77[1]多元函数的极值及其应用

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1、17-7 多元函数的极值及其应用多元函数的极值及其应用2复复 习习1. 隐函数求导公式隐函数求导公式(1)( , )0( )F x yyf x (2)( , , )0( , )F x y zzf x y ddyxxyFF xzFzxF yzFzyF 公式法公式法：谁看成变量谁看成变量.,xyzFFF时把谁看成常量，时把谁看成常量，注意求注意求直接法直接法： 两边求导两边求导,这时若对这时若对x求导求导,把把z看成看成x和和y的函数的函数( , , )0F x y z 2.求隐函数求隐函数 偏导的两个方法偏导的两个方法3一、多元函数的极值一、多元函数的极值 二、多元函数的最值二、多元函数的最值

2、三、条件极值三、条件极值 第七章 第七节第七节多元函数的极值及其应用多元函数的极值及其应用4的图形的图形观察二元函数观察二元函数22yxexyz 一、多元函数的极值一、多元函数的极值5的图形的图形观察二元函数观察二元函数22yxexyz 一、多元函数的极值一、多元函数的极值6的图形的图形观察二元函数观察二元函数22yxexyz 一、多元函数的极值一、多元函数的极值7的图形的图形观察二元函数观察二元函数22yxexyz 一、多元函数的极值一、多元函数的极值8的图形的图形观察二元函数观察二元函数22yxexyz 一、多元函数的极值一、多元函数的极值9的图形的图形观察二元函数观察二元函数22yxex

3、yz 一、多元函数的极值一、多元函数的极值10的图形的图形观察二元函数观察二元函数22yxexyz 一、多元函数的极值一、多元函数的极值11的图形的图形观察二元函数观察二元函数22yxexyz 一、多元函数的极值一、多元函数的极值12的图形的图形观察二元函数观察二元函数22yxexyz 一、多元函数的极值一、多元函数的极值13的图形的图形观察二元函数观察二元函数22yxexyz 一、多元函数的极值一、多元函数的极值14的图形的图形观察二元函数观察二元函数22yxexyz 一、多元函数的极值一、多元函数的极值15的图形的图形观察二元函数观察二元函数22yxexyz 一、多元函数的极值一、多元函数

4、的极值16的图形的图形观察二元函数观察二元函数22yxexyz 一、多元函数的极值一、多元函数的极值17的图形的图形观察二元函数观察二元函数22yxexyz 一、多元函数的极值一、多元函数的极值18),(yxfz ),(00yx),(00yx，),(yx00( , )( ,)f x yf x y ，),(00yx；),(00yxf，),(),(00yxfyxf ),(00yx).,(00yxf1920例例1 12234zxy 函函数数(0,0)在在处处有有极极小小值值(1)（椭圆抛物面）（椭圆抛物面）例例22zxy 函函数数(2)(0,0)在在处处有有极极大大值值（圆锥曲面）（圆锥曲面）例例z

5、xy 函函数数(0,0)在在处处无无极极值值（双曲抛物面或称马鞍面双曲抛物面或称马鞍面）(3)21. 0)(0 xf0 x)(xf0 x22),( yxfz ),(00yx),(00yx. 0),(, 0),(0000 yxfyxfyx),( yxfz ),(00yx ),(yx),(00yx ),(00yx，),(),(00yxfyxf 00,xxyy ，),(),(000yxfyxf ),(0yxf0 xx ；0),(00 yxfx.0),(00 yxfy23推广：推广：000( , , )(,)uf x y zP xy z 若若三三元元函函数数在在点点处处具具有有偏偏导导数数, ,000

6、(,)P xy z它它在在点点有有极极值值的的必必要要条条件件为为：000000000(,)0(,)0(,)0.xyzfxy zfxy zf xy z ，（具有偏导数的函数的极值点才是驻点）（具有偏导数的函数的极值点才是驻点）2422yxz 22yxz 25),(yxfz ),(00yx, 0),(, 0),(0000 yxfyxfyx,),(00Ayxfxx ),(yxf),(00yx02 BAC0 A0 A02 BAC02 BAC,),(00Byxfxy ,),(00Cyxfyy 26, 0),( yxfx0),( yxfy ),(yxfz ，),(00yx2BAC 27例例1. 求函数求

7、函数解解: 第一步第一步 求驻点求驻点.得驻点得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (3, 0) , (3, 2) .第二步第二步 判别判别.在点在点(1,0) 处处为极小值为极小值;解方程组解方程组ABC),(yxfx09632 xx),(yxfy0632yy的极值的极值.求二阶偏导数求二阶偏导数,66),( xyxfxx,0),(yxfyx66),(yyxfyy,12A,0B,6C,06122 BAC5)0, 1 ( f,0Axyxyxyxf933),(223328在点在点(3,0) 处处不是极值不是极值;在点在点(3,2) 处处为极大值为极大值.,66),( xyxfxx,0),

8、(yxfyx66),(yyxfyy,12A,0B,6C,06122 BAC)0,3( f6,0,12CBA31)2,3( f,0)6(122 BAC,0A在点在点(1,2) 处处不是极值不是极值;6,0,12CBA)2, 1 (f,0)6(122 BACABC29例例2：求函数求函数333zxyxyyxzx332 解解xyzy332 3 xyzBxzAxx6 yzCyy6 解方程组解方程组0332 yx0332 xy 得驻点得驻点(1,1),(0,0)(1,1),(0,0)6,3,6ABC 2369270ACB (1,1)1zz 极极小小0,3,0ABC 290ACB 故所求函数的极值为故所求

9、函数的极值为:1)1 , 1( zz极小极小对驻点对驻点(1,1) :对驻点对驻点(0,0) :(0,0)所以函数在所以函数在 处无极值处无极值. .的极值的极值所以，所以，30注意：注意： (1)偏导数不存在的点也可能是极值点偏导数不存在的点也可能是极值点,22(0,0)zxy 在在如如：处处不可导不可导,(0,0)但但它它在在处处有有.极极大大值值则则极值点可能是极值点可能是驻点驻点, , 也可能是也可能是偏导数不存在的点偏导数不存在的点. .(2)驻点要同时满足驻点要同时满足:( , )0.( , )0 xyfx yfx y 31.2的的极极值值讨讨论论函函数数xyxz 20.0 xyf

10、xyfx 由由方方程程组组的的驻驻点点为为原原点点2,1,0,xxxyyyAfBfCf又又由由于于012 BACD所以，所以，(0,0)点不是函数的极值点点不是函数的极值点.例例3：32.)2)(),(22是是否否取取得得极极值值在在原原点点讨讨论论xyxyyxf 例例4:(0,0)(0,0)0 xyff 易易验验证证原原点点是是函函数数的的驻驻点点，且且(0,0)(0,0)0,(0,0)2xxxyyyAfBfCf 又又由由是是否否取取得得极极值值，无无法法判判断断函函数数在在原原点点根根据据定定理理 2, 0),(222 yxfxyx时，时，但由于但由于时时，或或而而当当222xyxy ,

11、0),( yxf所以，函数不可能在原点取得极值所以，函数不可能在原点取得极值.33解解5例例222224100 xyzxyz 求求由由方方程程确确定定的的( , ).zf x y 函函数数的的极极值值x y将将方方程程两两边边同同时时对对 , , 求求偏偏导导，2224022240 xxyyxz zzyz zz 得得驻驻点点：(1, 1),P x y将将上上面面方方程程组组再再分分别别对对 , , 求求偏偏导导数数，11|,|0,|,22xxPxyPyyPAzBzCzzz 2210(2)(2)ACBzz 故故，(1, 1),P 将将代代入入原原方方程程 有有122,6zz ，12,z 当当时时

12、(1, 1)2zf 所所以以为为极极小小值值. .104A ，26,z 当当时时104A ，(1, 1)6zf 所所以以为为极极大大值值. .349422 yxz4:22 yxD35 （1） D （2）值值 . 36xyo6 yxD 0)4(),(0)4(2),(222yxyxxyxfyxyxxyyxfyx. , 6 )4(),( 2大大值值与与最最小小值值上上的的最最轴轴所所围围成成的的闭闭区区域域轴轴和和在在直直线线求求二二元元函函数数Dyxyxyxyxyxfz 内的驻点，内的驻点，先求函数在先求函数在 D 解方程组解方程组例例6解解, 4)1 , 2(),1 , 2( fD且有且有内的唯

13、一的驻点内的唯一的驻点解得解得37, 2|64 xxy,64)2 , 4( f为最大值，为最大值，4)1 , 2( f边界上的最值，边界上的最值，在在再求再求Dyxf ),( ，上上和和在边界在边界 0),( 0 0 yxfyx，即即上上在边界在边界 6 , 6 xyyx ),2)(6(),( 2 xxyxf于是于是, 02)6(4 2 xxxfx由由4, 021 xx得得xyo6 yxD.64)2 , 4(为最小值为最小值 f2( ,)(4)f x yx yxy38, 0),( yxfx0),( yxfy ),(yxfz ，),(00yx2BAC 内容小结内容小结39作业：作业：P319,1(1)(2)P319,1(1)(2)预习：从预习：从316316到到319319页页x