2020届黑龙江省大庆市高三第二次教学质量检测数学(理)试题(解析版)

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1、2020届黑龙江省大庆市高三年级第二次教学质量检测数学（理）试题一、单选题21 .已知集合 Ax|x1,B x|x x0,则下列结论正确的是（A. AI B x|x 0b. AUB RC. AUB x|x 1d. AI B【答案】A【解析】先计算B x x 1或x 0，计算AI B x|x 0,AUB x| x 1或x 1对比选项彳#到答案.【详解】B x x2 x）0x x 1 或x 0,贝 tjAIB x | x 0,AUB x|x 1或 x 1对比选项知：A正确故选：A本题考查了集合的运算，属于简单题2 .若复数z满足1 i z 2i,则z Z （）C. 2 2i【解析】计算得到z -1

2、 i ,再计算z 2得到答案1 i z 2i z2i2i 1 i 1 i ,故z z1 i 1 i 1 i故选：C【点睛】本题考查了复数的运算和共轲复数，意在考查学生的计算能力3 .给出如下四个命题：若 p且q”为假命题，则p, q均为假命题命题“若a b,则2a 2b 1”的否命题为“若 a b,则2a 2b 1”命题“ x R, x2 1 1 ”的否定是“ x R, x2 1 1 ”在VABC中，“A B”是“sinA sinB”的充要条件其中正确的命题的个数是（）A. 1B. 2C. 3D . 4【答案】C【解析】依次判断每个选项的正误得到：p, q均为假命题或一真一假，错误；根据否命题

3、和命题否定的定义知正确；根据大角对大边知正确，得到答案【详解】若 p且q”为假命题，则p, q均为假命题或一真一假，错误；命题“若a b,则2a 2b 1”的否命题为“若 a b,则2a 2b 1”，正确;命题“ x R, x2 1 1”的否定是“x R, x2 1 1”，正确；在VABC中，“A B”是“sinA sinB”的充要条件A B,则 a b 故 sin A sin B； sin A sin B ,则 a b故 a B ,正确故选：C【点睛】本题考查了命题的真假判断，涉及且命题，否命题，命题的否定，充要条件，意在考查学生的综合应用能力4.已知r|a|向量a在向量b上的投影为33 ,

4、则：与b的夹角为()A，6B.一32C.3【解析】设夹角为r a cosr根据投影定义得到 a cos,则a在向量b上的投影为2 cos3 cos故选：DJ3得到cos,计算得到答案.256本题考查了向量的投影和向量夹角，意在考查学生对于向量知识的掌握情况:的图象可能是(|)C.函数Mk，A .D.Ih|-K|11汹-心)可彳导f(x)可判断出函数图像，可得答案解：由题意得：港A故f(x)为奇函数，故B、C项不符合题意，又故D项不符合题意,故选A.B.为奇函数，再由RI) =-j-=。=0,【点睛】 本题主要考查函数的图像与性质，根据函数的性质来判读图像是解题的关键是两个不同的平面，则下列命题

5、正确的是（6 若 m, n 是两条不同的直线，A 若,m ，则 m/B 若 m / , n m ，则 nD 若 m / , mn ，则C 若 m ,n/ ,m n ，则m/n【答案】 D【解析】在A中，则m/或mB 中，则 n 与 相交、平行或n与 相交或平行；由线面平行的性质定理得 m/n 【详解】是两个不同的平面，知：m ， n 是两条不同的直线，在A中，若，m ，则m/或m ，故A错误;B 错误；在 B 中，若 m/ ， n m ，则 n 与 相交、平行或n在 C 中，若 m ， n/ ， m n ，则 与 相交或平行，故 C 错误；在 D 中， 若 m/ / ， m ，n ， 则由线面

6、平行的性质定理得m/n ， 故 D正确故选 D【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，是中档题27 已知各项均不为 0 的等差数列an ，满足 2a3a722a110 ，数列bn 为等比数列，且b7a7 ，则b1 b13（）A 16B 8C 4D 24 ,再利用等比数列的性质得到【解析】化简彳#到4a7 a2 0 ,计算得到a72 bl b13a7得到答案.【详解】2c-2_各项均不为0的等差数列an , 2a3a72a1104a7a70a7422bl bi3 b7a716故选：A【点睛】 本题考查了等差数列和等比数列的性质，意在考查

7、学生对于数列性质的综合应用8.某组合体的三视图如图所示，外轮廓均是边长为2的正方形，三视图中的曲线均为1八2八4八八八八A. 8 3B. 8 3C.24 6D. 24 2【答案】B【解析】根据题意知：几何体为边长为 2的正方体除去八个四八分之一半径为1的球形成的几何体，计算体积得到答案 .【详解】根据三视图知：几何体为边长为 2的正方体除去八个八分之一半径为1的球形成的几何体3 44故V 2833故选：B【点睛】本题考查了三视图和几何体体积，判断几何体的形状是解题的关键9,函数 f x sin x0,个单位后得到的函数为奇函数，则函数A.关于点力,0对称12.，.，冗C.关于直线x 一对称12

8、【答案】C【解析】根据函数f(x)的最小正周期为冗冗一的最小正周期为巴若其图象向左平移一26f x的图象()花B.关于点 ,0对称127冗D.关于直线x r对称12冗冗，求出 ，向左平移 一个单位后得到的函数6为奇函数，求出 ，可得出f(x)的解析式，结合三角函数的性质可得出对称中心和对 称轴，由此判断即可求得答案.2根据三角函数的图象与性质| | ，可得I I 2,因为 0,所以 2所以 f (x) sin(2x )设f(x)的图象向左平移 入个单位后得到的函数为 g(x)6则 g(x) sin 2 x sin 2x若g(x)为奇函数，则g(0) 0,故k (k Z),即因为I | 一，所以

9、 行，所以f(x) sin 2x - 233由 2x k ,(k Z )解得 x 一 36kA项，不存在整数k ,使得二一 62kB项，不存在整数k ,使得62由 2x k (k Z )解得 x 325 k x (k Z )对称122，所以f(x)关于点7，故A项错误;12512,0一，故B项错误；12k，所以f (x)关于直线2,(kZ)对称C项，当k 1时，x ,故f (x)关于直线x 对称，故C项正确;7,故12D项错误.12125 kD项，不存在整数 k,使得 122故选:C.【点睛】本题主要考查了正弦函数的图象变换以及对称中心,对称轴的求法，涉及的知识点较多,综合性较强，属于中等题(

10、3 a)n10 .已知数列an满足：ann 6a , n则实数a的取值范围是()99A. (t,3)B. -,3)44【答案】D3 a【解析】根据题意，an = f(n)=an3 a 0列，必有 a 1,据此有3 a 7 3a86本题选择D选项.111 .已知点O, F分别为抛物线C: y - X4交于A,B两点，连接 AO,BO并延长，分另3,n 7*r (nN),且数列an是递增数列,C. (1,3)D, (2,3)n 3,x 76 r , n e N ,要使an是递增数 ,n 7a 3a 1,综上可得2V a3.a 2或 a 93的顶点和焦点，直线 y ：x 1与抛物线4交抛物线的准线于

11、点P,Q ,则|BP| |AQ|()25A . 一4B.1725C. 3193【解析】联立方程得到A/ 11,一 , B 4,4，则 AO : y 41-x, BO:y x,计算得4到 P 4, 1 , Q 1, 1 ,计算 |BP|联立方程得到3xi4解得xA , 11 Li，B4,4一1/_则 AO: yx ,取 y 1 得到 x 4,故 P 4, 1 ；4则 BO ： y x ,取 y1 得到 x 1 ,故 Q 1,1;5 25故 |BP| |AQ| 5 一44故选：A本题考查了直线和抛物线相交问题，意在考查学生的计算能力12 .设A, B,C,D是同一个半径为4的球的球面上四点，在VA

12、BC 中,BC 6, BAC 60，则三棱锥D ABC体积的最大值为（A. 126B. 18 出C. 2473D . 54内【答案】Ba.【解析】利用正弦定理 2r得到r 273 ,再计算hmax Jr2 r2 R 6,再sin A利用余弦定理和均值不等式得到 bc 36,代入体积公式得到答案.【详解】VABC 中，BC 6, BAChmax R2 r2 R 622 2 _2a b c 2bccos A b当a b c 6时等号成立，止故选：B60 ,贝U sin A sin 602c bc bc bc 36V 1Sh 18 .334.3 2r r 2、3本题考查了三棱锥的体积问题，综合了正弦

13、定理，余弦定理，面积公式，综合性强，意 在考查学生的空间想象能力和综合应用能力、填空题e 1 1dx【答案】1e1 1dx2 x 1【解析】直接利用定积分计算公式得到答案e 1In x 1 Ine ln12故答案为：1本题考查了定积分的计算，意在考查学生的计算能力3,14 .已知定义域为 R的函数f x ,满足f x 3 f x ,且当x 0，2时，f x x,贝u f 2020 r【答案】-1【解析】代换得到f x 6 f x得到函数周期为6,故f 2020 f 4 f 1 , 代入函数计算得到答案.【详解】f x 3 f x f x 6 f x 3 f x 6 fx,函数周期为 6f 20

14、20 f 4 f 11故答案为：1【点睛】本题考查了求函数值，代换求出函数周期是解题的关键uuur uur uur1415 .已知。是VABC 的外心， C 45 ,OC 2mOA nOB,(m,n R),则F m n的最小值为【答案】16【解析】根据uuu uuuuuur uuuuuurC 45得到OA OB 0,平方OC 2mOA nOB得到1414,224m n利用均值不等式计算得到答案m n m nuuur uuu uumOC 2mOA nOBuuur 2OCuuuuuin 22 uuu22uuui2uuu uuur2mOA nOB 4m OA n OB 4mnOA OBC 45AOB

15、 90uuu uuu22OA OB 0 故 4m n 1),2214.22. n16m2 4m n 4224 2,16 8 16mnm n2 n -2 m16m2121-,m -时等号成立28故答案为：16【点睛】本题考查了向量的运算，均值不等式，意在考查学生的综合应用能力和计算能力.2216 .已知双曲线C:当 七1(a 0,b 0)的右顶点为 A,且以A为圆心，双曲线虚轴长 a b一 2为直径的圆与双曲线的一条渐近线相交于B,C两点，若 BAC-,，则双曲线3 3C的离心率的取值范围是2、3 c一,23【解析】如图所示：过点A作ADBC于 D , ADb 13b2, 2，点A a,0到渐进

16、线的距离为ab_, a2 b2abb冷2, 21 232, 2得到答案.【详解】如图所示：过点A作AD BC于D ,则ADAC cos DAC, BAC bcos2b一条渐近线方程为：y x,点A a,0到直线的距离为a. ab ab b 3bd,-,a2 b2 c 221 1 .32 -3 c即 , e , 2e 2 232 3 c故答案为：, 2【点睛】本题考查了双曲线的离心率，计算得到AC b 3b 八上AD 一， 是解题的关键.22三、解答题a317 .已知等差数列 an的公差d 0,其前n项和为Sn,若S3 6,且ai, a2, 1成等比数列.(1)求数列 an的通项公式;(2)若b

17、nan2an,求数列bn的前n项和Tn.【答案】(1) an n. (2) Tn n(n 1) 12【解析】(1)根据等差数列公式得到a3a2a32a2小，计算得到答案.6(2) bnn,利用分组求和法计算得到答案(1)依题意,a1a3a1a?1a;即a36a1 a1 2d3al 3dd2d 2 0.0, . d 1a11.，数列的通项公式an即数列an的通项公式an(2) bnan2 anTnbib2bnTnn(n21)n(n21)n(n21)1)本题考查了等差数列通项公式,分组求和法求前n项和，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用18 .已知函数f (x) 3sinxcosx sin2

18、x(1)若且f万丘普3而10求sin的值;(2)在VABC中，角A, B,C的对边分别为a,b,c,满足cC 1,求 a b的取值范围.(1) / (2)(.3,23【解析】(1)化简得到f x sin 2x 6，代入数据计算得到sincos2.55cos3 .而,sin10二 ,再利用和差公式展开得到答案 10(2)根据f C 1得到C 一,利用余弦定理得到3 a b323ab,再利用均值不等式得到答案.(1) f(x)ain2x21 cos(2x )旦in 2x21 cos2x2避sin2x 21cos2x 2sin 2x f 212一 51 sin50， , -cos2：55 f 23、

19、10 ,. sin103.10.- -cos103.1010 sin(0 2,-sin,1010sincos cossin.5 3.10 2.510 -25105102(2)2C 1.6 f(C) sin 2C ,.sin6 ,(0,).-.2C ,611,6 6,-2C ，即 C 62,3b22abcosCab (a b)2 3ab,3ab ab2a bab,当且仅当a b时取“2.3(ab)23ab (a23212b) 4(a b) 4(a b). 122b ，即 a b2J3,当且仅当a b时取“又a b. a b的取值范围是（J3,2后.【点睛】 本题考查了三角恒等变换，余弦定理，均值

20、不等式，意在考查学生的综合应用能力19 .如图，已知在矩形 ABCD中，E为边AB的中点，将VADE沿直线DE折起到 ADE （ A 平面ABCD ）的位置，M为线段AC的中点.（1）求证：BM /平面ADE ；（2）已知AB 2AD 24,当平面AiDE 平面ABCD时，求直线BM与平面ADC所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）H3015【解析】（1）延长CB与DE相交于点P,连接AiP ,根据中位线证明BM P AP ,得到证明.（2）证明AQ ON ,以。为原点，ON,OD,OA所在的直线分别为x, y,z轴建立空ir间直角坐标系O xyz,计算平面ADC的一个法向量为 m 1

21、,1,1 ,根据夹角公式计算得到答案.【详解】(1)延长CB与DE相交于点P,连接AiP ,E为AB边的中点，四边形 ABCD为矩形，1 一 .BE/CD, BE CD ,，BE为VPCD的中位线，B为线段CP的中点， . M为线段AC的中点，BM PAP . BM 平面ADE , AP 平面ADE , .BM / 平面 ADE.(2) AB 2AD , E 为边 AB 的中点，AD AE,即 AD AE ,取线段DE的中点O,连接AO,ON,则由平面几何知识可得 AO DE ,ON PCE ,又.四边形ABCD为矩形，AB 2AD , E为边AB的中点，.DE CE ,DE ON ,.平面

22、ADE 平面 ABCD ,平面 ADE I 平面 ABCD DE , AO DE ,. AQ 平面 ABCD, ON 平面 ABCD, . AO ON ,.以。为原点，ON,OD,OA所在的直线分别为x, y, z轴建立空间直角坐标系 O xyz,uuir(2, 1, 1),DC2, 2,0uuuu,D(0,1,0) ,BM八3 10，2,2设平面ADC的一个法向量为v ULUVirm ACm (x,y,z),则 m DCv02x y z 0,即02x 2y 01 1B 1, 2.0 ,C 2, 1,0 , Ai(0,0,1),M 1, 2,万sinur uuuu | cos m, BM22.

23、302，直线BM与平面ADC所成角的正弦值为ur不妨取 x 1,则 y 1, z 1,即 m 1,1,1 ,设直线BM与平面ADC所成角为，则ur uuur m BM -utr-utuu- |m| |BM |2 x3c15本题考查了线面平行和线面夹角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力20 .平面内有两定点A 0, 1 ,B 0,1，曲线C上任意一点M x,y都满足直线AM与1八_直线BM的斜率之积为过点F 1,0的直线与椭圆交于C,D两点，并与y轴交于点P，直线AC与BD交于点Q.(1)求曲线C的轨迹方程；UUU UUU(2)当点P异于A,B两点时，求证： OP OQ为定值.2【答案】(1

24、) y2 1(x 0)证明见解析【解析】(1)根据题意得到kAM(2)设直线l的方程为yy 1x uuu 则OP0,x1 x24k21 2k22将韦达定理代入2k2 21 2k2(1)由已知可得kAMkBM22.化简得x 2 y 10,(2)1-,化简得到答案.2k ,联立方程根据韦达定理得到此计算得到答案.1 2即曲线C的轨迹方程为:由已知直线l的斜率存在,1),所以p点的坐标为x” ，D x2,y2联立削去y得,1 2k2所以x2乂24k21 2k22k2 2，1 2k2y1y1所以设直线l的方程为uuu0, k ,即 OP 0,y k(x 1)4k2xy2y22k2 2 02k1 2k2

25、k21 2k2直线ac的方程为y 1y_x11-x,直线BD的方程为1(x 0).x2y将两方程联立消去 x得一 y 1乂2 % 1yx y2 1x1由题意可知y2 1kAD kBDx2乂2y2 1y2 1x2所以X2y2 12 y21X2y 1X2 Vi 1y iX1 y2 1Vl 1X2X1y21y112y212y11 y2 12yy?必y21y 1将韦达定理代入得 一- y 1X1X2X1X2X1X2k 111uur uuur1 , OP OQ为定值.-一-,解得y 一,所以Q点的坐标为 Xo,-k 1kkuuu uur1所以 OP OQ (0, k) Xo,- k本题考查了轨迹方程，定

26、值问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力X21 . （1）已知f x Xe , x R，求函数f x的单调区间和极值;(2)已知a 0,不等式xa 1 exa In x0 （其中e为自然对数的底数）对任意的实数X 1恒成立，求实数a的取值范围.【答案】（1）函数 X的单调减区间为，1，单调增区间为1,.极小值 -,e无极大值.（2） 0。）X【解析】（1）求导得到f X X 1 e根据导数的正负得到函数的单调区间，再计算 极值得到答案.aXa（2）变换得到Xex1nx a e ，设f x xe ,等价于f x f Inx 即XXa;, g X ，根据函数的单调性得到最值得到答案.1n X

27、minIn X（1）函数的定义域为 R, f Xx 1 eX,由 f x 。得，x 1 ,所以当X1 时，f X 0,当 X 1,时，f X 0,所以函数f X的单调减区间为，1 ,单调增区间为 1,1所以当X 1时，fX取得极小值f1-,无极大值.e（2）由 xa1 eX alnx 0得，xeX x a alnx ,即 xex x a In x aaln xln x e，设f x1,则不等式xa 1 ex aln x 0对于任意的实数 x 1恒成立，等价于f xf ln x a由(1)知，函数f x在区间 1,上为增函数，所以x ln x a ,即x aln x对任意白实数x 1恒成立,因为

28、x 1 ,所以ln x 0 ,x即a 对任意白实数x 1恒成立，即 a ln xxln x 1一，贝U g (x)-一-2,由 gln x(ln x)0 得，x e,所以当x 1,e时，g x 0,函数g x在区间1,e上为减函数,当x e, 时，g x 0,函数g x在区间e,上为增函数,所以当x e时，g x取得最小值g e e.所以 a e,即a e.又由已知得a 0,所以，实数a的取值范围是e,0).本题考查了函数的单调性，极值，恒成立问题，将恒成立问题转化为函数的最值问题是解题的关键.22 .已知直线l过点1,0 ,倾斜角为60 ,在以坐标原点为极点,x轴的非负半轴为26极轴的极坐标

29、系中，曲线 C的万程为 22 sin(1)写出直线l的参数方程和曲线 C的直角坐标方程;1(2)若直线l与曲线C相交于A,B两点，设点F 1,0，求77rl | FA |1的值|FB |【答案】(1)直线l的参数方程为y11t2+厂 为参数)，曲线2C的直角坐标方程为22x y / 1. (2) J332【解析】(1)直接利用参数方程和极坐标方程公式化简得到答案tlt2(2)将参数方程彳t入曲线 C的直角坐标方程，利用韦达定理得到tit2811一11算 |FA| |FB| tit216斤|FA| |FB| tit2”立，代入计算得到答案.11(1) .直线l过点1,060 .可设直线l的参数方

30、程为1 -tl? ( t为参凸2曲线C的方程为6 sin2C 22.2. 2 sin6,/.26,.1.2x23y2 6,曲线C的直角坐标方程为1.(2)由(1)知，直线l的参数方程为1 1t2刍2(t为参数)a, b两点所对应的参数分别为t1 , t2将l的参数方程代入到曲线C的直角坐标方程为化简得11t2 8t 16 0t1t2t1t2811161116n 0”|FB|t11611 ,|FA| |FB|t1t2t1tl2t24ti t216、. 311|FA| |FB|FA| |FB |【点睛】 本题考查了极坐标方程，参数方程，韦达定理，意在考查学生的计算能力，利用直线的 参数方程可以简化

31、运算，是解题的关键23 .已知函数 f (x) | x a| |2x 1|, a R.(1)当a 1时，求不等式f x 3的解集;一 一,1一(2)设关于x的不等式fx |2x1|的解集为M ,若1,3M,求实数a的取值范围,515【答案】(1) x| - x -(2)1332【解析】(1) f (x) |x 1| |2x 1| ,讨论x,111,1 x 一和x一计算得22到答案.(2)原题等价于当x，1,，八1, 一时，不等式f x |2x 1|恒成立，化简得到 2x 2 a x 2 ,代入数据计算得到答案(1)当a 1时,f(x) |x 1| |2x 1| ,则所求不等式可化为x 1x 1 2x 131 1x - x 2 ,或 22x 1 3 x 1 2x 1 3x5,解得x,51，原不等式的解集为 x| - x - 33,1(2) . f x |2x 1|的解集包含1, 2，,1,一，八 ，当x 1,-时，不等式f x |2x 1|恒成立，八 C，1.| x a | 12x 1| |2x 1| 在 x 1, 一 上恒成立， 2.|x a| 2x 1 1 2x,即 |x a| 2,2 x a 2,11,-上恒成立，(x 2)max a (x 2)min ,51 a 2 ,所以实数a的取值范围I本题考查了解绝对值不等式，根据解集求参数，解不等式转化为恒成立问题是解题的关键.