高等数学高斯公式 通量与散PPT课件

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1、一、高斯一、高斯 ( Gauss ) 公式公式定理定理1. 设空间闭区域设空间闭区域 由分片光滑的闭曲由分片光滑的闭曲 上上有连续的一阶偏导数有连续的一阶偏导数 ,zyxzRyQxPddd yxRxzQzyPdddddd zyxzRddd yxRdd 下面先证下面先证:函数函数 P, Q, R 在在面面 所围成所围成, 的方向取外侧的方向取外侧, 则有则有 (Gauss 公式公式)高斯高斯 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第第1页页/共共29页页231zyxyxD ) ,(yxR yxyxRdd) ,( , ),(:11yxzz 证明证明: 设设yxDyxyxzyxzyxz

2、),(, ),(),(),(:21,321 zzRyxzyxzd),(),(21 yxD),(2yxz),(1yxz yxRdd yxD 2 zyxzRddd yxdd 1 3 yxRdd为为XY型区域型区域 , ),(:22yxzz 则则yxyxRdd) ,( yxD yxD),(2yxzyxyxRdd) ,(),(1yxz定理定理1 1 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第第2页页/共共29页页所以所以zyxzRddd yxRdd 若若 不是不是 XY型区域型区域 , 则可引进辅助面则可引进辅助面将其分割成若干个将其分割成若干个 XY型区域型区域,故上式仍成立故上式仍成立

3、.正反两侧面积分正负抵消正反两侧面积分正负抵消,在辅助面在辅助面类似可证类似可证 zyxyQddd yxRxzQzyPdddddd zyxzRyQxPddd xzQdd zyxxPddd zyPdd 三式相加三式相加, 即得所证即得所证 Gauss 公式：公式：定理定理1 1 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第第3页页/共共29页页使用使用Guass公式时应注意公式时应注意:1.1.RQP,是对什么变量求偏导数是对什么变量求偏导数; ;2.2.是否满足高斯公式的条件是否满足高斯公式的条件; ;3.3.是取闭曲面的外侧是取闭曲面的外侧. .第第4页页/共共29页页GaussGa

4、uss公式的实质公式的实质 表达了空间闭区域上的三重积分与其边界表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系曲面上的曲面积分之间的关系. .)coscoscos()( dSRQPdvzRyQxP 由两类曲面积分之间的关系知高斯公式的另一由两类曲面积分之间的关系知高斯公式的另一种形式：种形式：第第5页页/共共29页页例例1. 用用Gauss 公式计算公式计算 zyxzyyxyxdd)(dd)(其中其中 为柱面为柱面122 yx闭域闭域 的整个边界曲面的外侧的整个边界曲面的外侧. 解解: 这里这里利用利用Gauss 公式公式, 得得原式原式 = zyxzyddd)( zrrzrd

5、dd)sin( (用柱坐标用柱坐标)zzrrrd)sin(dd301020 29 x3oz1y,)(xzyP , 0 QyxR 及平面及平面 z = 0 , z = 3 所围空间所围空间思考思考: 若若 改为内侧改为内侧, 结果有何变化结果有何变化? 若若 为圆柱侧面为圆柱侧面(取外侧取外侧) , 如何计算如何计算? 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第第6页页/共共29页页例例2. 利用利用Gauss 公式计算积分公式计算积分SzyxId)coscoscos(222 其中其中 为锥面为锥面222zyx hozyx解解: 作辅助面作辅助面,:1hz ,:),(222h

6、yxDyxyx 取上侧取上侧 1(I 1Szyxd)coscoscos)(222 0,21 上上在在介于介于 z = 0 及及 z = h 之间部分的下侧之间部分的下侧. 1, 记记h1所围区域为所围区域为 , , 则则 zyxzyxddd)(2yxhyxDdd2 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第第7页页/共共29页页 zyxzyxIddd)(2利用重心公式利用重心公式, 注意注意0 yx zyxzddd24h yxhyxDdd2 421h hz022z zd4h hozyxh1机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第第8页页/共共29页页例

7、例3.dddddd)(2223 yxzxxzyzxzyxzxI设设 为曲面为曲面21,222 zyxz取上侧取上侧, 求求 解解: 作取下侧的辅助面作取下侧的辅助面1:1 z1:),(22 yxDyxyx I 11 zyxdddyxxdd)(2 xyD)1( 20d 10dr 221drz 202dcos 103drr1213 1zoxy211用柱坐标用柱坐标用极坐标用极坐标机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第第9页页/共共29页页 coscoscoszvyvxv),(, ),(yxvyxu在闭区域在闭区域 上具有一阶和上具有一阶和二阶连续偏导数二阶连续偏导数, 证明

8、格林证明格林( Green )第一公式第一公式Sd例例4. 设函数设函数 uzyxddd u zyxdddxu yu yv zu zv 其中其中 是整个是整个 边界面的外侧边界面的外侧. uP xv uQ yv uR zv 分析分析: zyxzRyQxPddd yxRxzQzyPdddddd xv 高斯公式高斯公式 222222zvyvxv机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第第10页页/共共29页页证证: :令令uP ,xv uQ ,yv uR ,zv 由高斯公式得由高斯公式得 222222zvyvxv u zyxddd coscoscoszvyvxv uSd移项即得

9、所证公式移项即得所证公式.(见见 P171)xu yu yv zu zv xv u yxzvxzyvzyxvdddddd机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第第11页页/共共29页页*二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件1. 连通区域的类型连通区域的类型 设有空间区域设有空间区域 G , 若若 G 内任一闭曲面所围成的区域全属于内任一闭曲面所围成的区域全属于 G, 则称则称 G 为为空间二维单连通域空间二维单连通域 ; 若若 G 内任一闭曲线总可以张一片全属于内任一闭曲线总可以张一片全属于 G 的曲面的曲面, 则称则称 G 为为空间一

10、维单连通域空间一维单连通域 .例如例如, 球面所围区域球面所围区域 环面所围区域环面所围区域 立方体中挖去一个小球所成的区域立方体中挖去一个小球所成的区域 不是二维单连通区不是二维单连通区域域 .既是一维也是二维单连通区域既是一维也是二维单连通区域 ;是二维但不是一维单连通区域是二维但不是一维单连通区域 ;是一维但是一维但机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第第12页页/共共29页页2. 闭曲面积分为零的充要条件闭曲面积分为零的充要条件定理定理2. ),(),(),(zyxRzyxQzyxP设设在空间二维单在空间二维单 连通域连通域G内具有连续一阶偏导数内具有连续一阶偏

11、导数, 为为G内任一闭曲面内任一闭曲面, 则则0dddddd yxRxzQzyPGzyxzRyQxP ),(,0证证: “充分性充分性”. 根据高斯公式可知是的充分条件根据高斯公式可知是的充分条件. 的充要条件是的充要条件是: “必要性必要性”. 用反证法用反证法. 使使假设存在假设存在,0GM 00 MzRyQxP已知成立已知成立,机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第第13页页/共共29页页因因P, Q, R 在在G内具有连续一阶偏导数内具有连续一阶偏导数 ,则存在邻域则存在邻域 ,)(0GM ,)(0上上使在使在M0 zRyQxP 的边界为的边界为设设)(0M则由

12、高斯公式得则由高斯公式得 yxRxzQzyPdddddd zyxzRyQxPMddd)(0 0 与矛盾与矛盾, 故假设不真故假设不真. 因此条件是必要的因此条件是必要的. 取外侧取外侧,机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第第14页页/共共29页页三、通量与散度三、通量与散度引例引例. 设稳定流动的不可压缩流体的密度为设稳定流动的不可压缩流体的密度为1, 速度场为速度场为kzyxRjzyxQizyxPzyxv),(),(),(),( 理意义可知理意义可知, 设设 为场中任一有向曲面为场中任一有向曲面, yxRxzQzyPdddddd单位时间通过曲面单位时间通过曲面 的流

13、量为的流量为 则由对坐标的曲面积分的物则由对坐标的曲面积分的物 由两类曲面积分的关系由两类曲面积分的关系, 流量还可表示为流量还可表示为 SRQPdcoscoscos Snvd机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第第15页页/共共29页页若若 为方为方向向外的闭曲面向向外的闭曲面, yxRxzQzyPdddddd当当 0 时时, 说明流说明流入入 的流体质量少于的流体质量少于 当当 0 时时, 说明流说明流入入 的流体质量多于流的流体质量多于流出出的的, 则单位时间通过则单位时间通过 的流量为的流量为 当当 = 0 时时, 说明流入与流出说明流入与流出 的流体质量相等的

14、流体质量相等 . n流流出出的的, 表明表明 内有泉内有泉; 表明表明 内有洞内有洞 ;根据高斯公式根据高斯公式, 流量也可表为流量也可表为zyxzRyQxPddd n机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第第16页页/共共29页页方向向外的任一闭曲面方向向外的任一闭曲面 , 记记 所围域为所围域为 , 设设 是是包含点包含点 M 且且为了揭示场内任意点为了揭示场内任意点M 处的特性处的特性, M在在式两边同除以式两边同除以 的体积的体积 V, 并令并令 以以任意方式缩小至点任意方式缩小至点 M 则有则有),(M 记作记作VMlimzyxzRyQxPVMddd1lim )

15、,(lim zRyQxPM MzRyQxP 此式反应了流速场在点此式反应了流速场在点M 的特点的特点: 其值为正其值为正,负或负或 0, 分别反映在该点有流体涌出分别反映在该点有流体涌出, 吸入吸入, 或没有任何变化或没有任何变化. ),( 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第第17页页/共共29页页定义定义: 设有向量场设有向量场kzyxRjzyxQizyxPzyxA),(),(),(),( 其中其中P, Q, R 具有连续一阶偏导数具有连续一阶偏导数, 是是场内的一片有向场内的一片有向 则称则称曲面曲面, 其单位法向量其单位法向量 n, SnAd为向量场为向量场

16、A 通过通过有向曲面有向曲面 的的通量通量(流量流量) .在场中点在场中点 M(x, y, z) 处处 称为向量场称为向量场 A 在点在点 M 的的散度散度.记作记作AdivzRyQxP 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第第18页页/共共29页页0div A表明该点处有正源表明该点处有正源, 0div A表明该点处有负源表明该点处有负源, 0div A表明该点处无源表明该点处无源, 散度绝对值的大小反映了源的强度散度绝对值的大小反映了源的强度.0div A若向量场若向量场 A 处处有处处有 , 则称则称 A 为为无源场无源场. 例如例如, 匀速场匀速场 ),(),(

17、为常数为常数其中其中zyxzyxvvvvvvv 0div v故它是无源场故它是无源场.P16 P16 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 说明说明: 由引例可知由引例可知, 散度是通量对体积的变化率散度是通量对体积的变化率, 且且第第19页页/共共29页页* *例例5.5.置于原点置于原点, 电量为电量为 q 的点电荷产生的场强为的点电荷产生的场强为rrqE3 .divE求求解解: 3ryy 3rzz 3522rxrq5223ryr 5223rzr 0 3rxx),(3zyxrq )0( r计算结果与仅原点有点电荷的事实相符计算结果与仅原点有点电荷的事实相符. )0( r机动机动

18、 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 qEdiv第第20页页/共共29页页内容小结内容小结1. 高斯公式及其应用高斯公式及其应用公式公式: yxRxzQzyPdddddd zyxzRyQxPddd 应用应用:(1) 计算曲面积分计算曲面积分 (非闭曲面时注意添加辅助面的技巧非闭曲面时注意添加辅助面的技巧)(2) 推出闭曲面积分为零的充要条件推出闭曲面积分为零的充要条件: 0dddddd yxRxzQzyP0 zRyQxP机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第第21页页/共共29页页2. 通量与散度通量与散度 设向量场设向量场P, Q, R, 在域在域G内有

19、一阶内有一阶 连续连续 偏导数偏导数, 则则 向量场通过有向曲面向量场通过有向曲面 的通量为的通量为 G 内任意点处的散度为内任意点处的散度为 ),(RQPA SnAdzRyQxPA div机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第第22页页/共共29页页练练 习习 题题第第23页页/共共29页页第第24页页/共共29页页五、设五、设),(,),(zyxvzyxu是两个定义在闭区域是两个定义在闭区域 上的上的 具有二阶连续偏导数的函数具有二阶连续偏导数的函数, ,nvnu ,依次表示依次表示 ),(,),(zyxvzyxu沿沿 的外法线方向的方向导的外法线方向的方向导 数数

20、 . . 证证明明: : dSnuvnvudxdydzuvvu)()( 其中其中 是空间闭区域是空间闭区域 的整个边界曲的整个边界曲面面. . ( (注注 222222zyx , ,称为拉普拉斯算子称为拉普拉斯算子) ) 第第25页页/共共29页页练习题答案练习题答案一、一、1 1、5512a ； 2 2、 81； 3 3、44R . .三、三、)62(23aa . .四、四、)sin(2)sin(2xzxzxyxyeAdivxy . .第第26页页/共共29页页思考与练习思考与练习,:2222取外侧取外侧设设Rzyx 所围立体所围立体,222zyxr 判断下列演算是否正确判断下列演算是否正确

21、?(1)yxrzxzryzyrxdddddd333333 vRd324 R (2)yxrzxzryzyrxdddddd333333 vrzzryyrxxd333333 31Ryxzxzyzyxdddddd333 31R vzyxd)(3222 为为 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第第27页页/共共29页页高斯(1777 1855)德国数学家、天文学家和物理学家, 是与阿基米德, 牛顿并列的伟大数学家, 他的数学成就遍及各个领域 , 在数论、 级数、复变函数及椭圆函数论等方面均有一系列开创性的贡献, 他还十分重视数学的应用, 地测量学和磁学的研究中发明和发展了最小二乘法、 曲面论和位势论等. 他在学术上十分谨慎, 原则: 代数、非欧几何、 微分几何、 超几何 在对天文学、大恪守这样的 “问题在思想上没有弄通之前决不动笔”. 第第28页页/共共29页页感谢您的观看。感谢您的观看。第第29页页/共共29页页