三角函数关系

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1、精品文档1欢迎下载精品文档cos( a+ B)=cos a cos B-sin a sin 3cos(a- B)=cosa cos 3+s in a sin3sin(a)=si na os 3os a si n3tan(a+ B)=(ta na+ta n3)/(1-tana tan3)tan(a- B)=(ta na-ta n3)/(1+ta na tan3)sin(2 a)=2sin a cos a=2/(tana+cot a)cos(2 a)=(cos a)A2-(sina)A2=2(cosa)A2-1=1-2(sina)A2X。）tan (2 a)=2ta n a/(1-ta 门人2a)

2、正弦函数sin0=y/r正弦（:sin ):角a的对边比上斜边余弦函数cos0=x/r余弦（cos):角a的邻边比上斜边正切函数tan0=y/x正切（tan ):角a的对边比上邻边余切函数cot0=x/y余切（cot ):角a的邻边比上对边正割函数sec0=r/x正割（sec):角a的斜边比上邻边余割函数csc0=r/y余割（csc):角a的斜边比上对边它有六种基本函数（初等基本表示）：（斜边为r，对边为y，邻边为在平面直角坐标系xOy中，从点 O引出一条射线 0P,设旋转角为0,设OP=r, P点的坐标为（x, y ）有以及两个不常用，已趋于被淘汰的函数:正矢函数 versin_ 0 =1-

3、cos余矢函数 covers_ 0 =1-sin编辑本段_基本公式同角三角函数关系式平方关系:sin A2( a)+cosA2(a)=1cosA2(a)=(1+cos2a)/2tan A2( a)+仁 secA2(a)sin A2(a)=(1-cos2a)/2C0tA2( a)+仁 CSCA2(a)积的关系：sin c=tan a6os acos o=C0t asin atan o=sin asec aCot o=COS a 淞SC asec o=tan a 淞sc aCsC o=sec a 淞Ot a倒数关系：tanacota=1SinaCsCa=1Cosaseca=1商的关系：sin a/

4、cos a= tan a= sec o/CSC acos o/sin a= cot a= csc o/sec a直角三角形 ABC中，角A的正弦值就等于角A的对边比斜边，余弦等于角 A的邻边比斜边_正切等于对边比邻边，对称性180度-a的终边和a的终边关于 y轴对称。-a的终边和a的终边关于X轴对称。180度+ a的终边和a的终边关于原点对称。180度-a的终边关于y=x对称。诱导公式sin (-a)=-si n(a)cos(-a)=cos(a)sin( n/2-a)=cos(a)cos( n/2-a)=sin(a)sin( n/2+a)=cos(a)cos( n/2+a)=-sin(a)si

5、n( n-a)=sin(a)cos( n-a)=-cos(a)sin( n+a)=-sin(a)cos( n+a)=-cos(a)tgA=ta nA=s in A/cosA3欢迎下载精品文档两角和与差的三角函数sin(a+b)=sin(a)cos(b)+cos(a)sin(b) cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b) sin(a-b)=sin(a)cos(b)-cos(a)sin(b) cos(a-b)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b) tan(a+b)=(tan(a)+tan(b)/(1-tan(a)tan(b) tan(a-b)=(tan(a

6、)-tan(b)/(1+tan(a)tan(b)三角函数和差化积公式sin(a)+sin(b)=2sin(a+b)/2)cos(a-b)/2) sin(a) - sin(b)=2cos(a+b)/2)sin(a-b)/2) cos(a)+cos(b)=2cos(a+b)/2)cos(a-b)/2) cos(a)-cos(b)=-2sin(a+b)/2)sin(a-b)/2)积化和差公式sin(a)sin(b)=-1/2*cos(a+b)-cos(a-b) cos(a)cos(b)=1/2*cos(a+b)+cos(a-b) sin(a)cos(b)=1/2*sin(a+b)+sin(a-b)二

7、倍角公式sin(2a)=2sin(a)cos(a)cos(2a)=(cosaF2-(s in a)A2=2(cosa)A2-1=1-2(s in a)A2半角公式si nA2a/2)=(1-cos(a)/2 cosA2(a/2)=(1+cos(a)/2 tan(a/2)=(1-cosa/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a)万能公式sin(a)= (2tan(a/2)/(1+tanA2(a/2) cos(a)= (1-tanA2(a/2)/(1+tanA2(a/2) tan(a)= (2tan(a/2)/(1-tanA2(a/2)其它公式a*sin(a)+b*cos(a)=sqrt(a

8、A2+bA2)sin(a+c) 其中， tan(c)=b/a其他非重a*sin(a)-b*cos(a)=sqrt(aA2+bA2)cos(a-c) 其中， tan(c)=a/b1+sin(a)=(sin(a/2)+cos(a/2)A2 1-sin(a)=(sin(a/2)-cos(a/2)A2点三角函数csc(a)=1/sin(a) sec(a)=1/cos(a)cos30=sin60sin30=cos60恒等变形公式两角和与差的三角函数：cos( a+ 3)=cos a cos B-sin a sin 3cos(a- 3)=cosa cos 3+s in a sin3sin(a)=si na

9、 cos 3os a sin3tan(a+ 3)=(ta na+ta n3)/(1-tana tan3)tan(a- 3)=(ta na-ta n3)/(1+ta na tan3)三角和的三角函数：sin(a+ 3+Y=sina cos 3 os y+cos asi n 3 cos y+cos a cos3 si nysina s i n 3 s i n 丫cos(a+ 3+Y=cosa cos 3 cos ycos asin 3 sin YSin a cos3 sinrsina sin 3 cos 丫tan(a+ 3+Y=(ta na+ta n 3+ta n Yta nata n 3 ta

10、n Y/(1-ta nata n3-ta n3 ta n 丫-ta ny ta n a辅助角公式：Asin a+Bcos a=v(AA2+BA2)sin(a+arctan(B/A)，其中sin t=B/ v(AA2+ba2)cost=A/ v(AA2+BA2)ta nt=B/AcosA2 a=(1+cos(2(x)/2=covers(2a)/2tanA2 a=(1-cos(2a)/(1+cos(2Asin a-Bcos a=v(AA2+BA2)cos(倍角公式：a-t) , tant=A/Bsin(2 a)=2sin a cos a=2/(tana+cot a)cos(2 a)=(cos a)

11、A2-(sina)A2=2(cos a)A2-1=1-2(sin%)八2tan(2 a)=2tan a/(1-ta门人2a)三倍角公式：sin (3a =3si na-4si门人3a = 4sin asi n(600+a)s in(60 acos(3a =4cosA3a-3cosa = 4cos acos(60o+a)cos(60 atan (3a =(3ta na-ta nA3a)/(1-3ta nA2a =tan%tan(n/3+ a)ta n(n/3- a)半角公式：sin(a/2)=-cosa/2)cos(a/2)=+cosa/2)tan(a/2)=-cosa)/(1+cosa)=s

12、ina/(1+cos %)=(1-cosa)/sin降幕公式sinA2 a=(1-cos(2a)/2=versi n(2a/2万能公式:sin a=2tan( a/2)/1+ta门人2;(a/2)cos =1-ta门人2;(a2)/1+ta门人2;(a/2)tan a=2tan( a/2)/1-ta门人2;(a/2)积化和差公式：sin a cos3=(1/2)sin(a+3)+sin(a-3)cos a sin3=(1/2)sin(a+3)-sin(a-3)COS a COS 3=(1/2)cos(a+B)+COS( asin a sin p=-(1/2)cos(a+ 3)-COS( a-

13、3)和差化积公式：sina+sin3=2sin(a+3)/2COs(a- 3)/2sina-sin3=2COs(a+3)/2sin(a- 3)/2COsa+COs3=2COs(a+3)/2COs(a- 3)/2COsa-COs3=-2sin(a+3)/2sin(a- 3)/2推导公式tana+COta=2/sin2atana-COta=-2COt2a1+COS2 a=2cosA2 a1-cos2 a=2sin人2 a1+sin a=sin(a/2)+COs(a/2)A2其他：7 欢。迎下载精品文档# 欢。迎下载精品文档sin a+sin( a+2 n/n)+sin( =0a+2 n*2/n)+

14、sin(a+2 n*3/n)+sin=0COS a+COS( a+2 n/n)+cos(a+2 n*2/n)+COS(a+2 n*3/n)+COsa+2n*( n-1)/na+2n*( n-1)/n# 欢。迎下载精品文档以及sinA2( %)+si门人2(a-2 n/3)+sin人2(a+2 n/3)=3/2tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0COsx+COs2x+.+COsnx= sin(n+1)x+sinnx-sinx/2sinx证明：左边 =2sinx(COsx+COs2x+.+COsnx)/2sinx=sin2x-0+sin3x-sinx+sin4

15、x-sin2x+.+ sinnx-sin(n-2)x+sin(n+1)x-sin(n -1)x/2sinx (积化和差)=sin(n+1)x+sinnx-sinx/2sinx=右边等式得证sinx+sin2x+.+sinnx= - COs(n+1)x+COsnx-COsx-1/2sinx证明 :左边 =-2sinxsinx+sin2x+.+sinnx/(-2sinx)=COs2x-COs0+COs3x-COsx+.+COsnx-COs(n-2)x+COs(n+1)x-COs(n-1)x/(-2s inx)=- COs(n+1)x+COsnx-COsx-1/2sinx=右边等式得证三倍角公式推导

16、sin3a=sin(2a+a)# 欢。迎下载精品文档=sin2acosa+cos2asina=2si na(1-s in A2a)+(1-2s in A2a)s ina=3si na-4si nA3acos3a =cos(2a+a)=cos2acosa-sin2asina =(2cosA2a-1)cosa-2(1-cosA2a)cosa=4cosA3a-3cosa sin3a=3sina-4sinA3a =4sina(3/4-sinA2a)=4s in a(v3/2F2-si nA2a=4sina(sinA260-sinA2a)=4sina(sin60+sina)(sin60=4sina*2s

17、in(60+a)/2cos(60-sina)-a)/2*2sin(60-a)/2cos(60+a)/2=4sinasin(60+a)sin(60 -a)cos3a=4cosA3a-3cosa=4cosa(cosA2a-3/4)=4cosacosA2a-(匕/2)人2=4cosa(cosA2a-cosA230)=4cosa(cosa+cos30 )(cosa-cos30=4cosa*2cos(a+30)/2cos(a-30)/2*-2sin(a+30)/2sin(a-30)/2=-4cosasin(a+30)sin(a-30)=-4cosasin90=-4cosacos(60-(60 -a)si

18、n-90 -a)-cos(60+a)+(60 +a)=4cosacos(60上述两式相比可得-a)cos(60 +a)tan3a=tanatan(60-a)tan(60 +a)诱导公式公式一：设a为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等:9 欢。迎下载精品文档.对角蛭的乗积为1 文空白三窟毎的上两个T更点的 T方伞爭于下叹扈的平方 久為边形村邻韵三个境恵壬b t有旻系：tcbsin (2k n+ a) = sin aCOS ( 2k n + a) = COS atan ( k n + a) = tan aCOt ( k n + a) = COt a公式二：设a为任意角，n+ a的三角函数值

19、与a的三角函数值之间的关系:sin(n+a )= sinaCOS(n +a )= COsatan(n+a )= tan aCOt(n+a )= COt a公式三：任意角a与-a的三角函数值之间的关系：sin ( a) = sin aCOs ( a) = COs atan ( a) = tan aCOt ( a) = COt a公式四：利用公式二和公式三可以得到n- a与a的三角函数值之间的关系:sin(n -a )=sin acos(n -a )=cosatan(n -a )=tanaCOt(n -a )=COta公式五：利用公式一和公式三可以得到2 n- a与a的三角函数值之间的关系:sin

20、(2n a)=sinaCOs(2n a)= COs atan(2na)=tanaCOt(2n a)=COta公式六：n/2 aM 3 n/2 与 a的三角函数值之间的关系：sin(n/2 + a)=cos acos(n/2 + a)=sin atan(n/2 + a)=cot acot(n/2 + a)=tan asin(n/2 a)=cos acos(n/2 a)=sin atan(n/2 a)=cot acot(n/2 a)=tan asin(3 n/2 + a)=cos acos(3 n/2 + a)=sin atan(3 n/2 + a)=cot acot(3 n/2 + a)=tan

21、 asin(3 n/2 a)=cos acos(3 n/2 a)=sin atan(3 n/2 a)=cot acot(3 n/2 a)=tan a（以上k Z）补充：6 X9 = 54种诱导公式的表格以及推导方法（定名法则和定号法则）f(3) Tf(3)=sin 3cos 3tan 3cot 3sec 3csc 3360k+ asin acos atan acot asec acsc a90 acos asin acot atan acsc asec a90 + acos a-sin a-cot a-ta n a-csc asec a180 asin a-cos a-ta n a-cot a

22、-sec acsc a180+a-sin a-cos atan acot a-sec a-csc a270 a-cos a-sin acot atan a-csc a-sec a270+a-cos asin a-cot a-ta n acsc a-sec a360 a-sin acos a-ta n a-cot asec a-csc aa-sin acos a-ta n a-cot asec a-csc a定名法则90。的奇数倍+ a的三角函数，其绝对值与a三角函数的绝对值互为余函数。_ 90的偶数倍+ a的三角函数与 a的三角函数绝对值相同。也就是奇余偶同，奇变偶不变定号法则将a看做锐角(注

23、意是看做”)，按所得的角的象限，取三角函数的符号。也就是象限定号，符号看象限”(或为奇变偶不变，符号看象限”2在Kn/中如果K为奇数时函数名不变，若为偶数时函数名变为相反的函数名。正负号看原函数中a所在象限的正负号。关于正负号有可口诀；一全二正弦，三切四余弦，即第一象限全部为正，第二象限角正弦为正，第三为正切为正，第四象限余弦 为正。)比如：90 a。定名：90堤90。的奇数倍，所以应取余函数；定号：将a看做锐角，那么90 a是第二象限角，第二象限角的正弦为正，余弦为负。所以sin(90 + a=cos a , cos(90+ a) = -sin a这个非常神奇，屡试不爽还有一个口诀纵变横不变

24、，符号看象限 ”例如：sin(90 +a , 90的终边在纵轴90 + a是第二象限上，所以函数名变为相反的函数名，即cos，将a看做锐角，那么角，第二象限角的正弦为正，所以sin(90 a)=cos a编辑本段_相关计算幂级数c0+c1x+c2x2+.+c nxn +.=刀 cnxn (n=0. 叼En(x-a )n (n=0.旳c0+c1(x-a)+c2(x-a)2+.+c n( x-a )n+.=它们的各项都是正整数幕的幕函数其中 c0,c1,c2,.及a都是常数，这种级数称为幕级数泰勒展开式(幕级数展开法):f(x)=f(a)+f(a)/1!*(x-a)+f(a)/2!*(x-a)2+

25、.f( n)(a)/n!*(x-a )n+.实用幕级数：ex = 1+x+x2/2!+x3/3!+.+x n/n!+.In(1+x)= x-x2/3+x3/3-.(-1)k-1*xk/k+. (|x|1)sin x = x-x3/3!+x5/5!-.(-1)k-1*x2k-1/(2k-1)!+. (-mx 勺cos x = 1-x2/2!+x4/4!-.(-1)k*x2k/(2k)!+. (-mx 旳arcsin x = x + 1/2*x3/3 + 1*3/(2*4)*x5/5 + . (|x|1)arccos x = n - ( x + 1/2*x3/3 + 1*3/(2*4)*x5/5

26、+ . ) (|x|1)arcta n x = x - xA3/3 + xA5/5 - . (x1)sinh x = x+x3/3!+x5/5!+.(-1)k-1*x2k-1/(2k-1)!+. (-x 勺cosh x = 1+x2/2!+x4/4!+.(-1)k*x2k/(2k)!+. (-x 哲arcsinh x = x - 1/2*x3/3 + 1*3/(2*4)*x5/5 - . (|x|1)arctanh x = x + xA3/3 + xA5/5 + . (|x|1)在解初等三角函数时，只需记住公式便可轻松作答，在竞赛中，往往会用到与图 像结合的方法求三角函数值、三角函数不等式、面

27、积等等。傅立叶级数(三角级数)f(x)=a0/2+刀(n=0.旳(an cos nx+b nsinnx)a0=1/ n (f n.-n) (f(x)dxan=1/ n ( n.-n) (f(x)cosnx)dxbn=1/ n ( n.- n) (f(x)sinnx)dx三角函数的数值符号第三，四象限为负第二，三象限为负第二，四象限为负正弦 第一，二象限为正, 余弦第一，四象限为正 正切第一，三象限为正编辑本段_相关概念三角形与三角函数1、 正弦定理：在三角形中，各边和它所对的角的正弦的比相等，即a/si nA=b/sinB=c/sinC=2R.(其中 R为外接圆的半径 )2、第一余弦定理：三角

28、形中任意一边等于其他两边以及对应角余弦的交叉乘积的和，即 a=c cosB + b cosC3、第二余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其它两边的平方之和减去这两边与它们夹角的余弦的积的 2倍，即a²=b²+c²-2bc cosA4、 正切定理(napier比拟)：三角形中任意两边差和的比值等于对应角半角差和的正切比值， 即(a-b ) /(a+b)=tan(A-B)/2/tan(A+B)/2=tan(A-B)/2/cot(C/2)5、三角形中的恒等式：对于任意非直角三角形中，如三角形 ABC,总有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC证明：已知(

29、A+B)=( n-C)所以 tan(A+B)=tan(n-C)则(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tann-tanC)/(1+tanutanC)整理可得ta nA+ta nB+ta nC=ta nAta nBta nC类似地，我们同样也可以求证 ：当a+ 3+ r= n冗(n Z)时，总有tan a+tan 3+tan Y=tan%tan 3tan 丫13欢迎下载精品文档15欢迎下载精品文档三三二三角函数图像#欢迎下载精品文档#欢迎下载精品文档三角函数图像:定义域和值域#欢迎下载精品文档#欢迎下载精品文档sin( x),cos(x)的定义域为R,值域为-1,1#欢迎下载精品文

30、档tan(x)的定义域为x不等于 n/2+k n,值域为 Rcot(x)的定义域为x不等于k n,值域为R初等三角函数导数y=sinx-y=cosxy=cosxy=-si nxy=ta nx-y=1/cos²x =sec²x y=cotx-y= -1/s in& sup2;x = - csc²x y=secx-y=secxta nx y=cscx-y=-cscxcotxy=arcs in x-y=1/v(1-x²)y=arccosx-y= -1/v(1-x²)y=arcta nx-y=1/(1+x²)y=arccotx-y= -1/(

31、1+x²)#欢迎下载精品文档sina)= Sin aCoS(倒数关系 :tan a cot a= 1Sin a CSC a= 1COS a Sec a= 1商的关系：Sin a/CoS a= tan a= SeCa/CSC aCoS a/Sin a= Cot a= CSC a/SeC a诱导公式a)= CoS atan ( a)平方关系：22Sin aCoS a=1221 tan a= SeC a1 Cot a= CSC a= tan a Cot( a)= Cot a#欢迎下载精品文档#欢迎下载精品文档sin (3 u/2 a )COS acos (3 u/2 a )sincosta

32、ncotsincostancot(k/2a)=COSasin(n(%/2a)=SinaCOS(n(it/2a)=COtatan(n(%/2a)=tanaCOt(n(n2+a)=COSasin(n+(冗/2+a )=Sina COS(n+(tt/2+a )=COta tan(n+(冗/2+a )=tana COt(n+a =Sin aSinaa = COSatan(3 n2aa = tanaCOtaa = COtaCOt(3 n2atanaa = Sinaa = COSaSin (3n2aa =tan aCOSaa =COt aCOS(3 n2aSinatan (3n2aCOtaCOt(3n2a

33、sin (2 n a )=Sin aCOS (2 n a) = COS atan ( 2 n a )=tan aCOt ( 2 n a )=COt aSin(2kn+a =SinaCOS(2kn+a =COSatan(2kn+a =tanaCOt(2kn+a =COta(其中k Z)#欢迎下载精品文档17欢迎下载精品文档tan a#欢迎下载精品文档#欢迎下载精品文档万能公式2ta n( a/2)sin a=21 + tan (x/2)21 tan ( a/2)cos a=21 + tan ( 2)2tan( a/2)tan a=21 tan ( a/2)两角和与差的三角函数公式sin(a+B)

34、=sin久cos3+ cosasin3sin(a3)=sin久cos3 cosasin3cos(a+3)=cosacos3 sin久sin3cos(a3)=cosacos3+ sin久sin3tan a+ tan 3tan ( a+ 3 )=1 tan a tan 3tan a tan 3tan ( a 3 )=1 + tan a tan 3#欢迎下载精品文档#欢迎下载精品文档半角的正弦、余弦和正切公式三角函数的降幕公式或宀士 jfl 一 CQsa;2C吟土N+ COSA!I 2吨rJl - cosa 1 cosa1- cosa _ sinctsin a 1 + cos ar.t1 -sin

35、a 2+ C6S 2段cos a 2#欢迎下载精品文档#欢迎下载精品文档sin2 a= 2sin acos a二倍角的正弦、余弦和正切公式三倍角的正弦、余弦和正切公式3sin3 a= 3sin a 4sin a#欢迎下载精品文档#欢迎下载精品文档cos22 .a= cos a sin2 2 .2a= 2cos a 1 = 1 2sin acos3 a= 4cos3a 3cos a2tan a3tan a tantan2 a=tan3 a=21 tan a21 3ta n a#欢迎下载精品文档#欢迎下载精品文档三角函数的和差化积公式a+ 3a 3sin a+ sin 3= 2sin cos 2

36、2a+ 3a 3sin a sin 3= 2cos sin 2 2三角函数的积化和差公式1sin a cos 3= -sin( a+ 3) + sin ( a 3 )21cos a sin 3= -sin ( a+ 3) sin ( a a+ 3a 3COS a+ COS 3= 2COS COS 22a+3a3cos a cos 3= 2sin sin 223)21cos a cos 3= -cos ( a+ 3) + COs ( a 3) 21sin a sin 3= -cos ( a+ 3) cos ( a 3) 2#欢迎下载精品文档#欢迎下载精品文档化asin a bcos a为一个角的一个三角函数的形式（辅助角的三角函数的公式欢迎您的下载，资料仅供参考!致力为企业和个人提供合同协议， 策划案计划书，学习资料等等打造全网一站式需求#欢迎下载