《债券投资分析》第三章

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1、1. 传统债券定价原理与价值风险衡量体系1.1. 债券现金流分析1.1.1. 单个债券的现金流1.1.2. 债券组合的现金流1.1.3. 债券组合现金流的类型：哑铃型，梯子型，子弹型1.2. 债券到期收益率1.2.1. 债券收益率的计算1.2.2. 从到期收益率计算债券价格1.2.3. 定价引擎的概念1.2.4. 基于收益率的债券相对价值分析1.3. 债券价值对市场收益率变化的一阶敏感度衡量指标：久期1.3.1. PVBP1.3.2. 价格久期（美元久期）1.4. 久期的特性：非对称性与线性1.5. 凸度1.5.1. 凸度的特性：对称性与非线性1.5.2. 凸度的价值1.6. 一些特殊债券的久

2、期和凸度1.7. 债券投资组合的久期和凸度1.8. 久期应用：债券组合现金流匹配1.9. 基于久期和凸度的交易策略1.10. 久期与凸度的局限性第三章 传统债券定价原理与价值风险衡量体系第二章中讲述了从利率、收益率等最为基础的的债券投资分析要点，本章开始我们将知识点转移到债券的定价和价值风险上。债券分析的核心就是对现金流的分析，对债券以及债券组合的定价往往决定于未来现金流的现值，所以要理解债券定价原理，先要从债券现金流分析开始。在上一章中，我们已经对现金流的现值终值等做了一个最基本的了解，本章中会更为详细和具体地解释现金流分析理论，然后对到期收益率这一重要的债券分析工具做具体讲解，并用实例帮助

3、读者加深理解。在本章的后半部分，重点讲述债券价值风险衡量体系中两个重要概念凸度和久期，以及由此派生出来的交易策略。最后对它们的局限性作简单介绍。3-1 债券现金流分析固定的现金流是债券的基本特征之一，在本书第二章中，我们已经对单笔现金流和现金流束作了一些简单讲解。本节中将以实际市场中的一些典型债券和债券组合为例对单个债券和现金流以及由此发展的债券组合的现金流知识进行讲解。单个债券的现金流单个债券的现金流根据债券的不同类型而有所不同，主要有零息券和附息券两种。重温一下前面学习过的零息券和附息券知识。零息券不规定票面利率，贴现发行，到期后按面值支付，贴现与面值之间的差额就是实际支付的利息。在整个债

4、券持续期内只发生一笔现金流是这零息券的最重要特征。而附息券是指在票券上附有息票，按一定期限分期付息的债券。附息券一般都规定票面利率，在偿还期限内给持有人带来一系列的现金流是附息债的一个基本特点。附息债因为分期获取的利息收人可存人银行或购买债券等进行再投资，在债券偿还期限内看相当于复利性质的债券，所以在分析时我们一般都以复计利息的形式进行推算。目前国内外市场上大部分中长期债券采取附息债券的形式。零息债券的现金流零息券的分析主要集中于对其现值与终值的计算，而对不同到期期限的零息券的债券进行定价的重要依据也同样对于对其未来价值的折现。以下面的简例来加以说明。例如，一支期限为1年的零息债，发行时的价值

5、为98元，到期支付100元，其内收益率是r，那么有，这既是零息券的内部收益率，也是一年期即期利率。如果投资人在1年期间里的第150天要按一定价格买进同一支零息债，那么按2.04%的收益率为其定价，其参考价格是元。可见，如果投资者按99.17元的价格买入债券，到期未时仍可获得2.04%的到期收益率。以.2.04%为基准，再来看两种不同情况：如果投资者当时以98.77元的价格买入，则到期回报率为：。如果投资者以99.5元价格买入，则到期回报率为：。由上可见，在到期前的某个时点将买入价分别在99.17元的基础上增加和减少0.4元，则回报率分别下降了99bp和上升101bp。在实际市场操作中，往往这种

6、即定买入价格后，再计算收益率的方式更为实用。而对于这种情况下零息券的定价，一般地选取市场收益率曲线上对应时点的即期利率，代入公式（3-1）进行计算。（3-1）其中：债券价格市场即期利率期限投资面值附息债券的现金流附息债券与零息券不同，附息券在存续期间产生一系列固定的现金流。这些现金流并不集中在某一时段，而是分散在期限内不同的时点上。由于到期时间的不同，每支现金流都有不同的现值，可以从这些现值相加的后得到整支债券的现值。例如，一支5年期附息券，面值100元，每年收到利率5元，求其现值FV：。很明显，这个5%即是附息债券的利率，也是其全部现金流折现后的内部收益率。如果当前的交易价格是108元，再以

7、同样的方式计算，得到：内部收益率为3.24%。但在大部分时候，内部收益率并不能真正衡量债券的现值，特别是在投资者要求了解市场上某支特定债券的情况下，更是需要通过市场即期利率折现的方法进行计算。回顾上一章现金流折现公式，存在一组即期利率的情况下，我们知道：假设在一个特定时点上市场1到5年的即期利率分别为1.84%、2.24%、2.49%、2.63%和2.71%，仍以上例为题，可以得到：元。这里的110.7元就是在这个时点上由即期利率推算出来的该附息债的现值，投资者在操作时可以据此为依据来判断实际交易价格是否与之相当，再考虑其它各种市场因素，对现券作为合理的定价。债券组合的现金流一般而言，债券投资

8、者并不单单购买一支债券，大多数情况下会将资金投资于几支债券。不同债券由于发行时间，付息频率不同而会产生不规则的现金流。我们先用本息拆离债券为例帮助读者了解一下债券组合的概念。要前面的学习中，我们知道本息拆离债券实际上是将附息券在未来的每一笔现金都拆分出来，与本金一起，形成一组各自独立的零息债券。例如，一支面值100元，票面利率5%，期限5年的本息拆离附息券，在进行了拆离后，就会形成6支独立的零息债。根据零息债折现的知识，我们把6支零息券分别折现，得到：第一年利息折现：元第二年利息折现：元第三年利息折现：元第四年利息折现：元第五年利息折现：元本金折现：元这样，这一支拆离后的附息券可以看做是六支零

9、息券的组合，而每支零息券都有各自的交易价格和代码，在市场上可以作为独立品种进行交易。实际上这是一个可以在五年内的平均时间段内分别带来一定的现金流的债券组合，见图3-1。图3-1零息债券组合的现金流同理，由一组附息债券组成的债券组合也可以理解为由多个系列零息债券组成的现金流。可以想象，这将是一组在不同时间期限上的许多未来收益的组合，如图3-2。图3-2多个附息券组成的现金流图示债券组合现金流的类型从图3-2看到，在由五支附息券组成的一个债券组合里，由于到期时间的长短不同而形成现金流分布的不均衡性。很明显在总共十年的期限里，第3年和第9、第10年是现金流最为集中的时期。对于一个债券组合，我们可以按

10、照在组合的时间期限内不同的现金流量，将其分为哑铃型、子弹型和梯子型。哑铃型债券组合是指债券现金流集中于期限两端的债券组合，如图3-2所示，在10年期限的两头集中了大部分的现金流，是一个典型的哑铃型组合。子弹型债券组合是现金流都集中于时限中某个特定时点的债券组合。如图3-3所示，大部分现金流量集中于期限中的第6年和第7年。图3-3子弹型债券组合构成的现金流图示梯子型债券组合是指现金流平均分布于期限限中各个时点的债券组合，如图3-4，可以看到梯子型的现金流比较均匀地分布在整个整个期限的不同时段上。图3-4梯子型债券组合构成的现金流图示由于债券期限长短对于债券的风险定价有很大的影响，所以不同类型的债

11、券组合代表了投资者的不同风险偏好，对于这方面的具体内容，将在本书的第十一章“债券投资策略”中为读者详细描述。3-2 债券到期收益率债券的到期收益率是对不同债券进行价值衡量的一个重要指标。本节将在前述知识的基础上深入分析债券到期收益率的计算，由收益率来推算债券价格，并通过不同债券之间的收益率水平进行相对价值分析。债券到期收益率的计算在前面的章节中，我们向大家介绍了即期利率，远期利率及各种其它利率形式。但对于一般的投资者，并不总是在债券发行时就买入并持有到债券到期时为止。往往是在债券发行后在交易市场上买入，持有一断时期后在交易市场上卖出。这样一来，就需要一个对在债券存续期内进行投资行为进行判断的标

12、准。在这里，我们引入到期收益率的概念。债券的到期收益率（Yeild-To-Mmaturity）是指投资者在即时市场上买入债券后，假设其持有到期时的收益率，是在整个债券存续期间内的平均回报水平的一个测试值。下面我们分别就零息券和附息券的到期收益率进行了解。零息券的到期收益率零息券由于只发生一笔现金流所以其收益率的计算公式与前面所讲的计算零息券折现券的公式比较相象：（3-2）其中到期收益率债券终值债券现值到期期限例如，有一支2002年1月1日发行的一年期零息券，在2002年2月28日的市场价格为98.5元，到期时按面值100元支付，问投资者在2002年2月28日买入后，持有到期时这笔投资的到期收益

13、率是多少？按公式3-2：我们注意到，公式中的单位决定了到期收益率的单位，在计算上例时，的单位为年，所以1.03%就是投资者在2002年2月28日买入该券后，假设其持有到2002年12月31日时的到期收益率。附息券的到期收益率附息券债是市场上最为重要的投资品种，所以对附息券的到期收益率的计算比零息债更有现实意义。附息券的到期收益率是指使债券未来现金流的现值等于其当前价格的内部收益率。让我们先加回顾一下附息券的内部收益率计算公式：按到期收益率的定义，假设以下情景：一支2002年1月1日发行的三年期附息债券，票值100元，票面利率5%，每年1月1日付息一次，在2003年1月1日该券市场交易价格为10

14、4.5元，问如果在2003年1月1日买入并持有到期，其收益率为多少？按公式得：可见式中的就是需要计算的到期收益率。将上式简单变形，得到：。这个数值代表了投资者在该时点买入后再持有到期时的收益率水平，也就是未来所有的现金流按其进行折现后将得到债券的现值，也就是为什么说到期收益率是指使债券未来现金流的现值等于其当前价格的内部收益率的原因。投资者在大多数情况下并不是刚好在付息日购入债券，我们再假设投资者在2002年6月30日以104元买入该附息券，则有：同样，变形计算后可得：，由此，我们得到一个计算附息债券的通用公式：（3-3）其中附息券的终值附息券的票面利息到期收益率附息券面值成交日到下一次付息日

15、的时间成交日到到期日的剩余付息年限在这个公式中，是指从债券成交日到下一次付息日的剩余时间，上例中的是以年为单位的剩余时间，由于到期收益率的计算时限是根据投资者投资债券的成交日计算的，所以关于剩余时间的计算读者需要特别注意。持有期收益率认识了到期收益率后，下面再介绍持有期收益率，以避免读者混淆。持有期收益率即持有期回报率，是指投资者在投资债券后在到期日前将其卖出，在一段持有的时间里的收益水平。这是指在一段时间内的投资回报水平，与到期收益率的计算水平和方法有很大的区别。在上例中，2002年1月1日发行的三年期附息债券，票值100元，票面利率5%，每年1月1日付息一次，在2003年1月1日该券市场交

16、易价格为104.5元，投资者在2003年1月1日以市场价买入并持有到2003年12月31日，以105.5元卖出，其持有期回报率为：上述中可见，持有期回报计算中分子包含两个部分，一是资本利得部分，一是持有期间的利息回报部分；分母是投资者投资债券时的投资成本。在已知投资成本与投资期限收入的情况下，可以很方便地求出持有期间的回报率。从到期收益率计算债券价格计算出到期收益率后，投资者可以很方便地比较债券之间的投资价值。特别是对于在市场上进行实际操作的投资者来说，到期收益率是最为重要和普遍的一个比较指标。在实际投资中，如果要求在到期时获得一定量的收益，可以直接按上述公式进行换算，如前例中，2002年1月

17、1日发行的三年期附息债券，票值100元，票面利率5%，每年1月1日付息一次，在2003年1月1日有投资者意愿投资该债券，希望在持有到期后得到8%的回报率。那么在当时以什么价格购入能够实现6%投资目标？我们以代入公式（3-3），可以得到：元这就意味着投资者在当时以98.17的市场价格购入该附息债券，持有到期将有6%的到期回报率，如果买入价格高于98.17元，那么到期的收益将低于6%；反之，如果买入价格低于98.17元，则到期收益率将高于6%。读者可以在Excel里进行换算，体验一下在不同到期收益期望下的投资成本。定价引擎的概念继续上面的例子进行分析，我们在将一个既定的收益率数值代入附息券到期收益

18、率计算公式得到一个现值元，就是在已定收益率的情况下的债券定价。这个公式可以看做是进行收益率定价的通用引擎。在已知一个债券息票利率、票面价值、付息时间和成交时间和到期收益率的前提下，就可能从公式中得出一个当前的投资价格，这就是到期收益率定价引擎的概念。同样道理，在前一章中提到的基于即期利率的折现公式（3-4）也可以做为即期利率定价引擎，在假设已知一组即期利率和债券基本情况时，可以从公式中得到一个合理的现价值，如：2002年1月1日发行的三年期附息债券A，票值100元，票面利率5%，每年1月1日付息一次，在2003年1月1日有投资者意愿投资该债券，而当时的市场即期利率为，那么在这样的即期利率条件下

19、，什么价格是比较合理的市场交易价格？根据上述公式可以得到：元现值是指根据当时的即期利率（），得到的附息债券A的市场定价，可以称公式（3-4）为即期利率定价引擎。定价引擎的作用在于能通过公式根据条件快捷地得到一个债券的定价，这对于本书今后的学习有重要的意义。基于收益率的债券相对价值分析到期收益率具有明显的实用价值，通过计算市场上不同到期时间债券的到期收益率，我们获得一系列到期收益率数值，如表3-1。表3-12003年1月24日上海证券交易所上市附息国债到期收益率表债券代码债券名称收市价（元）存续期（年）到期收益率00069696国债130.283.382.37%00089696国债105.160

20、.761.75%00970497国债130.824.612.59%00990599国债103.044.562.55%00990899国债103.386.662.74%01010321国债102.955.242.68%01010720国债113.3618.523.29%01011021国债101.188.672.80%01011221国债101.908.762.80%01011521国债101.695.902.69%01020302国债99.389.232.61%01021002国债99.256.562.52%01021302国债99.4814.682.64%01021402国债100.334.

21、742.58%01021502国债101.176.862.74%表3-1所列的是根据上海证券交易所2003年1月27日收盘价格计算出的附息国债到期收益率。表中的“存续期”是指债券从2003年1月27日起至到期日的时间，“到期收益率”与“存续期”一一对应，表明持有该支债券至存续期未，这笔投资将得到相应的到期收益率。如国债20国债，如果在当天以收盘价格113.36元买入，持有至到期（18.52年），回报率将是3.29%。通过这样的简单比较，可以对债券之间相对价值进行分析。如表3-1中的21国债和21国债，到期收益率都为2.8%，而存续期分别为8.67年和8.76年。持有21国债8.67年就能得到与

22、持有21国债8.76年相同的到期收益，可以说持有21国债相对更为合算。又如21国债与02国债，到期收益率分别为2.68%和2.64%，而存续期分别为5.24年和14.68年，两者的收益率水平相近，而存续期即投资者的持有期相差近10年，显然前者的投资价值要高于后者。根据收益率与债券价格呈反比的规律，理论上02国债面临着大幅下跌的风险。这种从到期收益率和存续期长短角度来考虑债券的投资价值的方法我们称为基于到期收益率的债券相对价值分析，也是债券分析中最简单，最直观的分析方法。3-4债券价值对市场利率变化的一阶敏感度衡量指标：久期上一节中，我们从到期收益率的角度出发，分析比较了市场上交易的附息国债的投

23、资价值，到期收益率分析虽然比较直观简便，但也存在不少缺陷，难以满足投资者对于债券整体分析的更高层次要求。在前面的学习中我们已经了解到投资者持有长期债券将面临收益率风险，收益率的变动将会直接导致债券价格水平的上下波动。这种波动幅度可以称为债券价值相对于利率变化的敏感度。为了将这种敏感度量化，本节中引入债券分析中一个重要概念久期（Duration）。在本节中，我们将深入分析久期的一般概念、性质和应用。并在后半部分讲述另一个衡量债券波动幅度的招标，凸度（Convexity）。价格久期（Dollar Duration）债券是一种固定收益证券，其现金流收入由于折现因素的存在而容易受到利率变动的影响。债券

24、价格对于利率变动的影响的程度就是债券价格的敏感度。债券价格相对于利率的变动幅度就是最简单的久期概念。假设利率和价格变动分别为和，那么就表示在利率变动一定程度时，债券价格发生的相应变动。从微积分的角度理解，表示在利率发生一个单位变动时价格的变动量，从价格收益率曲线理解，是图形上某一点切线的斜率。我们将称为价格久期（或美元久期），下文将用符号来表示。例如，面值为100元的零息券当收益率为5%时的，现值为95.24元，假如收益率上长到6%，那么价格将会下降到94.34元，可见，当收益率上升了1%（即100bp）时，价格下跌了0.8985元。按照价格久期的概念，表示当收益率变动10000bp时，价格变

25、动达到89.85元。其中的负号代表了价格变动的方向。由于收益率与价格一般都呈现反向变动关系，所以收益率增加时，价格变化的符号一般是负号。基点现值（PVBP）在了解了价格久期的基础概念后，再讲述一下PVBP的概念。PVBP（Present Value per Basis Point）即基点现值，是指当利率每波动一个基点（1bp）时，根据已知的收益率计算的已知的现金流量在现值上的差额。这一指标反映了每当市场利率波动一个基点时，对现金流量的现值会有多大的影响，可以比较直观地体现现金流量对利率的敏感性。假定市场收益率是，并且在收益率为时债券价值为，在利率变动一个基点时，有以下公式可得到PVBP值：（3

26、-5）假设两支期限分别为5年和10年的附息债券，票息率都为5%，当前的到期收益率为5%，一年付息一次。根据上一节的收益率变动计算公式，分别计算在收益率向上和向下波动一个基点时的债券价格变动情况：表3-25年与10年期债券等收益率价格变动表收益率变动5年期附息券价格（元）10年期附息券价格（元）5.00%1001005.01%99.956899.92284.99%100.0433100.0773比较两种情况下的债券价格变化程度，可以发现长期品种与短期品种相比在利率变化情况相同的情况下波动幅度更大，也可以说是长期债券比短期债券对收益率变化更为敏感，变动比率比较见表3-3和图3-5。表3-35年与1

27、0年期债券敏感度对比表5年期附息券差额（元）10年期附息券差额（元）收益率上升1bp时0.04320.0772收益率下降1bp时0.04330.0773平均PVBP值0.043250.07725图3-55年期与10年期债券平均PVBP值差额PVBP是一个非常重要的概念，在很大程度上可以用来衡量在利率变动时，债券头寸的变动幅度。如某投资者买进上例中5年期和10年期债券各10000元，当利率上升1bp时，该投资者整个投资头寸的下跌幅度就是元。所以，对于判断某一支债券或者债券投资组合的利率敏感程度，PVBP是一个很有用的指标。但是，在比较不同的债券以及利率变化的时间性上，PVBP缺乏统一性。所以，久

28、期仍是债券进行利率敏感度比较中具有普遍性意义的指标。麦考利久期（Macaulay Duration）与修正久期（Modified Duration）对于附息债券，由于债券的支付时间分布在不同的时间期限上，所以每一期的息票收入可以看做有各自各不相同的到期时间。这样，每一次现金收入发生的时间由于期限的不同在整个债券的现金流束中占到的比重并不相同，所以对一系列现金流的时间期限进行量度也是债券价格对利率风险敏感度衡量的标准。1938年弗里德里克.麦考利（Frederick Macaulay）最早提出久期（Duration）的概念，将其做为债券价格波动性或者利率风险的衡量指标。麦考利提出以未来现金流的贴

29、现值除以债券价格为权重，将各期现金流期限相乘得到加权平均值做为量度债券价格对收益率变动敏感度的指标。麦考利久期概念的中心思想就是将每一期现金折现价值与时间期限进行加权，得到一个总的“到期期限”。简单地说，考虑到时间因素的债券“期限”称为麦考利久期（下文用表示），一般以息票和本金支付时间的加权平均值来计算。用公式可表示为：（3-6）其中，债券现价在时点时的债券价格公式（3-6）表明久期是现金流现值的加权值，从公式中的是每一笔现金流的时间数值。而就是麦考利久期中的权重，可定义为。其中的分子是未来时点上现金流的折现价值，而分母是计算期的债券现值，公式（3-6）也即。公式（3-6）也可以用泰勒展开式推

30、导得出，在下面我们进行详细推导之前，先来用一个简例了解一下麦考利久期的概念。例如，02年1月1日一支期限为3年的附息券债，票面利率是8%，面值100元，每年12月31日付息，02年5月1当前的市场交易的收益率假设为10%，求久期。由于到当前交易日间止该券仍没有付息，所以在在到期前共会发生3次现金流。通过表格计算的形式来对这几期现金流折现和权重因子进行统计。表3-4久期计算明细表abcdefg年限付息次数(t)当期现金流折现因子现金流折现价值久期1180.90917.27270.07650.07652280.82646.61160.06960.1392331080.751381.14200.85

31、392.5617总计95.02631.00002.7774表3-4中每一列都用一个字母来表示，b列表示现金流产生的次数，c列是各期发生的现金流量，而e是经过折现的各期现金流，f列是公式中的，而g列就是最后求得的久期。在本例中，我们假设当时市场交易的债券收益率为10%，在统计了三期现金流的折现后得到的95.0263的数字就是当时市场交易的债券价格。将各个期限的久期累加后得到2.7774就是该债券在02年5月1日时点上的债券麦考利久期。在前面的学习中，我们知道，久期实际上是在收益率价格曲线上的某一点上切线的斜率。如果读者熟悉高等数学的微积分中泰勒展开式（Taylor expansion）的概念，可

32、以取展开式中的一阶部分，就能得到一个用数学方程式表示久期公式：，这里我们取泰勒展开式一阶求导的部分。假设有利率y与债券价格P之间的函数关系，那么，所以在时间期限内，如果现金流为，则，再行求导，得到。假设在t时点上，该券的交易价格是A，那么将除以现值A，变形得到修正久期：，特别地，如果定义，那么：（3-7）（3-8）可以看到公式（3-8）与上面讲到的麦考利久期公式（3-6）是一致的，反映了现金流的现值在进行时间加权后得到的期限。而修正久期则与麦考利久期相区别，在于两者的换算公式（3-7）。久期一般有以下几个特征：1. 零息券的久期就是它的到期时间，这一点将在本章后半部分具体讲述。2. 当息面利率

33、不变时，债券的久期随着债券到期时间的增长而增长。3. 到期日不变时，债券的久期随着息票利率的降低而延长。注3-1：泰勒展开式（Taylor expansion）：3-5凸度本书在上一节中讲到，久期是债券价格收益率曲线上斜率。如果用债券价格P作为收益率y的函数（即），那么久期即为该函数的斜率，用以衡量债券价格因为收益率的变动而产生的变动。而本节讲到的凸度则是斜率相对于收益率变动而产生的变化。斜率的变动的幅度是衡量价格曲线弯曲程度的指标。与久期定义为一样，凸度定义为（3-9），由，得到：（3-10）从推导的过程中，可以看到，凸度是价格收益率曲线的二阶导数值，简单地说，就是收益率变动一个单位造成第一

34、阶导数变动的程度，也就是价格收益率函数斜率因收益率变动而产生的变动量。下面我们仍用一个例子来帮忙读者理解凸度的概念。假设一90年发行的附息债券票面利率为6%，期限15年，一年付息一次。其价格将随根据收益率的变动而发生一系列变化，当该券到期收益率从5%上升到8.2%，我们可以根据收益率定价引擎得到每个收益率下的债券价格，并可以分别计算该债券的久期和凸度：表3-5凸度计算表到期收益率债券价格（元）一阶导数（价格久期）二阶导数久期5.00%110.38 5.50%105.02 -1072.17 18424.17 175.44 5.80%101.97 -1016.90 6.10%99.04 6.70%

35、93.50 -922.20 23345.63 249.68 6.90%91.75 -875.51 7.20%89.21 7.80%84.40 -800.71 12299.28 145.72 8.20%81.40 -751.51 在表3-5中，当收益率从5%上升到5.5%时，债券价格从110.38元下降到105.02元，计算一阶导函数在y=5.5%时的数值：；同理，我们可以计算出当y=5.80%时的一阶导函数的数值：；第二阶导函数是第一阶导函数的变动率，在y=5.50%时的数值为：，而根据公式（3-9），凸度在y=5.50%的数值，是以第二阶导函数值除以该点价格的价格：同理，我们可以计算当y=6

36、.7%和y=7.8%时的债券凸度，分别为249.68和145.72。凸度最大的用途就在于衡量债券价格敏感性时，配合一阶导数提升衡量的精确性，当价格敏感性衡量更加精确，使投资者在债券投资和资产风险管理上能达到更理想的结果。同久期一样，对于凸度，我们同样可以通过泰勒展开式的二阶部分来表示债券的变化幅度。取泰勒展开式的二阶部分，可得：，代入久期和凸度的公式：；可得，我们得到一个最后的结论是关于债券价格变动与久期和凸度关系的一个公式： （3-11）公式（3-11）的前半部分完全符合前面关于久期概念的描述，则是加入了凸度C后修正的部分。由于是一个正数，凸度C和相乘后将会起到修正的作用，得到的债券价格变化

37、比率将会更加精确。当然，如果收益率的变化幅度比较小，则将会是一个非常小的数值，起到的修正作用也会非常有限。所以凸度在利率变化幅度越大时，起到的修正作用就越大。以上面例子，再度简单了解一下凸度修正作用：从表3-5中可以看到当债券的收益率从5.5%增加到5.8%时，债券的价格久期为-1016.9，计算。由，或-2.99%，事实上这比债券的价格下降得要多许多。或-2.91%。可见凸度在一定程度上的确起到了修正根据久期计算的债券变动值的作用。3-6 债券投资组合的久期和凸度前面两节中关于债券PVBP、久期和凸度的描述都是对于单个债券而言，但在实际操作中，投资者往往会投资于一组债券而不是单个品种，而且可

38、能同时会有几个不同的投资组合来进行选择，这样就需要对一组债券投资组合的利率敏感度进行衡量。我们先来看表3-2和表3-3里的例子，并再加入一支15年期债券。当收益率发生1bp的变化时时，从表中的数据可得到，三支附息券的平均PVBP值分别是0.0433、0.0772和0.1037。很明显，如果投资者买进5年和10年债券各一个单位，则该组合在风险收益率变化1bp时受到的损失为，这与两券的PVBP值相等；同理，如果购入10年期和15年期，或者购入5年期和15年期，这三种组合的变化都等于该组合中各PVBP值之和。表3-65年、10年与15年期债券等收益率价格变动表收益率变动5年期附息券价格（元）10年期

39、附息券价格（元）15年期附息券价格（元）5.00%1001001005.01%99.956899.922899.89634.99%100.0433100.0773100.1039表3-75年、10年与15年期债券敏感度对比表5年期附息券差额（元）10年期附息券差额（元）15年期附息券价格（元）收益率上升1bp时0.04320.07720.1037收益率下降1bp时0.04330.07730.1039平均PVBP值0.043250.077250.1038所以，可以说债券组合中的PVBP值实际上就是组合中各支债券的PVBP值相加。由于PVBP本身就是价格相对于利率变动的程度，所以上述规则和高等数字

40、中导函数的和等于和有导函数定理是相同的原理。久期与PVBP代表的是相同的观念，相对于PVBP而言，虽然久期相对于PVBP而言有更为广泛的适用性，但由于久期是加权后的“期限”概念，所以对于实际交易头寸的衡量并没有PVBP那么直接，根据，在久期与价格相乘后，得到与PVBP相同的数值。所以虽然投资组合的久期与PVBP有类似的性质，但在考虑时必须将P考虑在内。将投资组合的价格与久期分别定义为P和D，并将构成投资组合的个券的价格和久期分别定义为和，则有： (3-12)公式(3-12)表示，债券投资组合是构成组合的各支债券的久期的加权平均数，其中权数是各支债券的价格除以投资组合的价格。下面我们对这个结论进

41、行推导：根据久期的定义，投资组合的久期可以描述为：，因为组合的价格P可表示为，所以上述久期公式可写为，由于整个函数的加总，其导函数等于个别导函数的加总，所以久期，根据定义，我们知道，所以在上述方程式的右侧乘以，得到，代入上式得：。下面我们用一个简例来说明上述公式，通过计算一组债券的价格加权久期和来计算债券组合的久期：假设有甲、乙、丙三支债券，价格分别为85元，102元和124元，久期分别为5.82、7.45、12.98，那么该组合的久期为9.21。表3-8 债券组合的久期计算债券品种债券价格价格权数债券久期久期与权数乘积甲850.2733118975.821.59乙1020.327974277

42、7.452.44丙1240.39871382612.985.18总计31119.21计算式为：凸度是对收益率函数的二阶导数，所以同理，债券投资组合的凸度与构成组合的各支债券凸度之间也存在着类似于久期的关系，用公式可表示为： (3-13)证明的推理与久期证明相似，读者可自行推证。3-7 久期应用：债券组合的现金流匹配在本章的第一节中，我们第一节中现金流分析中讲到对于不同的附息债券投资组合不同的现金流分布类型。在学习了久期的概念后，读者应该对于这种这种进行了时间加权后的债券“期限”有一定的了解。而久期是衡量债券现金流折现时间长短的指标，也是衡量债券风险的重要指标之一，所以如果将久期的概念运用到债券

43、组合的现金流运用中，将会对投资者债券投资的风险管理和控制起到很大的作用。我们知道，久期比较长的债券，在其一系列的现金流折现中远期的部分就占到较大的比例，所以久期比较长的债券相对于久期较短的品种而言面临较大的风险。一般要求进行资产和风险配置的投资机构，如保险公司、基金公司在进行债券组合投资时对债券久期的重要性就格外重视。一般来说，保险公司的负债和资产都比较稳定，我们可以把保险公司的负债视为一组固定的现金流量，就如同一般意义上的固定收益债券一样。如果有一笔保单总金额为10000元，假定这些负债的久期为10，保险公司要如何投资这10000元，才能使这笔负债在保险期间内不受到利率波动的影响，使到期后公

44、司不需要以其它的资金来支付该笔负债，即让该负债与购入的资产投资头寸之和为0。显然，如果保险公司同样以这10000元资金买入久期为10的债券资产，这时，如果利率上升10bp，则资产与负债会同时减少：，相当于：，另一方面，如果利率水平下降10bp，资产与负债都会同时增加100元。无论利率水平向什么方向变动，该券资产负债匹配都会同时变化，整个投资的净头寸值变化总会是0。一般而言，在资产负债管理领域内，与资产的取得相对应，会有负债的增加。资产与负债经常出现相等的关系，如果资产与负债变动的比率（久期）相同，则投资者可以避免承担由于利率变动。这种通过调整资产组合的久期以保护资产免受利率波动影响的投资策略称

45、为免疫（Immunization），这部分具体内容，将在本书第十一章中讲述。另外，在用上述方式回避利率波动风险时，由于利率的变化，债券的久期也会发生相应的变化，所以，在利率变化后，投资者必须对投资组合中资产与负债的配置比例进行修正。关于这一点，本书也会在后继章节进行详细分析。3-8 久期与凸度的局限性回顾久期和凸度的内容，我们知道，在对久期和凸度进行分析时，有几个我们忽略的条件，首先，这里计算得到的收益率是基于内部收益率的到期收益率，也就是说，我们是在假设各个时期下收益率都一致的前提下得到的到期收益率；第二，很自然，如果我们考虑收益率的位置是水平的，那么当期利率发生变化时，原先的收益率曲线将会

46、发行平行的移动，即收益率曲线上的每一个时点上的收益率将会发生相同幅度的变化。概括来讲这两个重要的假设条件：一是假设收益率是水平的，二是收益率曲线的移动是平行的。而在对久期和凸度的研究中，价格收益率函数是一个最重要的要素，而现实中市场收益率曲线出现的变化并不一定是平行的，所以，如果收益率曲线中长期，中期和短期出现不一致的变化。就可能会使久期和凸度的分析失去意义。对于收益率曲线的移动情况的分析将在本书后半部分中有详细的阐述。图3-6 收益率曲线的平行移动久期和凸度在对于债券风险衡量上有重要的作用，比如在前面的学习中大家了解到，可以用已知的久期来计算债券价格对于利率变动幅度的波动程度。也就是说，在债

47、券价格-收益率曲线上某一点的斜率是这一点切线的斜率。但同时，价格-收益率函数表达出来的是一条曲线，所以虽然在这一点上，价格-收益率曲线与切线的斜率是相等的，但通过该斜率来预测其它点上的斜率就会出现一定的偏差。如图3-6，当收益率为y=2.5%时，可以看到有一条红色的切线与价格收益率曲线相切，在这一点上收益率曲线的斜率与切线的斜率是相等的，我们用黄色线条表示出当y=2.5%时的情景。假设其当时的久期为8，而当收益率从2.5%上升到2.8%时，在直线的斜率与曲线的斜率之间就会产生误差。而变化幅度越大，误差就越大。如图所示，当收益率从y=2.5%增加到y=3.5%时，可以从图中明显观察到直线与曲线之间的差距要大于当y=2.5%上升到y=2.8%时的情况。图3-7 久期分析中的不足这种情况的原因就在于，在前文中我们用来计算久期的一般公式为，表示为债券价格相对于收益率的变动，而这种久期，是通过曲线上某点的切线斜率来表示的，所以，当在某一位置计算久期后，如果用这一时点的久期去推算其它收益率的久期时，必定会产生误差。而且当这种利率变化越大时，误差也就越大。