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1、南京大学匡亚明学院08级（二上）期末考试答案，A卷 2010.01.13.1、 将函数 展开成Fourier级数，并给出级数和的表示式. （15分） 解 确定区间 上的 直交系为 ， 亦即. 于是，设 在区间上的Fourier级数展开式为，下面来确定有限Fourier变换（即Fourier系数）： ，故； ，故； ，故. 最后，得到的Fourier级数和 ，其中， ， ， ， . 2. 将函数 ，展开成Fourier余弦级数，并给出级数和的表示式.（15分） 解 将 ，作偶延拓，得；进而，在上，取完整直交系 ，亦即 ，于是，由在上为偶函数，所以， 求，故； 求，故；于是， ；故， ；在上展开成
2、余弦级数，且其和函数为 3. (1) 将复值函数 在 的分支上展开成幂级数. （10分）(2) 将复值函数 在展开成两个环：、中洛朗级数. （10分）解 （1） 将复值函数 在 的分支上展开成幂级数. 由， 与 得、. 于是，在展开成幂级数为 ， . 解 (2) 将复值函数 展开成两个环：、中的洛朗级数. 在 中： 故 ，故， ； 中： 与 ，于是，故， . 4. （1） 用Fourier级数法，求解偏微分方程的定解问题 . （15分）（2） 用Fourier变换法，求解偏微分方程的定解问题 . （15分）解 （1） 由于问题是有限长杆上的热传导问题，故用有限Fourier变换方法，由， 得，
3、 ，亦即， .此方程是，的一阶线性方程，其解为， . 为确定，由始值条件的Fourier变换， ，得到， ，然后得到， ；最后得到原来问题的解. （2） 由于问题是无限区域上的波动问题，故要用Fourier变换方法，由方程作Fourier变换：， ，得到， ，亦即， .此方程是，的二阶常系数线性方程，其特征方程为，特征根为，. 于是，方程的解为， . 为求解，对初始条件作Fourier变换， 、， ，故、；从而. 的解为，最后，得到问题的解为 （在理论上，上面反演公式要在、成立）. 5. （1） 求一个正交变换，将方阵化为对角型. （10分）（2） 将二次型化为标准型. （10分）解 （1）
4、第一步 求特征方程 ，故、；第二步 求特征向量 对于 ，方程组 的系数矩阵为的秩为，故其基础解系中有个线性无关的解，于是， ，故取、 ；对于 ，方程组 的系数矩阵为的秩为，故其基础解系中有个线性无关的解，于是， ，故取； 这样，我们得到，但它不是正交方阵，因为、 、 并不两两正交、；第三步 用施密特正交化方法将正交化 令 ，于是，得到、 、 故正交方阵为. 解 （2） 由 于是，令 ，得到；事实上，二次型的方阵为，于是，故我们有：，与所作的可逆变换 与 得到的结果相同. 第一题 15分第二题 15分第三题 （1） 10分 （2） 10分第四题 （1） 15分 （2） 15分第五题 （1） 10分 （2） 10分14
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