计量经济学重点笔记第九讲

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1、浙江工商大学金融学院姚耀军讲义系列第九讲 单位根、协整与误差修正模型一、单位根过程的定义 如果的数据生成过程是：， 是平稳过程则的数据生成过程被称为单位根过程。我们还可以在上述模型基础上增加截距项（所谓的漂移项）或者时间趋势项，如：上述过程都属于单位根过程。笔记：按照附加预期的菲利普斯曲线理论：通胀率=预期的通胀率-a（失业率-自然失业率）+供给冲击。失业率与自然失业率的差异（即周期性失业率）与供给冲击一般是平稳的。假定人们采取静态预期，即预期通胀率等于过去一年的实际通胀率，则通胀率=过去一年的通胀率+平稳性变量，故基于一些假定我们可以从理论上表明通胀率是一个单位根过程。单位根过程的一个特例是

2、随机游走：，其中是白噪声过程同样，我们可以在上述模型基础上再增加截距项或者时间趋势项。 单位根过程是非平稳过程。以随机游走模型为例，注意到 ，故有：、。显然，随着时间的延伸方差趋于无穷大，因此随机游走属于非平稳过程。图一是对一个随机游走过程的模拟。图一：笔记： 1、有效市场理论认为股票价格应当是一个随机游走过程。在随机游走模型中，是白噪声过程，因此有效市场理论的含义也即是股票价格变动（）是不可预测的。按照有效市场理论，股票价格能够及时吸纳消息，因此，如果下一时刻价格与现在价格确实存在差异，那么导致这个价格差异的消息就现在时刻来说是无法预测的，否则，现在价格将马上变动从而使价格差异消失。 2、在

3、财富（预期未来现金流的贴现）给定的情况下，最优的消费计划是现在消费与下一期消费相等（饿一等饱一等显然不是最优）。如果下一期消费与现在的消费确实存在差异，那么导致这个差异的原因（也许是飞来横财）在现在肯定是不知道的，否则现在的消费将作出调整，并做到现在消费与下一期消费相等。按照上述逻辑，消费将是一个随机游走过程。以上是Hall(1978)的消费随机游走理论。二、带漂移的单位根过程与趋势平稳过程：一个比较带漂移的单位根过程是指：，其中是平稳过程。反复迭代有：。在这个表达中，被称为确定性趋势项，而被称为随机趋势项。图二是对一个带漂移的随机游走过程的模拟。图二： 所谓趋势平稳过程是指： ， 是平稳过程

4、由上式有：，令，则有：因此有：当时，随时间的变化而变化，因此过程是不平稳的。然而，令，由于，因此过程是平稳的。注意到是过程的长期趋势，而过程是通过剔除过程的长期趋势而获得的，因此被称为趋势平稳过程。图三是对一个趋势平稳过程的模拟。图三：上述两个过程都展现出明显的确定性趋势，但存在重要的区别：1、 单位根过程是差分平稳的，而趋势平稳过程在剔除趋势之后是平稳的；2、 单位根过程不具有均值回复性，而趋势平稳过程具有均值回复性。3、 在回归分析中，如果有变量是趋势平稳过程，则需要在解释变量集中引入时间趋势项。如果注意到这一点，趋势平稳过程基本上不会对传统的计量分析构成威胁。但变量含有单位根往往使传统的

5、计量分析无效。笔记：1、把两个服从随机游走的独立变量基于模拟样本进行回归，Engle & Newbold(1974)发现，在回归结果中，R2很大，t值的绝对值也很大。如果进行通常的显著性检验，则结果表明两变量具有显著的相关关系。注意，我们预先已知道这两个变量是独立的，因此实证结果所表明的相关关系一定是虚假的，此即“伪回归”问题。通常的显著性检验导致了错误的结论，这暗示，此时的t统计量（与F统计量）并不服从标准的t分布（和F分布）。2、判断回归分析是否属于“伪回归”的一个重要经验规则是“R2D.W.”。三、单位根检验（一）根据图形判断如果样本数据表现出持久偏离均值的态势，则初步判断数据生成过程是

6、单位根过程。如果样本数据表现出均值回复的态势，则初步判断数据生成过程是平稳过程或者趋势平稳过程。对于非平稳过程，其样本一阶自相关函数接近于1，然后样本自相函数随着阶数的增加而缓慢衰减。应该注意，这样的非平稳过程包括趋势平稳过程与单位根过程。（二）DF与ADF检验考虑一个AR(1)过程： ，是白噪声过程 模型可以被改写为：其中。 单位根检验等价于检验是否为零。该检验是一个单尾检验，我们不考虑1的情况，因为该情况意味着数据生成过程是爆炸的。建立假设体系：与往常一样，我们利用t统计量来进行检验。然而，在原假设下，此时的t统计量并不服从t分布，而是服从DF分布，为了强调这一点，我们可以把这里的t统计量

7、改称为统计量。如果计算出的值小于临界值（临界值是一个负数），则在某个显著水平下拒绝原假设，反之则不拒绝原假设。上述检验被称为DF检验。应该注意到，我们初始所考虑的是一个AR(1)过程。现在我们考虑一个AR(2)过程： ，是白噪声过程如果你阅读过第八讲附录，你将知道，当时上述过程含有一个单位根，而是过程平稳的必要条件。把上述过程变形，有：令，则有： 现在建立假设体系：并利用统计量进行单位根检验。此时统计量同样服从DF分布。推广：考虑的是一个AR(p)过程，则单位根检验模型是：，是白噪声过程上述检验被称为扩展的DF检验，即ADF检验。在ADF检验中，一个问题是，p为多少呢？p值选择其关键在于，应该

8、使是白噪声过程。笔记：换一个角度考察ADF检验模型。与DF检验模型相比较，ADF检验模型有众多项。这些项的引入就是为了使得误差项是白噪声。考虑模型，其中序列相关。假定服从一个AR（1）过程：，其中是白噪声。当原假设为真（）时，有：。可以发现，新模型的误差项是白噪声；同时，新模型中的解释变量包含有原模型被解释变量（）的一阶滞后（）。推广：当服从一个AR（m）过程时，通过引入（i=1,2,m），新模型的误差项将是白噪声。但一个问题是，为什么要用AR（m）过程来表示误差项？这是因为，即使误差项服从ARMA或者MA过程，但在一定条件下它们都可以被表示成无限阶的AR过程。对于平稳过程而言，这个无限阶AR

9、过程中的系数是收敛于零的。因此，只要m够大，那么AR（m）就是对无限阶AR过程的良好近似。我们可以先选择一个较大的p*值，然后利用通常的t检验来判断所对应估计系数的显著性，如果不显著，则选择p*-1，以此类推。总而言之，最终所确定的p值应该使是显著的。在实践中我们也常常利用一些信息准则来确定p值。（1）SIC(Schwarz information criterion)准则：估计任意模型，记RSS为残差平方和，K为待估计参数个数，T为样本容量，则按照SIC准则，p值的确定应该使SIC最小。（2）AIC(Akaike information criterion)准则：按照AIC准则，p值的确定应

10、该使AIC最小。（3）HQIC(Hannan-Quinn information criterion)准则：按照HQIC准则，p值的确定应该使HQIC最小。利用不同的信息准则可能得到的结果并不一致，Stock & Watson(Second Edition,p561) 建议利用AIC准则确定p值。笔记：理解信息准则。如果仅以残差平方和最小为模型设定的标准，那么纳入更多的解释变量就可以迎合这个标准。然而，这将付出代价自由度降低。因此，在设定模型时存在一个权衡，而SIC与AIC准则不过就是权衡的规则（事实上我们已经涉及到一个规则，即以调整的R2最大为权衡的规则，回忆一下，该规则是否考虑了残差平方和

11、与自由度这两个因素？）。应该注意到，在SIC中，与相乘，而在AIC中，与相乘。一般来说，因此，SIC准则比AIC准则更加重视自由度不足问题，于是根据SIC准则一般会得到更加简约的模型。HQIC准则对自由度不足问题的重视程度介于SIC与AIC之间。上述几个信息准则不仅应用于单位根检验模型的设定，也广泛应用于AR(p)、MA(p)、ARMA(p,q)等模型设定。实践中ADF检验一般具有如下三种检验模型设定。模型的选择是十分重要的，不当的选择将导致检验结论不可靠。问题是，在实践中我们到底应该选择哪一个检验模型呢？规则一：当数据表现出较明显的确定性时间趋势时，选择模型3。模型3可以涵盖两种情况：第一情

12、况是，当时，这是一个趋势平稳过程模型，其样本数据展现出确定性的趋势；第二种情况是，当时，这是单位根过程模型。由于漂移项a的存在，样本数据也将展现出确定性的时间趋势（通过反复迭代，你会发现，漂移项将成为变量t的系数）。笔记：1、当时，由于的存在，变量y将出现二次趋势，除非。一般认为，经济变量具有二次趋势是不可能的，因此，隐含着的假设。故我们可以利用F统计量来检验原假设：，不过此时的F统计量并不服从标准的F分布，参见更高级的教科书。2、换一个角度考虑问题。考虑如下一个过程：，是白噪声过程当时上述过程是一个趋势平稳过程。上述过程的一个变形是：，即有：注意到当时隐含着；。规则二：当数据没有表现出明显的

13、确定性时间趋势时，选择模型2。模型2可以涵盖两种情况：第一情况是：当时，这是一个平稳过程模型。第二种情况是：当时，这是一个单位根过程模型。笔记1、当时，由于的存在，变量y将出现确定性趋势，除非。故我们可以利用F统计量来检验原假设：，同样此时的F统计量并不服从标准的F分布。2、换一个角度考虑问题。考虑如下一个过程：，是白噪声过程当时上述过程是一个期望值为的平稳过程。上述过程的一个变形是：注意到当时隐含着。规则三：模型1基本上不用来作为检验模型。这是因为当时，模型表示一个期望值为零的平稳过程，而经济变量的期望值很少会为零！笔记：如果无法明确判断样本数据是否具有明显的确定性时间趋势，我们可以采用一种

14、序贯检验法，参见较高级的教科书，如Walter Enders(2004)。ADF检验是最流行的单位根检验方法，然而，该方法具有较低的检验势，即很容易不拒绝错误的原假设。很多其他的单位根检验方法，例如DF-GLS法等方法（Stock & Watson(Second Edition,p.650-653)，被认为与ADF检验相比具有更高的检验势.当为零的原假设不被拒绝时，我们应该意识到，这或许是因为变量y只含有一个单位根的结果，这也可能是变量含有两个或者两个以上单位根的结果。因此，为了检验变量是否只含有一个单位根，我们应该继续对差分变量进行单位根检验。如果差分变量是平稳的，那么我们认为变量只含有一个

15、单位根。四、协整的定义与经济学含义假设时间序列都属于d阶单整序列I(d)，即各时间序列在差分d次后将不再含有单位根。如果一非零的常数向量使得：则称之间存在阶数为（d,b）的协整关系，是协整参数。经济变量的单整阶数往往不会超过2。在实践中经常出现的情况是，都是一阶单整的，因此，如果协整，则：当一些变量都含有单位根时，除非有一种机制把这些变量联系在一起，否则这些变量会不受约束地各自漫游。问题是存在这种机制吗？经济学理论经常表明变量间存在某种长期均衡关系。如果情况确实如此，那么各变量对这种长期均衡关系的偏离就不会持久。变量间所具有的长期均衡关系就是变量间的协整关系。例一：期货价格是对未来现货价格的预

16、期。在理性预期假设下，期货价格不会系统性地偏离未来现货价格，因此，期货价格与未来现货价格是协整的。例二：购买力平价理论认为，本国物价p与外国物价p*之比决定了名义汇率的均衡值。名义汇率不应该长期偏离其均衡值，因此，e与p/p*是协整的。例三：按照定义，名义利率=实际利率+预期通胀率。按照理性预期均衡的定义，在长期均衡状态下，预期通胀率等于均衡通胀率；按照费雪假设（Fisher hypothesis），均衡实际利率为自然利率。假定自然利率是常数，则名义利率与通胀率的长期均衡关系是名义利率=常数+通胀率。因此，名义利率与通胀率是协整的。五、协整检验（一）协整参数已知例如，如果，现在假设两变量协整，

17、且协整参数为。为了检验上述假设，可以对进行单位根检验。如果拒绝具有单位根的原假设，则不拒绝yt与xt具有协整关系的原假设。（二）协整参数未知：EG两步法 经常的情况是协整参数未知，例如在上例中未知。按照Engle & Granger(1987)提出的EG两步法，我们首先利用OLS法估计模型并得到残差；接下来对残差序列进行单位根检验：应该注意到，由于残差均值为零，因此对残差序列进行单位根检验时我们并没有加入截距项。在进行上述检验时特别值得注意的是，由于我们利用来近似（误差项观测不到），故单位根检验所用的临界值表不同于通常的单位根检验临界值。事实上，此时的临界值还取决于第一步回归方程的形式。Ham

18、ilton(1994,p.766)给出了临界值表：EG两步法临界值表回归模型1%5%10%（1）-3.39-2.76-2.45（2）-3.96-3.37-3.07（3）-3.98-3.42-3.13问题是我们在第一步如何选择回归模型呢？一般的准则是，如果各变量并没有表现出明显的确定性趋势，则选择回归模型（2）；如果有变量表现出明显的确定性趋势，则选择回归模型（3）；一般不选择模型（1）。笔记：在EG两步法之前，我们必须首先确认都是一阶单整的。如果表现出明显的确定性趋势，则表明的数据生成过程都是带漂移的单位根过程。假定两变量所对应的漂移参数分别是，则通过反复迭代有：，其中 都是不带漂移的一阶单整

19、过程。注意到：协整的严格定义要求是无趋势的I(0)过程。协整参数将使得是无趋势的I(0)过程，但与此同时，并不一定是零。因此，我们不得不对协整的定义加以扩展： 是可以包含趋势的I(0)过程，即要么平稳要么趋势平稳。注意到：令，即有回归模型：前面的例子是两变量情形，如果涉及到多变量，我们仍然可以利用EG两步法，但要参照不同的临界值表，可参见Stock & Watson(Second Edition,p659-651)。然而在多变量情形下一个问题是，可能存在多个协整关系，但EG两步法并没有考虑到这一点，因此，利用EG两步法检验多变量协整检验是有缺陷的，而此时标准的检验方法是Johansen(199

20、5)法，可参见较高级的教科书。笔记：如果有m个I(1)变量，那么最多可能有m-1个独立的协整关系。为了理解这一点，我们假设m个I(1)变量有m个独立的协整关系，则这m个I(1)变量必定分别可以表示成m个平稳误差项的线性函数。显然m个平稳误差项的线性函数是平稳的，而这将使m个变量都是I(1)变量的前提条件不成立。六、协整参数估计与推断对于两变量情形，当变量间具有协整关系时，建立模型：并利用OLS法进行估计获得协整参数估计。随着样本容量的增加会以较快的速度收敛于，此即所谓的估计量的超一致性。笔记(参见Murray(2006,p.275-277)： ，因此具有均值回复性。与之相比，由于，因此并没有均

21、值回复性。考虑两变量的样本相关系数，则必有：，即两者渐进无关。应该注意到，是无限的，而是有限的。因此，由于成立，则必定成立。在OLS法下，有：因此，即估计量具有一致性。怎样理解估计量的超一致性呢？现在考虑回归模型：在这里，都是平稳变量，并且与同期无关。于是有：，即估计量具有一致性。注意到与都等于零，然而在前式中是无限的，而在后式中是有限的，因此，收敛于零的速度要快于收敛于零的速度。 总结：当误差项是I(0)过程而解释变量是I（1）过程时，与解释变量相联系的系数的OLS估计量具有超一致性。问题是，获得仅仅是一方面，我们还需要对进行假设检验。然而，棘手之处在于，的分布是非标准的。因此，通常的t检验

22、在这里是不适用的。我们能不能既获得协整向量的估计同时又能够利用通常的t检验或者F检验？回答是肯定的。按照动态OLS（DOLS）法，我们可以对模型：进行OLS估计。我们不但获得，而且此时对任意系数参数的假设检验都可以利用t检验或者F检验。关于p值的选择，标准的实践是p=2。关于DOLS参见Stock & Watson(Second Edition,p660)。关于多变量协整系数的估计与推断，标准的方法是Johansen(1995)法，可参见较高级的教科书。七、误差修正模型（一）一个故事一个喝醉了酒的女孩从酒吧出来随意行走。女孩的男朋友一直在她身边照顾她。因此，如果单独观察男孩子的行走路线，我们将

23、发现他也是在随意行走。然而，男孩与女孩各自的行走路线显然具有稳定的关系。男孩喜欢抽烟，但不幸的是他没有打火机。因此，在行走过程中，男孩不时离开女孩去向其他人借打火机。不过在点好香烟后，男孩会跟上女孩。（二）Granger表示定理：当变量间存在协整关系，必存在误差修正机制。回到刚才的故事。女孩的位移与男孩的位移都是随机游走过程，但两者存在协整关系。当男孩的位移偏离了女孩的位移，则均衡误差出现了，接下来男孩的位移将作出调整，试图继续维持均衡关系。应该注意到，当均衡误差出现时，女孩由于喝醉了，她不会作出调整，作出调整的是男孩；然而，如果女孩半醉半醒，她或许也将作出调整。但无论如何，总是存在一种调整机

24、制。（三）误差修正模型（ECM）以两变量为例。假设都是一阶单整的，但两者具有协整关系：。根据Granger表示定理，此时应该存在误差修正模型：其中为白噪声。思考题：（1）、被称为调整速度。与会同时为零吗？ （2）当不为零时，其符号是正还是负？当不为零时，其符号是正还是负？（提示：的符号依赖于的符号） 笔记：1、当时，则称yt是弱外生变量。2、尽管误差修正模型表现为联立方程形式，但我们可以对每一个方程分别进行OLS估计。由于平稳，故针对可以利用通常的t检验。3、如果并不是白噪声，那么可以引入众多项，以使新的误差项是白噪声。4、如果有变量表现出明显的确定性趋势，则在模型中增加截距项。5、当协整参数

25、未知时，对ECM的估计可以采用两步法：首先利用OLS估计获得协整参数的超一致估计，然后用代替，对ECM进行估计。在多变量情况下，由于可能存在多个独立的协整关系，则ECM中将存在多个误差修正项。对这种情形，Johansen(1995)提出了基于极大似然估计法的系统估计方法。笔记：扩展上面的故事。假定女孩还养了一只狗，在女孩行走过程中，这只狗不时受到气味的诱惑而离开主人，但它马上又会跑到主人身边。男孩非常讨厌这只狗，如果他看见这只狗离自己太近，他甚至踢它一脚。从理论上看，现在存在两个独立的协整关系：男孩位移与女孩位移的协整关系（A）；狗的位移与女孩位移的协整关系（B）。不过表面看来，似乎存在四个协

26、整关系，即上面的两个协整关系再加上三者位移的协整关系（C）和狗的位移与男孩位移的协整关系（D），但事实上C不是独立于A和B的，而D是虚假的。由此可以看出多变量协整检验的复杂性。例如，基于EG两步法针对上例进行三变量协整检验，我们将得到结果C，但我们知道C并未反映事情的本质。要得到结果A与B，同时又需要拒绝结果D，此时利用三变量ECM模型来进行协整检验是一个好办法。显然，如果男孩与狗都不对基于协整关系D所产生的均衡误差作出调整，那么我们将拒绝结果D。八、补充知识点：Granger因果关系检验（一）定义与检验方法在预测时，如果利用的过去值与的过去值比仅仅利用的过去值能取得更好的预测效果，那么称为的

27、格兰杰原因。注意，格兰杰因果关系是预测意义上的。笔记： 1、我们先观察到A，接着才观察到B，则可以初步认为A是B的格兰杰原因。格兰杰因果关系与逻辑上的因果关系是两回事，A是B的格兰杰原因并不意味着在逻辑上A是B的原因。例如，冬天将来临，大雁南飞，在这里，大雁南飞是冬天到来的格兰杰原因，而在逻辑上，冬天到来是大雁南飞的原因。2、在现实经济中，我们经常发现，在货币扩张之后经济开始复苏。一些研究者凭此认为，货币是非中性的。现在我们已知道，这最多意味着货币量是实际GDP的格兰杰原因，而这并不构成货币扩张是经济复苏逻辑上的原因的证据。从逻辑上看，经济复苏或许是货币扩张的原因。例如，厂商预期到经济复苏从而

28、为预期的产出增加做准备，开始购买原材料，这导致货币需求增加，央行为稳定物价，从而投放更多的货币。Eviews软件在检验格兰杰因果关系时所默认的的模型是：为白噪声。 （1）当约束条件成立时，y不是x的格兰杰原因，反之则相反； （2）当约束条件成立时，x不是y的格兰杰原因，反之则相反；（3）当上述两个约束条件皆不成立时，则x与y互为格兰杰原因。为了检验这些原假设，我们首先利用OLS法估计模型：并进行F检验，其原假设是。记无约束残差平方和为；受约束残差平方和为，F统计量为 给定置信水平，如果，则拒绝，认为Y是X的格兰杰原因。同理对第二个模型进行F检验。（二）格兰杰因果关系检验应该注意的问题1、可以在

29、原模型基础上再增加时间趋势项、季节虚拟变量或者其他一些解释变量。一个原则是，在t期，解释变量的取值应该是已知的，这是因为预测是基于已知的信息集而作出的。笔记：例如，在t期，Xt-1这个变量的取值是已知的，因为它是随机变量Xt在t-1期的实现。这样的变量被称为前定变量（Predetermined variable）。2、格兰杰因果关系依赖于所控制的信息集。对于，当约束条件不成立时，则称y是x的格兰杰原因；另外一方面，对于，当约束条件不成立时，则称y是x的以Z为条件的格兰杰原因。“y是x的格兰杰原因”与“y是x的以Z为条件的格兰杰原因”对应着不同的模型，因此两者是两个不同的概念。3、模型中的变量应

30、该是I(0)的，否则，通常的F检验是失效的，因为此时的F统计量并不服从标准的F分布。4、模型的误差项应该序列无关，否则，OLS估计是不一致的。为了使得误差项序列无关，关于p值的选择就显得十分重要了！可以按照SIC或者AIC标准选择p值。当然最好的方式是，选择了一个p值后再对残差进行序列相关检验（回忆当模型含有滞后因变量时的序列相关检验方法）。（三）当变量都是I(1)变量时，该如何进行Granger因果关系检验？再次强调，在进行Granger因果关系检验时，模型中的变量应该是I(0)的，否则，通常的F检验是失效的，因为此时的F统计量并不服从标准的F分布。 如果变量都是I(1)变量，显然我们可以首先对各变量取一阶差分，然后基于差分变量进行通常的Granger因果关系检验。然而，当这些I(1)变量存在协整关系时，我们应该基于ECM模型进行Granger因果关系检验。为什么呢？假设ECM模型是：如果利用模型：来进行Granger因果关系检验，显然我们遗漏了重要变量。基于ECM进行Granger因果关系检验时，我们关注的是与两个原假设是否成立。26