一元二次方程从历史到课堂

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1、一元二次方程：从历史到课堂皇甫华 汪晓勤（华东师范大学数学系, 上海, 200062）数学史对于数学教育的价值早在19世纪就已经引起西方数学家、数学史家和数学教育家们的关注1.1972年，数学史与数学教学关系国际研究小组（简称HPM）成立，使得数学史与数学教育关系成为一个数学教育中的一个研究领域.自此，人们对于数学史的作用进行了更为广泛的探讨.英国数学史家John Fauvel总结了应用数学史于数学教学的各种理由如下2：(1) 增加学生的学习动机；(2) 改变学生的数学观；(3) 因为知道并非只有他们自己有困难，因而会感到安慰；(4) 使数学不那么可怕；(5) 有助于保持对数学的兴趣；(6)

2、给予数学以人文的一面；(7) 有助于解释数学在社会中的作用；(8) 有助于发展多元文化进路；(9) 历史发展有助于安排课程内容顺序；(10) 告诉学生概念如何发展，有助于他们对概念的理解；(11) 通过古今方法的对比，确立现代方法的价值；(12) 提供探究的机会；(13) 过去的发展障碍有助于解释今天学生的学习困难；(14) 鼓励优秀生看得更远；(15) 提供跨学科合作的机会.因此，正如John Fauvel和van Mannen所指出的那样，“对于数学史引入数学教学的研究，乃是数学教学研究的重要组成部分.”3HPM成立以来，特别是20世纪80年代以来，许多数学教育家、数学教师对于数学史在数学

3、课堂上的具体运用作了许多探索和尝试，John Fauvel总结了数学史的各种用法如下2：(1) 介绍历史上数学家的故事；(2) 运用历史引入新概念；(3) 促使学生理解为他们所学概念提供解答的历史问题；(4) 讲授数学史课；(5) 利用历史上的数学教材设计课堂练习和作业；(6) 举办历史主题的展览；(7) 运用历史上的典型例子来说明方法和技术；(8) 探索过去的错误、另类观点以帮助今天的学习者理解并解决困难；(9) 借鉴历史设计一个话题的教学方法；(10) 基于历史信息进行课程的整体设计.国外学者、教师运用数学史于数学教学的一些具体案例，能为我们的教师提供借鉴，给他们一些启发，在有关知识点的教

4、学设计中增加一个历史的视角.本文介绍L.Radford和G. Gurette关于一元二次方程的一种教学设计4.该设计借鉴了古代巴比伦人的一元二次方程的几何解法.大英博物馆藏巴比伦泥版BM13901上有如下问题：“正方形面积与边长之和为，求边长.”解法：“置投影（projection）1，半之，得.和构成矩形，将与相加， 图 1得1，从中减去，即得边长为.”（分数为今天的写法）数学史家Hfyrup认为，巴比伦人上述解法的依据乃是图1所示的几何图形.将置于正方形一边上的长为1、宽与正方形边长相等的长方形按虚线剪开，剪下的一半置于正方形的另一边，然后补一个边长为的小正方形，即得一大正方形，其面积为，

5、边长为1，减去，即得所求正方形的边长.类似地，耶鲁大学所藏巴比伦泥版YBC6967上的一个问题相当于说，已知两数乘积为60，它们的差为7，求这两个数.以今天的记数法来表示，解法如下：取7的一半，得，自乘，得；与60相加，得，开方，得.记下，分别减去和加上，得一数为5，另一数为12.所用几何方法如图2所示5. 图 29世纪，阿拉伯数学家花拉子米（Al-Khwarizmi, 780?850?）也用上述方法来解一元二次方程.在代数学中，花拉子米给出一元二次方程的两种几何方法6，如图3所示. 图 3 1 几何方法之引入先让学生分组合作，用任何方法解下面的问题：问题1 已知矩形的半周长为20，面积为96

6、。求矩形的长和宽.在学生完成之后，教师在黑板上用硬纸板介绍几何方法如下（图4）：（1）取边长为10的正方形，其面积为100；（2）割去面积为4的正方形（边长为2），余下的面积为96；（3）按虚线剪去小矩形（长为8，宽为2）；（4）将小矩形竖直放置在右侧. （1） （2） （3） （4）图 4于是，所求的矩形长为12，宽为8. 接着，教师让学生用几何方法解类似的问题：“已知矩形的半周长为12，面积为30.求矩形的长和宽.”注意，此时应割去的小正方形边长为无理数。让学生书面总结解这类问题的一般步骤. 2 合作讨论与提出问题分组讨论解上述问题的步骤、出现矛盾的情形，每组选一名代表向其他组介绍自己所在

7、组的讨论结果.接着，教师让学生自己提出类似问题，分别要求：（1）所求矩形的长和宽为整数；（2）所求矩形的长和宽不能为整数. 3 新的矩形问题教师提出新的问题：问题2 矩形的长为10，宽未知.在矩形一边放一正方形，如图所示.已知矩形和正方形面积之和为39.问矩形的宽为多少？ 让学生用解问题1的方法来解本题.若学生不能完成，教师用硬纸板来演示新的解法（图5）：（1）将原矩形沿竖直方向分割成两半；（2）其中一半粘到正方形的底边；（3）在右下角补一个边长为5的小正方形.于是，整个正方形的面积为39+25=64，从而得边长为8.因此，. 接着，教师让学生解类似的问题，并书面总结解这类问题的一般步骤.（1

8、） （2） （3） （4）图 5 4 合作讨论与提出问题分组讨论解上述问题的步骤.每组选一名代表向其他组介绍自己所在组的讨论结果.然后，教师让学生自己提出类似问题，分别要求：（1）矩形的长和宽为整数；（2）矩形的长和宽为分数；（3）矩形的长和宽为无理数. 5 求根公式的再发现 教师提问：根据前面总结的解题步骤，能否找到一般公式，直接求得问题2以及类似问题的解呢？引导学生用字母b表示问题2中的矩形的长，c表示矩形和正方形的面积之和.分组讨论矩形宽的计算公式： . （1）教师将上述几何问题翻译成代数语言：. （2）上式即为该方程的求根公式.接着，教师让学生用该公式解具体的一元二次方程，如，等.接下

9、来，教师让学生找出一元二次方程. （3）的求根公式.引导学生将二次项系数化成1，即方程两边同除以a，即得方程（2）形式：.故在公式（1）中用代替b，用代替c，即得公式 . （4） 最后，考虑一般方程. （5）显然，（5）写成（3）的形式，就是，因此，在公式（4）中用代替c，即得方程（5）的求根公式或即.为了获得一元二次方程的所有根，我们必须考虑的负平方根，因此，方程（5）的完整的求根公式即为.本设计属于Fauvel所说的数学史的第9种用法“借鉴历史设计一个话题的教学方法”，它所依据的是历史发生原理，即学生对数学概念的认知过程与概念的历史发展过程具有相似性.从历史上看，从古代巴比伦、希腊、中国，

10、到中世纪的阿拉伯（花拉子米）和欧洲（斐波纳契），人们求解一元二次方程时都运用了几何方法.因此，通过几何方法引入一元二次方程的解法，较能符合学生的认知规律，体现了发生教学法的主要特征之一主题之可接受性，即所引入之新主题建立在学生已有的认知基础之上.但是，我们也应该注意，由于古今数学发展水平、学习条件和环境的巨大差异，今天学生对数学概念的认知过程与概念的历史发展过程之间的相似性只能是相对的、不严格的.就一元二次方程而言，中世纪以前人们对几何方法的依赖是与修辞代数这一代数学发展的初级水平息息相关的.而今天，学生在学习一元二次方程之前，已经完成了从算术到符号代数这一代数学高级水平的过渡.如果教学中过于

11、依赖几何方法，那么学生的思维反而会受到束缚.因此，本教学设计的局限性是显而易见的. 参考文献1 汪晓勤等. HPM的历史渊源（J）. 数学教育学报, 2003 (3).2 Fauvel, J. Using history in mathematics education. For the Learning of Mathematics, 1991, 11(2): 3-6.3 Bagni, G. T. et. al. Ancient Zara game and teaching of probability: an experimental research in Italian High Sc

12、hool. Proceedings of MCOTS-2, Oshkosh: Department of Mathematics University of Wisconsin, 1999.4 Radford, L., Gurette, G. Second degree equations in the classroom: a Babylonian approach. In: V. J. Katz (Ed.), Using History to Teach Mathematics, Washington: Mathematical Association of America, 2000. 69-75.5 Robson E. Neither Sherlock Holmes nor Babylon: a reassessment of Plimpton 322. Historia Mathematica, 2001, 28: 167-206.6 Struik, D. J. A Source Book in Mathematics. M Princeton: Princeton University Press, 1986.（本文已经刊发）6