双向小波多尺度分析生成元的刻画

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1、精品论文双向小波多尺度分析生成元的刻画陈洁，施咸亮（湖南师范大学，数学与计算机科学学院，长沙 410081）5摘要：为了构造二进小波，多尺度分析是有效的工具。具有紧支集且又有光滑性的 Daubechies 正交小波族和 Chui-Wang 样条小波族都是通过多尺度分析的方法构造的。在多尺度分析方 法构造小波中最关键的步骤是构造它的生成元，通过 Mallat 等人的工作，我们已经知道若 干判别函数成为多尺度分析生成元的充分条件。2008 年，张海英和施咸亮给出了多尺度分 析生成元的完全刻画。本文的目的是对杨守志和李尤发引入的双向小波建立高维双向多尺度10分析生成元的刻画。关键词：多尺度分析；生成

2、元；Riesz 基；双向小波；刻画定理中图分类号：O174.2Characterization of the Multiresolution Analysis generator15for two-direction waveletsCHEN Jie, SHI Xianliang(College of Mathematics and Computer Science, Hunan Normal University, ChangSha 410081)Abstract: In construction of wavelets Multiresolution Analysis (MRA) is a

3、 very powerful tool. Forexamples, the family of Daubechies wavelets which have compact support and smoothness, and20Chui-Wang spline wavelets are all obtained by using MRA. The key to construct an MRA is to find its generator (scaling function). For dyadic wavelets Mallat has established some suffic

4、ient conditions for generators. In 2008, H. Y. Zhang and X. L. Shi obtained a completecharacterization of generators. The aim of this paper is to establishe the corresponding theory for two-direction wavelets defined by S. Z. Yang and Y. F. Li and give a characterization of25generators.Keywords: MRA

5、; Generator; Riesz basis; two-direction wavelet; characterization theorem0引言多尺度分析123是构造小波的有效途径，例如 Daubechies 的紧支集小波4和 Chui-Wang30的样条小波5都是通过多尺度分析的途径构造出来的，所以多尺度分析一直是众多学者研究 的对象。2007 年，杨守志和李尤发6提出了双向小波多尺度分析。2008 年，张海英和施咸 亮7 对一维单向情况给出了多尺度分析生成元的完全刻画。本文的目的是建立高维双向多 尺度分析生成元的完全刻画。设 L2 ( Rn ) ，记- 14 -j+2jj2j35

6、j ,k := q ( A x Bk ) ， j ,k := q (Bk A x) ，其中 j Z，k Z n ， A 为膨胀矩阵， B 为非奇异矩阵，且满足 Ak Z n (k Z n ) 和AB = BA 。这里我们称所有特征值 都满足 1 的实矩阵为膨胀矩阵，且记 q = det A 。本文中出现的正常数C, C1 , C2 , 在不同的地方可能代表的值会不同。定义 1L2 ( Rn ) 的子空间序列 V j jZ称为 L2 ( Rn ) 的一个多尺度分析，若满足基金项目：国家自然科学基金项目(11071065)和(11171306); 高等学校博士学科点专项科研基金项目(2009430

7、6110004). 作者简介：陈洁，女，博士研究生，主要研究方向：调和分析与小波。 通信联系人：施咸亮，男，教授，主要研究方向：调和分析与小波。 E-mail: xianliangshi40（1）V j V j +1 , j Z ；（2） U V j jZ = L2 ( Rn ) ；（3） I V j = 0 ；jZ （4） f ( x) V j 当且仅当 f ( Ax) V j +1 ；（5）存在函数 ( x) V0 ，使得V0 = V0,1 V0,2 ，并且V0,1 和V0,2 分别以0,k 和kZ n450,k 为 Riesz 基，其中V:= close , , , k Z n。函数 (

8、 x) 称为多尺度分析+jj kj k2 nnkZ生成元。本文我们将以L ( R ), 表示 L2 ( Rn ) 中的内积，定义 f =f , f+。对于 f L2 (Rn ) ，以 f表示它的 Fourier 变换。当 f L1 ( Rn ) 时，定义f () =Rnf ( x)e2 i x dx 。50为了刻画生成元，我们引入 A 进远离零的概念7。定义 2假设 A 为膨胀矩阵，R n 上的局部可积函数 ( x) 称为 A 进远离零，倘若存在正数 ， 使得对于 R n 上任意正测度有界区域 ，成立lim j ( , ) ，j +其中 j ( , ) :=1( ) * j( A* ) j (

9、 A ) 2d ， A* 表示 A 的共轭矩阵。55我们将证明下面的定理。定理 1设 L2 ( Rn ) ，那么函数 ( x) 是一个多尺度分析生成元当且仅当i） 存在c= (c+ , c ) l 2 ( R2 ) ，使得+kkkkZ n ( x) = ck ( Ax Bk ) + ck (Bk Ax) ；ii) 存在常数 0kZ n C1 C2 ，使得kZ nn60C1 ( ) C2 a.e. R和 ( B* )1 ( + k )( B* )1 ( + k ) = 0kZ n其中a.e. Rn ；2() := ( + (B* )1 k ) 。(1)65iii) 函数 ( x) 是 A 进远离

10、零的。1定理的证明kZ n引理 1可分 Hilbert 空间 H 中的序列hn 是 H 中的 Riesz 基当且仅当i) hn 是完备的；mii) 存在正数C1 C2 ，使得对于一切有限个标量cl 成立mm2l =1m2270这里 表示 H 中的范数。HC1 cll =1 cl hll =1 C2 cl，Hl =1引理 2假设 L2 ( Rn ) 满足以下条件i) 存在c= (c+ , c ) l 2 ( R2 ) ，使得+kkkkZ n ( x) = ck ( Ax Bk ) + ck (Bk Ax) ；75ii) 存在常数 0kZ n C1 C2 ，使得kZ nnC1 ( ) C2 a.e

11、. R和那么V j jZ ( B* )1 ( + k )( B* )1 ( + k ) = 0kZ n满足条件(1), (3), (4)和(5)。a.e. Rn ， 80证明：由条件 i)和条件 Ak Z n (k Z n ) 和 AB = BA 可知条件(1)满足。由 Vj jZ的定义+可知条件(4)满足。由条件 ii)可知V0,1 和V0,2 分别以0,k 和 为 Riesz 基，且有nkZ0,kkZ n+V0 = V0,1 V0,2 ，即条件(5)满足。任取ck = (ck , ck )kZ n l 2 ( R2) ， 我们有2+I = ck ( x Bk ) + ck ( Bk x)k

12、Z n=kZ nc+ e2 iBk ( ) +2c e2 iBk ( ) dRn= RnkZ n( kZ nkkc+ e2 iBk ( ) +kZ nkZ nkkkc e2 iBk ( ) (kkZ nc+ e2 iBk ( ) +kZ nc e2 iBk ( )d:= I 1 + I2 + I3 + I 4，其中I1=Rn( kZ nc+ e2 iBk ( )(kkkkZ nc+ e2 iBk ( )dk= ( B* )1 ( 0,1n + s )( c+ e2 iBk ( )( c+ e2 iBk ( )d85=sZ n( B* )1 0,1n( kZ nkZ nkkc+ e2 iBk )

13、(kZ nkZ nkc+ e2 iBk )22，sZ n( + ( B* )1 s) d=0,1n( kkZ nc+ e2 ik )(kZ nc+ e2 ik )222+sZ n( B* )1 ( + s) d。由假设条件C1 () C2 可得C1 即有c+ 2sZ n(B* )1 ( + s) C ，90同理可得C1 kZ nk I1 C2 kcc 2kZ nc 2C1 kkZ n和k I 4 C2 kkkZ nI2 = I3=Rn( kZ nc+ e2 iBk ( )(kZ nc e2 iBk ( )d =0,1n( kZ n+ 2 ik c e)(kkZ n 2 ik c e)k ( B

14、* )1 ( + s)( B* )1 ( + s)dsZ n= 0。95从而有1 kC( c+ 2kZ n2 k2k+ c) I C( c+ 2kZ n2k+ c )。+所以0, ,0, k Zn 构成V 的 Riesz 基，特别地构成V 上的一个框架。那么对于任意的kkf V0 ，都有 000 C1 C2 ，使得f ,2+222C1 f (kZ nf ,0,k+f ,0,k) C2 f，100且有对于任意的 f V j ，都有 0 C1 C2 0 ，存在一个紧支撑连续的函数 f% ，满足 supp f% = ，jZ 且使得 f f% 。设 Pj f% 表示 f% 在V j 上的正交投影，则1

15、05由不等式(2)可得f Pj f%= Pj ( f f% ) f f%2 。2 1Pj f% (C1 ) (f% , j ,k+f% , j ,k) ，1 +2kZ n由于22f% , j ,k = n f% j ,k dx +kZ nkZ n R（Rn f%kZ n+2 Rn j ,k %dx）2=q j（kZ nf ( A j x Bk ) dx）22 q jf% 2 ( A j x Bk ) dx=kZ nf% A j BkkZ nj222 ( y) dy=f% S ( y)dy，其中 S j:=UkZ n( A j Bk ) ， 是包含 的闭区域，则有110lim f% , j ,k

16、 +2= 0，同理可证j kZ nlim f% , j ,k 2= 0。我们可以得到Pj f%j kZ n 0( j ) ，从而 f= f Pj f% + Pj f% f Pj f%+ Pj f% 0 ，使得对于任意的正测度有界区域 成立lim1+ () ( )22+d ，（3）jj + det A*( A* ) j 2()()当且仅当jlim1()d ， （4）120其中 是某个正数。j + det A*( A* ) j ( )事实上不等式(4)成立时，不等式(3)显然成立。反之当不等式(3)成立时，下述两不等式 中至少有一式成立lim1+ ( )d ，jj + det A*( A* ) j

17、 ()2或125lim1 ( )2()2d 。j j j + det A*定理 1 的证明: 假设空间序列 VjZ( A* ) j +是满足条件(1)，(2)，(3)，(4)和(5)的一个多尺度分析。因为V j jZ满足条件(1)，(4)和(5)，则通过 j ,k , j ,k 可以构造出V j 的标准正交基，于是有+k V0 V1 ，存在ck = (ck , ck )kZ n l 2 ( R2) ，使得+ + ( x) = ck 1,k + ck 1,k 。2kZ nkZ n130另外由0,k = ( x Bk ), k Z有下列不等式成立n+ l 2 构成V0,1 的 Riesz 基可知，

18、对任意ck nkZ( R) ，2+ 2+ 2于是有C1 ckkZ n ck ( x Bk )kZ n2 C2 ckkZ n。（5）+ ck ( x Bk )kZ n= RnkZ n2kc+( Bk ) d2= RnkkZ nc+ e2 iBk () d22= RnkZ nc+ e2 iBk () d22=1det B*Rn c+ e2 ik kkZ n( B* )1 ) d=1 c+ e2 ik 22 (B* )1 ( + s) d,135其中det B* 0,1nkkkZ nsZ n20,1nc ekZ n+ 2 ik d= 0,1n( kZ n+ 2 ik c e)(kkZ n+ 2 ik

19、 c e)dk+ 2= ck 。kZ n则不等式(5)蕴含下面不等式成立140即等价于C1 sZ n(B* )1 ( + s) C 。nC1 sZ n222( + ( B ) s) C* 1。2由0,k= (Bk x)，k Z 构成V0,2 的 Riesz 基同样可以得到上面不等式。n由V0,1 V0,2 可知，对于任意的 k，l Z ，有 ( x Bk )， (Bl x)= Rn( Bk )( Bl )d=1det B*=1Rne2 i ( k l )(B* )1)(B* )1 )de2 i ( k l ) (B* )1 ( + s)det B* 0,1nsZ n145从而可得 (B* )1

20、 ( + s)d= 0。 (B* )1 ( + s)( B* )1 ( + s)=0 。sZ n2det B* + ()det B* ()设由+ ( ) =( )， () =()产生函数 + ( x)， ( x) ，则150和 由上面两等式，我们可以得到 + ( B* )1 ( + s) = det B*sZ n2 (B* )1 ( + s) = det B* 。sZ n155和+于是有0,k ( x Bl), ( x Bk )V ( Bl x), ( Bk x)是# 的规范正交基。因为n= k ,l = k ,l 。kZ 0,1V # =ff =f #x Bk f # l 2 0,1: kk

21、Z n(),k kZ n= f : f =kZ nf #e2 iBk ( ), f #kk kZ n l 2 = f : f =det B* ()1f # e2 iBk , f # l 2 kkZ n ( + ( B* ) l )lZ nk kZ n= f : f = p( )( ), p( ) L2(B* )10,1n ),且以(B* )1s为周期的函数=V0,1，+n0,1于是有0,k 是V 的规范正交基。同理可知0,kn 是V0,2 的规范正交基。由已证明k Z +的结果可得到 j ,k， j ,k kZ n是V 的规范正交基，以 P 表示 L2 ( Rn) 到V 的投影算子，以2nkZ

22、 jjj2n160Q j 表示 L ( R) 到V j的投影算子，则对于任意的 f L (RPj f f ( j +) 。n) ，有设 f0 是 f0 () = ( )(其中 为 R 的正测度闭区域)所确定的函数，我们有2Pj f0= (kZ n+2P f ,+j 0j ,k)2P f ,j 0j ,k22= (Pj f0 + Q j f0 , j ,k+ Pj f0 + Q j f0 , j ,k)+kZ n= (2f0 , j ,k+2f0 , j ,k)+kZ n= I1 + I 2，其中I =f ，+f ，+010kZ nj ,k0j ,k = q j RnkZ nf ( )e2 iA

23、 j Bk ( A* ) j )d= q jRnf ()e2 iA j Bk ( A* ) j )df ( A* ) j )e2 iBk ( )d165 Rn 0kZ n= q jRnf ( A* ) j )e2 iBk ()df ( A* ) j )( )f ( A* ) j ( + (B* )1 s)00Rn 0( B ) 0,10 * 1 n kZ nsZ n00( + ( B* )1 s)e2 iBk d e2 iBk dj =qdet B RnsZ nf ( A* ) j ( + ( B* )1 s) f ( A* ) j )( + (B* )1 s)()d=1det B nR000

24、0sZ nf ( + ( A* ) j (B* )1 s) f ( )( A* ) j + ( B* )1 s)( A* ) j )d，同理可得I 2 =R1 det B nsZ nf ( + ( A* ) j (B* )1 s) f ( )( A* ) j + (B* )1 s)( A* ) j )d 。现在讨论 f ( + ( A* ) j (B* )1 s) f ( ) 在 R n 上的函数值。由 f () = ( ) 的定义，只有当00017000 及 + ( A* ) j ( B* )1 s 同时属于 时， f ( + ( A* ) j (B* )1 s) f ( ) 的函数值为 1

25、，否则其 他情况都为 0，所以当 s 0 时，当 j 足够大，使得00( A* ) j ( B* )1 s sup x y : x, y R n 175成立时，有当 j 足够大时，f ( + ( A* ) j (B* )1 s) f ( ) = 0 。2P f=f ( )( A* ) j ) + ( A* ) j ) d22j 0Rn0222= ( A* ) j ) + ( A* ) j ) d。2当 j + 时，由 Pj f0 f0 可知，2222lim P f= f2 = f=f d = 。于是有j +j 000Rn0180lim ( A* ) j ) + ( A* ) j ) d = ，

26、j + 即lim122 () + ( ) d = 1 。 jj + det A*因此对于充分大的 j 成立*1( A* ) j 2+ ( )2 ( )det B* jdet A( A* ) j + ( )()d ，2185由引理 3 推出*1 jdet A( A* ) j ( )( )2d 0，由于(5)式蕴含 ( ) 有界性，从而有lim j ( , ) 0 。j +190必要性证明完毕。 下面证明充分性。设 L2 ( Rn ) ，且满足条件 i)，ii)和 iii)，定义子空间- 12 -V j :=close 2 nL ( R )+,j ,k,j ,kk Z n ，由条件 i)，ii)及

27、引理 2 可知V j jZ满足条件(1)，(3)，(4)和(5)，所以只需证明 U V j = L ( R ) 。2njZ U即证明当 f (V j )jZ 时，有 f = 0 成立。195设 为任意给定的正数，选取函数 g ( x) ，使得 g ( x) 为互不重叠区域 Kk k =1的特征函数的组合，即Kg () = ck kk =1()，并满足f g ，则有f g =f g 。+由条件 ii)的等价条件可知0,k 构成V 中的 Riesz 基， V构成V中的nkZ0,10,k kZ n0,2200Riesz 基，且有V0 = V0,1 V0,2 。由条件 i)和 j ,k , j ,k

28、的定义和性质可得 j ,k , j ,k n 构成的规范正交基，则有+22kZ j ( g, j ,k + g, j ,k)+kZ n= (2Pj g, j ,k+2Pj g, j ,k)(6)+kZ n2= C Pj g 。根据必要条件类似的分析，当 j 充分大时，有 g, j ,k+22222g, j ,k2+kZ n= Rn2g ( ) K( A* ) j ) + ( A* ) j ) d222k= Rn k =1ck ( ) ( A* ) j ) + ( A* ) j ) dK2k2221=c ( ( A* ) j ) + ( A* ) j ) d )205k =1Kkkk(7)=c

29、(1 () + ( ) d)kk kkk =1K q j ( A* ) j 22U C ckk =1k = C g 。由不等式(6)(7)以及 f (V j ) 得到jZ g 2 C lim +2g,+j ,k 2j ,k g,j +kZ n2 C limj +=C limj + C，Pj g2Pj ( g f )210则由 的任意性，可得f f g + g +C ，f = 0a.e.即有215U V jjZ = L2 ( Rn ) 。参考文献2202251 Daubechies I 著. 小波十讲M. 李建平, 杨万年译. 北京: 国防工业出版社, 2004 年. 2 崔锦泰. 小波分析导论

30、M. 程正兴译. 西安: 西安交通大学出版社(1 版), 1995.3 Mallat S. Multiresolution approximations and wavelet orthonormal bases of L2(Rn)J. Trans. Amer. Math. Soc, 1989, 315(1): 69-87.4 Daubechies I. Orthonormal bases of Compacthy supported waveletsJ. comm.Pure Appl. Math, 1988, 41:909-996.5 C. K. Chui, J. Z. Wang. On Compactly supported spline wavelets and Daulity PrincipleJ. transaction of AMS,1992, 330(2): 903-915.6 杨守志, 李尤发. 具有高逼近阶和正则性的双向细函数和双向小波J. 中国科学 A 辑, 2007, 37(T):779-795.7 张海英, 施咸亮. 多尺度分析生成元的刻画J. 数学学报 A 辑, 2008, 51(5): 1035-1040.