两类曲面积分的关系及其应用

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1、学生：其亮学号：所在院系：数学与统计学院专业：数学与应用数学指导教师：艳梅老师目录摘要 3关键词 3ABSTRACT 3KEY WORDS 3前言 41预备知识 41.1两类曲面积分的定义与相关性质 4（1）第一型曲面积分的定义 4（2）第二型曲面积分的定义 4（3）两类曲面积分的相关性质 51.2两类曲面积分的关系 52 两类曲面积分关系的应用 52.1将对坐标的曲面积分转化为对面积的曲面积分 52.2将对面积的曲面积分转化为对坐标的曲面积分 103.小结 12参考文献 11致 12摘要：本文讨论了两类曲面积分的关系并给出了其应用 关键词：曲面，侧，第一型曲面积分，第二型曲面积分The re

2、lationship between the two kinds of surface integralsand its applicationAbstract : In this paper, the relati on ship betwee n the two kinds of surface in tegrals ar( discussed and the applicati ons are give n.Key words : The curved surface; side; the first type of surface integral; the second type o

3、f surface in tegral0.刖言在数学分析中第二型曲面积分的计算是一个重点也是一个难点问题1.若空间区域v是由分片光滑的双侧封闭曲面 S所围成，函数P,Q, R在V上具有一阶的连续偏导数，则可以利用高斯公式计算第二型曲面积分2.若曲面S在xoy面上的投影为一条线，且被积函数P,Q,R及它们的一阶偏导数不连续的情况下，则通常用直接投影法来处理呵.当曲面的方程由参数形式给出时，可以用参数形式计算4-7.当然第二型曲面积分还可以利用stokes公式化为第二型曲线积分来计算5 p .如果在上述方法都无法解决的情况下，我们可以考虑利用两类曲面积分之间的关系计算第二型曲面积分同.下面将探讨两

4、类曲面积分的关系以及这种关系的应用.1.预备知识1.1两类曲面积分的定义与相关性质(1 )第一型曲面积分的定义定义19设S是空间中可求面积的曲面，f x, y,z为定义在S上的函数.对曲面S作分割T ,它把S分成n个小曲面块Si 1,2,L ,n，以S记小曲面块Si的面积，分割T 的细度T max Si的直径.在S上任取一点 i, i, i i 1,2丄，n，若极限1 i nSi存在，且与分割T及i, i, i i 1,2丄，n的取法无关，则称此极限为f x, y, z在S上的第一型曲面积分，记作f x, y,z dS.S(2 )第二型曲面积分的定义定义29设P,Q,R为定义在双侧曲面 S上的

5、函数.在S所指定的一侧作分割 T，它把S分为n个小曲面S,S2丄，Sn，分割T的细度|t| max Si的直径，以Syz, Szx,屯分别表示Si在三个坐标面上的投影区域的面积， 它们的符号由Si的方向来确定.若Si的法线 正向与z轴正向成锐角时，Si在xy平面的投影区域的面积 Sxy为正.反之，若Si法线正向 与z轴正向成钝角时，它在 xy平面的投影区域的面积 S为负.在各个小曲面Si上任取一若p 1n, oi ml, Jl点zSyQo mh HrmH_lsysx存在，且与曲面S的分割T和i，i，i在Si上的取法无关，则称此极限为函数PQR在曲面S所指定的一侧上的第二型曲面积分，记作P x,

6、 y, z dydz Q x, y, z dzdx R x, y, z dxdy.S(3)曲面积分的相关性质(i )若积分曲面S关于x,y,z具有轮换对称性，则f x, y, z dydz f y,z,x dzdx f z,x,y dxdy.SSS(ii )设空间区域V由分片光滑的双侧封闭曲面S围成若函数P , Q, R在V上连续，且有一阶连续偏导数，则dxdydz=Pdydz Qdzdx Rdxdy,S其中S取外侧1.2曲面积分的关系定理19:设曲面S为光滑曲面，正侧的法向量为 cos ,cos ,cos , P x,y,z ,Q x,y,z , R x, y,z在S上连续，则有x, y,

7、z dxdyR x, y, z cos )dS.P x, y, z dydz Q x, y, z dzdx RS(P x, y,z cos Q x,y,z cosS推论设光滑曲面S的方程为Fx,y,zP x,y,z , Q x,y,z , R x,y,z 在S上连续，则PdydzSQdzdx RdxdyFx2 F2 F2xyzFy2F2xyFz2R fFzdS.-.Fx2Fy2Fz2定理29:设P,Q, R是定义在光滑曲面z x,y , x, yD上的连续函数,以S的上侧为正侧，则P x, y, z dydz Q x,y, z dzdx R x,y,z dxdy =Q x, y, zR x,

8、y,zdS.SczxP x, y,z2 2S1 zx zy2.两类曲面积分关系的应用2.1将对坐标的曲面积分转化为对面积的曲面积分例1把对坐标的曲面积分P x, y, z dydz Q x, y, z dzdx R x, y, z dxdyS化为对面积的曲面积分，其中：(1) S是平面3x 2y 2、,3z 6在第一卦限的部分的上侧;(2)S是抛物面z 8 x2 y2在xOy面上方的部分的上侧解(1)平面上侧的法向量为 n 3,2,23，其方向余弦为322 /-cos ， cos ， cos3，于是555Pdydz Qdzdx Rdxdy Pcos Qcos Rcos dSSS322品=-P

9、Q -R dSS 555(2)因S是抛物面z 8 x2 y2在xOy面上方的部分的上侧，所以其法线向量应取为n 2x,2y,1，其方向余弦为2x2y1cos ， cos ：， cos J14?4y2賦4x4y2&474于是P x, y, z dydz Q x, y, z dzdx R x, y, z dxdyS= Pcos Q cos Rcos dSS2xP 2yQ RdS s 1 4x 4y例2计算f x,y,z x dydz 2 f x, y,z y dzdx f x, y, z z dxdy, S 为平S面x y z 1在第象限部分的上侧，其中f x, y, z为S上的连续函数.解由于为

10、函数ff x, y,z是抽象函数，所以原曲面积分无法通过投影化为二重积分来计算；又因x, y,z是连续函数，不一定有一阶连续偏导数，所以也不能应用高斯公式，因此可考虑转化为第一类曲面积分来计算平面x y1的法向量n 1,1,1，则coscos， cos31 f x,y,z1 12f x,y, z y f x, y,zdS1=_ x y z dS.3 s=1 dSv3 s1._=/3dxdy3 D例3计算曲面积分2x2S2y2 z dydz z2dxdy，其中 S x, y,zz x2y2,z0,1 ，取上侧.解 如果直接计算，需要把S分别投影到yoz和xoy平面上，且积分2x2 2y2 z d

11、ydz需要分前侧与后侧，现在利用两类曲面积分的关系，先转化为第一S型曲面积分，再统一计算二重积分Zx2x，Zy2y，2 22x 2y2x2 2y2Dx2 y2 2x2 2 2x y dxdy2x x2 y2 2dxdy3r2 2r cos r4 rdrdD1c 45,z2 dzdx ZY2、x2dxdy，其中S6r cos r drdDi2r5 dr= d146r cos00例4计算出积分xy2 x2 z2 dydzx2S为圆锥面x2z2y2介于0 y h，取外侧.解 S的方程为z2，选取外侧，则xyxx 22x zYzz-22x zxy2 , x2 z2 ,Qz2, R zy21 x原式=Y

12、x2Yx2Yz12Yx2YzYz2YxdS2Yzx x2z2Yxx2z2z x2z2yz dxdzx2z2x2z2x2z2 dxdzr2 r2 r2rdrdDir3 drh6h432例5计算曲面积分xy *22ye . 1 x y2 dydz xexy 1 x2 y2 dzdxzdxdy,其中S是旋转抛物面z 1 x22oY介于平面z 0及z 2之间的部分的下侧.y ,Zxx , Zyy，令Pyexy, 1 x2y2 , Qxex、.、1 x2 y2 , Rz.原式=SZy_ R dS2 2Zx Zyyey2 dxdyxej x2 y21 x2 y2 dxdy2rdrdDi=4 .例6计算|I

13、2 2 2x dydz y dzdx z dxdy，Sd其中1) S是顶点为1,0,0 ,0,1,0 ,0,0,1的三角形的下侧00】r3dr22 2 2 22) S是x y Z R的外侧.解1)因曲面S的方程为x y Z 1或Z 1 x y，关于x, y, Z为轮换对称，有x2dydzy2dzdxz2dxdy.SSS由对称性，只需计算I1z2 dxdyz2 cos dS，SS由于取的是S的下侧，所以法向量为 n 1, 1, 1 .S在xy平面上的投影为D x, y x 0, y 0,x y 1 ，于是有2 丨11 x y dxdyn cos ,cos ,cosR R Rx2dydz2x co

14、sdS3x dSRy2dzdx2y cosdS3y dSRz2dxdy2z cosdS3z dSS R0.这是因为S的方程中x换为3x形式不变，而被积函数x将x换为 x要变号，于是有R3xdS 0. S R同理其余两个积分为零，最后得I 0.2.2将对面积的曲面积分转化为对坐标的曲面积分利用第一型曲面积分与第二型曲面积分之间的关系，可以把第一类曲面积分转化为第二类曲面积分计算，即Pcos Qcos Rcos ds = Pdydz Qdzdx Rdxdy,SS其中 cos , cos，和cos是有向曲面S处于点 x, y,z处的法向量的方向余弦例7求 z3dS，其中S为上半球面x2 y2 z2

15、1 z 0取下侧.S解 将第一型曲面积分化为第二型曲面积分,S表示上半球面的下侧，这时法线与z11 x2dy=dx0 01x y1 131=一 1xdx53 0123I11I42) S外侧的单位法向量为轴成钝角，cosZ,故z3dS=z2dxdy =SSx22 2 21 x y dxdy =y2 1001rdr= 2计算2”y dS，其中曲面S为s x2 4y2 4z2x22 2x 2y2z22.将S所围成的空间闭区域记为 V .F x, y,zx2 2y2 2z22，则选取S在任一点x,y,z处的外法向量为2x,4y,4z，将其单位化为cos ,cos,cos,x2 4y2 4z2 x，2y

16、，2z而此时dS4z22xs x2 4y2xcos dSSxdydzSdxdydzVdSs , x2 4y2 4z2ycos dS ydzdxdxdydzV2 .2故有x2x24y2=dS4z22、2在计算两类曲面积分的过程中，3.小结右常用方法比较困难或者无法计算时，可以考虑用两类曲面积分的关系计算两类曲面积分.S参考文献1 艳辉第二型曲面积分的计算J.科技学院学报，2013,34(8):5-8.2 柴春红.第二类曲面积分的计算方法J.数学学习,2004,7(2):32-33.3 景慧丽.第二类曲面积分的计算方法J.高等数学研究,2011,14(4):87-91.4 甘泉.第二型曲面积分的参

17、数形式计算J.高等数学研究,2010,13(1):85-87. 吴燕.第二类曲面积分的五种求法J.考试周刊,2009,33(1):72-73. 云艳.第二型曲面积分计算的几种方法及应用J.泰山学院学报,2004,26(6):36-39.7 孝先.计算第二型曲面积分的实例分析J.高等数学研究，2001,4(1):34-36.8 孟庆贤.第二型曲面积分与曲面无关性J.民族师学院学报，1994,S2:114-115.9 华东师大学数学系.数学分析(下册)M.:高等教育,2010:293-309.致在本文的撰写过程中， 得到了艳梅老师的精心指导， 正是由于她在百忙之中多次审阅全文，对细节进行修改，并为本文的撰写提供了许多宝贵的意见，本文才得以成型.在此特向艳梅老师致以衷心的意！ 其次，感黄梅，义和耕耘助学会叶胜杰先生的资助，我的大学才得 以顺利完成.最后，感学院老师和同学对我的帮助 .