苏教版高三数学复习42向量的坐标表课件

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1、n 1了解平面向量的基本定理及其意义了解平面向量的基本定理及其意义n 2掌握平面向量的正交分解及其坐标表示掌握平面向量的正交分解及其坐标表示n 3会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算n 4理解用坐标表示的平面向量共线的条件理解用坐标表示的平面向量共线的条件第第2 2课时课时 向量的坐标表示向量的坐标表示n【命题预测】【命题预测】 n平面向量的坐标运算是向量运算的关键，平面向量的坐标是代数与几平面向量的坐标运算是向量运算的关键，平面向量的坐标是代数与几何联系的桥梁，它融数、形于一体，具有代数形式与几何形式的双重身何联系的桥梁，它融数、形于一体，具有

2、代数形式与几何形式的双重身份，也是中学数学知识的一个重点交汇，使数学问题的情景新颖别致、份，也是中学数学知识的一个重点交汇，使数学问题的情景新颖别致、自然流畅单独命题时，题型一般以填空题的形式出现，属于容易自然流畅单独命题时，题型一般以填空题的形式出现，属于容易题经常利用平面向量的灵活性，与平面几何、三角函数等知识点综合题经常利用平面向量的灵活性，与平面几何、三角函数等知识点综合出现，此类型的题一般出现在解答题中，综合性比较强，难度较大出现，此类型的题一般出现在解答题中，综合性比较强，难度较大n 1在平面直角坐标系中，以原点为起点的向量在平面直角坐标系中，以原点为起点的向量 a，点，点A的位置

3、被的位置被向量向量a唯一确定，此时点唯一确定，此时点A的坐标与的坐标与a的坐标统一为的坐标统一为(x，y)，但应注意其，但应注意其表示形式的区别，如表示形式的区别，如A(x，y)，向量，向量a (x，y)把点的坐标与向把点的坐标与向量的坐标区别开来两向量相等的充要条件是它们对应的坐标相等，量的坐标区别开来两向量相等的充要条件是它们对应的坐标相等，即相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量，但相等的向即相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量，但相等的向量起点、终点坐标却可以不同向量的坐标揭示并描述了向量的终点量起点、终点坐标却可以不同向量的坐标揭示并描述了向量的终点相对于起点的位置

4、关系，与表示该向量的有向线段的起点、终点的具相对于起点的位置关系，与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关体位置无关，只与其相对位置有关【应试对策】【应试对策】n 2 (tR)A，B，P三点共线，这是直线三点共线，这是直线的向量参数方程式，应结合平面向量基本定理加以理解特别地，在的向量参数方程式，应结合平面向量基本定理加以理解特别地，在t 时，时， n P为线段为线段AB的中点，这就是线段的中点，这就是线段AB的中点向量表的中点向量表达式，此公式在用向量解决平面几何问题时经常用到，要熟练掌握达式，此公式在用向量解决平面几何问题时经常用到，要熟练掌握n【知识拓展】【知

5、识拓展】 n线段的定比分点线段的定比分点n如果点如果点P满足满足 ，点点P叫做有向线段叫做有向线段 的定比分点当的定比分点当P1、P2的坐标分别为的坐标分别为(x1，y1)和和(x2，y2)且且1时，则时，则P的坐标的坐标(x，y)可由可由下面的公式求下面的公式求n出出n这个公式叫做线段的定比分点公式这个公式叫做线段的定比分点公式n 1平面向量基本定理及坐标表示平面向量基本定理及坐标表示n (1)平面向量基本定理平面向量基本定理n 定理定理：如果如果e1，e2是同一平面内的两个是同一平面内的两个 的向量，那么对于这一的向量，那么对于这一平面内的任意向量平面内的任意向量a， 一对实数一对实数1，

6、2，使使a .n 其中其中， 叫做表示这一平面内所有向量的一组基叫做表示这一平面内所有向量的一组基底底不共线不共线有且只有有且只有1e12e2不共线的向量不共线的向量e1、e2n(2)平面向量的正交分解平面向量的正交分解n一个平面向量用一组基底一个平面向量用一组基底e1、e2表示成表示成a1e12e2的形式，我们称它为向的形式，我们称它为向量量a的的 当当e1，e2所在直线互相垂直时，这种分解也称为向量所在直线互相垂直时，这种分解也称为向量a的的 n(3)平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示n对于向量对于向量a，当它的起点移至原点，当它的起点移至原点O时，其终点坐标时，其终点坐标(x，y)称为

7、向量称为向量a的的 ，n记作记作a 分解分解正交分解正交分解坐标坐标(x，y)n 2平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算n(1)加法、减法、数乘运算加法、减法、数乘运算向量向量abababa坐标坐标(x1，y1)(x2，y2)(x1x2，y1y2) (x1x2，y1y2)(x1，y1)n (2)向量坐标的求法向量坐标的求法n 已知已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则，则 (x2x1，y2y1)，n 即一个向量的坐标等于该向量即一个向量的坐标等于该向量 的坐标减去的坐标减去 的坐标的坐标n (3)向量平行的坐标表示向量平行的坐标表示n 设设a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中，其中b0

8、，n 则则a与与b共线共线a .终点终点始点始点x1y2x2y10bn 1(2010南京市第九中学高三调研测试南京市第九中学高三调研测试)已知向量已知向量a(1,2)，b(2,3)，n 若若(ab)(ab)，则，则_.n 解析：解析：(ab)(ab)(2,23)(1，1)0.n 2230，n 答案：答案： n 2. 已已知点知点A（2，3），），B（-1，5），且），且n 则点则点C，D的坐标分别是的坐标分别是_，_.n 解析：解析： (3,2)，设，设C(x，y)，则由，则由 n 得：得：(x2，y3) (3,2)，n x1，y ，C(1， )同理得同理得D(7,9)n 答案：答案：(1，

9、)(7,9)n 3(2010盐城中学高三上学期期中考试盐城中学高三上学期期中考试)已知向量已知向量a(3,1)，b(1,3)，n c(k k,7)，若，若(ac)b，则，则k k_.n 解析：解析：ac(3k k，6)，由题知，由题知(3k k)360，k k5.n 答案：答案：5n 4已知已知2ab(4,3)，a2b(3,4)，则向量，则向量a，b的坐标分别是的坐标分别是n _，_.n 解析：解析：2ab(4,3)，4a2b(8,6)，a2b(3,4)，n 5a(5,10)，a(1,2)，n b(4,3)2a(4,3)2(1,2)(2，1)n 答案：答案：(1,2)(2，1)n 5(苏、锡、

10、常、镇四市高三教学情况调查苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查)已知向量已知向量 (0,1)，n (k k，k k)， (1,3)，且，且 ，则实数，则实数k k_.n 解析：解析： (k k，k k1)， (1,2)， n 2k k(k k1)0，k k1.n 答案：答案：1n 1由平面向量基本定理知，平面内的任一向量都可以用一组基底表由平面向量基本定理知，平面内的任一向量都可以用一组基底表示，示，n基底不同，表示的方法也不同基底不同，表示的方法也不同n 2利用基底表示向量，主要是利用平行四边形法则或三角形法则进利用基底表示向量，主要是利用平行四边形法则或三角形法则进行行n向量的线性运算向量的

11、线性运算n【例【例1】如右图如右图，n在平行四边形在平行四边形ABCD中中，M，N分别为分别为DC，BC的中点的中点，n已知已知 n试用试用c，d表示表示 n思路点拨：思路点拨：直接用直接用c，d表示表示 有难度，可换一个角度，有难度，可换一个角度，n由由 表示表示 ，进而求，进而求 n 解：解：解法一解法一：设设 n 则则 ， n b ， n 将将代入代入得得a ，代入，代入n 得得bc n 解法二：解法二：设设 .因因M，N分别为分别为CD，BC中点，中点，n 所以所以，n 因而因而 n 即即 n变式变式1：如上图所示如上图所示，在在ABC中中，点点M是是BC的中点的中点，点点N在在AC上

12、上，n且且AN2NC，AM与与BN相交于点相交于点P，求求AP PM的值的值n解：解：设设 ，则，则 3e2e1，n 2e1e2.因为因为A、P、M和和B、P、N分别共线，分别共线，n所以存在实数所以存在实数、，使，使 3e2e1，n 2e1e2，n (2)e1(3)e2.n 另外另外 2e13e2，n nn n AP PM4 1.n 1向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行，若向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行，若已知已知n有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意程中要注意n方程思想的运用方程思想的

13、运用n 2利用向量的坐标运算解题主要是根据相等的向量坐标相同利用向量的坐标运算解题主要是根据相等的向量坐标相同这一这一n原则，通过列方程原则，通过列方程(组组)进行求解进行求解n 3利用坐标运算求向量的基底表示，一般先求出基底向量和被利用坐标运算求向量的基底表示，一般先求出基底向量和被表示表示n向量的坐标，再用待定系数法求出线性系数向量的坐标，再用待定系数法求出线性系数n 4向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现实现n了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，就可以了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，就可以使很多几

14、使很多几n何问题的解答转化为我们熟知的数量运算何问题的解答转化为我们熟知的数量运算n 【例【例2】 已知已知A(2,4)、B(3，1)、C(3，4)且且 ，n求点求点M、N及及 的坐标的坐标n思路点拨：思路点拨：由由A、B、C三点的坐标易求得三点的坐标易求得 的坐标，的坐标，n再根据向量坐标的定义就可求出再根据向量坐标的定义就可求出M、N的坐标的坐标n 解：解：A(2,4)、B(3，1)、C(3，4)，n (1,8)， (6,3)，n n 设设M(x，y)，则有，则有 (x3，y4)，n M点的坐标为点的坐标为(0,20)同理可求得同理可求得N(9,2)，因此，因此 (9，18)，n 故所求点

15、故所求点M、N的坐标分别为的坐标分别为(0,20)、(9,2)， 的坐标为的坐标为(9，18)n变式变式2：已知已知A(2,1)，B(3,5)，C(3,2)，若若 (tR)，n试求试求t为何值时，点为何值时，点P在第二象限？在第二象限？n解：解：设点设点P的坐标为的坐标为(x，y)，则，则 (x，y)(2,1)(x2，y1)n (3,5)(2,1)t(3,2)(2,1)(1,4)t(1,1)n(1,4)(t，t)(1t,4t)，n由由 ，得，得(x2，y1)(1t,4t)，n n 若点若点P在第二象限，则在第二象限，则 n 5t3，即当，即当5t3时，点时，点P在第二象限在第二象限n 1平面向

16、量平面向量a与与b(b0)共线的充要条件是共线的充要条件是ab，用坐标表示为：，用坐标表示为：nabx1y2x2y10(a(x1，y1)，b(x2，y2)且且b 0 )n 2向量共线的坐标表示提供了通过代数运算来解决向量共线的方法，向量共线的坐标表示提供了通过代数运算来解决向量共线的方法，也为也为n点共线、线平行问题的处理提供了容易操作的方法解题时要注点共线、线平行问题的处理提供了容易操作的方法解题时要注意共线向意共线向n量定理的坐标表示本身具有公式特征，应学会利用这一点来构造量定理的坐标表示本身具有公式特征，应学会利用这一点来构造函数和方函数和方n程，以便用函数与方程的思想解题程，以便用函数

17、与方程的思想解题n【例【例3】 向量向量 (k k,12)， (4,5)， (10，k k)，n 当当k k为何值时，为何值时，A、B、C三点共线三点共线n 思路点拨：思路点拨：根据向量共线的充要条件，若根据向量共线的充要条件，若A、B、C三点共线，三点共线，n只要只要 满足满足 (或或 )，就可以列方程求出，就可以列方程求出k k的值的值n 或利用向量平行的充要条件求出或利用向量平行的充要条件求出k k的值的值n 解：解法一：解：解法一： (4,5)(k k,12)(4k k，7)，n (10，k k)(4,5)(6，k k5)A、B、C三点共线，三点共线，n ，即，即(4k k，7)(6，

18、k k5)(6，(k k5)n 解得解得k k11或或2.n 解法二：解法二：接解法一，接解法一，A、B、C三点共线，三点共线，(4k k)(k k5)6(7)，n 解得解得k k11或或2.n 变式变式3： 如图所示如图所示，已知点已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，n求求AC和和OB交点交点P的坐标的坐标n解：解：解法一解法一：设设 t(4,4)(4t,4t)，则，则n(4t,4t)(4,0)(4t4,4t)， (2,6)(4,0)(2,6)n由由 共线的充要条件知共线的充要条件知(4t4)64t(2)0，解得，解得t n (4t,4t)(3,3)P点坐标为点坐标为(3,3)n

19、 解法二：解法二：设设P(x，y)，则则 (x，y)， (4,4)n ， 共线，共线，4x4y0.n 又又 (x2，y6)， (2，6)，n 且向量且向量 、 共线共线n 6(x2)2(6y)0.n 解解组成的方程组，得组成的方程组，得x3，y3，点点P的坐标为的坐标为(3,3).n 1向量平行的充要条件是建立向量的坐标及其运算的理论依据；平面向向量平行的充要条件是建立向量的坐标及其运算的理论依据；平面向量的基量的基n本定理是平面向量坐标表示的基础本定理是平面向量坐标表示的基础n 2利用平面向量的基本定理，可将几何问题转化为向量问题，其具体过利用平面向量的基本定理，可将几何问题转化为向量问题，

20、其具体过程大致为：程大致为：n(1)适当选择基底适当选择基底(两个彼此不共线向量两个彼此不共线向量)；n(2)用基底显示几何问题的条件和结论；用基底显示几何问题的条件和结论；n(3)利用共线向量的充要条件、向量垂直的充要条件，通过向量的运利用共线向量的充要条件、向量垂直的充要条件，通过向量的运算解决平行、算解决平行、n垂直、成角和距离的证明和计算等问题垂直、成角和距离的证明和计算等问题【规律方法总结规律方法总结】n【例【例4】 已知向量已知向量a(1,2)，b(2,1)，k k，t为正实数为正实数，nxa(t21)b，yn(1)若若xy，求求k k的最大值的最大值；n(2)是否存在是否存在k

21、k，t，使使xy？若存在，求出若存在，求出k k的取值范围的取值范围；n若不存在，请说明理由若不存在，请说明理由. n本题最易出错的是向量的坐标运算，如计算向量本题最易出错的是向量的坐标运算，如计算向量x，y时，对数与向量的时，对数与向量的乘积只乘向量的一个坐标；以坐标形式的向量加减运算时，漏掉其中的某乘积只乘向量的一个坐标；以坐标形式的向量加减运算时，漏掉其中的某个坐标；当向量个坐标；当向量x，y垂直时数量积的运算错误，向量垂直时数量积的运算错误，向量x，y平行时，向量的平行时，向量的坐标之间的关系用错等如把坐标之间的关系用错等如把xy的条件是两个向量坐标交叉相乘之差等的条件是两个向量坐标交

22、叉相乘之差等于零写成交叉之积的和等于零，即：于零写成交叉之积的和等于零，即： ，其结果是，其结果是k kn这样只要给正数这样只要给正数t一个大于一个大于 的值，就得到一个正数的值，就得到一个正数k k，其结果就是存，其结果就是存在的在的 【错因分析错因分析】n 解：解：x(1,2)(t21)(2,1)(2t21，t23)，n y n (1)若若xy，则则xy0，即即 n 整理得整理得，k k，当且仅当当且仅当t ，即即t1时取等号时取等号，n k kmax (2)假设存在正实数假设存在正实数k k，t，使使xy，则则 化简得化简得 0，即即t3tk k0.(2)因为因为k k、t为正实数，故不

23、存在正数为正实数，故不存在正数k使上式成立，从而不存在使上式成立，从而不存在k k、t，使，使xy.,【答题模板答题模板】n向量的模与数量积向量的模与数量积之间有关系式向量的模与数量积向量的模与数量积之间有关系式|a|2a2aa，这，这是一个简单而重要但又容易用错的地方，由这个关系还可以得到如是一个简单而重要但又容易用错的地方，由这个关系还可以得到如|ab|2|a|22ab|b|2，|abc|a|2|b|2|c|22ab2bc2ca等等公式，是用向量的数量积解决向量模的重要关系式在解决与向量模有公式，是用向量的数量积解决向量模的重要关系式在解决与向量模有关的问题时要仔细辨别题目的已知条件，用好

24、向量的模与数量积之间的关的问题时要仔细辨别题目的已知条件，用好向量的模与数量积之间的关系关系. 【状元笔记状元笔记】n 1如图，在平行四边形如图，在平行四边形ABCD中，中，A(1,1)， (6,0)，n 点点M是线段是线段AB的中点，线段的中点，线段CM与与BD交于点交于点P.n (1)若若 =(3,5)，求点，求点C的坐标；的坐标；n (2)当当 时，求点时，求点P的轨迹方程的轨迹方程n 分析分析：(1)可根据两个向量相等，对应的坐标相等求出可根据两个向量相等，对应的坐标相等求出C的坐标；的坐标；n (2)设出点设出点P的坐标，用坐标表示两个对角线所表示的向量，根据的坐标，用坐标表示两个对

25、角线所表示的向量，根据n 菱形的对角线互相垂直，求出菱形的对角线互相垂直，求出P的轨迹方程的轨迹方程n 解：解：(1)设点设点C的坐标为的坐标为(x0，y0) =(9,5)，n (x0-1，y0-1)=(9,5)，n x0=10，y0=6，即点即点C的坐标为的坐标为(10,6)n (2)设点设点P的坐标为的坐标为(x，y)，则则 =(x-7，y-1)， n = =(3x-9,3y-3)n ，ABCD为菱形为菱形， n 从而有从而有(x-7，y-1)(3x-9,3y-3)=0，n (x-7)(3x-9)+(y-1)(3y-3)=0，n x2+y2-10 x-2y+22=0(y1)n 即点即点P的轨迹方程为的轨迹方程为x2+y2-10 x-2y+22=0(y1)