阶齐次线性方程(xin xn fn chn)解的结构解

3、的结构齐次齐次高阶线性微分方程高阶线性微分方程叠叠加加原原理理1第2页/共52页第三页，共52页。高阶线性微分方程高阶线性微分方程)()(2211xyCxyCy 一定一定(ydng)(ydng)是通解是通解否否若若1y是是(1)的解，的解，则则122yy 也是也是(1)的解，的解，这时这时这两个这两个(lin )解的线解的线性组合性组合2211yCyCy 1Cy )2(21CCC 只有一个只有一个(y )任意常数，任意常数，所以不可能是所以不可能是(1)的通解。的通解。在在什么条件什么条件下，下，)()(2211xyCxyCy 一定是通解？一定是通解？第3页/共52页第四页，共52页。),(,

4、 112 xxxxn线性无关线性无关(wgun)定义定义(dngy)nyyy,21设设02211 nnykykyk线性相关线性相关. .否则否则(fuz)称称线性无关线性无关. .如如),(sin,cos122 xxx，线性相关线性相关有恒等式有恒等式取取, 1, 1321 kkk0sincos122 xx恒等式成立恒等式成立如果存在如果存在n个不全为零的常数个不全为零的常数,使得当使得当x在该区间内在该区间内那末称这那末称这n个函数在区间个函数在区间I内内为定义在区间为定义在区间I内的内的n个函数个函数.高阶线性微分方程高阶线性微分方程NoImage第4页/共52页第五页，共52页。特别特别

5、(tbi)地地如如, 0 yy,cos1xy xyytan12 且且.sincos21xCxCy 上上在在与与则则函函数数Ixyxy)()(21线性无关线性无关(wgun).定理定理(dngl)(dngl)的的两两个个是是方方程程与与如如果果函函数数)1()()(21xyxy)()(2211xyCxyCy )1(0)()( yxQyxPy通解通解,常常数数 为了求为了求只要求它的两个线性无关的特解只要求它的两个线性无关的特解.,sin2xy )()(21xyxy线性无关线性无关的特解的特解,常常数数 那末那末是是(1)的的齐次齐次线性方程的通解线性方程的通解,若在若在I上有上有通解通解.高阶线

6、性微分方程高阶线性微分方程第5页/共52页第六页，共52页。定理定理(dngl)(dngl)推论推论(tul(tuln)n)是是n 阶齐次阶齐次线性方程线性方程(xin xn fn chn)0)()()(1)1(1)( yxPyxPyxPynnnn的的n 个线性无关的解个线性无关的解,那么那么, 此方程的通解为此方程的通解为),()()(2211xyCxyCxyCynn 其中其中nCCC,21为任意常数为任意常数.可推广到可推广到n 阶齐次线性方程阶齐次线性方程.高阶线性微分方程高阶线性微分方程)(),(),(21xyxyxyn如果函数如果函数第6页/共52页第七页，共52页。高阶线性微分方程

7、高阶线性微分方程2.二阶非齐次线性方程的通解二阶非齐次线性方程的通解(tngji)的结构的结构非齐次非齐次定理定理(dngl)(dngl)叠叠加加原原理理(yunl)2 yxQyxPy)()()(xf(2) y设设是非齐次方程是非齐次方程(2)的一个解，的一个解，y是对应齐次方程是对应齐次方程(1)的一个解，的一个解，yy *则则是非齐次方程是非齐次方程(2)的解。的解。定理定理如果如果21, yy是非齐次方程是非齐次方程(2)的两个解，的两个解，21yy 则则是对应齐次方程是对应齐次方程(1)的解。的解。第7页/共52页第八页，共52页。 y设设*yYy 为了为了(wi le)求求非齐次线性

8、方程非齐次线性方程(xin xn fn chn)的一个特解的一个特解和对应和对应(duyng)齐次线性方程齐次线性方程只要求得只要求得:的通解的通解.)1(0)()( yxQyxPy非齐次非齐次线性方程的通解线性方程的通解,是与是与(2)对应的齐次方程对应的齐次方程(1)的的通解通解, 是非齐次线性微分方程是非齐次线性微分方程(2)的的通解通解.高阶线性微分方程高阶线性微分方程定理定理(非齐次线性方程的通解结构非齐次线性方程的通解结构)是非齐次方程是非齐次方程(2)的一个的一个特解特解，2211yCyCY 那么那么*2211yyCyC 第8页/共52页第九页，共52页。2xyy 方程方程已知已

9、知xCxCYsincos21 0 yy的通解的通解(tngji).又容易又容易(rngy)验证验证22 xy是所给方程是所给方程(fngchng)的一的一个特解个特解.是是非齐次非齐次方程的通解方程的通解. yYy如如是二阶是二阶非齐次非齐次线性方程线性方程xCxCsincos21 22 x是对应齐次方程是对应齐次方程高阶线性微分方程高阶线性微分方程第9页/共52页第十页，共52页。高阶线性微分方程高阶线性微分方程可推广可推广(tugung)(tugung)到到n n 阶非齐次线性方阶非齐次线性方程程. .定理定理(dngl(dngl) )()()()(1)1(1)(xfyxPyxPyxPyn

10、nnn 推论推论(tul(tuln)n) y设设是是n 阶非齐次线性方程阶非齐次线性方程(3)的一个的一个特解特解,而而nnyCyCyCY 2211是是(3)对应对应的的n阶齐次线性方程的阶齐次线性方程的通解通解，则则*yYy *2211yyCyCyCnn 是是n 阶非齐次线性方程阶非齐次线性方程(3)的的通解通解。第10页/共52页第十一页，共52页。定理定理(dngl)(dngl)是是几几个个函函数数的的右右端端设设非非齐齐次次方方程程)()2(xf yxQyxPy)()(如如分别是分别是与与而而 21yy)()()(1xfyxQyxPy )()()(2xfyxQyxPy 21yy)2()

11、()()(xfyxQyxPy )(xf )(1xf)(2xf之和之和,的特解的特解,那么那么(n me)就是就是(jish)原方程的原方程的特解特解.高阶线性微分方程高阶线性微分方程叠叠加加原原理理3第11页/共52页第十二页，共52页。 求解求解(qi ji)xexyy 解解 yy的通解的通解(tngji)是是xCxCYsincos21 再考虑再考虑(kol)两两个方程个方程, xyy xey212 ,1xy 分别是原方程的特解分别是原方程的特解.所以原方程的通解为所以原方程的通解为 y例例xeyy xCxCsincos21 0 x xe21 yY高阶线性微分方程高阶线性微分方程第12页/共

12、52页第十三页，共52页。定理定理(dngl)(dngl) yxQyxPy)()()()()(1xfyxQyxPy )()()(2xfyxQyxPy )(1xf)(2xif高阶线性微分方程高阶线性微分方程是方程是方程如果如果)()(21xiyxyy 的解的解(复值解复值解)， 其中其中(qzhng),(),(),(),(21xfxfxQxP)(),(21xyxy是实值函数是实值函数(hnsh)，)()(21xyxy和和则则分别是方程分别是方程的解。的解。第13页/共52页第十四页，共52页。 思考题思考题xexyxyy 232213,3, 3已已知知66)22()2()2(22 xyxyxyx

13、x都是微分方程都是微分方程(wi fn fn chn):求此方程求此方程(fngchng)的通的通解解.的解的解,高阶线性微分方程高阶线性微分方程第14页/共52页第十五页，共52页。方程方程(fngchng)的的通解为通解为3221 xeCxC yYy或或22213xeCxCyx 或或xxexeCxCy 22213,212xyy xeyy 23xex2xex ,2因而因而(yn r),齐次线性方程齐次线性方程(xin xn fn chn)的通的通解解xeCxCY221 解解xexyxyy 232213,3, 3已已知知66)22()2()2(22 xyxyxyxx都是微分方程都是微分方程:求

14、此方程的求此方程的通解通解.的解的解,常数常数 线性无关线性无关.所以所以,高阶线性微分方程高阶线性微分方程第15页/共52页第十六页，共52页。n阶阶0 qyypy方程方程(fngchng)(xfqyypy 二阶常系数二阶常系数(xsh)非齐次线性非齐次线性方程方程)(1)1(1)(xfyPyPyPynnnn 线性微分方程线性微分方程(wi fn fn chn)常系数常系数二阶二阶常系数常系数齐次齐次线性线性常系数齐次线性微分方程常系数齐次线性微分方程形如形如二、二、常系数齐次常系数齐次线性方程线性方程第16页/共52页第十七页，共52页。rxey 将其代入方程将其代入方程(fngchng)

15、, 0)(2 rxeqprr, 0 rxe故有故有02 qprr2422, 1qppr 特征特征(tzhng)根根0 qyypy二阶二阶设设解解得得特征方程特征方程常系数齐次线性微分方程常系数齐次线性微分方程常系数常系数(xsh)齐次齐次线性方程线性方程其中其中r为待定常数为待定常数. - - 特征方程法特征方程法1、二阶、二阶常系数齐次常系数齐次线性方程解法线性方程解法第17页/共52页第十八页，共52页。,2421qppr ,2422qppr ,11xrey ,22xrey 两个两个(lin ) 特解特解 y)04(2 qp0 qyypy的通解的通解(tngji)的不同的不同形式形式.常系

16、数齐次线性微分方程常系数齐次线性微分方程有两个有两个(lin )不相不相等的实根等的实根特征根特征根r的不同情况决定了方程的不同情况决定了方程02 qprr特征方程特征方程xre12Cxre2 1C21yy常数常数线性无关线性无关的的 得得齐次齐次方程的通解为方程的通解为rxey 设设解解其中其中r为待定常数为待定常数. 第18页/共52页第十九页，共52页。有两个有两个(lin )相等的实根相等的实根,11xrey ,221prr 一特解为一特解为xrexCC1)(21 代代入入到到，将将222yyy , 0)()2(1211 uqprrupru, 0 u,)(xxu ,12xrxey 2y

17、常数常数 12yy. 0 qyypy化简得化简得.)(为为待待定定函函数数其其中中xu0 0 常系数齐次线性微分方程常系数齐次线性微分方程设设)(xu,1xre取取则则知知 yxre1xrxe1 1C2C得齐次方程得齐次方程(fngchng)的通解为的通解为rxey 其中其中(qzhng)r为为待定常数待定常数. 设设解解)04(2 qp第19页/共52页第二十页，共52页。有一对有一对(y du)共轭复共轭复根根,1 ir ,2 ir ,)(xie xrey22 )(21211yyy xex cos )(21212yyiy xex sin )sincos(21xCxCeyx 0,21 qyy

18、pyyy为方程为方程为了得到为了得到(d do)实数形实数形式的解式的解,常数常数 21yy重新组合重新组合常系数齐次线性微分方程常系数齐次线性微分方程的两个的两个(lin )线性线性无关的解无关的解.rxey 其中其中r为待定常数为待定常数. xrey11 xie)( 得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为用欧拉用欧拉(Euler)公式公式:xixeixsincos 设设解解)04(2 qp第20页/共52页第二十一页，共52页。常系数齐次线性微分方程常系数齐次线性微分方程特征方程法特征方程法. .注注求二阶常系数求二阶常系数(xsh)齐次线性方齐次线性方程程0 qyypy的通解的通解(tng

19、ji)，只须求其特征方程只须求其特征方程02 qprr的根，的根，再根据再根据(gnj)根的情况确定其根的情况确定其通解。通解。特征方程特征方程02 qprr的根的根方程方程0 qyypy的通解的通解两个不相等的实根两个不相等的实根21,rr两个相等的实根两个相等的实根rrr 21一对共轭复根一对共轭复根 ir 2, 1rxexCCy)(21 xrxreCeCy2121 )sincos(21xCxCeyx 第21页/共52页第二十二页，共52页。.044的通解的通解求方程求方程 yyy解解 特征方程特征方程0442 rr221 rr故所求通解故所求通解(tngji)为为 y例例常系数齐次线性微

20、分方程常系数齐次线性微分方程特征特征(tzhng)根根xexCC221)( 第22页/共52页第二十三页，共52页。.052的通解的通解求方程求方程 yyy解解特征方程特征方程0522 rr故所求通解故所求通解(tngji)为为 y例例常系数齐次线性微分方程常系数齐次线性微分方程特征特征(tzhng)根根)2sin2cos(21xCxCex ir2121 ，第23页/共52页第二十四页，共52页。例例解初值问题解初值问题 . 2, 4, 09241600 xxyyyyy解解特征方程特征方程0924162 rr特征特征(tzhng)根根43 r所以方程所以方程(fngchng)的通解为的通解为4

21、1 CxexCy432)4( xexCCy4322433 常系数齐次线性微分方程常系数齐次线性微分方程(二重根二重根)00 12 C特解特解.)4(43xexy 002xexCC4321)( y4第24页/共52页第二十五页，共52页。01)1(1)( yPyPyPynnnn特征方程特征方程0111 nnnnPrPrPr特征方程的根特征方程的根微分方程微分方程(wi fn fn chn)通解中的对应项通解中的对应项rxkkexCxCC)(121 sin)(cos)(121121xxDxDDxxCxCCekkkkx 常系数齐次线性微分方程常系数齐次线性微分方程2、n阶常系数阶常系数(xsh)齐次

22、线性方程解法齐次线性方程解法单单实根实根rrxCe ir 2, 1)sincos(21xCxCex 给出一项给出一项k重重实根实根r给出给出k项项一对一对(y du)单复单复根根给出两项给出两项一对一对k重重共轭复根共轭复根 ir 2, 1给出给出2k项项n阶阶第25页/共52页第二十六页，共52页。注意注意(zh y)一个一个(y )根都对应着通解中的一根都对应着通解中的一项项, nnyCyCyCy 2211常系数齐次线性微分方程常系数齐次线性微分方程n次代数方程次代数方程(dish fngchng)有有n个根个根,而特征方程的每而特征方程的每且每一项各且每一项各一个任意常数一个任意常数.第

23、26页/共52页第二十七页，共52页。常系数齐次线性微分方程常系数齐次线性微分方程例例求方程求方程(fngchng)解解052)4( yyy的通解的通解(tngji).特征方程特征方程, 052234 rrr021 rr故所求通解故所求通解(tngji)为为特征根特征根xCCy21 . 0)52(22 rrr即即和和.214, 3ir )2sin2cos(43xCxCex 第27页/共52页第二十八页，共52页。特征特征(tzhng)根根),( 11单根单根 r故所求通解故所求通解(tngji) xeCy1解解01222345 rrrrr特征方程特征方程0)1)(1(22 rr.022)4()

24、5(的通解的通解求方程求方程 yyyyyy例例,)(32,共轭复根共轭复根二重二重ir xxCCcos)(32xxCCsin)(54 常系数齐次线性微分方程常系数齐次线性微分方程第28页/共52页第二十九页，共52页。方程方程(fngchng)对应对应(duyng)齐齐次方程次方程0 qyypy通解通解(tngji)结构结构,)(xmexP ,cos)(xexPxm ,sin)(xexPxm Yy)(xf难点难点方法方法二阶二阶常系数常系数非齐次非齐次线性线性的类型的类型)(xf y yY次次多多项项式式是是mxPm)( qyypy常系数非齐次线性微分方程常系数非齐次线性微分方程非齐次非齐次方

25、程特解方程特解待定系数法待定系数法.三、常系数三、常系数非齐次非齐次线性微分方程线性微分方程如何求如何求的通解的通解第29页/共52页第三十页，共52页。设非齐方程设非齐方程(fngchng)特解为特解为)(xQy 求导代入原方程求导代入原方程(fngchng)()()()()2()(2xPxQqpxQpxQm 不是特征方程的根不是特征方程的根若若 )1(可可设设是特征方程的单根是特征方程的单根若若 )2( )(xQ可可设设xmexxQy )( xmexQy )( xe )(xQm)(xQ )(xQmx)(xQxmexPqyypy )( m0 )()()()()2()(2xPxQqpxQpxQ

26、m 0 0 常系数非齐次线性微分方程常系数非齐次线性微分方程型型一、一、)()(xPexfmx mmmmaxaxaxa1110第30页/共52页第三十一页，共52页。是是特特征征方方程程的的二二重重根根若若 )3( )(xQ可可设设综上讨论综上讨论(toln), )(xQexymxk 设设 kxmexQxy )(2 注注)(xQm2x)(xPeqyypymx )()()()()2()(2xPxQqpxQpxQm 1020 0 上述结论可推广上述结论可推广(tugung)到到n阶常系数非齐次阶常系数非齐次线性线性微分方程微分方程(wi fn fn chn)(k是重根次数是重根次数).不是根不是根

27、是单根是单根是重根是重根常系数非齐次线性微分方程常系数非齐次线性微分方程第31页/共52页第三十二页，共52页。.232的通解的通解求方程求方程xexyyy 解解对应齐次方程对应齐次方程(fngchng)通解通解特征方程特征方程0232 rr特征特征(tzhng)根根2121 rr，xxeCeCY221 是是单单根根，2 y设设例例(1) 求对应齐次方程求对应齐次方程(fngchng)的通解的通解(2) 求求非齐次非齐次方程的特解方程的特解此题此题.)()(2型型属属于于xmxexPxexf 其中其中, 1 m2 )(BAx 1xxe2?常系数非齐次线性微分方程常系数非齐次线性微分方程第32页

28、/共52页第三十三页，共52页。代入方程代入方程(fngchng), 得得xABAx 22,121 BAxexxy2)121( 于是于是原方程原方程(fngchng)通解通解为为 xxeCeC221.232的通解的通解求方程求方程xxeyyy xeBAxxy2)( yyy,将将 yYyxexx2)121( 对应对应齐次齐次方程通方程通解解xxeCeCY221 常系数非齐次线性微分方程常系数非齐次线性微分方程第33页/共52页第三十四页，共52页。例例常系数非齐次线性微分方程常系数非齐次线性微分方程.322的通解的通解求方程求方程 xyyy解解此题此题.)(3)(2型型属属于于xmexPxxf

29、其中其中(qzhng). 0, 2 m(1) 求对应齐次方程求对应齐次方程(fngchng)的通解的通解特征方程特征方程022 rr特征特征(tzhng)根根,27212, 1ir 所以，对应齐次方程的通解为所以，对应齐次方程的通解为.27sin27cos2121 xCxCeYx第34页/共52页第三十五页，共52页。(2) 求非齐次方程求非齐次方程(fngchng)的特解的特解常系数非齐次线性微分方程常系数非齐次线性微分方程322 xyyy. 0, 2 m因为因为(yn wi)0 不是不是(b shi)特征根，特征根，故设原方程的特解为故设原方程的特解为cbxaxy 2*求导代入原方程整理得

30、求导代入原方程整理得3)22()22(222 xcbaxbaax比较两边比较两边x的同次项的系数，得的同次项的系数，得 , 322, 022, 12cbabaa解得解得 ,47,21,21cba第35页/共52页第三十六页，共52页。常系数非齐次线性微分方程常系数非齐次线性微分方程322 xyyy所以所以(suy)方程的方程的特解为特解为2117*224yxx.27sin27cos2121 xCxCeYx方程方程(fngchng)的通解为的通解为 xCxCeyx27sin27cos21212117.224xx第36页/共52页第三十七页，共52页。 2000级北方交大考题级北方交大考题(ko

31、t), 选择选择(3分分)微分方程微分方程(wi fn fn chn) 的特解的特解 y的形式的形式(xngsh)为为 ).( yxxebaeA)( . xcebaxC )( .xcxebaxD )( .xxxebaeB)( . D解解特征方程特征方程0232 rr特征根特征根对应的对应的齐次齐次微分方程微分方程2, 1 rrbaxy 1xcxey 2常系数非齐次线性微分方程常系数非齐次线性微分方程xexyyy2323 023 yyyxyyy323 xeyyy223 第37页/共52页第三十八页，共52页。型型二、二、sin)(cos)()(xxPxxPexfnlx sincos)(xPxPe

32、xfnlx 2xixilxeePe xinleiPP)()22( ximexP)()( ,)()(ximexPqyypy 设设ximkeQxy)(1 欧拉公式欧拉公式(gngsh)2ieePxixin xinleiPP)()22( ximexP)()( 常系数非齐次线性微分方程常系数非齐次线性微分方程 nlm,max 第38页/共52页第三十九页，共52页。,)()(ximexPqyypy 设设ximkeQxy)(2 ysin)(cos)()2()1(xxRxxRexmmxk 是是其其中中)(),()2()1(xRxRmm nlm,max kximximxkeQeQex 欧拉公式欧拉公式(gn

33、gsh) )sin(cosxixQexmxk )sin(cosxixQm 型型sin)(cos)()(xxPxxPexfnlx 不是根不是根 i 01,次多项式次多项式m常系数非齐次线性微分方程常系数非齐次线性微分方程是单根是单根 i注注 上述结论上述结论(jiln)可推广到可推广到n阶常系数非阶常系数非齐次线性微分方程齐次线性微分方程.第39页/共52页第四十页，共52页。.sin4的通解的通解求方程求方程xyy 解解xCxCYsincos21 例例(1) 求对应求对应(duyng)齐齐次方程次方程 0 yy012 r特征特征(tzhng)根根ir 其通解其通解(tngji)这是二阶常系数非

34、齐次线性方程这是二阶常系数非齐次线性方程.且且 .sin)(cos)()(型型属于属于xxPxxPexfnlx , 0( 其中其中特征方程特征方程, 1 , 0)( xPl)4)( xPn0 014的通解的通解常系数非齐次线性微分方程常系数非齐次线性微分方程第40页/共52页第四十一页，共52页。xCxCysincos21 (2) 求非齐次方程求非齐次方程(fngchng) xyysin4 i故设故设代入方程代入方程(fngchng),比较比较系数系数.得得xxycos2 这里这里(zhl)i 0Asin x?1 yxxxcos2 , 0 1 特征根特征根ir 非齐次方程特解为非齐次方程特解为

35、是特征根是特征根.原方程通解为原方程通解为B xcos 的特解的特解.常系数非齐次线性微分方程常系数非齐次线性微分方程第41页/共52页第四十二页，共52页。例例.2cos12的通解的通解求方程求方程xexyyx 解解这是二阶常系数这是二阶常系数(xsh)非齐次线性方非齐次线性方程程.且且 .sin)(cos)()(2型型属于属于xxPxxPexfnlx xexxfx2cos1)(2 )(1xf)(2xf,)()(1型型属属于于xmexPxf 20102(1) 求对应求对应(duyng)齐次方程的齐次方程的通解通解 特征方程特征方程012 r特征特征(tzhng)根根, 1, 121 rr所以

36、对应所以对应齐次齐次方程的通解为方程的通解为xxeCeCY 210 第42页/共52页第四十三页，共52页。(2) 求非齐次方程求非齐次方程(fngchng)的通解的通解 常系数非齐次线性微分方程常系数非齐次线性微分方程, 1, 121 rr特征特征(tzhng)根根.)1(12的特解的特解先求方程先求方程 xyyxexyyx2cos12 ,)()(1型型属属于于xmexPxf 200 不是不是(b shi)特特征根，征根，所以可设方程所以可设方程(1)的特解为的特解为cbxaxy 21*求导后代入方程求导后代入方程(1)得得1)2(22 xcabxax比较两边同次项的系数，得比较两边同次项的

37、系数，得, 3, 0, 1 cba所以方程所以方程(1)的一特解为的一特解为. 3*21 xy第43页/共52页第四十四页，共52页。xexyyx2cos12 .)2(2cos的特解的特解再求方程再求方程xeyyx .sin)(cos)()(2型型属于属于xxPxxPexfnlx 120特征特征(tzhng)根根, 1, 121 rri 21 不是不是(b shi)特征特征根，根，0 可设方程可设方程(fngchng)(2)的特解的特解为为),2sin2cos(*2xbxaeyx 求导代入方程求导代入方程(2)得得xxbaxab2cos2sin)44(2cos)44( 比较两边同次项的系数，得

38、比较两边同次项的系数，得.81,81 ba所以方程所以方程(2)的一特解为的一特解为).2sin2(cos81*2xxeyx 第44页/共52页第四十五页，共52页。).2sin2(cos81*2xxeyx 常系数非齐次线性微分方程常系数非齐次线性微分方程. 3*21 xy所以所以(suy)原方程的特解为原方程的特解为).2sin2(cos813*2xxexyx xxeCeCY 21原方程原方程(fngchng)的通解为的通解为xxeCeCy 21).2sin2(cos8132xxexx 第45页/共52页第四十六页，共52页。,223)(xeyyyxyy 满足微分方程满足微分方程设函数设函数

39、在在处的切线与曲线处的切线与曲线其图形在点其图形在点1)1 , 0(2 xxy,该该点点处处的的切切线线重重合合.的的解解析析表表达达式式求求函函数数y解解对应齐次方程对应齐次方程(fngchng)通解通解特征方程特征方程, 0232 rr特征特征(tzhng)根根，2121 rrxxeCeCY221 (1) 求对应齐次方程求对应齐次方程(fngchng)的通解的通解此题此题.)(2)(型型属属于于xmxexPexf )1, 0( m例例1988年考研数学一年考研数学一, 8分分二阶常系数线性非齐次方程二阶常系数线性非齐次方程常系数非齐次线性微分方程常系数非齐次线性微分方程第46页/共52页第

40、四十七页，共52页。)1(是是单单根根 y设设(2) 求非齐次方程求非齐次方程(fngchng)的的特解特解Axex1解得解得2 A所以所以(suy)xxey2 xxeCeCy221 (3) 求原方程求原方程(fngchng)的特解的特解得得由由, 12 xxy, 1)0( y得得的的坐坐标标代代入入通通解解将将点点,)1 , 0(211CC 即即11 r1 特征根特征根原方程通解为原方程通解为(求函数求函数y的解析表达式的解析表达式),223)(xeyyyxyy 满足微分方程满足微分方程设函数设函数在在处的切线与曲线处的切线与曲线其图形在点其图形在点1)1 , 0(2 xxy,该该点点处处的

41、的切切线线重重合合.的的解解析析表表达达式式求求函函数数y且且xxe2 常系数非齐次线性微分方程常系数非齐次线性微分方程, 12 xy第47页/共52页第四十八页，共52页。得得求导求导将通解将通解,2221xxxxeeCeCy xxxxxeeeCeCy222221 由题意由题意(t y),得得 )0(y即即1221 CC联立联立 1212121CCCC 0121CC将之代入通解将之代入通解(tngji)得得xxxeey2 xexy)21( 211CC 1)0( y 2221CC1 所以所以(suy),函数函数y的解析表达式为的解析表达式为常系数非齐次线性微分方程常系数非齐次线性微分方程第48

42、页/共52页第四十九页，共52页。(3) 根据特征根据特征(tzhng)根的不同情况根的不同情况,得到相得到相应的通解应的通解 (1) 写出相应写出相应(xingyng)的特的特征方程征方程(2) 求出特征求出特征(tzhng)根根二阶常系数齐次线性方程二阶常系数齐次线性方程02 qprr0 qyypy特征根的情况特征根的情况通解的表达式通解的表达式实根实根21rr xrxreCeCy2121 实根实根21rr xrexCCy2)(21 复根复根)sincos(21xCxCeyx 求通解的步骤求通解的步骤: ir 21，第49页/共52页第五十页，共52页。)()()1(xPexfmx )(xQexymxk sin)(cos)()()2(xxPxxPexfnlx sin)(cos)()2()1(xxRxxRexymmxk 待定系数待定系数(xsh)法法常系数线性微分方程常系数线性微分方程二阶常系数二阶常系数(xsh)非齐次线性非齐次线性方程方程( )ypyqyf x第50页/共52页第五十一页，共52页。作作 业业习题习题(xt)11-4(265(xt)11-4(265页页) )1. 3.(1)(4)(5) 5.(1)(3)(5) 6.(3) 7. 常系数线性微分方程常系数线性微分方程第51页/共52页第五十二页，共52页。