121常数项级数

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1、上页 下页 返回 结束 无穷级数 无穷级数无穷级数无穷级数是研究函数的工具无穷级数是研究函数的工具表示函数表示函数研究性质研究性质数值计算数值计算数项级数数项级数幂级数幂级数付氏级数付氏级数第十二章上页 下页 返回 结束 常数项级数的概念和性质 一、常数项级数的概念一、常数项级数的概念 二、无穷级数的基本性质二、无穷级数的基本性质 三、级数收敛的必要条件三、级数收敛的必要条件 *四、柯西审敛原理四、柯西审敛原理 第一节 第十二章 上页 下页 返回 结束 一、常数项级数的概念一、常数项级数的概念 上页 下页 返回 结束 现在，我们来定义无穷级数现在，我们来定义无穷级数.数列：数列：nu,321n

2、uuuu考虑数列各项的和：考虑数列各项的和：123nuuuu无穷级数：无穷级数：1231nnnuuuuu上页 下页 返回 结束 级数的例子：级数的例子：11111122482nnn1111111234nnn 1123nnn 111( 1)1 1 11( 1)nnn 上页 下页 返回 结束 无穷多个数的和是否仍然是一个数？无穷多个数的和是否仍然是一个数？其和是什么？其和是什么？11111122482nnn考虑它的前考虑它的前 n 项的和项的和nS部分和部分和112S 2113244S 311172488S 11112482nnS 211122nnn 1limlim(1)12nnnnS11lim1

3、2nnnnS1上页 下页 返回 结束 又如又如1123nnn 11S 2123S 31236S 123nSn (1)2n n(1)limlim2nnnn nS 1limnnnnS 上页 下页 返回 结束 定义：定义：给定一个数列给定一个数列,321nuuuu将各项依将各项依,1nnu即即1nnunuuuu321称上式为称上式为无穷级数无穷级数， 其中第其中第 n 项项nu叫做级数的叫做级数的一般项一般项,级数的前级数的前 n 项和项和nkknuS1称为级数的称为级数的部分和部分和.nuuuu321次相加次相加, 简记为简记为,lim存在若SSnn收敛收敛 ,则称无穷级数则称无穷级数并称并称 S

4、 为级数的为级数的和和,（也称级数收敛于（也称级数收敛于S ）注：注：关于无穷级数的定义是纯形式的，这里的关于无穷级数的定义是纯形式的，这里的“+”与代数里的加号有区别，代数里的加法与代数里的加号有区别，代数里的加法只是对有限多项施行的只是对有限多项施行的.上页 下页 返回 结束 1nnuS当级数收敛时当级数收敛时, 称差值称差值21nnnnuuSSr为级数的为级数的余项余项.,lim不存在若nnS则称无穷级数则称无穷级数发散发散 .显然显然0limnnr，若若ssn 误误差差是是nr记作记作发散级数没有和！发散级数没有和！上页 下页 返回 结束 级数与数列极限的关系级数与数列极限的关系给定级

5、数给定级数1nnu就有部分和数列就有部分和数列1,nninSu,ns给定数列给定数列反之，反之，就有以其为部分和数列的级数就有以其为部分和数列的级数 )()(1121nnsssss 211)(nnnsss,1 nnu).2(,111 nssusunnn其中其中同时收敛或同时发散，同时收敛或同时发散，与与1nnnsu 由定义，由定义，给出了由部分和数列确给出了由部分和数列确定该级数定该级数 的每一的每一项的公式项的公式. 1nnu在收敛时，有在收敛时，有,lim1nnnnsu .lim11 niinnnuu即即上页 下页 返回 结束 解解,1时时如如果果 q12 nnaqaqaqasqaqan

6、1,11qaqqan 例例.)0(20的的收收敛敛性性数数）讨讨论论等等比比级级数数（几几何何级级 aaqaqaqaaqnnn,1时时当当 q，由于由于0lim nnq，从而从而qasnn 1lim,1时时当当 q，由于由于 nnqlim，从而从而 nnslim 级数级数收敛，收敛， 级数级数发散发散分析：利用级数收敛的定义来讨论分析：利用级数收敛的定义来讨论上页 下页 返回 结束 ,1时时如果如果 q,1时时当当 q,1时时当当 q，由于由于 nasn 级数级数发散，发散，, aaaa级数变为级数变为不不存存在在，所所以以nns lim 级数级数发散发散 综上综上 .,1,10发散发散时时当

7、当收敛收敛时时当当qqaqnn nnnaqaqaqaaq20nSn 为奇数为奇数n 为偶数为偶数,a,0上页 下页 返回 结束 2.收敛等比级数的求和公式收敛等比级数的求和公式等比级数的和等比级数的和=1首项公比 .,1,10发散发散时时当当收敛收敛时时当当qqaqnn1.等比级数的收敛性等比级数的收敛性上页 下页 返回 结束 nnnu 1232因为因为,3441 n已知级数为等比级数，已知级数为等比级数，,34 q公比公比, 1| q因为因为.所以原级数发散所以原级数发散解解例例.32012的收敛性的收敛性判定无穷级数判定无穷级数 nnn由等比级数的敛散性，由等比级数的敛散性， .,1,10

8、发散发散时时当当收敛收敛时时当当qqaqnn上页 下页 返回 结束 例例3. 3. 判别下列级数的敛散性判别下列级数的敛散性: : .) 1(1)2( ;1ln) 1 (11nnnnnn解解: (1) 12lnnSnnln) 1ln()2ln3(ln) 1ln2(ln) 1ln( n）n(所以级数所以级数 (1) 发散发散 ;技巧技巧:利用利用 “拆项相消拆项相消” 求求和和23ln34lnnn1ln上页 下页 返回 结束 ) 1(1431321211nnSn211111n）n(1所以级数所以级数 (2) 收敛收敛, 其和为其和为 1 .31214131111nn技巧技巧:利用利用 “拆项相消

9、拆项相消” 求求和和 .)1(1)2(1nnn上页 下页 返回 结束 二、无穷级数的基本性质二、无穷级数的基本性质上页 下页 返回 结束 性质性质1. 若级数若级数1nnu收敛于收敛于 S ,1nnuS则各项则各项乘以常数乘以常数 c 所得级数所得级数1nnuc也收敛也收敛 ,证证: 令令,1nkknuS则则nkknuc1,nScnnlimSc这说明这说明1nnuc收敛收敛 , 其和为其和为 c S . nnSclim说明说明: 级数各项乘以级数各项乘以非零常数非零常数后其敛散性不变后其敛散性不变 .即即其和为其和为 c S .思考：若 发散，则 收敛还是发散？1nnuc 1nnu二、无穷级数

10、的基本性质二、无穷级数的基本性质上页 下页 返回 结束 性质性质2. 设有两个收敛级数设有两个收敛级数,1nnuS1nnv则级数则级数)(1nnnvu 也收敛也收敛, 其和为其和为.S证证: 令令,1nkknuS,1nkknv则则)(1knkknvu nnS)(nS这说明级数这说明级数)(1nnnvu 也收敛也收敛, 其和为其和为.S上页 下页 返回 结束 说明说明:(3) 若两级数中一个收敛一个发散若两级数中一个收敛一个发散 , 则则)(1nnnvu 必发散必发散 . 但若二级数都发散但若二级数都发散 ,)(1nnnvu 不一定发散不一定发散.例如例如, ,) 1(2nnu取,) 1(12

11、nnv0nnvu而(2) 性质性质2 表明收敛级数可逐项相加或减表明收敛级数可逐项相加或减 .(用反证法可证用反证法可证)设有两个收敛级数设有两个收敛级数,1nnuS1nnv则级数则级数)(1nnnvu 也收敛也收敛,其和为其和为. S为任意常数）为任意常数） ,(1)性质性质1、2结合起来可写成：结合起来可写成：上页 下页 返回 结束 性质性质3. 在级数前面加上或去掉或改变在级数前面加上或去掉或改变有限项有限项, 不会不会影响级数的敛散性影响级数的敛散性. 证证: 将级数将级数1nnu的前的前 k 项去掉项去掉,1nnku的部分和为的部分和为nllknu1knkSSnknS与,时由于n数敛

12、散性相同数敛散性相同. 当级数收敛时当级数收敛时, 其和的关系为其和的关系为.kSS 类似可证前面加上或改变有限项的情况类似可证前面加上或改变有限项的情况 .极限状况相同极限状况相同, 故新旧两级故新旧两级所得新级数所得新级数注：一个级数是否收敛，取决于按照一定规律无休注：一个级数是否收敛，取决于按照一定规律无休止地给出的那些项是怎样的，而不是取决于前面的止地给出的那些项是怎样的，而不是取决于前面的有限多项是什么有限多项是什么.如级数如级数,212111收敛收敛 n.212175113也收敛也收敛 n上页 下页 返回 结束 性质性质4. 收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级收敛级数加括弧后所

13、成的级数仍收敛于原级数数的和的和.证证: 设收敛级数设收敛级数,1nnuS若按某一规律加括弧若按某一规律加括弧,)()(54321uuuuu则新级数的部分和序列则新级数的部分和序列 ), 2 , 1(mm为原级数部分和为原级数部分和序列序列 ),2,1(nSn的一个子序列的一个子序列,nnmmS limlimS推论推论: 若加括弧后的级数发散若加括弧后的级数发散, 则原级数必发散则原级数必发散.注意注意: 收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.,0) 11 () 11 (但1111发散.因此必有因此必有例如，用反证法可证用反证法可证例如例如注注:(1)此性质

14、说明收敛级数项中任意加括号，此性质说明收敛级数项中任意加括号，既既不改变级数的收敛性，也不改变它的和不改变级数的收敛性，也不改变它的和.(2)若一个级数加括号后收敛，则原级数敛散性不若一个级数加括号后收敛，则原级数敛散性不定定.上页 下页 返回 结束 上页 下页 返回 结束 上页 下页 返回 结束 三、级数收敛的必要条件三、级数收敛的必要条件上页 下页 返回 结束 设收敛级数设收敛级数,1nnuS则必有则必有.0limnnu证证: 1nnnSSu1limlimlimnnnnnnSSu0SS可见可见: 若级数的一般项不趋于若级数的一般项不趋于0 , 则级数必发散则级数必发散 .例如例如,1) 1

15、(544332211nnn其一般项为1) 1(1nnunn不趋于0,因此这个级数发散.nun,时当注：注：级数的一般项不趋于级数的一般项不趋于0 , 是判定级数发散的是判定级数发散的一种常用方法一种常用方法 .三、级数收敛的必要条件三、级数收敛的必要条件上页 下页 返回 结束 注意注意:0limnnu并非级数收敛的充分条件并非级数收敛的充分条件.例如例如, 调和级数调和级数nnn13121111虽然虽然，01limlimnunnn但此级数发散但此级数发散 .事实上事实上 , 假设调和级数收敛于假设调和级数收敛于 S , 则则0)(lim2nnnSSnn2nnnn21312111但但nnSS2矛

16、盾矛盾!所以假设不真所以假设不真 .21调和级数发散很调和级数发散很慢，其一亿项的慢，其一亿项的部分和不超过部分和不超过20.上页 下页 返回 结束 例例4.判断级数的敛散性判断级数的敛散性:141141131131121121解解: 考虑加括号后的级数考虑加括号后的级数)()()(1411411311311211211111nnan12nnna2发散发散 ,从而原级数发散从而原级数发散 .nn121上页 下页 返回 结束 :,求出它的和求出它的和如果收敛如果收敛判别下列级数的收敛性判别下列级数的收敛性;)!1()1(1 nnn ;122)3(1 nnnn.ln1)4(2 nnn;,)2(1

17、Rbababbaannn例例5上页 下页 返回 结束 1)!1()1(nnn )!1(1!1! 41! 31! 31! 21! 211nnsn, 1)!1(11lim nn因因. 1)!1(1 nnn且且 1)!1(11nnn解解,)!1(1!11 nnn,)!1(11 n,故原级数收敛故原级数收敛上页 下页 返回 结束 ，因为因为10 , 10)2( babbaa知知根据收敛级数的性质得根据收敛级数的性质得均收敛，均收敛，和和所以所以nnnnbabbaa 11,11abbabbabaannnn 且且收敛，收敛， 1nnnbabbaa.abba 且和为且和为上页 下页 返回 结束 nnnun

18、122)3(由于由于)1()12()23()34()12()23(nnnnsn 因此因此, 21lim nns . 21,1221 其和为其和为收敛收敛故级数故级数nnnn),1()12(nnnn 1221 nn,12121 nn上页 下页 返回 结束 ,eln1)4()ln(lnnnnnnu 记记nnnnnu)ln(lnelimlim 因而因而xxn)ln(lnlim 因为因为, 0)ln(lnlim nnn所以所以xxnln1lim , 0 ,于零于零由于级数的一般项不趋由于级数的一般项不趋, 1e0 .ln12发散发散所以级数所以级数 nnn上页 下页 返回 结束 的充要条件是的充要条件

19、是:定理定理.收敛级数1nnu, 0,ZNpnnnuuu21时，当Nn ,Zp对任意有有证证: 设所给级数部分和数列为设所给级数部分和数列为),2, 1(nSn因为因为npnpnnnSSuuu21所以所以, 利用数列利用数列 ),2, 1(nSn的柯西审敛原理的柯西审敛原理(第一章第一章第六节第六节) 即得本定理的结论即得本定理的结论 .* *四、柯西审敛原理四、柯西审敛原理上页 下页 返回 结束 例例7. .112的敛散性nnpnnnuuu21解解: ,Zp对任意有有利用柯西审敛原理判别级数利用柯西审敛原理判别级数 222)(1)2(1) 1(1pnnn)(1(1)2)(1(1) 1(1pn

20、pnnnnn)111()2111()111(pnpnnnnnpnn11n1上页 下页 返回 结束 , 0，取1N当当 nN 时时,Zp对任意都有都有nuuupnnn121由柯西审敛原理可知由柯西审敛原理可知, 级数级数 .112收敛nn上页 下页 返回 结束 .2)1(2)2(1nnn;)211()1(1nnn. )831()3(1nnn.31)4(1nn课堂练习课堂练习. . 判断下列级数的敛散性判断下列级数的敛散性, , 若收敛求其和若收敛求其和: :发散发散 收敛收敛 发散发散 收敛收敛 上页 下页 返回 结束 小结1 1. .由由定定义义, ,若若ssn, ,则则级级数数收收敛敛; ;2 2. .当当0lim nnu, ,则则级级数数发发散散; ;3 3. .按按基基本本性性质质. .常数项级数的基本概念常数项级数的基本概念基本审敛法基本审敛法上页 下页 返回 结束 作业作业 3, 4（2,5）