圆锥曲线知识点整理

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1、高二数学圆锥曲线知识整理知识整理解析几何的基本问题之一：如何求曲线(点的轨迹)方程。它一般分为两类基本题型：一是已知轨迹类型求其方程，常用待定系数法，如求直线及圆的方程就是典型例题；二是未知轨迹类型，此时除了用代入法、交轨法、参数法等求轨迹的方法外，通常设法利用已知轨迹的定义解题，化归为求已知轨迹类型的轨迹方程。因此在求动点轨迹方程的过程中，一是寻找与动点坐标有关的方程(等量关系)，侧重于数的运算，一是寻找与动点有关的几何条件，侧重于形，重视图形几何性质的运用。在基本轨迹中，除了直线、圆外，还有三种圆锥曲线：椭圆、双曲线、抛物线。1、三种圆锥曲线的研究PI- e,e 0 ,其中 d(1)统一定

2、义，三种圆锥曲线均可看成是这样的点集:F为定点，d为P到定直线的 距离，F ，如图。因为三者有统一定义，所以，它们的一些性质，研究它们的一些方法都具有规律 性。当0e1时，点P轨迹是双曲线；当 e=1时，点是抛物线。(2)椭圆及双曲线几何定义：椭圆： P|PF i|+|PF2|=2a, 2a|FiF2|0, Fi、F2为定点, 双曲线P|PF i|-|PF 2|二2a , |FiF2|2a0 , Fi, F2为定点。(3)圆锥曲线的几何性质：几何性质是圆锥曲线内在的，固有的性质，不因为位置的改变而改变。定性：焦点在与准线垂直的对称轴上椭圆及双曲线中：中心为两焦点中点，两准线关于中心对称；椭圆及

3、双曲线关于长轴、 短轴或实轴、虚轴成轴对称，关于中心成中心对称。定量：椭 圆双曲线抛物线焦距2c长轴长2a实轴长2a短轴长2b (双曲线为虚轴)焦点到对应 准线距离P=2日 cP通径长2 - ba2p离心率c e a1基本里关系a2=b2+c2C2=a2+b2(4)圆锥曲线的标准方程及解析量(随坐标改变而变) 举焦点在x轴上的方程如下：椭 圆双曲线抛物线标准方程2、，2x-匚1a2b2aab0)2、，2上上1 a2b2(a0, b0)y2=2px ( p0)顶点(土 a, 0)(0, 土 b)(土 a, 0)(0, 0)住 日( c, 0)(p , 0) 2准线2X= cx=-2中心(0, 0

4、)有界性|x| ax 0焦半径P(x。，y。)为圆锥曲线上一点，F1、F2分别为左、右焦点|PF i|=a+ex 0|PF 2|=a-ex 0P在右支时:|PF 1|=a+ex 0|PF 2|=-a+ex 0P在左支时：|PF 1 |=-a-ex 0|PF 2|=a-ex 0|PF|=x 0+-p2总之研究圆锥曲线， 一要重视定义，这是学好圆锥曲线最重要的思想方法，二要数形结合，既熟练掌握方程组理论，又关注图形的几何性质，以简化运算。2、直线和圆锥曲线位置关系(1)位置关系判断：法(适用对象是二次方程，二次项系数不为0)。其中直线和曲线只有一个公共点，包括直线和双曲线相切及直线与双曲线渐近线平

5、行两种情形；后一种情形下，消元后关于x或y方程的二次项系数为 0。直线和抛物线只有一个公共点包括直线和抛物线相切及直线与抛物线对称轴平行等两种情况；后一种情形下，消元后关于x或y方程的二次项系数为 0。(2)直线和圆锥曲线相交时，交点坐标就是方程组的解。当涉及到弦的中点时，通常有两种处理方法：一是韦达定理；二是点差法。4 、圆锥曲线中参数取值范围问题通常从两个途径思考，一是建立函数，用求值域的方 法求范围；二是建立不等式，通过解不等式求范围。例题研究例1、根据下列条件，求双曲线方程。22(1)与双曲线x- y- 1有共同渐近线，且过点(-3, 2,用)；916223v2, 2)。(2)与双曲线

6、 l 匕1有公共焦点，且过点164分析：22法一：(1)双曲线x-匚1的渐近线为y916令x=-3 , y=4,因2石 4 ,故点(-3 , 273 )在射线y -x (x0, b0) b(2，3)2b22(3)2aa -解之得： 4b2双曲线方程为匕1128 422双曲线方程为y 194422(2)设双曲线方程为 x- y- 1 (a0, b0) a2 b2a2 b2 20则(3-，2)2222Z-2 a b解之得:b2128法二：(1)设双曲线方程为916(入 W 0)(3)2(2.3)29161422双曲线方程为匕194422(3)设双曲线方程为二二16 k 4 k16 k 04 k 0

7、.(3.2)222176k_ 4k解之得：k=422双曲线方程为y-12822评注：与双曲线x2与 a b11共渐近线的双曲线方程为2y2(入W 0),当入0b时，焦点在x轴上；当入0, b2-k0)。比较上述两种解法可知，引入适当的参数可以提高 b2 k解题质量，特别是充分利用含参数方程的几何意义，可以更准确地理解解析几何的基本思想。22例2、设F1、F2为椭圆 y 1的两个焦点，P为椭圆上一点，已知 P、F、F2是 94个直角三角形的三个顶点，且|PF1|PF 2| ,求IPFU的值。IPF21解题思路分析：当题设涉及到焦半径这个信息时，通常联想到椭圆的两个定义。IPF1I IPF2I 6

8、法一：当/ PF2F1=900时，由PF/2 | PF2 |2 (2c)2 得：C2 5144| PF1 | , |PF2| - 33.!PF 7一哇1 2当/ F1P桎=900时，同理求得 |PF=4, |PF2|=2.IPF1I 9 2 肝21法二：当/ PF2F1=900, xp 54yP 3 p (而 4)3又F2 (而,0)4 . |PF 2|二 4314 . |PF i|=2a-|PF 2|=3x2 y2(.5)2当/ FiPE=900,由 22 得:x y 194p ( 3J5,4J5)。下略。55评注：由|PFi|PF 2的条件，直角顶点应有两种情况，需分类讨论。例 3、设点

9、P 到 M (-1 , 0), N (1, 0)的距离之差为2m,到x轴、y轴的距离之比为 2,求m取值范围。分析:根据题意，从点P的轨迹着手 |PM|-|PN|=2m.点P轨迹为双曲线，方程为2 Xm22y .1 (|mm , x2m2.m2(1 m2) m21 5m2又 0ni0，.5. 5、m ( , 0) (0,)般考评注：利用双曲线的定义找到点 P轨迹是重要一步，当题目条件有等量关系时,虑利用函数思想，建立函数关系式。例4、已知x2+y2=1,双曲线（x-1） 2-y2=1,直线同时满足下列两个条件：与双曲线交于不同两点；与圆相切，且切点是直线与双曲线相交所得弦的中点。求直线方程。分

10、析：选择适当的直线方程形式，把条件“是圆的切线” “切点M是弦AB中点”翻译为关于参数的方程组。法一：当斜率不存在时，x=-1满足;当 斜率存在时，设 ：y=kx+b与。相切，设切点为 M,则|OM|二1|b|1I,k2 1b2=k2+1y kx b2 22由 22 得：(1-k )x -2(1+kb)x-b =0(x 1)2 y2 1当 k w 1 且4 0 时，设 A (xi, yi), B (x2, y2),则中点M （x。，y。）,2(1 kb)x1 x 2， x。1 k1 kbk2 y kkxo+bn T1 k2 M在O。上x。2+丫。2=1(1+kb)2+(k+b) 2=(1-k2

11、)2由得:.32 ,33V32 ,33.3x3.333出法二：设M （x。，y。），则切线AB方程xox+yoy=1当yo=0时，xo= 1,显然只有x=-1满足;当 yW。时，yx-xy。y。代入(x-1) 2-y 2=1 得：(y 02-x o2)x 2+2(x 0-y。)2x-1=。y。2+*。2=1可进一步化简方程为：（1-2x。务，？。，*。由中点坐标公式及韦达定理得:即 2xo3-x o2-2x o+1=01解之得：X0=1(舍)，X0=-2X02x0 x1 2x y 0=六下略评注：不管是设定何种参数，都必须将形的两个条件( “相切”和“中点”)转化为关于 参数的方程组，所以提高

12、阅读能力，准确领会题意，抓住关键信息是基础而又重要的一步。例5、A、B是抛物线y2=2px ( p0)上的两点，且 0屋OB(1)求A、B两点的横坐标之积和纵坐标之积；(2)求证：直线AB过定点；(3)求弦AB中点P的轨迹方程；(4)求4AOB面积的最小值；(5)。在AB上的射影 M轨迹方程。分析：设 A (x1,y。，B (x2,y2),中点 P (x0,y。)(1)kOAx1y2x2 OAL OBk oA0 时，设 A (x1,y。，B (x2,y2)则 xi x2k(2 k)、22 k22+4k-6=0k=1 ,满足 0直线 AB: y=x+1法二：设 A (x1,y1), B (x2,

13、y2)2Xi 则2x22 y12 y22两式相减得：(xi-X2)(x i+X2)= 1 (y 1-y 2)(y 1+y2) 2 X 1 w X2.y y22(x1 X2)X1 X2 y1 y2k ABAB: y=x+12代入x2 1得： 02评注：法一为韦达定理法， 法二称为点差法，当涉及到弦的中点时，常用这两种途径处 理。在利用点差法时，必须检验条件0是否成立。(2)此类探索性命题通常肯定满足条件的结论存在，然后求出该结论，并检验是否满足所有条件。本题应着重分析圆的几何性质，以定圆心和定半径这两定为中心设A、B、C、D共圆于。OM因AB为弦,故 M在AB垂直平分线即 CD上；又CD为弦,

14、故圆心 M为CD中点。因此只需证 CD中点M满足|MA|=|MB|=|MC|=|MD|y x 1由 2 y2 得:A (-1 , 0), B (3, 4)x 12又CD方程：y=-x+3y x 3由 2 y2 得：x2+6x-11=0x2 12设 C (x3,y 3) , D (x4,y4), CD中点 M (xo,yo)贝 Uxo x3 x43, Vo xo 3 62M (-3 , 6)|MC|=|MD|= 1 |CD|= 2、1。2又 |MA|=|MB|= 2、,1o|MA|=|MB|=|MC|=|MD| A、B、C D在以CD中点，M (-3, 6)为圆心，2415为半径的圆上评注：充分分析平面图形的几何性质可以使解题思路更清晰，在复习中必须引起足够重 视。