专题04解三角形-2021高考数学（理）高频考点、热点题型归类强化

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1、专题04 解三角形2021高考数学（理）高频考点、热点题型归类强化【高频考点及备考策略】解三角形是高考的一个必考点，试题难度不大，多为中、低档题.主要命题的角度：（1）以斜三角形为背景求三角形的基本量、求三角形的面积或判断三角形的形状，主要考查正弦定理、余弦定理以及三角函数公式的应用；（2） 以实际生活为背景（如测量、航海、几何天体运行和物理学上的应用等）考查解三角形问题，此类问题在近几年高考中虽未涉及，但深受高考命题者的青睐，应给予关注；（3）解三角形常与三角恒等变换、不等式、平面向量等知识综合命题，这一直是高考考查的重点和热点，考查学生的逻辑思维、转化化归、数形结合的思想和数学运算的核心素

2、养。考向预测：(1)以三角变换为基础，考查三角函数式的求值、三角函数的图象和性质(2)结合向量或几何知识考查三角形中的边角互化、解三角形必备知识1、正弦定理：在中，、分别为角、的对边，则有(为的外接圆的半径).2、正弦定理的变形公式：，；，；.3、三角形面积公式：4、余弦定理：在中，有，推论：；变形：.【重要结论】1、解三角形所涉及的其它知识（1）三角形内角和定理：A+B+C=.（2）三角形边角不等关系：.2、诱导公式在中的应用（1）；（2）；3、已知三边（或三边之比，或三内角正弦之比）判定三角形的形状设a是三角形中最长的边，则（1）若，则是锐角三角形；（2）若，则是直角三角形；（3）若，则是

3、钝角三角形；或（1）若 ,则是锐角三角形；（2） 若 ,则是直角三角形；（3） 若 ,则是钝角三角形；4、三角形中，最大的角不小于，最小的角不大于.【易错警示】1同角关系应用错误：利用同角三角函数的平方关系开方时，忽略判断角所在的象限或判断出错，导致三角函数符号错误2诱导公式的应用错误：利用诱导公式时，三角函数名变换出错或三角函数值的符号出错3忽视解的多种情况如已知a，b和A，应先用正弦定理求B，由ABC，求C，再由正弦定理或余弦定理求边c，但解可能有多种情况4忽略角的范围应用正、余弦定理求解边、角等量的最值(范围)时，要注意角的范围5忽视解的实际意义求解实际问题，要注意解得的结果要与实际相吻

4、合真题体验一、 选择题1、（2020新课标卷理科T7）在ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，则cosB=（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】在中，根据余弦定理：可得 ，即由故.故选：A.【点睛】本题主要考查了余弦定理解三角形，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.（2020新课标卷文科T11）在ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，则tanB=（ ）A. B. 2C. 4D. 8【答案】C【解析】设故选：C【点睛】本题考查余弦定理以及同角三角函数关系，考查基本分析求解能力，属基础题.二、填空题1、（2020新课标卷理科T16）如图，在三棱锥PABC的平面展开图中，AC=1

5、，ABAC，ABAD，CAE=30，则cosFCB=_.【答案】【解析】，由勾股定理得，同理得，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得.故答案为：.【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，考查计算能力，属于中等题.2、（2020江苏卷T13）在ABC中，D在边BC上，延长AD到P，使得AP=9，若（m为常数），则CD的长度是_【答案】【解析】三点共线，可设，即，若且，则三点共线，即，,，设，则，.根据余弦定理可得，解得，的长度为.当时， ，重合，此时的长度为，当时，重合，此时，不合题意，舍去.故答案为：0或.【点睛】本题考查了平面向量知识的应用、余弦定理的应用以及求解运算能力，解答本题的关键是设

6、出三、解答题1、（2020新课标卷理科T17）中，sin2Asin2Bsin2C=sinBsinC.（1）求A；（2）若BC=3，求周长的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由正弦定理可得：，.（2）由余弦定理得：，即.（当且仅当时取等号），解得：（当且仅当时取等号），周长，周长的最大值为.【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理角化边的应用、余弦定理的应用、三角形周长最大值的求解问题；求解周长最大值的关键是能够在余弦定理构造的等式中，结合基本不等式构造不等关系求得最值.2、（2020新课标卷文科T18）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知B=150.（1）若a=c

7、，b=2，求的面积；（2）若sinA+sinC=，求C.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由余弦定理可得，的面积；（2），.【点睛】本题考查余弦定理、三角恒等变换解三角形，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.3、（2020新课标卷文科T17）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（1）求A；（2）若，证明：ABC是直角三角形【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】（1）因为，所以，即，解得，又，所以；（2）因为，所以，即，又， 将代入得，即，而，解得，所以，故，即是直角三角形【点睛】本题主要考查诱导公式和平方关系的应用，利用勾股定理或正弦定理，余弦定理判断三角形

8、的形状，属于基础题4、（2020山东省新高考全国卷T17）同（2020海南省新高考全国卷T17）在，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由问题：是否存在，它的内角的对边分别为，且，_?注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分【解析】解法一：由可得：，不妨设，则：，即.选择条件的解析：据此可得：，此时.选择条件的解析：据此可得：，则：，此时：，则：.选择条件的解析：可得，与条件矛盾，则问题中的三角形不存在.解法二：, ，,若选，,c=1;若选，,则,;若选,与条件矛盾.【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，

9、或全部化为边的关系题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用解决三角形问题时，注意角的限制范围5、（2020北京卷T17）在中，再从条件、条件这两个条件中选择一个作为己知，求：（）a的值：（）和的面积条件：；条件：注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分【答案】选择条件（）8（）, ；选择条件（）6（）, .【解析】选择条件（）（）由正弦定理得：选择条件（）由正弦定理得：（）【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理，三角形面积公式，考查基本分析求解能力，属中档题.6、（2020江苏卷T16）在ABC中，角A，B，C的对边分别

10、为a，b，c，已知（1）求的值；（2）在边BC上取一点D，使得，求的值【答案】（1）；（2）【解析】（1）由余弦定理得，所以.由正弦定理得.（2）由于，所以.由于，所以，所以.所以.由于，所以.所以.【点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角恒等变换，属于中档题.7、（2020天津卷T16）在中，角所对的边分别为已知（）求角的大小；（）求的值；（）求的值【答案】（）；（）；（）.【解析】（）在中，由及余弦定理得，又因为，所以；（）在中，由，及正弦定理，可得；（）由知角为锐角，由，可得，进而，所以.【点晴】本题主要考查正、余弦定理解三角形，以及三角恒等变换在解三角形中的应用，考查

11、学生的数学运算能力，是一道容易题.8、（2020浙江卷T18）在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（I）求角B的大小；（II）求cosA+cosB+cosC的取值范围【答案】（I）；（II）【解析】（I）由结合正弦定理可得：ABC为锐角三角形，故.（II）结合(1)的结论有：.由可得：，则，.即的取值范围是.【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求最值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.高频考点、热点题型强化考点一 利用正、余弦定理求

12、解三角形的边角问题 【典例】已知中的内角的对边分别为，且.（1） 求A；（2） 若成等差数列，的面积为，求【解析】（1）因为，所以由正弦定理可得，因为，所以.因为，所以，所以.（2）因为成等差数列，所以.又因为的面积为，所以，所以，可得bc=8.所以由余弦定理可得，即，解得.【备考策略】利用正、余弦定理求解三角形的边角问题，实质是实现边角的转化，解题的思路是：1、选定理.（1）已知两角及一边，求其余的边或角，利用正弦定理；（2）已知两边及其一边的对角，求另一边所对的角，利用正弦定理；（3）已知两边及其夹角，求第三边，利用余弦定理；（4）已知三边求角或角的余弦值，利用余弦定理的推论；（5）已知两

13、边及其一边的对角，求另一边，利用余弦定理；2、巧转化.化边为角后一般要结合三角形的内角和定理与三角恒等变换进行转化；若将条件转化为边之间的关系，则式子一般比较复杂，要注意根据式子结构特征灵活化简.3、得结论.利用三角函数公式，结合三角形的有关性质（如大边对大角，三角形的内角取值范围等），并注意利用数形结合求出三角形的边、角或判断出三角形的形状等。【类比演练】在中，内角所对的边分别为，且，则（ ）A. B. C. D.【解析】A.因为，所以，即，所以，又因为，所以，即，则，故选A.考点二 利用正、余弦定理等知识求解与三角形有关的最值问题【典例】在中，内角的对边分别为，且（1）求角A；（2）若，求

14、面积的最大值.【解析】（1） 即，整理得 （2） ，即 当且仅当时，取最大值，从而.所以面积的最大值为.【备考策略】利用正、余弦定理等知识求解与三角形有关的最值问题，一般先运用正、余弦定理进行边角互化，然后通过三角形中相关角的三角恒等变换，构造关于某一角或某一边的函数或不等式，再利用函数的单调性或基本不等来处理。【类比演练】（1）在中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且满足 .（1）求角B的大小；（2）若D为AC的中点，且BD=1，求的最大值【解析】（1）因为，所以,即，因为，所以，又因为，所以.（2）因为D为AC的中点，所以由向量的中线定理得,两边同时平方得，又因为BD=1，所以故，当

15、且仅当a=c时，等号成立，此时，所以的最大值为.（2）已知的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，满足，且b=3.（1） 求B.（2） 求的周长的最大值.【解析】利用正弦定理对化简得,即.因为，所以.又，所以.（2）解法一：在中，由余弦定理得，所以，即，所以，当且仅当a=b=c=3时，的周长取得最大值，且最大值为9.解法二：由正弦定理得，所以，所以=又因为，所以所以当，即时，所以.考点三 利用正、余弦定理解平面四边形【典例】如图所示,在四边形ABCD中,D=2B,且AD=1,CD=3,.(1)求ACD的面积;(2)若,求AB的长.【解析】(1)因为D=2B,，所以cos D=cos 2B=2c

16、os2B-1=.因为D(0,),所以sin D=.因为AD=1,CD=3,所以ACD的面积S=ADCDsin D=.(2)在ACD中,由余弦定理得AC2=AD2+DC2-2ADDCcos D=12,所以AC=.因为BC=,所以B=BAC,由正弦定理得,所以,所以AB=4.【备考策略】利用正余弦定理解四边形的解题思路是： 1、对于在四边形中解三角形的问题或把一个三角形分为两个三角形来解三角形的问题，分别在两个三角形中列出方程，组成方程组，通过加减消元或者代入消元，求出所需要的量；2、对于含有三角形中的多个量的已知等式，化简求不出结果，需要依据题意应用正余弦定理再列出一个等式，由此组成方程组通过消

17、元法求解。【类比演练】如图，在四边形中，（1）求的正弦值；（2）若，且的面积是面积的4倍，求的长.【解析】（1）在中，设，由余弦定理得，整理得，解得.所以由正弦定理得，解得 （2）由已知得，所以，化简得 所以 于是因为，且为锐角，所以，因此 考点四 利用正、余弦定理求解实际应用问题【典例】如图，有一个码头P和三个岛屿A，B，C，PC30n mile，PB90n mile，AB30 n mile，PCB120，ABC90.(1)求B，C两个岛屿间的距离；(2)某游船拟载游客从码头P前往这三个岛屿游玩，然后返回码头P.问该游船应按何路线航行，才能使得总航程最短？求出最短航程【解析】(1)在PBC中

18、，PB90，PC30，PCB120，由正弦定理得，即，解得sinPBC，又因为在PBC中，0PBC1)米，ACt(t0)米，依题设ABAC0.5(t0.5)米，在ABC中，由余弦定理得：AB2AC2BC22ACBCcos60，即(t0.5)2t2x2tx，化简并整理得：t(x1)，即tx12，因为x1，故tx122，当且仅当x1时取等号，此时取最小值2.强化训练一、 选择题1、已知ABC的外接圆半径为R，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若asinBcosCcsinC，则ABC面积的最大值为( )A B C D解析asinBcosCcsinC，cosCc22，可得c22，即a2b22c28

19、，故a2b282c2，又SabsinC，S2a2b2(1cos2C)a2b2c4c2，ab且c2时，ABC的面积的最大值为.2、若三角形ABC中，sin(AB)sin(AB)sin2C，则此三角形的形状是( )A等腰三角形 B直角三角形C等边三角形 D等腰直角三角形解析sin(AB)sin(AB)sin2C，sin(AB)sinC0，sin(AB)sin(AB)，cosAsinB0，sinB0，cosA0，A为直角3钝角三角形ABC的面积是，AB1，BC，则AC( )A5 B C2 D1解析本题考查余弦定理及三角形的面积公式SABCacsinB1sinB，sinB，B或.当B时，经计算ABC为

20、等腰直角三角形，不符合题意，舍去B，根据余弦定理，b2a2c22accosB，解得b，故选B4设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a2，c2，cosA，且bc，则b( )A B2 C2 D3解析由余弦定理得：a2b2c22bccosA，所以22b2(2)22b2，即b26b80，解得：b2或b4.因为bc，所以b2.5、已知a，b，c分别是ABC的内角A，B，C所对的边，点M为ABC的重心若abc0，则C( )A B C D解析M为ABC的重心，则0，abc0，a()bc0.即(ba)(ca)0，与不共线，ba0，ca0.得abc111，令a1，b1，c，则cosC，C，故选D6

21、、已知等腰ABC满足ABAC，BC2AB，点D为BC边上的一点且ADBD，则sinADB的值为( )A B C D解析如图，设ABACa，ADBDb，由BC2AB，得BCa，在ABC中，由余弦定理得，cosABC.ABAC，ABC是锐角，则sinABC，在ABD中，由余弦定理得AD2AB2BD22ABBDcosABD，b2a2b22ab，解得ab，由正弦定理得，解得sinADB.二、 填空题1、在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a23b23c22bcsinA，则C等于 .解析由余弦定理得a2b2c22bccosA，所以b2c22bccosA3b23c22bcsinA，sinAc

22、osA，2sin(A)2，因此bc，AA，所以C.2、在锐角ABC中，D为BC的中点，满足BADC90，则角B，C的大小关系为 .(填“BC”)解析设BAD，CAD，因为BADC90，所以90C，90B，因为D为BC的中点，所以SABDSACD，所以cADsinbADsin，所以csinbsin，所以ccosCbcosB，由正弦定理得，sinCcosCsinBcosB，即sin2Csin2B，所以2B2C或2B2C，因为ABC为锐角三角形，所以BC3、为了竖起一块广告牌，要制造三角形支架，如图，要求ACB60， BC的长度大于1米，且AC比AB长0.5米，为了稳定广告牌，要求AC越短越好，则A

23、C最短为 .解析由题意设BCx(x1)米，ACt(t0)米，依题设ABAC0.5(t0.5)米，在ABC中，由余弦定理得：AB2AC2BC22ACBCcos60，即(t0.5)2t2x2tx，化简并整理得：t(x1)，即tx12，因为x1，故tx122，当且仅当x1时取等号，此时取最小值2.三、 解答题1、在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足sin2sinBsin.(1)求角A(2)若a，b2，求ABC的面积解析(1)由已知，化简得sinBsinC，sinBsinC，整理得cosBcosCsinBsinC，即cos(BC)，由于0BC0，所以c3，故ABC的面积为Sbcsi

24、nA.2、如图，有一个码头P和三个岛屿A，B，C，PC30n mile，PB90n mile，AB30 n mile，PCB120，ABC90.(1)求B，C两个岛屿间的距离；(2)某游船拟载游客从码头P前往这三个岛屿游玩，然后返回码头P.问该游船应按何路线航行，才能使得总航程最短？求出最短航程解析(1)在PBC中，PB90，PC30，PCB120，由正弦定理得，即，解得sinPBC，又因为在PBC中，0PBC60，所以PBC30，所以BPC30，从而BCPC30，即B，C两个岛屿间的距离为30n mile.(2)因为ABC90，PBC30，所以PBAABCPBC903060，在PAB中，PB90，AB30，由余弦定理得，PA30，根据“两点之间线段最短”可知，最短航线是“PABCP”或“PCBAP”，其航程为SPAABBCCP30303030306030，所以应按航线“PABCP”或“PCBAP”航行，其航程为(306030)n mile.